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1、广东白云学院广东白云学院通信工程系通信工程系杨新盛杨新盛 E-mail: E-mail: 信号与系信号与系统统Signal and SystemSignal and System3.3 3.3 周期信号的周期信号的傅立叶级数傅立叶级数1. 1. 周期信号的傅立叶级数分析周期信号的傅立叶级数分析根据傅里叶级数理论，任何满足满足狄里克雷根据傅里叶级数理论，任何满足满足狄里克雷(Dirichlet)(Dirichlet)条件的周期连续信号条件的周期连续信号可展开为三角傅里叶级数或复指数傅立叶级数。可展开为三角傅里叶级数或复指数傅立叶级数。狄氏条件：狄氏条件：（1 1）在一周期内，间断点的数目有限；）
2、在一周期内，间断点的数目有限；（2 2）在一周期内，极大、极小值的数目有限；）在一周期内，极大、极小值的数目有限；（3 3）在一周期内，）在一周期内，电子技术中的周期信号大都满足狄氏条件，当电子技术中的周期信号大都满足狄氏条件，当 满足满足狄氏条件时，狄氏条件时， 才存在。才存在。 周期信号的周期信号的傅立叶傅立叶级数级数周期信号周期信号f f（t t）展开为三角傅立叶级数）展开为三角傅立叶级数设设 是周期为是周期为T T的函数的函数三角函数集：三角函数集： 周期信号的傅立叶级数周期信号的傅立叶级数 根据傅里叶级数理论，任何满足满足狄里克雷根据傅里叶级数理论，任何满足满足狄里克雷(Dirich
3、let)(Dirichlet)条件的周期连续信号条件的周期连续信号 都可表示为都可表示为无限多个、频率为基频倍数的复正弦信号的加权无限多个、频率为基频倍数的复正弦信号的加权和，若和，若 其中，其中， 为任何整数，为任何整数， 为周为周期，期， 为基频，为基频， 为相应的角频率，则为相应的角频率，则 周期信号的傅立叶级数周期信号的傅立叶级数 周期信号的傅立叶级数周期信号的傅立叶级数2 2、周期信号、周期信号f f（t t）展开为复指数付里叶级数）展开为复指数付里叶级数证明：证明： 周期信号的傅立叶级数周期信号的傅立叶级数 用用FSFS分析是对周期信号进行谐波分解，即用分析是对周期信号进行谐波分解
4、，即用谐波加权和来合成信号，因此，谐波加权和来合成信号，因此，FSFS分析又称为谐波分析。分析又称为谐波分析。 周期信号的傅立叶级数周期信号的傅立叶级数周期信号的对称性与付立叶系数的关系。周期信号的对称性与付立叶系数的关系。FFFF 周期信号的傅立叶级数周期信号的傅立叶级数解解: : 周期信号的傅立叶级数周期信号的傅立叶级数 周期信号的傅立叶级数周期信号的傅立叶级数解解: 周期信号的傅立叶级数周期信号的傅立叶级数 周期信号的傅立叶级数周期信号的傅立叶级数解解: : 周期信号的傅立叶级数周期信号的傅立叶级数 周期信号的傅立叶级数周期信号的傅立叶级数解解: : 周期信号的傅立叶级数周期信号的傅立叶
5、级数 周期信号的傅立叶级数周期信号的傅立叶级数周期信号的频谱周期信号的频谱 为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率分量，为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率分量，各分量所占的比重怎样，就采用了称为频谱图的表示方法。各分量所占的比重怎样，就采用了称为频谱图的表示方法。一、一、 频谱图的概念频谱图的概念由上一节知周期信号由上一节知周期信号f f（t t）可用付里叶级数来表示。）可用付里叶级数来表示。或或 周期信号的傅立叶级数周期信号的傅立叶级数二二 、典型周期信号的频谱、典型周期信号的频谱周期矩形脉冲信号F（t）TtT：脉冲周期：脉冲宽度A：脉冲幅度第一步：首先展开为三角形式
6、的傅立叶级数f(t)是偶函数bn=0T：三角函数公共周期 周期信号的傅立叶级数周期信号的傅立叶级数第二步：展成指数形式付里叶级数第二步：展成指数形式付里叶级数FSFS 周期信号的傅立叶级数周期信号的傅立叶级数当当 时时第三步：频谱分析第三步：频谱分析与与之比值有关，取之比值有关，取 与与包络线均为包络线均为为离散频率为离散频率即即 周期信号的傅立叶级数周期信号的傅立叶级数计算第一个振幅为零的谐波次数计算第一个振幅为零的谐波次数n n幅度频谱图幅度频谱图1抽样函数 周期信号的傅立叶级数周期信号的傅立叶级数0 an00Fn0Fn0即即0相位频谱图相位频谱图 周期信号的傅立叶级数周期信号的傅立叶级数
7、-第四步：讨论频谱结构与第四步：讨论频谱结构与 、T T 的关系的关系当非周期信号连续频率非周期信号连续频谱 此例中此例中 为一实数。幅度频谱与相位频谱可以合为一实数。幅度频谱与相位频谱可以合画在一张图上。画在一张图上。 周期信号的傅立叶级数周期信号的傅立叶级数 周期信号的傅立叶级数周期信号的傅立叶级数对于一般频谱，常以对于一般频谱，常以0 0频率开始频率开始 振幅将为包络线振幅将为包络线最大值的最大值的1/101/10的频率之间的频带定义为信号的频带宽度的频率之间的频带定义为信号的频带宽度2.2.当当T T不变，不变， 减小时减小时T T不变不变间隔不变间隔不变振幅为振幅为0 0的谐波频率的
8、谐波频率3.3.频带宽度的定义频带宽度的定义对于周期矩形信号，一般对于周期矩形信号，一般或周期矩形信号的时间特性周期矩形信号的时间特性：f(t)变化快 f(t)变化慢频率特性：频率特性：变化快的信号必然具有较宽的频带。变化快的信号必然具有较宽的频带。 周期信号的傅立叶级数周期信号的傅立叶级数周期信号的频谱特点周期信号的频谱特点(1)(1)离散性离散性谱线是离散的而不是连续的，谱线之间谱线是离散的而不是连续的，谱线之间的间隔为的间隔为 。这种频谱常称为离散频谱。这种频谱常称为离散频谱。(2)(2)谐波性谐波性谱线在频谱轴上的位置是基频谱线在频谱轴上的位置是基频 的整数倍。的整数倍。(3)(3)收敛性收敛性各频谱的高度随着谐波次数增高而逐渐各频谱的高度随着谐波次数增高而逐渐减小，当谐波次数无限增高时，谱线的高度也无限减小。减小，当谐波次数无限增高时，谱线的高度也无限减小。 周期信号的傅立叶级数周期信号的傅立叶级数 课后课后 作业作业
