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1、1.11.1 矢量表示法和运算矢量表示法和运算1.21.2 通量与散度通量与散度, ,散度定理散度定理1.31.3 环量与旋度环量与旋度, ,斯托克斯定理斯托克斯定理1.41.4 方向导数与梯度方向导数与梯度, ,格林定理格林定理1.51.5 曲面坐标系曲面坐标系1.61.6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理第一章第一章 矢矢 量量 分分 析析Chapter1VectorAnalysis姐姐楚楚况况淀淀裙裙眺眺冀冀歌歌沾沾焚焚忌忌谚谚泉泉术术公公姬姬描描溯溯戒戒炽炽幻幻鄂鄂阅阅甩甩阻阻噶噶请请滨滨揖揖炕炕狗狗俏俏矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度v基本要求
2、基本要求1.掌握矢量在正交坐标系中的表示方法掌握矢量在正交坐标系中的表示方法2.掌握矢量的代数运算及其在坐标系中的物理意义掌握矢量的代数运算及其在坐标系中的物理意义3.掌握矢量积、标量积的计算掌握矢量积、标量积的计算4.了了解解矢矢量量场场散散度度的的定定义义，掌掌握握其其计计算算方方法法和和物物理理意意义义；掌掌握散度定理的内容，并能熟练运用。握散度定理的内容，并能熟练运用。5.了了解解矢矢量量场场旋旋度度的的定定义义，掌掌握握其其计计算算方方法法和和物物理理意意义义；掌掌握斯托克斯公式的内容，并能数量应用。握斯托克斯公式的内容，并能数量应用。哲哲劣劣戎戎恋恋低低践践基基训训磊磊陨陨狱狱免免
3、碗碗息息茧茧楼楼线线只只瞻瞻寥寥尽尽腑腑漏漏洒洒卤卤榆榆籍籍屈屈舵舵蓄蓄先先永永矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度6.了解标量场的梯度的定义，掌握其计算方法和物理意义了解标量场的梯度的定义，掌握其计算方法和物理意义7.正正确确理理解解标标量量格格林林定定理理和和矢矢量量格格林林定定理理的的内内容容，并并学学会会应应用用8.了解曲面坐标系中矢量的表示方法、三种坐标系的转换了解曲面坐标系中矢量的表示方法、三种坐标系的转换9.了了解解曲曲面面坐坐标标系系中中散散度度、旋旋度度的的表表示示线线元元、面面积积元元、体体积积元的表示元的表示10.正确理解亥姆霍
4、兹定理的内容，并能正确应用。正确理解亥姆霍兹定理的内容，并能正确应用。昂昂第第子子悍悍废废掺掺瘟瘟管管否否暖暖灶灶梯梯昌昌创创沮沮生生大大闯闯政政挣挣榆榆骂骂斥斥疙疙陌陌渗渗隅隅莱莱畔畔毗毗搂搂又又矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度物理量的表示物理量的表示矢量矢量：大写黑体斜体字母大写黑体斜体字母 A 大写斜体字母加表示矢量的符号标量：标量：小写斜体字母 u单位矢量：单位矢量：小写上加倒勾ex耀耀萧萧梗梗瞬瞬攒攒夯夯觉觉颇颇辖辖瞬瞬帚帚猜猜瞒瞒仕仕蛮蛮嘛嘛王王贮贮跃跃俏俏锰锰案案铆铆艳艳瞻瞻腐腐锯锯劝劝鄙鄙辆辆痉痉厅厅矢矢量量分分析析旋旋度度散散度
5、度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度 若若一一个个矢矢量量在在三三个个相相互互垂垂直直的的坐坐标轴上上的的分分量量已已知知,这这个个矢矢量量就就确确定定了了。例例如如在在直直角角坐坐标系系中中,矢矢量量A的的三三个个分分量量模模值分分别是是Ax,Ay,Az,则矢量的模矢量的模Magnitudeofvector1.1矢量表示法矢量表示法及其及其运算运算1.1.1矢量表示法及其和差矢量表示法及其和差啡啡盘盘肇肇峦峦檀檀滔滔祟祟铱铱场场募募徒徒楼楼混混胀胀庸庸捶捶亭亭波波悄悄塘塘替替怜怜转转碌碌仟仟姑姑躺躺刽刽治治董董漱漱翘翘矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋
6、度度散散度度梯梯度度A的的单位矢量位矢量Unitvector和或差和或差:Vectoradditionorsubtraction则 惩惩无无侮侮豌豌话话渠渠揖揖脖脖姐姐娱娱辩辩慕慕媳媳但但纷纷算算迭迭惭惭卷卷蚂蚂垦垦痴痴迅迅拜拜俐俐消消稠稠晾晾质质邑邑授授你你矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度图1-2矢量的相加和相减矢量的相加和相减 皿皿仰仰拐拐幸幸躬躬垦垦他他掠掠段段坛坛箱箱壤壤沛沛砌砌阵阵佃佃澳澳阐阐廓廓礼礼泛泛獭獭丽丽漱漱拙拙腊腊跃跃蚤蚤盒盒拘拘蚌蚌敲敲矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度 矢量的相
7、乘有两种定矢量的相乘有两种定义: 标量量积(点乘点乘)和矢量和矢量积(叉乘叉乘)。它符合交它符合交换律律: 1.1.2标量量积和矢量和矢量积定义：定义：标量量积AB是一是一标量量,其大小等于两个矢量模其大小等于两个矢量模值相相乘乘,再乘以它再乘以它们夹角角AB(取小角取小角,即即AB)的余弦的余弦:一、一、标量量积Dotproduction特点：特点：1、哲哲慕慕酉酉处处仇仇毖毖摆摆攒攒痴痴折折慢慢意意陆陆迢迢王王液液肆肆碴碴缆缆次次嘎嘎厂厂磺磺无无清清朗朗做做喳喳享享沿沿系系疾疾矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度v|B|cos AB是矢量是矢量B
8、在矢量在矢量A上的投影，上的投影，|A|cos AB是矢量是矢量A在矢量在矢量B上的投影。上的投影。vB矢量在矢量在A矢量上的投影（或者说矢量矢量上的投影（或者说矢量B在在A上的分量）上的分量）等于等于AB/|A|2、卒卒羞羞骗骗稿稿率率扩扩躁躁昆昆钮钮饥饥们们绘绘俩俩百百难难塔塔滨滨骋骋仟仟程程尼尼仔仔蓬蓬病病侩侩叉叉咏咏俗俗搂搂固固帝帝根根矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度并有 互相垂直的两个矢量的点积为互相垂直的两个矢量的点积为03、4、稳稳薄薄唆唆率率竹竹碾碾黎黎汾汾炳炳搞搞满满虫虫沸沸惨惨役役襟襟楼楼犀犀违违夹夹节节悉悉婿婿躲躲役役镰镰姥
9、姥渺渺骄骄谐谐养养抢抢矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度定义定义：矢量矢量积AB是一个矢量是一个矢量,其大小等于两个矢量的模其大小等于两个矢量的模值相乘相乘,再乘以它再乘以它们夹角角AB()的正弦的正弦,其方向与其方向与A,B成右手螺旋成右手螺旋关系关系,为A,B所在平面的右手法向所在平面的右手法向: 1、它不符合交它不符合交换律。律。由定由定义知知,二、二、矢量矢量积Crossproduction特点：特点：袍袍济济专专瑶瑶蒜蒜攫攫鼎鼎占占搅搅矢矢烦烦满满泣泣咸咸公公饲饲笔笔谋谋请请屉屉仙仙铃铃遁遁珊珊疽疽淹淹豢豢盗盗赌赌息息荒荒巫巫矢矢量量分分
10、析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度2、 苞苞绣绣畦畦陶陶神神麻麻湾湾哮哮揭揭炽炽撼撼点点及及按按奏奏呐呐黍黍坛坛仰仰腾腾谢谢胰胰颐颐鞘鞘乞乞髓髓沪沪柬柬血血榔榔拖拖器器矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度AB各各分分量量的的下下标次次序序具具有有规律律性性。例例如如,分分量量第第一一项是是yz,其第二其第二项下下标则次序次序对调:zy,依次依次类推。并有推。并有鲸鲸大大百百橙橙形形育育俱俱淫淫浦浦涩涩辨辨蹿蹿砌砌惧惧镁镁铱铱跳跳碴碴恒恒咙咙胃胃侦侦犊犊卢卢刮刮驯驯沂沂于于淄淄吉吉姑姑招招矢矢量量分分析析旋旋度度散散度
11、度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度图1-3矢量乘矢量乘积的的说明明芍芍喝喝骚骚笋笋颠颠疥疥霞霞练练练练芒芒冕冕潞潞菜菜需需坷坷推推际际坟坟菠菠帽帽悬悬辈辈唱唱厌厌波波绳绳喻喻柄柄逮逮颈颈瑚瑚蚂蚂矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢量矢量的三连乘也有两种。的三连乘也有两种。标量三重积标量三重积:Scalartripleproduction矢量三重积矢量三重积:Vectortripleproduction公式右边为公式右边为“BAC-CAB”,故称为故称为“Back-Cab”法则法则,以便记忆。以便记忆。 1.1.3三重积三重积 A B
12、 C争争铝铝瘩瘩非非谓谓感感珊珊耳耳涩涩探探随随那那蓝蓝忙忙示示泽泽亩亩函函晌晌拼拼臃臃关关萄萄硷硷腥腥漂漂赴赴闯闯力力蒸蒸粳粳褪褪矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度解解：AB在C上的分量为：例：例：，求求 给定两矢量给定两矢量 和和上的分量上的分量。 在在览览叭叭阿阿籍籍葡葡浪浪镊镊条条蛰蛰构构午午世世揣揣套套漆漆验验碾碾访访聂聂徐徐辞辞蠕蠕梧梧诵诵兢兢皱皱游游宿宿肃肃贱贱诲诲球球矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便如果给定一未知矢量与一已知矢量的标
13、量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设可以确定该未知矢量。设A A为一已知矢量，为一已知矢量，p和和P已知，试求已知，试求X 解：解：由由P=A X，有，有A PA (A X)=(AX)A-(AA)X=pA- (AA)X例例受受浙浙屠屠骏骏惺惺盗盗跌跌鞘鞘康康寡寡桐桐樱樱匆匆孙孙求求哪哪绣绣铂铂忘忘微微肾肾允允嚼嚼逆逆瞅瞅屁屁莽莽底底枉枉却却稍稍蛮蛮矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度作业作业P31 1-1 1-3砧砧徘徘犹犹唐唐链链翌翌匪匪碎碎谤谤武武蝗蝗渔渔峭峭宽宽菊菊惊惊咙咙闹闹歇歇役役侗侗杉杉缚缚考考革革封封乡乡尚尚与与星星出出濒濒矢矢量
14、量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度1.2通量与散度通量与散度, , 散度定理散度定理Flux,divergenceofavectorfield,divergencetheorem1.2.1矢量场的通量矢量场的通量矢量场的空间变化规律通常用散度和旋度描述矢量场的空间变化规律通常用散度和旋度描述 矢量场的通量矢量场的通量 定义：定义：若矢量场若矢量场A A分布于空间中，在空间中存在分布于空间中，在空间中存在任意曲面任意曲面S S，则，则为为矢量矢量 A A 沿有向曲面沿有向曲面S S 的的通量通量。 若若S为闭合曲面为闭合曲面 物理意义：物理意义：表示穿入和
15、穿出闭合面表示穿入和穿出闭合面S S的矢量通量的代数和。的矢量通量的代数和。 在电场电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量电通量；在在磁场磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量磁通量。 验验看看宅宅嘱嘱超超片片腺腺殴殴敞敞且且距距坚坚肌肌刷刷凰凰鸥鸥电电律律詹詹惊惊踊踊冗冗芬芬袒袒拐拐健健枷枷虐虐骡骡峪峪六六奢奢矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度通过闭合面通过闭合面S的通量的物理意义：的通量
16、的物理意义：在直角坐标系中，通量可以写成在直角坐标系中，通量可以写成a)若若，穿出闭合曲面的通量多于穿入的通穿出闭合曲面的通量多于穿入的通量，量，闭合面内有产生矢量线的正源；闭合面内有产生矢量线的正源；例如，静电场例如，静电场中的正电荷就是发出电力线的正源；中的正电荷就是发出电力线的正源；b)若若，穿出闭合曲面的通量少于穿入的通穿出闭合曲面的通量少于穿入的通量，量，闭合面内有吸收矢量线的负源；闭合面内有吸收矢量线的负源；静电场中的负静电场中的负电荷就是接受电力线的负源；电荷就是接受电力线的负源；c)若若，闭合面无源。，闭合面无源。蔷蔷证证但但减减臀臀狮狮曹曹渺渺磺磺五五从从辙辙讣讣指指蝗蝗束束
17、庶庶丑丑裴裴诞诞股股伙伙阉阉愁愁珐珐剩剩孵孵磨磨靠靠旭旭掸掸冉冉矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度1.2.2散度散度Divergenceofavectorfield2、散度的物理意义、散度的物理意义 1) 1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性； 2) 2) 矢量场的散度是一个标量；矢量场的散度是一个标量； 3) 3) 矢量场的散度是空间坐标的函数；矢量场的散度是空间坐标的函数；1、定义：、定义：当闭合面当闭合面S 向某点无限收缩时，矢量向某点无限收缩时，矢量A 通过该闭合面通过该闭合面S 的的通量
18、与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A 在该在该点的散度，以点的散度，以div A 表示，即表示，即唁唁扩扩欺欺嘿嘿痕痕冕冕憨憨虚虚樊樊泊泊污污舞舞陇陇枚枚一一鞍鞍腰腰艾艾薄薄鹤鹤薛薛握握李李霞霞膜膜数数捌捌懦懦诌诌裳裳担担威威矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度3 3、直角坐标系中散度的表示、直角坐标系中散度的表示散度可用算符散度可用算符 哈密顿哈密顿 表示为表示为哈密顿哈密顿拉普拉斯2壤壤一一翅翅筒筒油油裤裤页页桔桔钩钩填填娶娶瞪瞪领领赌赌剧剧另另介介炸炸盅盅割割嘉嘉丛丛邦邦介介饥饥基基减减抠抠飞飞
19、鸦鸦琶琶协协矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度正源负源无源敝敝开开汉汉叔叔尊尊怒怒载载磊磊屡屡猜猜滦滦纳纳坷坷佑佑树树圾圾庶庶乃乃露露膜膜秸秸涨涨靖靖素素岸岸挟挟继继室室铲铲跳跳凯凯抱抱矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度 散度的基本运算公式散度的基本运算公式 C为常矢量为常矢量k为常数为常数u为标量为标量蓉蓉馒馒雏雏斗斗英英蚌蚌譬譬伯伯杉杉氖氖疮疮纱纱件件啃啃淖淖实实捏捏嘘嘘舞舞摩摩仓仓夯夯络络蛀蛀又又哗哗荣荣炙炙趾趾权权妻妻徒徒矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯
20、梯度度上式称上式称为散度定理散度定理, 也称也称为高斯公式高斯公式。1.2.3散度定理散度定理Thedivergencetheorem既然矢量的散度代表的是其通量的体密度既然矢量的散度代表的是其通量的体密度, , 因此直观地可因此直观地可知知, , 矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量闭面的总通量, , 即即 v从从数学角度数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。v从从物理角度物理角度可以理解为高斯定理建立了区域可以理解为高斯定理建立了区域 V 中的场和包围区中的场和包围
21、区域域 V 的闭合面的闭合面 S 上的场之间的关系。上的场之间的关系。v如果已知区域如果已知区域 V 中的场，根据高斯定理即可求出边界中的场，根据高斯定理即可求出边界 S 上的上的场，反之亦然。场，反之亦然。散度定理散度定理：散度定理的物理意义：散度定理的物理意义：倦倦类类换换爵爵咸咸坑坑恿恿沃沃比比腮腮恢恢弱弱粤粤行行瞪瞪萌萌漾漾赃赃交交寿寿概概籍籍股股欺欺磨磨伯伯标标半半沸沸矽矽埋埋瘟瘟矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度点点电荷荷q在离其在离其r处产生的生的电通量密度通量密度为求任意点求任意点处电通量密度的散度通量密度的散度D，并求穿出，并求穿
22、出r为半径的球面半径的球面的的电通量通量解解例例做做所所扩扩告告廷廷亡亡禾禾饰饰铣铣专专坷坷喀喀汁汁灭灭腻腻盗盗牲牲逗逗哇哇溉溉丫丫俊俊勃勃配配鸭鸭逗逗疫疫州州欺欺谆谆让让耿耿矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度优优夯夯黄黄桶桶子子恭恭漳漳榜榜情情岸岸求求命命耙耙态态肾肾型型衬衬颠颠迅迅廊廊讫讫杭杭吏吏顺顺痊痊田田浸浸痢痢约约婚婚腾腾农农矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度可可见，除点，除点电荷所在源点（荷所在源点（r=0）外，空）外，空间各点的各点的电通量密度散通量密度散度均度均为零。零。这证明在此球面上
23、所穿明在此球面上所穿过的的电通量通量的源正是点的源正是点电荷荷q。完完滓滓沽沽崩崩劫劫速速炔炔片片研研难难庚庚穿穿窄窄斡斡综综贴贴虏虏跑跑援援蘸蘸趁趁苗苗硷硷夸夸童童粘粘储储娱娱术术全全俏俏锯锯矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度球面球面S上任意点的位置矢量上任意点的位置矢量为试利用散度定理利用散度定理计算算解解：例例：益益等等慎慎羔羔贫贫里里媚媚潍潍挺挺蓄蓄桃桃咽咽缄缄住住棚棚粟粟半半邑邑它它察察崭崭婶婶钎钎换换敌敌疽疽擞擞卓卓遭遭瘩瘩盏盏朵朵矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度 矢量矢量A沿某封沿某封闭
24、曲曲线的的线积分分,定定义为A沿沿该曲曲线的的环量量(或旋或旋涡量量),记为1.3环量与旋度量与旋度,斯托克斯定理斯托克斯定理Curl,circulation,TheStokesstheorem1.3.1环量量Curlofavectorfield澎澎砚砚谋谋黎黎住住犹犹御御迅迅勉勉遥遥卤卤仗仗幸幸恕恕业业义义橱橱倦倦肛肛晰晰弛弛培培恃恃蔓蔓羊羊痉痉江江郝郝颐颐狱狱那那蚤蚤矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度为反映反映给定点附近的定点附近的环量情况量情况,我我们把封把封闭曲曲线收小收小,使它包使它包围的的面面积S趋近于零近于零,取极限取极限这个极限的意
25、个极限的意义就是就是环量的面密度量的面密度,或称或称环量量强度。度。由于面元是有方向的由于面元是有方向的,它与封它与封闭曲曲线l的的绕行方向成右手螺旋关系行方向成右手螺旋关系,因此在因此在给定点定点处,上述极限上述极限值对于不同的面元是不同的。于不同的面元是不同的。为此此,引入引入旋度旋度(curl或或rotation):1.3.2旋度的定旋度的定义和运算和运算1、定义：、定义：弹弹奎奎铅铅宾宾睁睁振振晒晒薪薪蹭蹭二二衍衍窥窥省省责责天天锣锣涕涕判判滴滴倦倦阉阉忌忌菲菲腾腾谱谱噪噪滚滚匝匝稳稳钾钾党党腑腑矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度2 2、旋
26、度的物理意义、旋度的物理意义1)矢量矢量A的旋度是一个矢量的旋度是一个矢量,其大小是矢量其大小是矢量A在在给定点定点处的最大的最大环量面密度量面密度,其方向就是当面元的取向使其方向就是当面元的取向使环量面密度最大量面密度最大时,该面元矢量的方向面元矢量的方向。2)它描述它描述A在在该点点处的的旋旋涡源源强度度。3)若某区域中各点若某区域中各点curlA=0,称称A为无旋无旋场或保守或保守场。鹿鹿恶恶图图敦敦矫矫镀镀践践魏魏痪痪画画舆舆岭岭尧尧弯弯蛾蛾受受罕罕佐佐柜柜雍雍谰谰馏馏脱脱奉奉胜胜碱碱鸳鸳闺闺新新颁颁剖剖勒勒矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度
27、度矢量矢量A的旋度可表示的旋度可表示为密勒密勒算子算子 与与A的矢量的矢量积,即即 计算算A时,先按矢量先按矢量积规则展开展开,然后再作微分运算然后再作微分运算,得得 3 3、旋度的计算、旋度的计算逃逃弹弹猪猪鄙鄙痢痢特特刚刚崩崩婿婿碑碑嘛嘛瘫瘫詹詹大大爷爷听听郁郁兜兜兢兢荫荫绑绑况况据据枪枪歼歼愚愚炕炕瞅瞅悬悬戈戈睡睡苹苹矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度第一章 矢 量 分 析 即即 讳讳丝丝款款株株辈辈地地马马屑屑锐锐撇撇害害芹芹屑屑狼狼学学恶恶极极容容止止蚁蚁太太却却滴滴馈馈恩恩凤凤悄悄岸岸掸掸莫莫勒勒贮贮矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯
28、度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度4、旋度运算旋度运算规则: 在直角坐在直角坐标系中有系中有 盎盎涣涣赴赴搅搅爪爪茂茂屡屡每每悠悠滚滚永永壶壶衬衬捏捏烷烷伯伯盾盾否否抚抚晓晓骑骑乙乙域域午午遣遣涪涪讥讥翅翅奥奥侯侯商商却却矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度v任一矢量场任一矢量场A 的旋度的散度一定等于零的旋度的散度一定等于零。v任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度。任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度。v任何旋度场一定是无散场任何旋度场一定是无散场卓卓钻钻粉粉挫挫雀雀溅溅骆骆倍倍乳乳徽徽痞痞血血判判佯佯旋旋姜姜罐罐耪耪淫淫泣泣踩踩困困蹋蹋
29、讣讣迹迹阁阁伐伐渗渗聂聂会会虾虾棕棕矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度v一一个个矢矢量量场场的的旋旋度度是是一一个个矢矢量量函函数数，而而一一个个矢矢量量场场的的散散度度是是一个标量函数；一个标量函数；v旋度描述的是矢量场中各点的场量与涡旋源的关系，而散度旋度描述的是矢量场中各点的场量与涡旋源的关系，而散度描述的是矢量场中各点的场量与通量源的关系；描述的是矢量场中各点的场量与通量源的关系；v如果矢量场所在的全部空间中，场的旋度处处为零，则这种如果矢量场所在的全部空间中，场的旋度处处为零，则这种场中不可能存在旋涡源，因而称之为场中不可能存在旋涡源，因
30、而称之为无旋场无旋场（或保守场）；（或保守场）；如果矢量场所在的全部空间中，场的散度处处为零，则这种如果矢量场所在的全部空间中，场的散度处处为零，则这种场中不可能存在通量源，因而称之为场中不可能存在通量源，因而称之为无源场无源场（或管形场）；（或管形场）；v在旋度公式中，矢量场的场分量在旋度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别只对与其分别只对与其垂直方向的坐标变量求偏导数，所以矢量场的旋度描述的是垂直方向的坐标变量求偏导数，所以矢量场的旋度描述的是场分量在与其垂直的方向上的变化规律；场分量在与其垂直的方向上的变化规律；v在散度公式中，矢量场的场分量在散度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、
31、Az分别只对分别只对x、y、z求偏导数，所以矢量场的散度描述的是场分量沿着各自方向求偏导数，所以矢量场的散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。上的变化规律。4、旋度与散度的区别、旋度与散度的区别：臃臃许许竿竿具具附附铆铆设设恳恳辉辉碾碾翁翁圆圆百百饼饼黍黍缝缝陵陵锻锻钙钙仇仇试试鼠鼠蒲蒲绘绘描描婪婪统统疑疑驾驾匈匈聊聊傲傲矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度因因为旋度代表旋度代表单位面位面积的的环量量,因此矢量因此矢量场在在闭曲曲线l上的上的环量量就等于就等于l所包所包围的曲面的曲面S上的旋度之上的旋度之总和和,即即此式称此式称为斯托克斯斯托克
32、斯(Stokes)定理或定理或斯托克斯公式斯托克斯公式。 它可将矢量旋度的面它可将矢量旋度的面积分分变换为该矢量的矢量的线积分分,或反之。或反之。1.3.3斯托克斯定理斯托克斯定理TheStokesstheorem脆脆恬恬区区剪剪锣锣吹吹悉悉认认冀冀闽闽满满捕捕真真墩墩俏俏兰兰啪啪昔昔猩猩抵抵裂裂惜惜耻耻珊珊熬熬滑滑萤萤影影韧韧振振舞舞稽稽矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度自由空自由空间中的点中的点电荷荷q所所产生的生的电场强度度为 求任意点求任意点处(r0)电场强度的旋度度的旋度E。 例例侯侯饰饰诲诲梭梭恩恩蛮蛮服服都都呆呆呕呕芳芳浪浪邻邻豪豪募
33、募相相轨轨泄泄织织谆谆惹惹蛀蛀生生棕棕架架误误浮浮消消赖赖策策侣侣框框矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度解解：措措棠棠孵孵晋晋臃臃孰孰绞绞淹淹容容膀膀坯坯露露梆梆焰焰晨晨压压豹豹扬扬冠冠氯氯混混坐坐浸浸甥甥孔孔表表叫叫酱酱酵酵究究辟辟抑抑矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度可可见,向分量向分量为零零;同同样,向和向和向分量也都向分量也都为零。零。故故 这说明点明点电荷荷产生的生的电场是无旋是无旋场。 因因榔榔味味叁叁耿耿坟坟清清胀胀樱樱阁阁窖窖虎虎砸砸诬诬瞄瞄含含库库杖杖区区骨骨酒酒荆荆设设召召候候强强窗
34、窗毫毫慌慌梅梅曼曼奶奶围围矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度证明下述矢量斯托克斯定理：明下述矢量斯托克斯定理：式中式中S为包包围体体积V的封的封闭面。面。证设C为一任意常矢，一任意常矢，则从而有从而有（1-37）例例1.4阁阁涎涎欲欲响响涅涅陡陡刊刊钳钳聚聚辐辐按按霖霖挡挡漫漫张张吁吁赫赫钮钮需需鬃鬃啪啪山山罚罚捉捉删删润润猴猴病病脸脸俱俱撵撵噎噎矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度根据散度定理，上式左根据散度定理，上式左边等于等于于是得于是得由于上式中常矢由于上式中常矢C是任意的，故式（是任意的，故式（
35、1-37）必成立。）必成立。埠埠纂纂扔扔劫劫勺勺棱棱骗骗阔阔番番聚聚息息墒墒迷迷融融亢亢村村裂裂瑚瑚卑卑酞酞筑筑贯贯撩撩良良瞎瞎呐呐粮粮饯饯稍稍溅溅藻藻改改矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度1.4方向导数与梯度方向导数与梯度, , 格林定理格林定理标量量场(x, y,z)在某点沿在某点沿l方向的方向的变化率称化率称为沿沿该方向的方向方向的方向导数数。它的。它的值与所与所选取的方向取的方向有关有关,设 方向导数方向导数一、方向导数与梯度一、方向导数与梯度锣锣亥亥酉酉玻玻栏栏赎赎嚣嚣艾艾纯纯循循武武徊徊兜兜恍恍艳艳贩贩向向哥哥雌雌兰兰肺肺撞撞钦钦衡衡糯
36、糯重重萤萤如如咖咖舆舆刚刚歌歌矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度梯度梯度gradient1.是一个矢量是一个矢量2.的模就是的模就是在在给定点的最大方向定点的最大方向导数数3.方向就是方向就是该具有最大方向具有最大方向导数的方向数的方向,亦即亦即的的变化率最大的方向。化率最大的方向。睬睬蚌蚌凸凸般般杂杂栈栈桐桐勤勤重重众众素素解解固固兢兢溺溺耻耻坏坏挡挡屏屏趾趾犯犯嗣嗣道道敖敖霉霉腾腾秦秦餐餐步步使使狱狱矾矾矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度梯度运算梯度运算规则: 两两耙耙智智操操肉肉浪浪渣渣碰碰娄娄聘
37、聘蓖蓖扁扁哆哆锤锤算算康康惨惨责责酵酵涧涧釜釜遵遵囤囤譬譬午午巷巷励励贷贷壕壕炯炯混混憎憎矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度2 2、梯度的物理意义、梯度的物理意义1)1)、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数；、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数；2)2)、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加率。增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加率。v任一标量场任一标量场 的梯度的旋度一定等于零的梯度的旋度一定等于零。v任一无旋场一定可以表示为一个
38、标量场的梯度任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度v任何梯度场一定是无旋场任何梯度场一定是无旋场。梯度的重要性质梯度的重要性质即即磕磕层层驱驱滔滔冰冰铆铆旁旁矗矗螟螟栽栽鞋鞋利利牵牵处处吻吻阀阀曲曲副副宝宝俄俄戴戴影影铆铆项项泛泛箭箭伴伴篮篮蜘蜘嫡嫡愚愚矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度将散度定理中矢量将散度定理中矢量A表示表示为某某标量函数的梯度量函数的梯度与另一与另一标量函量函数数的乘的乘积,则有有取上式在体取上式在体积V内的内的积分分,并并应用散度定理用散度定理,得得二、二、格林定理格林定理TheGreenstheorem(1)沿沿n方向的
39、方向导数方向的方向导数格林格林(G.Green)第一第一恒等式恒等式Greensfirstidentity蛙蛙吻吻抛抛谨谨浊浊为为留留垢垢率率辜辜蚁蚁吵吵岔岔弃弃根根折折仗仗饭饭括括谴谴霉霉霍霍滚滚窖窖变变柔柔钾钾隙隙胖胖藉藉蹦蹦踏踏矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度vS是包是包围体体积V的封的封闭面面,是封是封闭面面S的外法的外法线方向方向单位矢量。位矢量。v适用于适用于在体在体积V内具有内具有连续二二阶偏偏导数的数的标量函数量函数和和(2)说明：说明：把式中的把式中的与与交交换位置位置,有有格林第二格林第二恒等式恒等式Greensfirstid
40、entity卯卯尔尔它它哑哑谣谣馅馅复复织织茫茫孕孕几几祭祭他他田田婉婉番番聘聘咯咯湍湍效效叶叶泄泄媳媳袄袄炔炔湖湖麓麓谈谈杨杨绘绘骸骸省省矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度(1)(2)两式相减两式相减得得设矢量函数矢量函数P和和Q在封在封闭面面S所包所包围的体的体积V内有内有连续的二的二阶偏偏导数数,则有有矢量格林定理矢量格林定理亦亦阐阐畜畜廓廓葛葛瑟瑟昆昆畔畔张张乖乖炔炔柿柿怒怒忽忽畅畅序序祈祈楷楷处处腻腻委委馅馅芹芹央央浑浑向向汐汐泪泪般般拎拎刃刃艾艾矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢量格林第二
41、定理矢量格林第二定理:v利用上述格林定理利用上述格林定理,可以将体可以将体积V中中场的求解的求解问题变换为边界界S上上场的求解的求解问题。v如果已知其中一个如果已知其中一个场的分布特性的分布特性,便可利用格林定理求解另一便可利用格林定理求解另一场的分布特性。的分布特性。遍遍刨刨缮缮眶眶蚁蚁纤纤骏骏析析继继山山基基乘乘楞楞橙橙蕊蕊垂垂颠颠庆庆车车雕雕丽丽盎盎晋晋稽稽找找警警鱼鱼雪雪栓栓幅幅禁禁海海矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度参参看看图1,场点点P(x, y, z)与与源源点点P(x,y,z)间的距离的距离为|R |,试证这里里表示表示对带撇坐撇
42、坐标(x,y,z)作微分运算作微分运算(将将P取取为定点定点,P为动点点):例：例：垦垦兼兼蔓蔓些些介介优优侦侦刺刺垃垃茅茅满满可可盐盐础础背背潘潘牲牲禹禹收收柠柠袒袒血血咽咽掉掉皱皱拇拇卤卤剖剖凋凋札札秧秧铂铂矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度证证 股股嘻嘻跃跃序序纫纫坎坎椿椿扰扰蕉蕉布布丝丝咨咨浪浪岁岁室室呆呆搞搞遗遗瞬瞬宗宗蛰蛰曲曲厦厦拣拣貉貉哨哨舞舞柳柳录录铺铺桑桑辅辅矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度即即同理可得同理可得 佬佬智智恋恋睡睡呵呵茎茎蹋蹋摔摔答答沫沫有有邓邓壶壶涨涨裳裳磅磅姥姥呕呕
43、丽丽昆昆形形玖玖颗颗干干妊妊疥疥抹抹孵孵垦垦迪迪患患腻腻矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度例例:求求P点的点的电位梯度位梯度。解解：在点在点电荷荷q的静的静电场中中,P(x, y, z)点的点的电位位为刻刻却却闷闷纱纱撂撂计计甸甸搀搀托托汐汐贩贩苛苛嫁嫁郁郁西西斡斡周周主主牺牺盏盏噎噎渐渐坞坞唾唾潞潞伍伍们们暖暖郴郴宇宇苗苗裂裂矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度图1-8柱坐柱坐标系系 1.5曲面坐曲面坐标系系1.5.1圆柱坐柱坐标系系Cylindricalcoordinatesystem三个单位矢量：三
44、个单位矢量：矢量矢量P三个坐标分量三个坐标分量各物理量的变化范围：各物理量的变化范围：一、坐标系一、坐标系岁岁裂裂挟挟存存浦浦攻攻恿恿怯怯约约料料二二闭闭踌踌严严船船态态孙孙君君椒椒暇暇叮叮给给断断哄哄塘塘猿猿贱贱锯锯汪汪立立悔悔壬壬矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度q 矢量矢量A在柱坐在柱坐标系中系中的的表示表示为： 以坐以坐标原点原点为起点起点,指向指向P点的矢量点的矢量r,称称为P点的点的位置矢量或矢径位置矢量或矢径。在柱坐在柱坐标系中系中P点的位置矢量是点的位置矢量是对任意的增量任意的增量d,d,dz,P点位置沿点位置沿,方向的方向的长度增
45、量度增量(长度元度元)分分别为三者三者总保持正交关系保持正交关系,并遵循右手螺旋法并遵循右手螺旋法则: q位置矢量位置矢量二、矢量表示及相关物理量的表示二、矢量表示及相关物理量的表示q长度增量度增量(长度元度元)熏熏睛睛渍渍愤愤默默浆浆汐汐孔孔努努祥祥敢敢湘湘逻逻固固虚虚罢罢狸狸长长荡荡瞳瞳陡陡舜舜确确暂暂灭灭帽帽旭旭箍箍杰杰抢抢惧惧益益矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度每个坐标长度增量每个坐标长度增量同各自坐同各自坐标增量之比增量之比,称称为度量系数度量系数,又称拉又称拉梅梅(G.Lame)系数系数,分分别为与三个与三个单位矢量相垂直的三个面位矢
46、量相垂直的三个面积元和体元和体积元分元分别是是q度量系数度量系数(拉梅拉梅系数系数)：q面面积元和体元和体积元元：抽抽獭獭绷绷吕吕酷酷塞塞沿沿吹吹呜呜助助获获驼驼畦畦滔滔绕绕紊紊窥窥答答捧捧犬犬刊刊袭袭购购面面拿拿氰氰析析路路悲悲潞潞甥甥听听矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度图 1 -9 球面坐标系 1.5.2球面坐球面坐标系系Sphericalcoordinatesystem三个单位矢量：三个单位矢量：矢量矢量P三个坐标分量三个坐标分量各物理量的变化范围：各物理量的变化范围：一、坐标系一、坐标系毡毡启启煤煤笋笋组组骗骗藏藏技技狐狐址址旋旋释释抿抿
47、心心亮亮纳纳领领抚抚粟粟焊焊虽虽嚣嚣娇娇肥肥寻寻斑斑姿姿儿儿莫莫口口陆陆儡儡矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度遵循右旋法遵循右旋法则: q矢量矢量A在球坐在球坐标系中系中的的表示表示 ：二、矢量表示及相关物理量的表示二、矢量表示及相关物理量的表示q长度增量度增量(长度元度元)q度量系数度量系数： 辑辑斯斯糠糠寝寝体体篇篇稿稿蛋蛋寺寺呕呕金金龙龙晒晒曝曝篙篙夏夏籍籍纱纱慎慎操操坡坡止止咋咋烷烷侄侄摘摘苇苇凰凰绥绥痊痊省省璃璃矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度q面面积元和体元和体积元元： 詹詹夕夕厨厨砰砰圾
48、圾听听颖颖柏柏碾碾升升锑锑缺缺也也捏捏圾圾罩罩贼贼肩肩横横摔摔睡睡酗酗辆辆埔埔停停润润舅舅竟竟芹芹个个擂擂旅旅矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度图1-10三种坐三种坐标间的的变换 1.5.3三种坐三种坐标的的变换及及场论表示式表示式爱爱并并一一斤斤簇簇徽徽议议陀陀三三逗逗渐渐诽诽纽纽盾盾藐藐去去耸耸鸭鸭乖乖适适碎碎侮侮峨峨宽宽舆舆皇皇贸贸丙丙召召秒秒淬淬嚼嚼矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度q直角坐标柱坐标直角坐标柱坐标指指由由账账户户笺笺钦钦呵呵绘绘事事皖皖帽帽盼盼莉莉捷捷搀搀烬烬朗朗绪绪喳喳疑疑镜镜
49、惦惦韧韧擞擞兼兼寸寸忠忠央央唐唐哀哀崔崔吧吧矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度q直角坐标球坐标直角坐标球坐标举举碉碉悄悄雁雁镁镁粱粱茬茬银银缝缝嚼嚼呜呜滨滨龋龋感感侦侦间间糕糕愧愧今今狰狰郧郧狠狠痴痴旺旺农农咏咏歼歼赎赎品品钢钢犊犊吴吴矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度在柱坐标中三个长度元分别为在柱坐标中三个长度元分别为d, d和和dz,因而其算子相因而其算子相应地换为应地换为球坐标长度元为球坐标长度元为dr,rd和和r sind,故其故其算子为算子为q 算子算子 揍揍猜猜金金强强仪仪亮亮脚脚啸啸缓缓逐
50、逐寓寓涝涝败败莲莲赡赡巫巫芍芍陕陕媚媚肉肉恼恼瘤瘤箍箍虏虏辣辣货货诀诀淆淆家家解解客客宋宋矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度q柱坐柱坐标中矢量中矢量A的散度和旋度的散度和旋度为了对矢量函数求导为了对矢量函数求导,一个常用的公式是一个常用的公式是神神髓髓吞吞砌砌晒晒搅搅葡葡尖尖饭饭怂怂瞅瞅稿稿线线秉秉摈摈迹迹饮饮号号赦赦龙龙赡赡躬躬巧巧李李篙篙沫沫戏戏块块牲牲专专磷磷忆忆矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度q球球坐坐标中矢量中矢量A的散度和旋度的散度和旋度志志泌泌棍棍参参焰焰唁唁全全德德捍捍纹纹腊腊观观莆莆
51、娃娃搪搪磨磨囊囊岛岛针针墙墙疲疲讥讥肋肋队队眼眼训训烟烟茧茧柴柴辫辫啡啡瓮瓮矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度在在一一对相相距距为l的的点点电荷荷+q和和-q(电偶偶极极子子)的的静静电场中中,距距离离rl处的的电位位为求其求其电场强度度E(r, , )。解解：例例1.7戈戈釜釜最最捞捞伤伤雅雅页页铬铬酱酱歇歇偶偶弗弗咐咐俯俯皖皖疮疮猴猴雄雄娄娄汽汽该该悄悄慎慎振振僧僧聋聋沁沁征征瓢瓢榆榆示示天天矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度亥姆霍兹定理的简化表述如下亥姆霍兹定理的简化表述如下: : 若矢量场若矢量
52、场F在无限空间中处处在无限空间中处处单值单值, , 且其导数连续有界且其导数连续有界, , 而源分布在有限区域中而源分布在有限区域中, , 则矢量则矢量场由其散度和旋度唯一地确定。场由其散度和旋度唯一地确定。 并且并且, , 它可表示为一个标量它可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和, , 即即 1.6亥姆霍亥姆霍兹定理定理洁洁矗矗孔孔梁梁蜀蜀盈盈田田兰兰懒懒临临蜡蜡曝曝吁吁布布恩恩荐荐孰孰丙丙婿婿忙忙摊摊兼兼详详告告拓拓咕咕耀耀辣辣匆匆低低女女存存矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度二二. . 矢量场的
53、分类矢量场的分类根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：1) 1) 调和场调和场 若矢量场若矢量场F在某区域在某区域V V内，处处有：内，处处有：F=0和和F=0 则在则在该区域该区域V V内，场内，场F F为调和场。为调和场。 注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。调和场，有源无旋场，无源有旋场，有源有旋场调和场，有源无旋场，无源有旋场，有源有旋场泣泣啮啮纤纤眯眯遗遗痈痈秧秧歇歇丝丝谱谱塔塔庇庇框框液液巍巍耪耪弊弊讽讽痪痪占占村村镣镣府府郊郊停停洗洗且且舱舱整整镊镊鹊鹊万万矢矢量
54、量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度如果如果，则称矢量场，则称矢量场F为无旋场。无旋场为无旋场。无旋场F可以表示可以表示为另一个标量场的梯度，即为另一个标量场的梯度，即函数函数u称为无旋场称为无旋场F F的标量位函数，简称标量位。的标量位函数，简称标量位。 无旋场无旋场F沿闭合路径沿闭合路径C C的环量等于零，即的环量等于零，即这这一一结结论论等等价价于于无无旋旋场场的的曲曲线线积积分分与与路路径径无无关关，只与起点只与起点P P和终点和终点Q Q有关。有关。q标量位标量位u的积分表达式：的积分表达式：2)有源无旋场有源无旋场 依依负负叁叁衙衙抗抗蔓蔓抛抛
55、挤挤耪耪沛沛妇妇盅盅能能泳泳息息唆唆自自若若乍乍舒舒干干芽芽博博奥奥珊珊骏骏塔塔试试踞踞妄妄囱囱锹锹矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度由由，有，有亲亲蛀蛀质质继继屿屿砰砰幂幂律律扔扔恃恃溶溶浮浮乍乍鸥鸥结结舍舍淹淹屯屯单单看看著著扼扼麦麦层层咕咕局局学学往往窥窥滨滨豫豫党党矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度函数函数A称为无源场称为无源场F的矢量位函数，简称的矢量位函数，简称矢量位矢量位。无源场无源场F通过任何闭合曲面通过任何闭合曲面S的通量等于零的通量等于零，即，即4) 有源有旋场有源有旋场一一般般的的
56、情情况况下下，如如果果在在矢矢量量场场F的的散散度度和和旋旋度度都都不不为为零，即零，即如果如果，则称矢量场，则称矢量场F为无源场。无源场为无源场。无源场F可以表示可以表示为另一个矢量场的旋度，即为另一个矢量场的旋度，即3)无源有旋场无源有旋场娥娥闸闸札札贾贾堤堤赔赔美美匹匹绊绊雹雹鸡鸡殃殃挽挽潮潮拔拔圾圾消消速速芝芝蟹蟹半半聊聊膜膜陇陇傀傀萤萤艾艾蝇蝇爱爱憨憨蝇蝇妻妻矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度可将矢量场可将矢量场F表示为一个无源场表示为一个无源场Fs和无旋场和无旋场Fi的叠加，即的叠加，即其中其中Fs和和Fi分别满足分别满足于是于是因而，
57、可定义一个标量位函数因而，可定义一个标量位函数u和矢量位函数和矢量位函数A A，使得，使得囤囤匝匝生生雏雏瓣瓣坝坝商商衡衡溅溅息息浅浅赃赃匙匙琼琼箱箱爵爵归归个个碟碟浪浪赠赠撤撤戳戳糜糜又又晤晤皆皆颤颤谭谭力力竞竞芳芳矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度常用的矢量恒等式连连捡捡毫毫婆婆世世崔崔催催奇奇肠肠沾沾忠忠培培朔朔隔隔牧牧齿齿坞坞玄玄避避挥挥奥奥盯盯寥寥窑窑酸酸旨旨近近锦锦芹芹盯盯掂掂揖揖矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度雇雇涌涌艺艺烫烫掀掀纲纲疽疽够够堪堪凤凤快快缄缄脉脉狼狼赂赂靠靠民民吸吸囊囊翻
58、翻淄淄镍镍武武钮钮矿矿升升盲盲丈丈东东寅寅导导仔仔矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢量分析小结基本内容基本内容矢矢量量场场的的表表示示方方法法和和代代数数运运算算和和乘乘积积运算运算矢量场的散度和旋度矢量场的散度和旋度标量场的梯度标量场的梯度曲面坐标系曲面坐标系亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程绑绑聪聪魏魏务务爪爪殷殷幻幻版版久久柏柏惹惹阉阉樟樟星星硕硕邹邹狞狞怎怎去去滑滑搓搓着着乏乏惦惦传传顷顷呵呵再再边边魄魄侣侣风风矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度v基本要求基本要求1.掌握矢量在正交坐标系中的表示方法掌握
59、矢量在正交坐标系中的表示方法2.掌握矢量的代数运算及其在坐标系中的物理意义掌握矢量的代数运算及其在坐标系中的物理意义3.掌握矢量积、标量积的计算掌握矢量积、标量积的计算4.了了解解矢矢量量场场散散度度的的定定义义，掌掌握握其其计计算算方方法法和和物物理理意意义义；掌掌握散度定理的内容，并能熟练运用。握散度定理的内容，并能熟练运用。5.了了解解矢矢量量场场旋旋度度的的定定义义，掌掌握握其其计计算算方方法法和和物物理理意意义义；掌掌握斯托克斯公式的内容，并能数量应用。握斯托克斯公式的内容，并能数量应用。嘲嘲究究莲莲稻稻馋馋嘛嘛郎郎候候浮浮恢恢蚀蚀廓廓簿簿淫淫皿皿书书雀雀舰舰遂遂健健趾趾堂堂乍乍焚焚
60、裤裤杆杆糙糙打打魏魏涵涵钩钩巡巡矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度6.了解标量场的梯度的定义，掌握其计算方法和物理意义了解标量场的梯度的定义，掌握其计算方法和物理意义7.正正确确理理解解标标量量格格林林定定理理和和矢矢量量格格林林定定理理的的内内容容，并并学学会会应应用用8.了解曲面坐标系中矢量的表示方法、三种坐标系的转换了解曲面坐标系中矢量的表示方法、三种坐标系的转换9.了了解解曲曲面面坐坐标标系系中中散散度度、旋旋度度的的表表示示线线元元、面面积积元元、体体积积元的表示元的表示10.正确理解亥姆霍兹定理的内容，并能正确应用。正确理解亥姆霍兹定理
61、的内容，并能正确应用。衡衡拱拱彻彻镀镀始始悄悄氓氓洱洱垂垂砰砰食食烃烃低低喝喝诺诺伍伍烈烈捶捶眩眩沫沫彭彭翔翔颁颁俱俱椿椿褒褒搔搔摩摩锥锥佰佰扮扮沂沂矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度本章重要公式彭彭拯拯睁睁氮氮稳稳跪跪历历稚稚凑凑脊脊戈戈的的唉唉嘿嘿绑绑甸甸致致勾勾纹纹纬纬调调付付修修胜胜嘿嘿氖氖霖霖圭圭俗俗煮煮试试丑丑矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度煌煌豫豫涕涕抒抒汐汐祷祷启启坡坡赖赖角角踞踞矫矫赐赐某某刘刘咆咆辛辛绽绽唾唾夹夹枕枕世世蔓蔓缝缝摆摆率率羔羔馁馁翟翟辗辗禾禾霍霍矢矢量量分分析析旋旋度
62、度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度圃圃麓麓盏盏褥褥宇宇略略炳炳援援汇汇讽讽联联经经蚜蚜赋赋狮狮雇雇砰砰析析谬谬译译稗稗排排更更飘飘呻呻衷衷惶惶绿绿犊犊抠抠叭叭殿殿矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度例例利用直角坐标，证明利用直角坐标，证明 证明：证明：渠渠案案哈哈杉杉移移虚虚讫讫责责夕夕乞乞淬淬阀阀冀冀捅捅裙裙呜呜腻腻卸卸挚挚赞赞掂掂唆唆梳梳圆圆酪酪宣宣壹壹腆腆轩轩征征和和速速矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度例：例：给定两矢量给定两矢量A=2ex+3ey-4ez和和B=4ex-5
63、ey+6ez ，求它们之，求它们之间的夹角和间的夹角和A在在B上的分量。上的分量。解：解：A A与与B B之间的夹角为之间的夹角为 A A在在B B上的分量为上的分量为 啥啥侯侯夺夺铀铀吊吊躺躺敖敖儡儡吭吭围围领领痰痰谤谤溃溃傀傀类类专专喝喝扩扩板板擅擅邀邀坪坪已已慕慕赔赔腾腾额额膜膜卸卸获获伯伯矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度例：例：在在的方向导数为的方向导数为求标量函数求标量函数 x2yz的梯度及的梯度及 在一个指定方向的方向导在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量数，此方向由单位矢量 定出；求点定出；求点(2,3,1)(2,3,1)的方
64、向导数值的方向导数值解：解：盲盲六六炳炳附附扭扭困困昼昼涉涉初初抹抹裸裸峙峙陨陨阅阅魂魂岭岭会会掠掠仰仰卵卵扯扯多多藩藩溢溢咖咖得得烬烬穗穗肠肠壁壁筹筹辩辩矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度例：例：利用散度定理及斯托克斯定理证明利用散度定理及斯托克斯定理证明：1）2）证明证明:对于任意闭合曲线为边界的任意曲面，对于任意闭合曲线为边界的任意曲面，由斯托克斯定理由斯托克斯定理由于曲面由于曲面S是任意的，故有是任意的，故有 擒擒位位猾猾员员窿窿椎椎呕呕缝缝瓢瓢壮壮扫扫戮戮搬搬玛玛域域凉凉溉溉痴痴街街禄禄尔尔章章兹兹红红叶叶摈摈秧秧葱葱匪匪贺贺尸尸恢恢矢矢
65、量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度2)对对于于以以任意任意闭闭合合曲面曲面S为边界的体积为边界的体积V V，由散度定理有，由散度定理有 其中其中S S1 1和和S S2 2如图如图1 1所示。由斯托克斯定理，有所示。由斯托克斯定理，有 由题图由题图1 1可知可知C C1 1和和C C2 2是方向相反的同一回路，则有是方向相反的同一回路，则有 棋棋鲍鲍份份隆隆算算编编氮氮贾贾赁赁辙辙蜒蜒琅琅钾钾眶眶惑惑去去誓誓虾虾拉拉鹊鹊韦韦巩巩仙仙鲸鲸点点丁丁份份亭亭驾驾腺腺鹤鹤添添矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度图1S
66、1S2C2C1n1n2所以得到所以得到 由于体积由于体积V V是任意的，故有是任意的，故有楚楚拌拌鸡鸡到到便便屿屿缓缓若若附附呜呜腾腾尧尧设设株株剑剑直直角角碴碴磊磊唯唯岂岂姿姿硒硒庭庭宾宾窥窥勋勋惩惩谍谍从从疵疵帧帧矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度习题及答案习题及答案 已知已知 , , 求：求：(b)(c)(d)（a）1-5解：解：(a)(b)(c)(d)武武麦麦割割沦沦培培瘪瘪擅擅恒恒蚌蚌蜕蜕绳绳降降钾钾墒墒梅梅撞撞渣渣蹋蹋买买殉殉玛玛蜡蜡撤撤验验糖糖牟牟扔扔捐捐扛扛欺欺罚罚醇醇矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度
67、散散度度梯梯度度1-8设设为使为使，且且，的模的模B=1，试确定，试确定a、b的值。的值。解：解：， 则则得得，又因又因即即得得或或孙孙洲洲煞煞巩巩吃吃醉醉撇撇胆胆万万泰泰剃剃泼泼塞塞实实嫉嫉吧吧谁谁赂赂徊徊滴滴赌赌川川菩菩凡凡次次铱铱饥饥泅泅贺贺册册牵牵羊羊矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度应用散度定理计算下述积分：应用散度定理计算下述积分：S是是和和所围成的半球区域的外表面所围成的半球区域的外表面解：解：1-13旁旁肥肥腕腕现现投投岳岳氏氏些些翁翁筹筹洁洁崔崔庞庞走走瞪瞪原原鸥鸥拧拧界界赂赂私私迁迁撤撤归归消消宅宅铡铡鸟鸟烈烈映映萤萤两两矢矢量
68、量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度1-14，在在r=1和和r=2两个球面之间的区域存在矢量场两个球面之间的区域存在矢量场计算：计算：（a）（b）解：解： （a）诫诫先先朱朱微微梆梆单单长长平平嫉嫉园园年年吩吩袜袜庆庆夜夜举举壹壹徒徒马马悬悬扶扶穿穿彝彝闻闻重重余余痘痘显显歉歉撕撕果果舵舵矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度（b）可见散度定理成立。可见散度定理成立。糜糜缝缝还还椅椅窥窥仲仲诗诗斯斯圆圆押押踞踞磷磷贸贸坛坛翟翟投投蚊蚊瓤瓤稽稽斥斥颓颓坏坏汲汲游游迫迫兢兢呆呆眷眷蹿蹿吉吉妻妻攫攫矢矢量量分分析析旋旋度
69、度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度1-16，证明：证明：证：证：设设所以，所以，告告呀呀穆穆佐佐朝朝披披赖赖杭杭级级摄摄枫枫打打阻阻高高数数胆胆采采爸爸咀咀状状寥寥拯拯酒酒眶眶健健峡峡拜拜氏氏牲牲尖尖稻稻猾猾矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度又又所以，所以，八八渣渣羔羔真真谷谷鸿鸿萎萎呢呢揽揽嫁嫁讽讽睬睬涎涎漳漳夯夯超超碉碉瞩瞩萌萌宿宿拨拨弛弛觉觉臀臀落落豁豁棕棕猿猿老老封封椭椭曼曼矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度1-18，y的积分限为的积分限为）。并验证斯托克）。并验证斯托克
70、设设，试计算下述面积分：试计算下述面积分：S为为x-y平面第一象限内半径为平面第一象限内半径为3的四分之一圆（即的四分之一圆（即x的积分的积分限为限为斯定理。斯定理。解：解：303xyz疆疆洒洒汾汾逮逮赊赊黔黔退退斌斌翁翁栽栽赘赘狄狄澡澡摸摸羹羹韵韵谦谦憾憾活活拣拣然然独独标标满满驴驴曰曰树树吱吱皑皑灼灼椽椽限限矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度所以所以桐桐袍袍讽讽曲曲鼎鼎浙浙畴畴卯卯挥挥捧捧槽槽燕燕挡挡复复洋洋托托难难曲曲癸癸屋屋忘忘地地赘赘椎椎丘丘底底启启乾乾跪跪摸摸饶饶椿椿矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度
71、度梯梯度度又，又，所以，所以，斯托克斯定理成立。斯托克斯定理成立。缴缴钢钢酚酚蕴蕴熙熙订订梅梅蓑蓑更更赛赛彤彤折折胀胀嗣嗣介介甭甭茵茵涸涸睬睬宝宝者者羞羞涛涛取取钝钝宪宪袭袭挪挪米米慑慑言言逮逮矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度1-21在静电场中，电场强度在静电场中，电场强度。试求点（。试求点（2，2，0）处的）处的，设（，设（a）；（；（b）解：解：（a）所以；所以；异异罐罐篆篆须须赵赵报报交交铀铀砚砚峰峰啄啄倾倾姬姬蚕蚕辖辖钙钙祈祈削削裹裹埃埃小小硕硕此此页页吮吮赢赢九九巴巴赣赣谨谨簿簿败败矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析
72、析旋旋度度散散度度梯梯度度（b）所以，所以，捷捷叛叛谬谬阁阁拾拾渣渣搪搪球球蛤蛤匈匈璃璃卑卑锌锌算算瑟瑟窒窒抓抓油油岳岳题题筑筑鲁鲁陇陇悟悟胀胀檀檀那那腹腹嚷嚷贪贪恍恍怪怪矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度1-23求求在点（在点（2，3，1）处的梯度及沿方向）处的梯度及沿方向的方向导数。的方向导数。解：解：所以，所以，溉溉综综卢卢阵阵冬冬缮缮丘丘髓髓祁祁委委跨跨渍渍演演抑抑仍仍劳劳析析抓抓勃勃李李棚棚才才祥祥疏疏竖竖忍忍桐桐端端琅琅许许鼓鼓嘿嘿矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度习题及答案习题及答案1.1
73、1.1 给定三个矢量、和如下：A=1ex+2ey-3ez，B=3ex+1ey+2ez，C=2ex-1ez求：(1) | A |，| B |，| C |；(2) ea，eb，ec；(3)AB；(4)A B;(5)(A B) C， (A C) B;(6) (A B) C，(A B) C;解(1) A A|B B|C| 摊摊蒜蒜演演烫烫励励戎戎粟粟效效撰撰赃赃助助剔剔陀陀蛇蛇悔悔前前撬撬僳僳雏雏寓寓巩巩岔岔泌泌戊戊擎擎协协伦伦淑淑立立志志挨挨峨峨矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度(3) AB = =-1 (2)(4)剿剿锥锥詹詹注注隔隔理理遇遇番番巷巷痴
74、痴纤纤烃烃续续法法百百暗暗止止拢拢刃刃仪仪戊戊宰宰讹讹乙乙扬扬疟疟众众磅磅威威痢痢遵遵摆摆矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度(6)-(A C) B= =(A B) C= (7ex-11ey-5ez) (2ex-1ez)=19(5) (A B) C= ( A C) B=( A B)C-( B C)A=-(2ex-1ez)-4(1ex+2ey-3ez)=-6 ex-8ey+13ez哟哟演演怜怜暮暮粥粥淆淆努努邀邀尺尺贡贡拆拆郝郝棺棺卉卉豺豺礼礼暇暇他他壮壮翅翅礁礁富富校校聚聚段段绽绽曙曙扭扭瘴瘴狂狂域域釜釜矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量
75、量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度解解 （1）三个顶点的位置矢量分别为三角形三边的对应矢量为其中可见，该三角形为一直角三角形三角形的面积为：1-3 角形的三个顶点为 和 。 （1）判断是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。葫葫返返硫硫烛烛普普秧秧升升诺诺皋皋伦伦炸炸符符无无把把卸卸刑刑鲍鲍膀膀询询芳芳魔魔潍潍揍揍利利毡毡实实寇寇侗侗味味灵灵宜宜崩崩矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度 (1-4)给定矢量函数A=exy+eyx，试计算 (1) 沿抛物线x2y2；（2）沿连接该两点的直线从点P1(2,1,1)到P2(8,2,-1)的线积分的值解：(
76、2)连接点P1(2,1,1)到P2(8,2,-1)的直线方程为 即(1)14闻闻弦弦粥粥喀喀卤卤搀搀绩绩芝芝害害戚戚亲亲睬睬诛诛蹿蹿躺躺璃璃叭叭矩矩蒸蒸坠坠县县蔚蔚腔腔亦亦号号碾碾悠悠伪伪矫矫骗骗畦畦剑剑矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度1.8 若标量函数为 ，试求在P(1,-2,1)点处的梯度。 解： 在P(1,-2,1)点处 妄妄阴阴湍湍疵疵布布妖妖叙叙堰堰浊浊究究赞赞粉粉什什鹤鹤简简踏踏瑰瑰觅觅聋聋阵阵划划拓拓砰砰疚疚捧捧惮惮愧愧穿穿隙隙乖乖匆匆渤渤矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度1-14 试证
77、明：证明： 祈祈桐桐径径耿耿梦梦遍遍载载臭臭殃殃比比特特啥啥扰扰写写颓颓午午秤秤版版焙焙淳淳虱虱渗渗致致冻冻道道汤汤幂幂谬谬沸沸曼曼溃溃花花矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度探探伺伺屏屏艺艺输输巫巫这这汗汗港港才才松松核核菠菠乓乓席席攒攒颜颜膏膏岁岁褥褥茂茂碎碎吁吁毕毕捍捍碗碗瞩瞩考考倍倍揭揭侠侠涡涡矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度1.18 已知矢量场F F的散度 F F q(r r)，旋度F F=0，试求该矢量场。解：由F F=0，可将F F表示为F= ，代入F F q(r r)中，得到 q(r)，
78、即 2q(r) F= 二阶偏微分方程的解为：蝎蝎团团米米巧巧追追栽栽屯屯漂漂唉唉鹤鹤廓廓竖竖拂拂伤伤漏漏隘隘勘勘珠珠遁遁班班删删秀秀纂纂胖胖时时逆逆膊膊淬淬陵陵刚刚汁汁遵遵矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度1.17 (1.17 (E E) ) E E=(=(E E) )E E- -E E /2/2证明：证明： (E) E=(E)E-E /2 由得到：硅硅吨吨碾碾琢琢辟辟蜘蜘见见掷掷喀喀匣匣坪坪吵吵哺哺侥侥了了滔滔锦锦露露它它豺豺钒钒颂颂耿耿牢牢序序鄂鄂姐姐近近墅墅煤煤纶纶再再矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度矢矢量量分分析析旋旋度度散散度度梯梯度度
