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1、第一篇第一篇 画法几何画法几何 第八章第八章 立体表面展开立体表面展开 第八章第八章 立体表面展开立体表面展开 立体表面可看作由若干小块平面组成，把表面沿立体表面可看作由若干小块平面组成，把表面沿立体表面可看作由若干小块平面组成，把表面沿立体表面可看作由若干小块平面组成，把表面沿适当位置裁开，按每小块平面的实际形状和大小，无适当位置裁开，按每小块平面的实际形状和大小，无适当位置裁开，按每小块平面的实际形状和大小，无适当位置裁开，按每小块平面的实际形状和大小，无褶皱地摊开在同一平面上，称为褶皱地摊开在同一平面上，称为褶皱地摊开在同一平面上，称为褶皱地摊开在同一平面上，称为立体表面展开立体表面展开
2、立体表面展开立体表面展开，展开，展开，展开，展开后所得的图形称为后所得的图形称为后所得的图形称为后所得的图形称为展开图展开图展开图展开图 。1第一篇第一篇 画法几何画法几何 第八章第八章 立体表面展开立体表面展开 第八章第八章 立体表面展开立体表面展开 立体表面立体表面立体表面立体表面分为可展和不可展两种分为可展和不可展两种分为可展和不可展两种分为可展和不可展两种。多面体的表面。多面体的表面。多面体的表面。多面体的表面都为可展。曲面体中只有柱面、锥面和切线面为可展都为可展。曲面体中只有柱面、锥面和切线面为可展都为可展。曲面体中只有柱面、锥面和切线面为可展都为可展。曲面体中只有柱面、锥面和切线面
3、为可展曲面，因为这些曲面上相邻素线平行或相交，可以构曲面，因为这些曲面上相邻素线平行或相交，可以构曲面，因为这些曲面上相邻素线平行或相交，可以构曲面，因为这些曲面上相邻素线平行或相交，可以构成小块平面。对于不可展曲面，工程实际中一般把它成小块平面。对于不可展曲面，工程实际中一般把它成小块平面。对于不可展曲面，工程实际中一般把它成小块平面。对于不可展曲面，工程实际中一般把它们近似为相应的可展曲面，进行近似展开。们近似为相应的可展曲面，进行近似展开。们近似为相应的可展曲面，进行近似展开。们近似为相应的可展曲面，进行近似展开。 2第一篇第一篇 画法几何画法几何 第八章第八章 立体表面展开立体表面展开
4、 81 多面体表面展开多面体表面展开 多面体的表面由若干多边形平多面体的表面由若干多边形平面组成。如图所示的料斗，上部有面组成。如图所示的料斗，上部有棱锥体表面，下部为棱柱体表面。棱锥体表面，下部为棱柱体表面。棱锥和棱柱的表面由矩形和梯形组棱锥和棱柱的表面由矩形和梯形组成。因此，要作出多面体表面的展成。因此，要作出多面体表面的展开图，只要作出属于多面体表面的开图，只要作出属于多面体表面的所有多边形的实形，并依次把它们所有多边形的实形，并依次把它们画在同一平面上。画在同一平面上。3第一篇第一篇 画法几何画法几何 第八章第八章 立体表面展开立体表面展开 81 多面体表面展开多面体表面展开棱柱棱柱w
5、棱棱棱棱柱柱柱柱的的的的各各各各棱棱棱棱线线线线互互互互相相相相平平平平行行行行，若若若若用用用用一一一一个个个个垂垂垂垂直直直直于于于于棱棱棱棱线线线线的的的的正正正正截截截截面面面面截截截截棱棱棱棱柱柱柱柱，则则则则沿沿沿沿截截截截交交交交线线线线展展展展开开开开后后后后，截截截截交交交交线线线线成成成成为为为为一一一一直直直直线线线线，且且且且展展展展开开开开后后后后的的的的各各各各棱棱棱棱线线线线垂垂垂垂直直直直于于于于该该该该直直直直线线线线。棱棱棱棱柱柱柱柱表表表表面面面面展展展展开开开开，一一一一般般般般利利利利用用用用这这这这种正截面方法进行。种正截面方法进行。种正截面方法进行
6、。种正截面方法进行。4第一篇第一篇 画法几何画法几何 第八章第八章 立体表面展开立体表面展开 81 多面体表面展开多面体表面展开例例81 已已已已知知知知料料料料斗斗斗斗下下下下部部部部出出出出料料料料管管管管的的的的投投投投影影影影图图图图，试试试试作作作作其其其其展展展展开图。开图。开图。开图。 将顶部正截面的截交线展开成一水平线 。可作出料管上部棱柱表面的展开图。 5第一篇第一篇 画法几何画法几何 第八章第八章 立体表面展开立体表面展开 81 多面体表面展开多面体表面展开例例81 已已已已知知知知料料料料斗斗斗斗下下下下部部部部出出出出料料料料管管管管的的的的投投投投影影影影图图图图，试
7、试试试作作作作其其其其展展展展开图。开图。开图。开图。 然后，过出料管边线AB作棱柱的正截面，在展开图中作水平线RBAKR，将其上各点正面投影中的长度量取到相应的竖直线上，连点，即得展开图。 6第一篇第一篇 画法几何画法几何 第八章第八章 立体表面展开立体表面展开 81 多面体表面展开多面体表面展开例例81 已已已已知知知知料料料料斗斗斗斗下下下下部部部部出出出出料料料料管管管管的的的的投投投投影影影影图图图图，试试试试作作作作其其其其展展展展开图。开图。开图。开图。 从展开作图可以看出，这样展开所得到的上、下两部分棱柱表面的展开图可以拼画在一起，从而可节省板料，而且上、下两部分连接处的展开折
8、线在安装时能准确地拼合。7第一篇第一篇 画法几何画法几何 第八章第八章 立体表面展开立体表面展开 81 多面体表面展开多面体表面展开棱锥棱锥 w棱棱棱棱椎椎椎椎的的的的侧侧侧侧表表表表面面面面都都都都是是是是三三三三角角角角形形形形，只只只只要要要要求求求求出出出出各各各各棱棱棱棱线线线线和和和和底底底底边边边边的的的的实实实实长长长长，依依依依次次次次画画画画出出出出各各各各棱棱棱棱面面面面（三三三三角角角角形）的实形，即为展开图。形）的实形，即为展开图。形）的实形，即为展开图。形）的实形，即为展开图。8第一篇第一篇 画法几何画法几何 第八章第八章 立体表面展开立体表面展开 81 多面体表面
9、展开多面体表面展开例例82 已已已已知知知知截截截截头头头头三三三三棱棱棱棱锥锥锥锥SABCSABC的的的的投投投投影影影影图图图图，截截截截交交交交线线线线为为为为DEFDEF，试作展开图。，试作展开图。，试作展开图。，试作展开图。 因为已知棱锥的底面为水平面，所以水平投影反映各条底边的实长。各棱边实长可以利用直角三角形法作得。依次拼画各棱面的实形在一起，即得截头三棱锥的展开图。9第一篇第一篇 画法几何画法几何 第八章第八章 立体表面展开立体表面展开 81 多面体表面展开多面体表面展开例例83 已知料斗进口的投影图，试作其展开图已知料斗进口的投影图，试作其展开图已知料斗进口的投影图，试作其展
10、开图已知料斗进口的投影图，试作其展开图 。 因为四棱台表面有两个互相垂直的对称面，因此，以对称线为基准进行展开，有利于作图。首先，作前、后两个长边棱面的实形。然后，作左、右两个短边棱面的实形，拼画在一起，从而可得四棱台四个棱面的展开图 。10第一篇第一篇 画法几何画法几何 第八章第八章 立体表面展开立体表面展开 82 可展曲面的展开可展曲面的展开 柱面柱面 w柱柱柱柱面面面面可可可可以以以以看看看看作作作作为为为为棱棱棱棱线线线线无无无无限限限限增增增增多多多多的的的的棱棱棱棱柱柱柱柱面面面面，因因因因而而而而其其其其展展展展开开开开方方方方法法法法与与与与棱棱棱棱柱柱柱柱面面面面类类类类似似
11、似似。这这这这里里里里主主主主要要要要讨论圆柱面的展开。讨论圆柱面的展开。讨论圆柱面的展开。讨论圆柱面的展开。11第一篇第一篇 画法几何画法几何 第八章第八章 立体表面展开立体表面展开 82 可展曲面的展开可展曲面的展开 例例84 已已已已知知知知直直直直径径径径为为为为d d的的的的截截截截头头头头圆圆圆圆柱柱柱柱的的的的投投投投影影影影图图图图，试试试试作圆柱面的展开图。作圆柱面的展开图。作圆柱面的展开图。作圆柱面的展开图。 柱底为水平面，且为柱的正截面。将柱底圆展开成一条水平线(长度为d)，将其与正面投影对齐。将柱底圆及其展开线作相同的等分，过各等分点作柱面素线的正面投影。用光滑曲线连接
12、各点，得到截交线的展开曲线。即得截头圆柱面的展开图。 12第一篇第一篇 画法几何画法几何 第八章第八章 立体表面展开立体表面展开 82 可展曲面的展开可展曲面的展开 例例85 已已已已知知知知由由由由四四四四节节节节圆圆圆圆柱柱柱柱面面面面管管管管节节节节组组组组成成成成的的的的直直直直角角角角弯弯弯弯管管管管的投影图，管径为的投影图，管径为的投影图，管径为的投影图，管径为d d，试作其展开图。，试作其展开图。，试作其展开图。，试作其展开图。 柱底弯管两端的管节和相同，中间的管节和相同，而且端部管节恰为中间管节的一半。如果把管节和分别绕它们各自的轴线旋转180，则可与管节和组成一个直圆柱面管，
13、这样，对于每一个管节都可以按例84截头圆柱面展开的方法作出展开图。13第一篇第一篇 画法几何画法几何 第八章第八章 立体表面展开立体表面展开 82 可展曲面的展开可展曲面的展开 例例85 已已已已知知知知由由由由四四四四节节节节圆圆圆圆柱柱柱柱面面面面管管管管节节节节组组组组成成成成的的的的直直直直角角角角弯弯弯弯管管管管的投影图，管径为的投影图，管径为的投影图，管径为的投影图，管径为d d，试作其展开图。，试作其展开图。，试作其展开图。，试作其展开图。各管节的展开图拼合成一个矩形，这样可以充分利用板料。14第一篇第一篇 画法几何画法几何 第八章第八章 立体表面展开立体表面展开 82 可展曲面
14、的展开可展曲面的展开 例例86 已已已已知知知知圆圆圆圆柱柱柱柱面面面面叉叉叉叉管管管管的的的的投投投投影影影影图图图图，主主主主管管管管直直直直径径径径为为为为D1D1，支管直径为，支管直径为，支管直径为，支管直径为d1d1，试作其展开图。，试作其展开图。，试作其展开图。，试作其展开图。首先，作叉管的相贯线，通过作支管圆柱面端部的辅助半圆，得出相贯线上的点。然后，作支管展开图。为了便于作图，将支管正截面（圆）展开成长度为d1的直线，使此直线位于支管端部底圆正面投影的延长线上，这样，就可按例84截头圆柱面展开的方法作出支管柱面展开图。15第一篇第一篇 画法几何画法几何 第八章第八章 立体表面展
15、开立体表面展开 82 可展曲面的展开可展曲面的展开 例例86 已已已已知知知知圆圆圆圆柱柱柱柱面面面面叉叉叉叉管管管管的的的的投投投投影影影影图图图图，主主主主管管管管直直直直径径径径为为为为D1D1，支管直径为，支管直径为，支管直径为，支管直径为d1d1，试作其展开图。，试作其展开图。，试作其展开图。，试作其展开图。最后，作主管展开图。为了便于作图，将主管正截面（底圆）展开成长度为D1的直线，使其位于主管底圆正面投影的延长线上。16第一篇第一篇 画法几何画法几何 第八章第八章 立体表面展开立体表面展开 82 可展曲面的展开可展曲面的展开 锥面锥面 w锥锥锥锥面面面面可可可可以以以以看看看看作
16、作作作为为为为棱棱棱棱线线线线无无无无限限限限增增增增多多多多的的的的棱棱棱棱锥锥锥锥面面面面，因因因因而而而而其其其其展展展展开开开开方方方方法法法法与与与与棱棱棱棱锥锥锥锥面面面面类类类类似似似似，采采采采用用用用三三三三角角角角形法。形法。形法。形法。17第一篇第一篇 画法几何画法几何 第八章第八章 立体表面展开立体表面展开 82 可展曲面的展开可展曲面的展开 例例87 已已已已知知知知截截截截头头头头圆圆圆圆锥锥锥锥的的的的投投投投影影影影图，试作其展开图。图，试作其展开图。图，试作其展开图。图，试作其展开图。 圆锥面上各素线长度相等，在正面投影中外形素线反映实长。锥底圆的水平投影反映
17、实形。 若圆锥没有被截断，则它的展开图为一扇形，扇形的半径L等于素线实长，扇形的弧长等于直径为D的底圆的周长。 对于截头圆锥，可通过截交线上点的正面投影作水平线，与外形素线交于各点，从而得到被截断的各素线实长。 18第一篇第一篇 画法几何画法几何 第八章第八章 立体表面展开立体表面展开 82 可展曲面的展开可展曲面的展开 例例87 已已已已知知知知截截截截头头头头圆圆圆圆锥锥锥锥的的的的投影图，试作其展开图。投影图，试作其展开图。投影图，试作其展开图。投影图，试作其展开图。 为了便于作图，本例使展开图中扇形的圆心与锥顶正面投影s重合。当然，也可将扇形的圆心布置在图中其他适当位置。 19第一篇第
18、一篇 画法几何画法几何 第八章第八章 立体表面展开立体表面展开 82 可展曲面的展开可展曲面的展开 例例88 已已已已知知知知斜斜斜斜圆圆圆圆台台台台的的的的投投投投影图，试作其表面展开图。影图，试作其表面展开图。影图，试作其表面展开图。影图，试作其表面展开图。 延长斜圆台的外形线得锥顶，可利用锥顶S作其展开图。锥底圆的水平投影反映实形，将其12等分，并作出锥面上的12条素线，利用直角三角形法作出各素线的实长。这样，斜圆锥面被分成12部分，每一部分作为一个三角形平面，依次作出斜圆锥面上各个三角形的实形，拼画在一起，便得到斜圆锥面的展开图。20第一篇第一篇 画法几何画法几何 第八章第八章 立体表
19、面展开立体表面展开 82 可展曲面的展开可展曲面的展开 例例88 已已已已知知知知斜斜斜斜圆圆圆圆台台台台的的的的投投投投影影影影图图图图，试试试试作作作作其其其其表表表表面面面面展开图。展开图。展开图。展开图。21第一篇第一篇 画法几何画法几何 第八章第八章 立体表面展开立体表面展开 82 可展曲面的展开可展曲面的展开 例例89 已已已已知知知知岔岔岔岔管管管管的的的的水水水水平平平平投投投投影影影影图图图图，主主主主管管管管为为为为圆圆圆圆柱柱柱柱面面面面，对对对对称称称称的的的的分分分分岔岔岔岔管管管管为为为为圆锥面。试作其展开图。圆锥面。试作其展开图。圆锥面。试作其展开图。圆锥面。试作
20、其展开图。22第一篇第一篇 画法几何画法几何 第八章第八章 立体表面展开立体表面展开 82 可展曲面的展开可展曲面的展开 例例89 作圆柱面展开图。在底圆上作辅助半圆。并把它n=6等分，从而可作出柱面上的素线，它们与岔管的交线交于点a、b、c、e、g、j、k。于是可参照例84截头圆柱面展开图的画法作出其展开图。23第一篇第一篇 画法几何画法几何 第八章第八章 立体表面展开立体表面展开 82 可展曲面的展开可展曲面的展开 例例89 作圆锥面展开图。延长锥面的外形线，相交得锥顶S。过岔管中各轴线的各交点o，作右边锥管底圆的辅助半圆，并把它n=6等分，从而可作出锥面上的素线。与例87截头圆锥素线求实
21、长的方法相同，可参照例87的画法作出其展开图。 24第一篇第一篇 画法几何画法几何 第八章第八章 立体表面展开立体表面展开 82 可展曲面的展开可展曲面的展开 变形接头变形接头w在在在在圆圆圆圆形形形形和和和和矩矩矩矩形形形形之之之之间间间间由由由由平平平平面面面面和和和和锥锥锥锥面面面面组组组组合合合合而而而而成成成成的的的的表表表表面面面面为为为为变变变变形形形形接接接接头头头头或或或或方方方方圆圆圆圆接接接接头头头头的的的的表表表表面面面面，在在在在钣钣钣钣金金金金工工工工中中中中俗俗俗俗称称称称天天天天圆圆圆圆地地地地方方方方。变变变变形形形形接接接接头头头头在在在在工工工工程程程程中
22、中中中应应应应用用用用较较较较广广广广，如如如如料料料料斗斗斗斗、管道中的渐变段等。管道中的渐变段等。管道中的渐变段等。管道中的渐变段等。25第一篇第一篇 画法几何画法几何 第八章第八章 立体表面展开立体表面展开 复习思考题复习思考题 1 1什么是立体表面的展开图？什么是立体表面的展开图？2 2柱面和锥面的展开方法各有什么特点？柱面和锥面的展开方法各有什么特点？3 3求斜圆锥面上素线的实长时，为什么例求斜圆锥面上素线的实长时，为什么例8-88-8和例和例8-108-10采用了不采用了不同的画法？同的画法？4 4立体表面的裁开处对展开图的形状、用料和拼装等有什么影立体表面的裁开处对展开图的形状、用料和拼装等有什么影响？例响？例8-78-7中若沿中若沿GG线裁开，展开图是什么形状？线裁开，展开图是什么形状？5 5两相贯体表面展开时如何使两立体表面拼接时在相贯线处吻两相贯体表面展开时如何使两立体表面拼接时在相贯线处吻合得最好？合得最好？26第一篇第一篇 画法几何画法几何 第八章第八章 立体表面展开立体表面展开 27
