证明证明(zhèngmíng):1) 若D 既是 X - 型区域(qūyù) , 又是 Y - 型区域(qūyù) , 且则定理1 目录(mùlù) 上页 下页 返回 结束 第1页/共26页第一页，共27页 即同理可证①②①、②两式相加得:定理(dìnglǐ)1 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共26页第二页，共27页 2) 若D不满足(mǎnzú)以上条件,则可通过(tōngguò)加辅助线将其分割为有限个上述形式(xíngshì)的区域 , 如图证毕定理1 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共26页第三页，共27页 推论推论:正向闭曲线正向闭曲线L所围区域所围区域(qūyù)D的面积的面积格林公式(gōngshì)例如(lìrú), 椭圆所围面积定理1 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共26页第四页，共27页 例例1. . 设 L 是一条分段(fēn duàn)光滑的闭曲线, 证明证: 令则利用(lìyòng)格林公式 , 得机动 目录 上页 下页 返回(fǎnhuí) 结束 第5页/共26页第五页，共27页。
例例2.计算计算(jìsuàn)其中(qízhōng)D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点(dǐngdiǎn)的三角形闭域 . 解: 令, 则利用格林公式 , 有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共26页第六页，共27页 例例3.计算计算(jìsuàn)其中L为一无重点(zhòngdiǎn)且不过原点的分段(fēn duàn)光滑正向闭曲线.解: 令设 L 所围区域为D,由格林公式知机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共26页第七页，共27页 在D 内作圆周(yuánzhōu)取逆时针方向(fāngxiàng),, 对区域(qūyù)应用格记 L 和 lˉ 所围的区域为林公式 , 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共26页第八页，共27页 二、平面上曲线积分与路径无关的等价二、平面上曲线积分与路径无关的等价(děngjià)条件条件定理(dìnglǐ)2. 设D 是单连通域 ,在D 内具有一阶连续(liánxù)偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)(4) 在 D 内每一点都有与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共26页第九页，共27页。
说明: 积分与路径(lùjìng)无关时, 曲线积分可记为 证明证明(zhèngmíng)(1)(2)设为D 内任意两条由A 到B 的有向分段(fēn duàn)光滑曲线,则(根据条件(1))定理2 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共26页第十页，共27页 证明证明(zhèngmíng)(2)(3)在D内取定点(dìnɡ diǎn)因曲线(qūxiàn)积分则同理可证因此有和任一点B( x, y ),与路径无关,有函数 定理2 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共26页第十一页，共27页 证明证明(zhèngmíng)(3)(4)设存在函数(hánshù) u ( x , y ) 使得则P, Q 在 D 内具有连续(liánxù)的偏导数,从而在D内每一点都有定理2 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共26页第十二页，共27页 证明证明(zhèngmíng)(4)(1)设L为D中任一分段光滑(guāng huá)闭曲线,(如图) ,利用(lìyòng)格林公式 , 得所围区域为证毕定理2 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共26页第十三页，共27页。
说明说明(shuōmíng):根据(gēnjù)定理2 , 若在某区域内则2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化(jiǎnhuà)计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;定理2 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共26页第十四页，共27页 例例4.计算计算(jìsuàn)其中(qízhōng)L 为上半从 O (0, 0) 到 A (4, 0).解: 为了(wèi le)使用格林公式, 添加辅助线段它与L 所围原式圆周区域为D , 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共26页第十五页，共27页 例例5.验证验证(yànzhèng)是某个(mǒu ɡè)函数的全微分, 并求出这个(zhè ge)函数. 证: 设则由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共26页第十六页，共27页 例例6.验证验证(yànzhèng)在右半平面(píngmiàn) ( x > 0 ) 内存在原函数 , 并求出它. 证: 令则由定理 2 可知(kě zhī)存在原函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共26页第十七页，共27页。
或机动 目录 上页 下页 返回(fǎnhuí) 结束 第18页/共26页第十八页，共27页 例例7.设质点设质点(zhìdiǎn)在力场在力场作用(zuòyòng)下沿曲线 L :由移动(yídòng)到求力场所作的功W解解:令则有可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共26页第十九页，共27页 思考(sīkǎo): 积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意(zhù yì), 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关(wúguān) !机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共26页第二十页，共27页 内容内容(nèiróng)小结小结1. 格林公式(gōngshì)2. 等价(děngjià)条件在 D 内与路径无关.在 D 内有对 D 内任意闭曲线 L 有在 D 内有设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共26页第二十一页，共27页 思考思考(sīkǎo)与与练习练习1. 设且都取正向(zhènɡ xiànɡ), 问下列计算是否正确 ?提示(tíshì):机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共26页第二十二页，共27页。
2.设设提示(tíshì):作业(zuòyè)P153 2 (1); 3 ; 4 (3) ; 5 (1) , (4) ; 6 (2) , (5)第四节 目录(mùlù) 上页 下页 返回 结束 第23页/共26页第二十三页，共27页 备用备用(bèiyòng)题题1.设设C为沿为沿从点依逆时针的半圆(bànyuán), 计算解: 添加(tiān jiā)辅助线如图 ,利用格林公式 .原式 =到点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共26页第二十四页，共27页 2.质点质点(zhìdiǎn)M沿着以沿着以AB为直径的半圆为直径的半圆,从从A(1,2)运动到运动到点B(3, 4),到原点的距离(jùlí),解: 由图知 故所求功为锐角(ruìjiǎo),其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为求变力 F 对质点M 所作的功. ( 90考研 ) F 的大小等于点 M 在此过程中受力 F 作用,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共26页第二十五页，共27页。
感谢您的欣赏(xīnshǎng)！第26页/共26页第二十六页，共27页 内容(nèiróng)总结证明:其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,与路径无关, 只与起止点有关(yǒuguān).根据条件(1))和任一点B( x, y ),P, Q 在 D 内具有连续的偏导数,2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径从 O (0, 0) 到 A (4, 0).5 (1) , (4)6 (2) , (5)点B(3, 4),感谢您的欣赏第二十七页，共27页。