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1、第三节与圆有关的计算第三节与圆有关的计算考点一考点一 与圆有关的计算与圆有关的计算百变例题百变例题4 4 如图，如图，ABAB是是O O的直径，的直径，P P是是O O外一点，外一点，PAABPAAB，弦，弦BCOPBCOP，且，且APCAPC6060，APAP2 .2 .(1)(1)求证：求证：PCPC为为O O的切线；的切线；【自主解答自主解答】证明：如解图证明：如解图1 1，连接，连接OCOC，BCOPBCOP，B BPOAPOA，BCOBCOCOPCOP，OBOBOCOC，B BOCBOCB，COPCOPAOPAOP；OCOCOAOA，OPOPOPOP， PCOPAO(SAS)PCOP
2、AO(SAS)，OCPOCPOAPOAP9090，OCOC为为O O的半径，的半径，PCPC是是O O的切线；的切线；(2)(2)求求AOPAOP的度数；的度数；【自主解答自主解答】解：解：PCPC、PAPA是是O O的切线，且的切线，且APCAPC6060，APOAPO3030，AOPAOP6060；(3)(3)求求O O的半径；的半径；【自主解答自主解答】解：解：APCAPC6060，APAP2 2 ，由由(2)(2)得得APOAPO3030，又又BAPBAP9090，OPOP2OA2OA，在在RtAPORtAPO中，中，OPOP2 2OAOA2 2APAP2 2，即即4OA4OA2 2O
3、AOA2 2(2 )(2 )2 2，解得解得OAOA2 2，O O的半径为的半径为2 2；(4)(4)求弧 的长度；【自主解答】解：在四边形解：在四边形OAPCOAPC中，中，APCAPC6060，PCOPCOPAOPAO9090，AOCAOC120120，(5)(5)求求BCBC的长；的长；【自主解答自主解答】解：在四边形解：在四边形OAPCOAPC中，中，APCAPC6060，PCOPCOPAOPAO9090，AOCAOC120120，BOCBOC6060，又又OBOBOCOC，OBCOBC为等边三角形，为等边三角形，BCBCOBOBOCOC2 2； (6)(6)求图中阴影部分的面积；求图
4、中阴影部分的面积；【自主解答自主解答】解：解：S S阴影阴影S SAPOAPOS S扇形扇形OADOAD (7)(7)若扇形若扇形AOC(AOC(劣弧劣弧 所对的部分所对的部分) )是圆锥的侧面展开图，是圆锥的侧面展开图，求该圆锥的高求该圆锥的高h.h.【自主解答自主解答】解：在图中作辅助线如解图解：在图中作辅助线如解图2.2.FGFG即为扇形即为扇形AOCAOC的半径，的半径，FGFGOAOA2 2，圆锥底面圆的周长即为扇形圆锥底面圆的周长即为扇形AOCAOC的弧长的弧长即即解得解得解图解图2 21 1(2015(2015云南省卷云南省卷) )若扇形面积为若扇形面积为3 3，圆心角为，圆心角
5、为6060，则该扇形的半径为则该扇形的半径为( )( )A A3 B3 B9 C9 C2 D2 D3 3D D2 2(2014(2014云南省卷云南省卷) )已知扇形的圆心角为已知扇形的圆心角为4545，半径长为，半径长为1212，则该扇形的弧长为，则该扇形的弧长为( )( )A. BA. B2 2 C C3 3 D D1212C C考点二考点二 阴影部分面积的计算阴影部分面积的计算命题角度命题角度直接用面积公式计算直接用面积公式计算例例1 1(2018(2018成都成都) )如图，在如图，在 ABCDABCD中，中，B B6060，C C的半径的半径为为3 3，则图中阴影部分的面积是，则图中
6、阴影部分的面积是( () )A A B B2 2 C C3 3 D D6 6【分析分析】 由图可知，阴影部分是半径为由图可知，阴影部分是半径为3 3，圆心角为，圆心角为C C的的扇形，故需计算扇形，故需计算C C的度数，由平行四边形邻角互补可得结的度数，由平行四边形邻角互补可得结论，再利用扇形面积公式计算即可论，再利用扇形面积公式计算即可【自主解答自主解答】 四边形ABCDABCD是平行四边形，ABCD.ABCD.BBC C180.C180.C1801806060120.S120.S阴影 3.3.故选C.C.命题角度命题角度等积转化法等积转化法例例2 2 如图，如图，ABAB是是O O的直径，
7、弦的直径，弦CDABCDAB，CDBCDB3030，CDCD2 2 ，则阴影部分图形的面积为，则阴影部分图形的面积为( () )A A4 4 B B2 2 C C D. D.【分析】 可由圆的对称性将阴影部分面积等积转化为扇形OBCOBC的面积，利用公式计算【自主解答】如解图，设CDCD交OBOB于E E，ABAB是直径，CDABCDAB，CECEDEDE，CDBCDB3030，DBEDBE9090BDEBDE60.COB60.COB2CDB2CDB6060，COECOEDBEDBE，CECEDEDE，CEOCEODEBDEB，COEDBE(AAS)COEDBE(AAS)，在RtCOERtCO
8、E中，CECEDEDE ，COECOE6060，COCO2.S2.S阴影S S扇形OCBOCB 故选D. D. 命题角度命题角度直接和差法直接和差法例例3 3(2018(2018益阳益阳) )如图，正方形如图，正方形ABCDABCD内接于圆内接于圆O O，ABAB4 4，则图中阴影部分的面积是，则图中阴影部分的面积是( () )A A4 416 16 B B8 81616C C161632 32 D D32321616【分析分析】 观察图形，可知阴影部分的面积为圆的面积减去观察图形，可知阴影部分的面积为圆的面积减去正方形的面积正方形的面积【自主解答自主解答】由正方形由正方形ABCDABCD中中
9、ABAB4 4，可得圆，可得圆O O半径为半径为2 2 ，所以所以S S阴影阴影S S圆圆O OS S正方形正方形ABCDABCD(2 )(2 )2 24 42 28816.16.故选故选B. B. 命题角度命题角度构造和差法构造和差法例例4 4(2017(2017云南省卷云南省卷) )如图，边长为如图，边长为4 4的正的正方形方形ABCDABCD外切于外切于O O，切点分别为，切点分别为E E、F F、G G、H.H.则图中阴影部分的面积为则图中阴影部分的面积为 【分析】 如解图，连接HOHO并延长交CBCB于点P P，证四边形AHPBAHPB为矩形知HFHF为O O的直径，同理得EGEG为
10、O O的直径，再证四边形DGOHDGOH、四边形OGCFOGCF、四边形OFBEOFBE、四边形OEAHOEAH均为正方形得出圆的半径及HGFHGF为等腰直角三角形，根据S S阴影 S SOOS SHGFHGF可得答案【自主解答自主解答】如解图，连接HOHO并延长HOHO交CBCB于点P P，正方形ABCDABCD外切于O O，A AB BAHPAHP9090，四边形AHPBAHPB为矩形，OPBOPB9090，又OFBOFB9090，点P P与点F F重合，则HFHF为O O的直径，同理EGEG为O O的直径，由D DOGDOGDOHDOHD9090且OHOHOGOG知，四边形DGOHDGO
11、H为正方形，同理四边形同理四边形OGCFOGCF、四边形、四边形OFBEOFBE、四边形、四边形OEAHOEAH均为正方形，均为正方形，DHDHDGDGGCGCCFCF2 2，HGOHGOFGOFGO4545，HGFHGF9090，GHGHGFGF 2 2 ，则，则S S阴影阴影 S SOOS SHGFHGF 2 22 2 2 2 22 224 4，故答案为，故答案为224.4. 常见阴影部分面积计算的方法汇总常见阴影部分面积计算的方法汇总考点三考点三 圆锥、圆柱的相关计算圆锥、圆柱的相关计算例例5 5(2016(2016云南省卷云南省卷) )如果圆柱的侧面展开图是相邻两边长如果圆柱的侧面展开
12、图是相邻两边长分别为分别为6 6，1616的长方形，那么这个圆柱的体积等于的长方形，那么这个圆柱的体积等于 【分析分析】分两种情况：分两种情况：底面周长为底面周长为6 6，高为，高为1616；底面底面周长为周长为1616，高为，高为6 6；先根据底面周长得到底面半径，再根；先根据底面周长得到底面半径，再根据圆柱的体积公式计算即可求解据圆柱的体积公式计算即可求解【自主解答自主解答】 底面周长为底面周长为6 6，高为，高为1616，( )( )2 21616 16 16144144；底面周长为底面周长为1616，高为，高为6 6，( )( )2 266646646384.384.这个圆柱的体积为这
13、个圆柱的体积为144144或或384.384.例例6 6(2017(2017云南省卷云南省卷) )正如我们小学学过的圆锥体积公式正如我们小学学过的圆锥体积公式V V r r2 2h(h(表示圆周率，表示圆周率，r r表示圆锥的底面半径，表示圆锥的底面半径，h h表示圆锥表示圆锥的高的高) )一样，许多几何量的计算都要用到一样，许多几何量的计算都要用到. .祖冲之是世界上祖冲之是世界上第一个把第一个把计算到小数点后计算到小数点后7 7位的中国古代科学家，创造了位的中国古代科学家，创造了当时世界上的最高水平，差不多过了当时世界上的最高水平，差不多过了10001000年，才有人把年，才有人把计计算得
14、更精确在辉煌成就的背后，我们来看看祖冲之付出了算得更精确在辉煌成就的背后，我们来看看祖冲之付出了多少现在的研究表明，仅仅就计算来讲，他至少要对多少现在的研究表明，仅仅就计算来讲，他至少要对9 9位位数字反复进行数字反复进行130130次以上的各种运算，包括开方在内即使次以上的各种运算，包括开方在内即使今天我们用纸笔来算，也绝不是一件轻松的事情，何况那时今天我们用纸笔来算，也绝不是一件轻松的事情，何况那时候没有现在的纸笔，数学计算不是用现在的阿拉伯数字，而候没有现在的纸笔，数学计算不是用现在的阿拉伯数字，而是用算筹是用算筹( (小竹棍或小竹片小竹棍或小竹片) )进行的，这需要怎样的细心和毅进行的
15、，这需要怎样的细心和毅力啊！他这种严谨治学的态度，不怕复杂计算的毅力，值得力啊！他这种严谨治学的态度，不怕复杂计算的毅力，值得我们学习我们学习下面我们就来通过计算解决问题：已知圆锥的侧面展开图是下面我们就来通过计算解决问题：已知圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的体积等于个半圆，若该圆锥的体积等于9 9 ，则这个圆锥的高等于，则这个圆锥的高等于( () )谢谢观看！谢谢观看！【分析分析】 设母线长为设母线长为R R，底面圆半径为，底面圆半径为r r，根据弧长公式、，根据弧长公式、扇形面积公式以及圆锥体积公式即可求出圆锥的高扇形面积公式以及圆锥体积公式即可求出圆锥的高【自主解答自主解答】设母线长为设母线长为R R，底面圆半径为，底面圆半径为r r，圆锥的高为，圆锥的高为h h，由于圆锥的侧面展开图是个半圆，由于圆锥的侧面展开图是个半圆，侧面展开图的弧长侧面展开图的弧长为：为： RR，底面圆的周长为：底面圆的周长为：2r2r，RR2r2r，R R2r2r，由勾股定理可知：，由勾股定理可知：h h r r，圆锥的体积等于圆锥的体积等于9 9 ，9 9 rr2 2h h，r r3 3，h h3 .3 .故选故选D.D.
