《1112高中数学 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征同步学案 新人教A版必修3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1112高中数学 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征同步学案 新人教A版必修3（57页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2.2 用样本的数字特征估计总体的用样本的数字特征估计总体的数字特征数字特征自自 学学 导 引引1.正确理解正确理解样本数据本数据标准差的意准差的意义和作用和作用,学会学会计算数据的算数据的标准差准差.2.能根据能根据实际问题的需要合理地的需要合理地选取取样本本,从从样本数据中提本数据中提取取基本的数字特征基本的数字特征(如平均数如平均数标准差准差),并做出合理的解并做出合理的解释.3.会用会用样本的基本数字特征估本的基本数字特征估计总体的基本数字特征体的基本数字特征.4.形成形成对数据数据处理理过程程进行初步行初步评价的意价的意识.课 前前 热 身身1.在在频率分布直方率分布直方图中中,
2、中位数左中位数左边和右和右边的直方的直方图的面的面积应该_.2.平均数众数中位数描述数据的平均数众数中位数描述数据的_,方差极方差极差和差和标准差描述数据的准差描述数据的_,也可以也可以说方差方差标准差和准差和极差反映极差反映_. 相等相等 集中趋势的量集中趋势的量 波动情况波动情况 总体波动大小总体波动大小 样本数据样本数据样本容量样本容量样本平均数样本平均数名名 师 讲 解解1.众数中位数平均数众数中位数平均数众数众数:在在样本数据中本数据中,频率分布最大率分布最大值所所对应的的样本数据本数据;中位数中位数:样本数据中本数据中,累累积频率率为0.5时所所对应的的样本数据本数据值(累累积频率
3、率:样本数据小于某一数本数据小于某一数值的的频率叫做率叫做该数数值点的累点的累积频率率);或者定或者定义为:将一将一组数据按大小数据按大小顺序排列序排列,把把处在最在最中中间位置的一个数据位置的一个数据(或两个数据的平均数或两个数据的平均数)叫叫这组数据的中数据的中位数位数.平均数平均数:样本数据的算本数据的算术平均数平均数,即即(1)众数中位数平均数与众数中位数平均数与频率分布直方率分布直方图的关系的关系众数在众数在样本数据的本数据的频率分布直方率分布直方图中中,就是最高矩形的中点就是最高矩形的中点的横坐的横坐标.在在样本中本中,有有50%的个体大于或等于中位数的个体大于或等于中位数.因此因
4、此,在在频率分布直方率分布直方图中中,中位数左中位数左边和右和右边的直方的直方图的面的面积相等相等,由此可以估由此可以估计中位数的中位数的值.由于由于样本数据的本数据的频率分布直方率分布直方图,只是直只是直观地表明分布的形状地表明分布的形状,但是从直方但是从直方图本身得不出原始本身得不出原始的数据内容的数据内容,所以由所以由频率分布直方率分布直方图得到的中位数估得到的中位数估计值往往往与往与样本的本的实际中位数中位数值不一致不一致.平均数平均数显然是然是频率分布直率分布直方方图的的“重心重心”.在在频率分布直方率分布直方图中中,平均数是直方平均数是直方图的平的平衡衡点点.(2)三种数字特征的三
5、种数字特征的优缺点缺点众数体众数体现了了样本数据的最大集中点本数据的最大集中点,但但显然它然它对其他数据其他数据信息的忽信息的忽视使得它无法客使得它无法客观地反映地反映总体特征体特征.中位数是中位数是样本数据所占本数据所占频率的等分率的等分线,它不受少数几个极它不受少数几个极端端值的影响的影响,这在某些情况下是在某些情况下是优点点,但它但它对极端极端值的不敏感的不敏感有有时也会成也会成为缺点缺点.由于平均数与每一个由于平均数与每一个样本的数据有关本的数据有关,所以任何一个所以任何一个样本本数据的改数据的改变都会引起平均数的改都会引起平均数的改变,这是众数中位数都不具是众数中位数都不具备的性的性
6、质.也正因也正因为这个原因个原因,与众数中位数比与众数中位数比较起来起来,平均平均数可以反映出更多的关于数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息本数据全体的信息.但平均数受但平均数受数据中的极端数据中的极端值的影响的影响较大大,使平均数在估使平均数在估计总体体时可靠性可靠性降低降低.3.规律小律小结(1)标准差方差描述了一准差方差描述了一组数据数据围绕平均数波平均数波动的大小的大小.标准准差方差越大差方差越大,数据的离散程度越大数据的离散程度越大;标准差方差越小准差方差越小,数据的数据的离散程度越小离散程度越小.标准差的大小不会超准差的大小不会超过极差极差.(2)标准差方差的取准差方差的取值范
7、范围:0,+).标准差方差准差方差为0时,样本各数据全相等本各数据全相等,表明数据没有波表明数据没有波动幅幅度度,数据没有离散性数据没有离散性.(3)因因为方差与原始数据的方差与原始数据的单位不同位不同,且平方后可能夸大了偏且平方后可能夸大了偏差的程度差的程度,所以所以虽然方差与然方差与标准差在刻画准差在刻画样本数据的分散程本数据的分散程度上是一度上是一样的的,但在解决但在解决实际问题时,一般多采用一般多采用标准差准差.典典 例例 剖剖 析析题型一型一众数中位数平均数的众数中位数平均数的应用用例例1:某工厂人某工厂人员及工及工资构成如下构成如下:人员人员经理经理管理人员管理人员高级技高级技工工
8、工人工人学徒学徒合计合计周工周工资资2 2002 200250250220220200200100100人数人数1 16 65 510101 12323合计合计2 2002 2001 5001 5001 1001 1002 0002 0001001006 9006 900(1)指出指出这个个问题中的众数中位数平均数中的众数中位数平均数;(2)这个个问题中中,平均数能客平均数能客观地反映地反映该工厂的工工厂的工资水平水平吗?为什么什么?分析分析:本本题着眼于众数中位数平均数各自的特点着眼于众数中位数平均数各自的特点,以及其适以及其适应对象象.解解:(1)由表格可知由表格可知:众数众数为200.
9、2200+1500=37001100+2000+100=3200, 中位数中位数为220.平均数平均数(2200+1500+1100+2000+100)23=690023=300.(2)不能不能.虽然平均数然平均数为300元元/周周,但由表格中所列出的数据可但由表格中所列出的数据可见,只有只有经理在平均数以上理在平均数以上,其余的人都在平均数以下其余的人都在平均数以下,故用平故用平均数不能客均数不能客观真真实地反映地反映该工厂的工工厂的工资水平水平.变式式训练1:在一次歌手大在一次歌手大奖赛中中,6位位评委委现场给每位歌手打每位歌手打分分,然后去掉一个最高分和一个最低分然后去掉一个最高分和一个
10、最低分,其余分数的平均数作其余分数的平均数作为该歌手的成歌手的成绩,已知已知6位位评委委给某位歌手的打分是某位歌手的打分是:9.2,9.5,9.4,9.6,9.8,9.5.求求这位歌手的得分及位歌手的得分及6位位评委委评分的众数和中位数分的众数和中位数.解解:(1)该歌手得分歌手得分为: (9.5+9.4+9.5+9.6)=9.5.(2)9.5在在这组数据中出数据中出现2次次,出出现次数最多次数最多,故故评分的众数是分的众数是9.5.(3)将将这组数据按从小到大数据按从小到大顺序排列后最中序排列后最中间的两个数都是的两个数都是9.5,故中位数是故中位数是9.5.题型二型二频率条形率条形图的的绘
11、制制例例2:为了估了估计某人的射某人的射击技技术状况状况,在他的在他的训练记录中抽取中抽取了了50次次进行行检验,他命中他命中环数如下数如下:7 8 6 8 6 5 9 10 7 95 6 5 6 7 8 7 9 10 98 5 7 8 7 6 8 6 7 79 6 5 8 6 9 6 8 10 78 7 8 6 9 8 7 10 8 9(1)作出作出频率分布表率分布表;(2)画出画出频率分布条形率分布条形图;(3)估估计该人命中人命中68环的百分比是多少的百分比是多少.分析分析:此此题属属总体分布的第一种情况体分布的第一种情况,即即总体的个数取不同数体的个数取不同数值较少少(本本题为5,6,
12、7,8,9,10六个数六个数),可直接列表画可直接列表画图.解解:(1)频率分布表如下率分布表如下:环数环数频数频数频率频率5 55 50.100.106 610100.200.207 711110.220.228 812120.240.249 98 80.160.1610104 40.080.08(2)以命中以命中环数数为横横轴,频率率为纵轴,建立建立频率分布条形率分布条形图.(3)由由频率分布条形率分布条形图知知:0.20+0.22+0.24=0.66,知知该人命中人命中68环的百分比的百分比为66%.规律技巧律技巧:在数据在数据统计中中,当当样本数据中取不同的数本数据中取不同的数值较少少
13、时,可以可以绘制制频率条形率条形图来直来直观的反映数据的分布情况的反映数据的分布情况,其条其条图形的形的宽度相同度相同,高度高度(即即纵坐坐标)为相相应的的频率率(这一点与直方一点与直方图不同不同).变式式训练2:在一小在一小时内内统计一一传呼台接收到用呼台接收到用户的呼的呼唤次数次数,按每分按每分钟统计如下如下:0 0 1 2 1 2 2 3 4 10 1 2 5 3 1 2 2 2 42 4 3 1 1 3 2 3 4 61 2 0 2 3 1 3 1 4 11 2 0 2 3 4 2 5 0 21 1 0 3 2 1 3 1 2 0写出一分写出一分钟内内传呼呼呼呼唤次数的次数的频率分布表
14、率分布表,并画出并画出频率分布率分布条形条形图.解解:一分一分钟传呼呼呼呼唤次数的次数的频率分布表及率分布表及频率分布条形率分布条形图如如下下:一分钟内一分钟内呼唤次数呼唤次数频数频数频率频率0 08 80.1330.1331 116160.2670.2672 217170.2830.2833 310100.1670.1674 46 60.1000.1005 52 20.0330.0336 61 10.0170.017总计总计60601.0001.000题型三型三平均数方差的平均数方差的应用用例例3:对划艇运划艇运动员甲乙二人在相同的条件下甲乙二人在相同的条件下进行了行了6次次测试,测得他得他
15、们最大速度最大速度(m/s)数据如下数据如下:甲甲:27,38,30,37,35,31;乙乙:33,29,38,34,28,36.根据以上数据根据以上数据,试判断他判断他们谁更更优秀秀.分析分析:这显然是要然是要计算两算两组数据的数据的 与与s2,然后加以比然后加以比较并并作作出判断出判断.说明甲乙二人的最大速度的平均值相同说明甲乙二人的最大速度的平均值相同,但乙比甲更稳定但乙比甲更稳定,故乙比甲更优秀故乙比甲更优秀.规律技巧律技巧:方差的大小反映了方差的大小反映了总体或者体或者样本的波本的波动程度程度,可以可以对诸如均衡性如均衡性稳定性差异性等作出描述定性差异性等作出描述.如两个班如两个班级
16、的学的学科科测试的算的算术平均数是一致的平均数是一致的,那么可以再分那么可以再分别求出它求出它们的的方差加以分析方差加以分析,方差方差值较大的班大的班级学生的成学生的成绩差异差异较大大,不均不均衡衡.再如再如,考核一个运考核一个运动员的水平不的水平不仅要考要考虑其成其成绩的算的算术平平均数均数,而且要考而且要考虑其成其成绩的的稳定性定性,甚至后者往往更被看重甚至后者往往更被看重.变式式训练3:从甲乙两种玉米苗中各抽从甲乙两种玉米苗中各抽10株株,分分别测得它得它们的的株高如下株高如下(单位位;cm):甲甲:25 41 40 37 22 14 19 39 21 42乙乙:27 16 44 27
17、44 16 40 40 16 40问:(1)哪种玉米的苗哪种玉米的苗长得高得高?(2)哪种玉米的苗哪种玉米的苗长得得齐?答答:乙种玉米的苗乙种玉米的苗长得高得高,甲种玉米的苗甲种玉米的苗长得整得整齐.分析分析:看哪种玉米的苗看哪种玉米的苗长得高得高,只要比只要比较甲乙两种玉米的平甲乙两种玉米的平均均高即可高即可;要比要比较哪种玉米的苗哪种玉米的苗长得整得整齐,只要看两种玉米苗高只要看两种玉米苗高的方差即可的方差即可,因因为方差是体方差是体现一一组数据波数据波动大小的特征数大小的特征数.题型四型四中位数平均数的中位数平均数的应用用例例4:高一高一(2)班有男生班有男生27名名,女生女生21名名,
18、在一次物理在一次物理测试中中,男男生生的平均分的平均分82分分,中位数是中位数是75分分,女生的平均分是女生的平均分是80分分,中位数中位数是是80分分.(1)求求这次次测试全班平均分全班平均分(精确到精确到0.01).(2)估估计全班成全班成绩在在80分以下分以下(含含80分分)的学生至少有多少的学生至少有多少?(3)分析男生的平均分与中位数相差分析男生的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么大的主要原因是什么?分析分析:根据各种数的定根据各种数的定义及意及意义解决解决问题.解解:(1)由平均数公式得由平均数公式得(8227+8021)81.13(分分).(2) 男生的中位数是男生的中位数是
19、75, 至少有至少有14人得分不超人得分不超过75分分.又又 女生的中位数是女生的中位数是80, 至少有至少有11人得分不超人得分不超过80分分. 全班至少有全班至少有25人得分低于人得分低于80分分.(3)男生的平均分与中位数的差男生的平均分与中位数的差别较大大,说明男生中两极分化明男生中两极分化现象象严重重,得分高的和低的相差得分高的和低的相差较大大.变式式训练4:某高校有甲乙两个数学某高校有甲乙两个数学兴趣班趣班,其中甲班其中甲班40人人,乙乙班班50人人,现分析两个班的一次考分析两个班的一次考试成成绩,算得甲班的平均成算得甲班的平均成绩为90分分,乙班的平均成乙班的平均成绩为81分分,
20、则该校数学校数学兴趣班的平均成趣班的平均成绩是是_分分.解析解析:平均成平均成绩为(9040+8150)85技技 能能 演演 练基基础强化化1.已知一已知一组数据数据为20 30 40 50 50 60 70 80,其中平均数其中平均数 中位数和众数的大小关系是中位数和众数的大小关系是( )A.平均数平均数中位数中位数众数众数B.平均数平均数中位数中位数众数众数C.中位数中位数众数众数平均数平均数D.众数众数=中位数中位数=平均数平均数解析解析:由所由所给数据知数据知,众数众数为50,中位数中位数为50,平均数平均数为50, 众众数数=中位数中位数=平均数平均数.答案答案:D2.已知一已知一组
21、数据按从小到大的数据按从小到大的顺序排列序排列为-1,0,4,x,6,15,且且这组数据中位数数据中位数为5,那么数据中的众数那么数据中的众数为( )A.5 B.6C.4 D.5.5解析解析:由中位数是由中位数是5得得,4+x=52, x=6.此此时,这列数列数为-1,0,4,6,6,15, 众数众数为6.答案答案:B3.一一组数据的数据的标准差准差为s,将将这组数据每一个数据都数据每一个数据都扩大到原大到原来的来的2倍倍,所得到的一所得到的一组数据的方差是数据的方差是( )A. B.4s2C.2s2 D.s2解析解析:标准差是准差是s,则方差方差为s2.当当这组数据都数据都扩大到原来的大到原
22、来的2倍倍时,平均数也平均数也扩大到原来的大到原来的2倍倍,因此方差因此方差扩大到原来大到原来4倍倍,故方故方差差为4s2.答案答案:B4.在在样本方差的本方差的计算公式算公式s2= (x1-20)2+(x2-20)2+(x10-20)2中中,数字数字10和和20分分别表示表示样本的本的( )A.容量方差容量方差B.平均数容量平均数容量C.容量平均数容量平均数D.标准差平均数准差平均数解析解析:由方差由方差s2的定的定义知知,10为样本的容量本的容量,20为样本的平均本的平均数数.答案答案:C5.将一将一组数据同数据同时减去减去3.1,得到一得到一组新数据新数据,若原数据的平均若原数据的平均数
23、方差分数方差分别为s2,则新数据的平均数是新数据的平均数是_,方差方差是是_,标准差是准差是_.解析解析:由由样本的平均数方差本的平均数方差标准差的定准差的定义知知,新数据的平均新数据的平均数数为x-3.1,方差仍方差仍为s2,标准差仍准差仍为s.s2s6.若若40个数据的平方和是个数据的平方和是56,平均数是平均数是则这组数数据的方据的方差是差是_,标准差是准差是_.7.期末考期末考试后后,班班长算出了全班算出了全班40个人的数学成个人的数学成绩的平均分的平均分为M,如果把如果把M当成一个同学的分数与原来的当成一个同学的分数与原来的40个分数一起算个分数一起算出出这41个分数的平均个分数的平
24、均值N,那么那么=_.解析解析: M=N, 18.(2009江江苏)某校甲乙两个班某校甲乙两个班级各有各有5名名编号号为1,2,3,4,5的的学生学生进行投行投篮练习,每人投每人投10次次,投中的次数如下表投中的次数如下表:则以上两以上两组数据的方差中数据的方差中较小的一个小的一个为s2=_.学生学生1 1号号2 2号号3 3号号4 4号号5 5号号甲班甲班6 67 77 78 87 7乙班乙班6 67 76 67 79 9能力提升能力提升9.某人某人5次上班途中所花次上班途中所花时间(单位位:分分钟)分分别为x,y,10,11,9,已知已知这组数据的平均数数据的平均数为10,方差方差为2,则
25、|x-y|的的值是是( )A.1 B.2B.3 D.4答案答案:D10.甲乙两名甲乙两名战士在相同条件下各射靶士在相同条件下各射靶10次次,每次命中的每次命中的环数分数分别是是:甲甲:8,6,7,8,6,5,9,10,4,7;乙乙:6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.(1)分分别计算以上两算以上两组数据的平均数数据的平均数;(2)分分别求出两求出两组数据的方差数据的方差;(3)根据根据计算算结果果,估估计一下两名一下两名战士的射士的射击情况情况.品味高考品味高考11.(2010山山东文文)在某在某项体育比体育比赛中中,七位裁判七位裁判为一一选手打出手打出的分数如下的分数如下:90 89 9
26、0 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均所剩数据的平均值和方差和方差分分别为( )A.92,2 B.92,2.8C.93,2 D.93,2.8答案答案:B12.(2010江江苏卷卷)某棉某棉纺厂厂为了了解一批棉花的了了解一批棉花的质量量,从中随从中随机抽取了机抽取了100根棉花根棉花纤维的的长度度(棉花棉花纤维的的长度是棉花度是棉花质量量的重要指的重要指标),所得数据都在区所得数据都在区间5,40中中,其其频率分布直方率分布直方图如如图所示所示,则其抽其抽样的的100根中根中,有有_根在棉花根在棉花纤维的的长度小于度小于20 mm.30解析解析:由由频率直方率直方图可知可知,(0.01+0.01+0.04)5100=30.
