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1、第二节 参数方程 三年三年2121考考 高考指数高考指数:1.1.了解参数方程，了解参数的意义；了解参数方程，了解参数的意义；2.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程. .1.1.直线、圆和椭圆的参数方程是高考考查的重点；直线、圆和椭圆的参数方程是高考考查的重点；2.2.利用参数方程解决最大值、最小值等问题是难点；利用参数方程解决最大值、最小值等问题是难点；3.3.高考以填空题的形式考查高考以填空题的形式考查. .1.1.参数方程参数方程(1)(1)参数方程的概念参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标一般地，在
2、平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,yx,y都是某个变数都是某个变数t t的函数的函数 ，并且对于，并且对于t t的每一个允许的每一个允许值，由这个方程组所确定的点值，由这个方程组所确定的点M(x,y)M(x,y)都在这条曲线上，那么这都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,yx,y的变数的变数t t叫叫做做_，简称，简称_._._参变数参变数参数参数相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F(xF(x，y)y)0 0叫做普通方程叫做普通方程. .(2)(2)
3、参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去可以通过消去_而从参数方程得到普通方程，如果知道变数而从参数方程得到普通方程，如果知道变数x,yx,y中的一个与参数中的一个与参数t t的关系，例如的关系，例如x=f(t),x=f(t),把它代入普通方程，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系求出另一个变数与参数的关系y=g(t),y=g(t),那么那么 就是曲线的就是曲线的参数方程参数方程. .在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,
4、yx,y的取值的取值范围保持一致范围保持一致. .参数参数【即时应用即时应用】(1)(1)参数方程参数方程 (为参数为参数, ,且满足且满足0)0)的普通方的普通方程为程为_._.(2)(2)参数方程参数方程 (为参数为参数, ,且满足且满足 ) )的普通的普通方程为方程为. .【解析解析】(1)(1)参数方程参数方程 (为参数为参数, ,且满足且满足0)0)的的普通方程为普通方程为x x2 2+y+y2 2=1(0y1),=1(0y1),表示上半圆表示上半圆. .(2)(2)参数方程参数方程 (为参数为参数, ,且满足且满足 ) )的普通方程的普通方程为为x x2 2+y+y2 2=1(0x
5、1),=1(0x1),表示右半圆表示右半圆. .答案：答案：(1)x(1)x2 2+y+y2 2=1(0y1)=1(0y1)(2)x(2)x2 2+y+y2 2=1(0x1)=1(0x1)2.2.直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹轨迹普通方程普通方程参数方程参数方程直线直线圆圆(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2y-yy-y0 0=tan(x-x=tan(x-x0 0) )( ( ，点斜式，点斜式) )（t t为参数）为参数）（为参数）为参数）轨迹轨迹普通方程普通方程参数方程参数方程椭圆椭圆双曲线双曲线（为参数）为参数）（
6、为参数）为参数）(a(ab b0)0)(a(a0 0，b b0)0)轨迹轨迹普通方程普通方程参数方程参数方程（t t为参数，为参数，p p0 0）抛物线抛物线y y2 22px2px(p(p0)0)【即时应用即时应用】判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确.(.(请在括号中填写请在括号中填写“”或或“”)(1)(1)若经过点若经过点P P0 0(x(x0 0，y y0 0) )，倾斜角是，倾斜角是的直线的直线l的参数方程为的参数方程为 (t(t为参数为参数) )，则直线的斜率为，则直线的斜率为tan. ( )tan. ( )(2)(2)若圆的参数方程为若圆的参数方程为 (为参数为参数),),
7、则圆心为则圆心为(2,-1),(2,-1),半径为半径为3. ( )3. ( )【解析解析】(1)(1)经过点经过点P0(x0P0(x0，y0)y0)，倾斜角是，倾斜角是的直线的直线l l的参数的参数方程为方程为 即即 (t(t为参数，为参数，tR).tR).当倾斜角当倾斜角 时，直线的斜率时，直线的斜率k=tan= ;k=tan= ;当倾斜角当倾斜角= = 时，直线的参数方程为时，直线的参数方程为 ，直线的斜率，直线的斜率不存在不存在. .所以所以(1)(1)不正确不正确. .(2)(2)将圆的参数方程将圆的参数方程 (为参数为参数) )化为普通方程为化为普通方程为(x-2)(x-2)2 2
8、+(y+1)+(y+1)2 2=9,=9,所以圆心为所以圆心为(2,-1),(2,-1),半径为半径为3.3.所以所以(2)(2)正确正确. .答案答案: :(1)(1) (2) (2) 参数方程化为普通方程参数方程化为普通方程【方法点睛方法点睛】参数方程与普通方程互化的方法及注意事项参数方程与普通方程互化的方法及注意事项(1)(1)把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；的消参方法常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和平方和( (差差) )消参法；乘法消参法等消参法；
9、乘法消参法等(2)(2)把曲线把曲线C C的普通方程的普通方程F(xF(x，y)y)0 0化为参数方程的关键：化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性【例例1 1】(1)(1)若直线若直线l:y=x+b:y=x+b与曲线与曲线C: (C: (为参数，为参数，且且 ) )有公共点，则实数有公共点，则实数b b的取值范围是的取值范围是_(2)(2)若直线若直线l: (t: (t为参数为参数) )与曲线与曲线C: (C: (为参为参数，且数，且0)0)有两个不同的交点，则实数有两个不同的交点，则实数b b的取值范围是的取值范围是
10、_【解题指南解题指南】本题中参数方程表示圆的一部分，所以可以通过本题中参数方程表示圆的一部分，所以可以通过数形结合法解答数形结合法解答. .【规范解答规范解答】(1)(1)曲线曲线C: (C: (为参数，为参数，且且 ) )表示圆心在原点，半径为表示圆心在原点，半径为1 1的右半圆，如图，直线的右半圆，如图，直线l:y=x+b:y=x+b与曲线有公共点与曲线有公共点, ,直线直线l应介于两直线应介于两直线l1 1, ,l2 2之间，当直线之间，当直线y=x+by=x+b经过点经过点(0,1)(0,1)时，时，b=1;b=1;当直线当直线y=x+by=x+b与半圆相时，与半圆相时， ，解得，解得
11、b=- .b=- .所以要使直线所以要使直线y=x+by=x+b与半圆有公共点与半圆有公共点, ,必有必有bb- - ，1 1. .答案：答案：- - ，1 1(2)(2)直线直线l： (t(t为参数为参数) )的普通方程为的普通方程为y=x+b.y=x+b.曲线曲线C: (C: (为参数，且为参数，且0)0)表示以原点为圆心，表示以原点为圆心，1 1为半径的上半圆，为半径的上半圆，如图，直线如图，直线y=x+by=x+b与曲线有两个不同的交点与曲线有两个不同的交点, ,直线直线l应介于两直线应介于两直线l1 1、l2 2之间，之间，当直线当直线y=x+by=x+b经过点经过点(0,1)(0,
12、1)时，时，b=1;b=1;当直线当直线y=x+by=x+b与半圆相切时，与半圆相切时， 解得解得b= .b= .所以要使直线所以要使直线y=x+by=x+b与半圆有两个不同的交点与半圆有两个不同的交点, ,必有必有bb1, ).1, ).答案：答案：1 1， ) )【反思反思感悟感悟】化参数方程为普通方程，关键是消去参数，建立关于化参数方程为普通方程，关键是消去参数，建立关于x,yx,y的二元的二元方程方程F(xF(x，y)y)0 0，常用的消参数公式有：，常用的消参数公式有：(1) (1) ；(2)sin(2)sin2 2+cos+cos2 2=1=1；(3)(3)(4)(4) 圆的参数方
13、程圆的参数方程【方法点睛方法点睛】将圆的普通方程化为参数方程将圆的普通方程化为参数方程(1)(1)圆圆x x2 2+y+y2 2=r=r2 2的参数方程为的参数方程为 (为参数为参数) )；(2)(2)圆圆(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2的参数方程为的参数方程为 (为参数为参数).).【提醒提醒】(1)(1)参数参数的几何意义是的几何意义是OMOM与与x x轴正方向的夹角轴正方向的夹角(M(M为圆为圆上的点上的点););(2)(2)随着选取的参数不同随着选取的参数不同, ,参数方程的形式也有不同参数方程的形式也有不同, ,但表示的曲但表示的曲线是相同的线是
14、相同的; ;(3)(3)在建立曲线的参数方程时在建立曲线的参数方程时, ,要注明参数及参数的取值范围要注明参数及参数的取值范围. .【例例2 2】已知已知x x、y y满足满足x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1,=1,则则(1)3x+4y(1)3x+4y的最大值为的最大值为_，最小值为最小值为_；(2)(x-3)(2)(x-3)2 2+(y+3)+(y+3)2 2的取值范围是的取值范围是_._.【解题指南解题指南】设圆的参数方程，将问题转化为三角函数的问题设圆的参数方程，将问题转化为三角函数的问题解决解决. .【规范解答规范解答】由圆的普通方程由圆的普通方程x x2 2+(y-1)
15、+(y-1)2 2=1=1得圆的参数方程为得圆的参数方程为 (R).(R).(1)3x+4y=3cos+4sin+4=4+5sin(+(1)3x+4y=3cos+4sin+4=4+5sin(+),),其中其中tantan= ,= ,且且的终边过点的终边过点(4,3).(4,3).-55sin(+-55sin(+)5)5，-14+5sin(+-14+5sin(+)9,)9,3x+4y3x+4y的最大值为的最大值为9 9，最小值为，最小值为-1.-1.答案：答案：9 -19 -1(2)(x-3)(2)(x-3)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=(cos-3)=(cos-3)2 2+(sin+4
16、)+(sin+4)2 2=26+8sin-6cos=26+8sin-6cos=26+10sin(+=26+10sin(+).).其中其中tantan=- ,=- ,且且的终边过点的终边过点(4,-3).(4,-3).-1010sin(+-1010sin(+)10)10，1626+10sin(+1626+10sin(+)36)36，(x-3)(x-3)2 2+(y+3)+(y+3)2 2的取值范围是的取值范围是16,3616,36. .答案：答案：16,3616,36【反思反思感悟感悟】1.1.解决与圆有关的最大值和最小值问题，常常解决与圆有关的最大值和最小值问题，常常设出圆的参数方程，转化为求
17、三角函数的最大值和最小值问题设出圆的参数方程，转化为求三角函数的最大值和最小值问题来解决来解决. .2.2.注意运用三角恒等式注意运用三角恒等式辅助角公式求最值：辅助角公式求最值：asin+bcos= sin(+asin+bcos= sin(+) )，其中其中tantan= (a0),= (a0),且角且角的终边经过点的终边经过点(a,b).(a,b). 极坐标方程和参数方程的综合问题极坐标方程和参数方程的综合问题【方法点睛方法点睛】直线的参数方程中参数的几何意义直线的参数方程中参数的几何意义(1)(1)设设e e表示直线向上的方向的单位向量，如图，表示直线向上的方向的单位向量，如图， =te
18、=te，当参，当参数数t t0 0时时, , 与与e e方向相同；当参数方向相同；当参数t t0 0时时, , 与与e e方向相反方向相反. .因此因此, ,总有总有| |=|t| |=|t|，所以参数，所以参数t t为点为点M M0 0(x(x0 0,y,y0 0) )到直线上点到直线上点M(x,y)M(x,y)的有向线段的有向线段 的数量的数量( (即方向即方向+ +长度长度) )，这就是参数，这就是参数t t的的几何意义几何意义(2)(2)常用公式：根据直线的参数方程中常用公式：根据直线的参数方程中t t的几何意义，有以下结的几何意义，有以下结论论: :设设A A、B B是直线上任意两点
19、，它们对应的参数分别为是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t tA A和和t tB B，则，则|AB|=|t|AB|=|tB B-t-tA A|=|=线段线段ABAB的中点所对应的参数值等于的中点所对应的参数值等于【例例3 3】(1)(1)已知曲线已知曲线C C的极坐标方程是的极坐标方程是=4cos=4cos以极点为平以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为面直角坐标系的原点，极轴为x x轴的正半轴，建立平面直角坐标轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线系，直线l的参数方程是：的参数方程是： (t(t为参数为参数) )，则直线，则直线l与曲线与曲线C C相交所成的弦的弦长为相交所成的弦的弦长为_(
20、2)(2)若经过点若经过点P(-1P(-1，2)2)，倾斜角为，倾斜角为 的直线的直线l与曲线与曲线=3=3相交于相交于A A，B B两点，则两点，则|PA|+|PB|=_,|PA|PA|+|PB|=_,|PA|PB|=_.|PB|=_.【解题指南解题指南】(1)(1)将参数方程化为普通方程将参数方程化为普通方程, ,利用直线与圆的位利用直线与圆的位置关系计算弦长置关系计算弦长. .(2)(2)求出直线的参数方程求出直线的参数方程, ,代入曲线的普通方程，利用直线的参代入曲线的普通方程，利用直线的参数方程的几何意义以及一元二次方程的根与系数的关系计算数方程的几何意义以及一元二次方程的根与系数的
21、关系计算. .【规范解答规范解答】(1)(1)由曲线由曲线C C的极坐标方程的极坐标方程=4cos=4cos，化为直角坐标方程，得，化为直角坐标方程，得x x2 2+y+y2 2-4x=0-4x=0，即，即(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=4=4，直线直线l的参数方程的参数方程 化为普通方程为化为普通方程为x xy y1=01=0，曲线，曲线C C的圆心的圆心(2(2，0)0)到直线到直线l的距离为的距离为 ，所以直线，所以直线l与曲线与曲线C C相相交所成的弦的弦长为交所成的弦的弦长为答案：答案： (2)(2)直线直线l的参数方程为的参数方程为 (t(t为参数为参数) )，代入圆的直
22、角坐标方程代入圆的直角坐标方程x x2 2+y+y2 2=9=9，整理，得整理，得t t2 2+ -4=0.+ -4=0.设点设点A A，B B对应的参数分别是对应的参数分别是t t1 1，t t2 2，则，则t t1 1+t+t2 2=- =- ，t t1 1t t2 2=-4=-4，由由t t1 1与与t t2 2的符号相反的符号相反, ,得得|PA|+|PB|=|t|PA|+|PB|=|t1 1|+|t|+|t2 2|=|t|=|t1 1-t-t2 2| |= = |PA|PA|PB|=|t|PB|=|t1 1t t2 2|=4.|=4.答案：答案： 4 4【反思反思感悟感悟】利用直线的
23、参数方程研究直线与圆锥曲线的位利用直线的参数方程研究直线与圆锥曲线的位置关系以及弦长计算，可以使问题简便置关系以及弦长计算，可以使问题简便, ,方法是：方法是：把把l: : 代入圆锥曲线代入圆锥曲线C:F(x,y)=0,C:F(x,y)=0,消去消去x,yx,y得得到关于到关于t t的一元二次方程的一元二次方程atat2 2+bt+c=0(a0)+bt+c=0(a0)，其中其中=b=b2 2-4ac.-4ac.当当000时，时，l与与C C有两个公共点，此时方程有两个公共点，此时方程atat2 2+bt+c=0+bt+c=0有两个不有两个不同的实数根同的实数根t t1 1、t t2 2，把参数，把参数t t1 1、t t2 2代入代入l的参数方程，即可求得的参数方程，即可求得l与与C C的两个交点的两个交点M M1 1、M M2 2的坐标，进而可求得的坐标，进而可求得|M|M1 1M M2 2|.|.
