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1、小专题复习课（四）立体几何热热 点点 聚聚 焦焦考考 情情 播播 报报 热点一：空间热点一：空间几何体的三视几何体的三视图图1.1.此类问题多为考查三视图的还原问题，且常与空此类问题多为考查三视图的还原问题，且常与空间几何体的表面积、体积等问题结合命题间几何体的表面积、体积等问题结合命题2.2.试题多以选择题或填空题的形式出现，主要考查试题多以选择题或填空题的形式出现，主要考查学生的空间想象能力及运算能力，属中档题学生的空间想象能力及运算能力，属中档题热点二：空间热点二：空间几何体的表面几何体的表面积与体积的计积与体积的计算问题算问题1.1.此类问题常以三视图为载体，通常是给出某几何此类问题常
2、以三视图为载体，通常是给出某几何体的三视图，要求考生求解该几何体的表面积或体体的三视图，要求考生求解该几何体的表面积或体积积2.2.试题以选择题、填空题为主，考查学生的计算能试题以选择题、填空题为主，考查学生的计算能力，属中档题力，属中档题热热 点点 聚聚 焦焦考考 情情 播播 报报热点三：有关线、热点三：有关线、面位置关系和命面位置关系和命题真假的判断题真假的判断1.1.此类问题涉及知识面广，综合性强，通常是考此类问题涉及知识面广，综合性强，通常是考查空间线线、线面、面面位置关系的判定与性质查空间线线、线面、面面位置关系的判定与性质2.2.试题以选择题的形式出现，考查学生的空间想试题以选择题
3、的形式出现，考查学生的空间想象能力及分析问题、解决问题的能力象能力及分析问题、解决问题的能力热点四：空间位热点四：空间位置关系的证明置关系的证明1.1.此类问题多以多面体为载体，考查线线、线面、此类问题多以多面体为载体，考查线线、线面、面面间的平行与垂直之间的相互转化面面间的平行与垂直之间的相互转化2.2.试题多为解答题，考查学生的推理能力和空间试题多为解答题，考查学生的推理能力和空间想象能力想象能力热点五：折叠问热点五：折叠问题题1.1.此类问题通常是把平面图形折叠成空间几何体，此类问题通常是把平面图形折叠成空间几何体，并以此为载体考查线线、线面、面面的位置关系并以此为载体考查线线、线面、面
4、面的位置关系及有关计算及有关计算2.2.试题以解答题为主，考查学生的空间想象能力试题以解答题为主，考查学生的空间想象能力和知识迁移能力和知识迁移能力热点热点 一一 空间几何体的三视图空间几何体的三视图1.1.如图是长和宽分别相等的两个矩形如图是长和宽分别相等的两个矩形. .给定下列三个命题：给定下列三个命题：存在三棱柱，其正视图、俯视图如图；存在三棱柱，其正视图、俯视图如图；存在四棱柱，其正视图、俯视图如图；存在四棱柱，其正视图、俯视图如图；存在圆柱，其正视图、俯视图如图存在圆柱，其正视图、俯视图如图. .其中真命题的个数是其中真命题的个数是( )( )(A)3 (B)2 (C)1 (D)0(
5、A)3 (B)2 (C)1 (D)0 【解析解析】选选A.A.存在直三棱柱，其三视图中有两个为矩形，一个存在直三棱柱，其三视图中有两个为矩形，一个为直角三角形满足条件，故为直角三角形满足条件，故为真命题；为真命题；存在正四棱柱，其三视图均为矩形，满足条件，故存在正四棱柱，其三视图均为矩形，满足条件，故为真命题；为真命题；对于任意的圆柱，其三视图中有两个为矩形，一个是以底面半对于任意的圆柱，其三视图中有两个为矩形，一个是以底面半径为半径的圆，也满足条件，故径为半径的圆，也满足条件，故为真命题为真命题. .故选故选A.A.2.2.如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为如图，某几何体的正视图与侧视
6、图都是边长为1 1的正方形，的正方形，且体积为且体积为 则该几何体的俯视图可以是则该几何体的俯视图可以是( )( )【解析解析】选选C.C.方法一：方法一：体积为体积为 ，而高为，而高为1 1，故底面积，故底面积为为 ，选，选C.C.方法二：选项方法二：选项A A得到的几何体为正方体，其体积为得到的几何体为正方体，其体积为1 1，故排，故排除除A A；而选项；而选项B B，D D所得几何体的体积都与所得几何体的体积都与有关，排除有关，排除B B，D D；易知选项易知选项C C符合符合. .3.3.某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积
7、中，最大的是大的是( )( )(A)8 (B) (C)10 (D)(A)8 (B) (C)10 (D)【解析解析】选选C.C.该四面体是四个面均为直角三角形的四面体，该四面体是四个面均为直角三角形的四面体，其面积分别为其面积分别为6 6，8 8， ，1010，故最大面积为，故最大面积为10.10.4.4.若正三棱锥的正视图与俯视图若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示如图所示( (单位：单位：cm)cm)，则它的侧，则它的侧视图的面积为视图的面积为_ cm_ cm2 2. .【解析解析】由正视图和俯视图可知，由正视图和俯视图可知，侧视图的底边长为俯视图的高即侧视图的底边长为俯视图的高即侧视图的高为
8、正视图的高侧视图的高为正视图的高 所以所以侧视图的面积为侧视图的面积为 (cm(cm2 2).).答案答案: :热点热点 二二 空间几何体的表面积与体积的计算问题空间几何体的表面积与体积的计算问题1.(20131.(2013济南模拟济南模拟) ) 一个几何体一个几何体的三视图如图所示的三视图如图所示( (单位单位:cm),:cm), 则此几何体的表面积是则此几何体的表面积是( )( )(A)(80+ ) cm(A)(80+ ) cm2 2 (B)84 cm(B)84 cm2 2(C)(96+ ) cm(C)(96+ ) cm2 2 (D)96 cm(D)96 cm2 2【解析解析】选选A.A.
9、由三视图可得该几何体是正四棱锥与正方体的由三视图可得该几何体是正四棱锥与正方体的组合，组合，S S表面积表面积2.2.若某几何体的三视图若某几何体的三视图( (单单位：位：cm)cm)如图所示，则此几如图所示，则此几何体的体积为何体的体积为( )( )(A) cm(A) cm3 3(B)70 cm(B)70 cm3 3(C) cm(C) cm3 3(D)100 cm(D)100 cm3 3【解析解析】选选A.A.由三视图可知，该几何体上部是一个圆台，由三视图可知，该几何体上部是一个圆台，下部是一个半球，故其体积为下部是一个半球，故其体积为故选故选A.A.3.3.一个几何体的三视图如一个几何体的
10、三视图如图所示，其中正视图是一图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积是体的外接球的表面积是( )( )(A) (B) (A) (B) (C) (D)(C) (D)【解析解析】选选B.B.根据三视图还原几何体为一个如图所示的三棱根据三视图还原几何体为一个如图所示的三棱锥锥D-ABCD-ABC，其中平面，其中平面ADCADC平面平面ABCABC，ADCADC为等边三角形为等边三角形. .取取ACAC的中点为的中点为E E，连接，连接DEDE，BEBE，则有则有DEACDEAC，所以，所以DEDE平面平面ABCABC，所以所以DEEB.DEEB.由图中数
11、据知由图中数据知AE=EC=EB=1AE=EC=EB=1， 设此三棱锥的外接球的球心设此三棱锥的外接球的球心为为O O，则它落在高线，则它落在高线DEDE上，连接上，连接OAOA，则有，则有 所以所以 故球故球O O的半径为的半径为故所求几何体的外接球的表面积故所求几何体的外接球的表面积 故选故选B.B.4.(20134.(2013海淀模拟海淀模拟) )某几何体的某几何体的正视图与俯视图如图所示，侧视正视图与俯视图如图所示，侧视图与正视图相同，且图中的四边图与正视图相同，且图中的四边形都是边长为形都是边长为2 2的正方形，两条虚的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积线互相垂直，则该几何体
12、的体积是是( )( )(A) (B)(A) (B)(C)6 (D)4(C)6 (D)4【解析解析】选选A.A.由三视图知，该几何体是正方体挖去一个以由三视图知，该几何体是正方体挖去一个以正方体的中心为顶点，以正方体的上面为底面的四棱锥后正方体的中心为顶点，以正方体的上面为底面的四棱锥后的剩余部分，其体积为的剩余部分，其体积为 故选故选A.A.热点热点 三三 有关线、面位置关系和命题真假的判断有关线、面位置关系和命题真假的判断1.1.设设l,m,m是两条不同的直线，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是一个平面，则下列命题正确的是是( )( )(A)(A)若若lm,mm,m, ,则则l
13、(B)(B)若若l,lmm, ,则则mm(C)(C)若若l,m,m，则，则lmm(D)(D)若若l,m,m, ,则则lmm【解析解析】选选B.B.根据线线、线面位置可知，根据线线、线面位置可知，A A中中l可在可在内或者与内或者与相交但不垂直或者相交但不垂直或者l与与平行，平行，C C中中l与与m m也可以垂直或异面，也可以垂直或异面，D D中中l与与m m也可以异面或相交也可以异面或相交. .故选故选B.B.2.2.设设，为平面，为平面，l，m,nm,n为直线，则为直线，则mm的一个充分条的一个充分条件为件为( )( )( (A),A),= =l,m,ml( (B)n,n,mB)n,n,m(
14、 (C)C)= =m,m,( (D),mD),m，mm【解析解析】选选B.B.如图如图知知A A错；如图错；如图知知C C错；如图错；如图在正方体中，在正方体中，两侧面两侧面与与相交于相交于l, ,都与底面都与底面垂直，垂直，内的直线内的直线mm，但，但m m与与不垂直，故不垂直，故D D错；由错；由n,nn,n, ,得得. .又又mm, ,则则mm，故，故B B正确正确. .3.(20133.(2013武汉模拟武汉模拟) )设设,为两个不重合的平面，为两个不重合的平面，m,nm,n是两条是两条不重合的直线，给出下列命题：不重合的直线，给出下列命题：若若mn,mmn,m, ,则则nn; ;若若
15、n n,m,m,与与相交且不垂直，则相交且不垂直，则n n与与m m不垂直；不垂直；若若,= =m,nmm,nm, ,则则nn; ;若若mn,n,mn,n, ,则则mm. .其中所有真命题的序号是其中所有真命题的序号是_._.【解析解析】若若mn,mmn,m, ,则则nn或或n n ,是假命题；是假命题；中的中的n n与与m m可以垂直，假命题；可以垂直，假命题；中中nn，或，或n n , ,或或n n与与相交，但不垂直，或相交，但不垂直，或nn，假命题；，假命题；是真命题是真命题. .答案答案: :热点热点 四四 空间位置关系的证明空间位置关系的证明1.1.如图，已知如图，已知ABAB平面平
16、面ACDACD，DEABDEAB，AD=AC=DE=2AB=2AD=AC=DE=2AB=2，且且F F是是CDCD的中点，的中点，AF= .AF= .(1)(1)求证：求证：AFAF平面平面BCE.BCE.(2)(2)求证：平面求证：平面BCEBCE平面平面CDE.CDE.(3)(3)求此多面体的体积求此多面体的体积. . 【解析解析】(1)(1)取取CECE的中点的中点P P，连接，连接FPFP，BPBP，F F为为CDCD的中点，的中点，FPDEFPDE，且，且FP= DE.FP= DE.又又ABDEABDE，且，且AB= DEAB= DE，ABFPABFP，且，且AB=FPAB=FP，四
17、边形四边形ABPFABPF为平行四边形，为平行四边形，AFBP.AFBP.又又AF AF 平面平面BCEBCE，BPBP 平面平面BCEBCE，AFAF平面平面BCE.BCE.(2)AD=AC(2)AD=AC，F F是是CDCD的中点，的中点，AFCD.AFCD.ABAB平面平面ACDACD，DEABDEAB，DEDE平面平面ACD.ACD.又又AFAF 平面平面ACDACD，DEAF.DEAF.又又AFCDAFCD，CDDE=DCDDE=D，AFAF平面平面CDE.CDE.又又BPAFBPAF，BPBP平面平面CDE.CDE.又又BPBP 平面平面BCEBCE，平面平面BCEBCE平面平面C
18、DE.CDE.(3)(3)此多面体是一个以此多面体是一个以C C为顶点，以四边形为顶点，以四边形ABEDABED为底面的为底面的四棱锥，又四棱锥，又AF= AC=AD=2AF= AC=AD=2，AFCDAFCD，CD=2CD=2，ACDACD为等边三角形为等边三角形. .S S四边形四边形ABEDABED= = 平面平面ABEDABED平面平面ADCADC，等边三角形等边三角形ACDACD中中ADAD边上的高就是四棱锥的高，边上的高就是四棱锥的高，2.2.如图，在直四棱柱如图，在直四棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，四边形中，四边形ABCDABCD是梯形
19、，是梯形，ADBCADBC，ACCDACCD，E E是是AAAA1 1上的一点上的一点. .(1)(1)求证：求证：CDCD平面平面ACE.ACE.(2)(2)若平面若平面CBECBE交交DDDD1 1于点于点F F，求证求证:EFAD.:EFAD.【证明证明】(1)(1)因为因为ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1为直四棱柱，为直四棱柱，所以所以AAAA1 1平面平面ABCD.ABCD.因为因为CDCD 平面平面ABCDABCD，所以，所以AAAA1 1CDCD，即，即AECD.AECD.因为因为ACCDACCD，AEAE 平面平面AECAEC，ACAC 平面平
20、面AECAEC，AEAC=AAEAC=A，所以所以CDCD平面平面AEC.AEC.(2)(2)因为因为ADBCADBC，ADAD 平面平面ADDADD1 1A A1 1，BC BC 平面平面ADDADD1 1A A1 1，所以，所以BCBC平面平面ADDADD1 1A A1 1. .因为因为BCBC 平面平面BCEBCE，平面，平面BCEBCE平面平面ADDADD1 1A A1 1=EF=EF，所以所以EFBC.EFBC.因为因为ADBCADBC，所以，所以EFAD.EFAD.热点热点 五五 折叠问题折叠问题1.1.将如图将如图所示的直角梯形所示的直角梯形ABEF(ABEF(图中数字表示对应线
21、段的长图中数字表示对应线段的长度度) )沿直线沿直线CDCD折成直二面角，连接部分线段后围成一个空间几折成直二面角，连接部分线段后围成一个空间几何体，如图何体，如图所示所示. .(1)(1)证明：证明：BEBE平面平面ADF.ADF.(2)(2)设设M M是是FBFB的中点，求证：的中点，求证：EMEM平面平面BDF.BDF.【证明证明】(1)CEDF(1)CEDF，CE CE 平面平面DAFDAF，DFDF 平面平面DAFDAF，CECE平面平面DAF. DAF. 又又BCADBCAD，BC BC 平面平面DAFDAF，ADAD 平面平面DAFDAF，BCBC平面平面DAF.DAF.CEBC
22、=CCEBC=C，平面平面CBECBE平面平面DAF.DAF.又又BEBE 平面平面CBECBE，BEBE平面平面ADF.ADF.(2)(2)取取BDBD的中点的中点O O，连接，连接MOMO，CO.CO.则则MOFDMOFD，且，且MO= FDMO= FDECMOECMO且且EC=MOEC=MO四边形四边形MECOMECO为平行四边形为平行四边形MECO.MECO.由已知由已知FDDCFDDC，平面，平面FDCFDC平面平面ABCDABCD，平面平面FDCFDC平面平面ABCD=CDABCD=CD，FDFD平面平面ABCDABCD，FDOC.FDOC.又易知又易知BDOCBDOC，BDFD=
23、DBDFD=D，COCO平面平面BDF.EMBDF.EM平面平面BDF.BDF.2.2.已知矩形已知矩形ABCDABCD中，中，AB=3AB=3，AD=2AD=2，点，点E E在在CDCD上且上且CE=1CE=1，如图，如图(1).(1).把把DAEDAE沿沿AEAE向上折起到向上折起到DAEDAE的位置，使二面角的位置，使二面角D-AE-BD-AE-B的大小为的大小为120120，如图，如图(2).(2).(1)(1)求四棱锥求四棱锥D-ABCED-ABCE的体积的体积. .(2)(2)求求CDCD与平面与平面ABCEABCE所成角的正切值所成角的正切值. .(3)(3)设设M M为为CDC
24、D的中点，棱的中点，棱ABAB上是否存在点上是否存在点N N，使，使MNMN平面平面DAEDAE？若存在，试求出点若存在，试求出点N N位置；若不存在，请说明理由位置；若不存在，请说明理由. .【解析】【解析】(1)(1)取取AEAE的中点的中点P P，连接，连接DPDP，DP,DP,由由DA=DEDA=DE，DA=DEDA=DEDPAE,DPAE.DPAE,DPAE.故故DPD=60DPD=60DDPDDP为等边三角形，为等边三角形，DD在平面在平面ABCDABCD内的射影内的射影H H为为PDPD的中点，的中点，(2)(2)由题意知由题意知DCHDCH即为即为CDCD与平面与平面ABCEA
25、BCE所成的角所成的角. .在三角形在三角形CDHCDH中，中，DH= DH= ，CD=3CD=3，CDH=45CDH=45, ,由余弦定理可得由余弦定理可得CH= CH= tanDCHtanDCH= =(3)(3)取取CECE的中点的中点F F，连接，连接MFMF，则，则MFDEMFDE，在平面在平面ABCEABCE内过内过F F作作FNAEFNAE交交ABAB于于N N，连接，连接MN.MN.又又MFNF=FMFNF=F，DEAE=EDEAE=E，则平面，则平面MFNMFN平面平面DAEDAE，又又MNMN在平面在平面MFNMFN内，故内，故MNMN平面平面DAEDAE，此时此时AN=EF= CE= AN=EF= CE= ，故存在点故存在点N N使使MNMN平面平面DAE.DAE.
