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1、三角函数 任意角三角函数 任意角的三角函数定义： 设是一个任意大小的角， 角终边上任意一点 P 的坐标是 yx,，它与原点的距离是) 0( rr，那么角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是yrxryxxyrxrycsc,sec,cot,tan,cos,sin.这六个函数统称为三角函数. 三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各象限注明的函数为正，其余为负值） 可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正. 三、经典例题导讲 例 1填入不等号：（1） ；（2） tan3200_0；（3） ； （5） 。 例 2 若 A、B、C 是ABC的三个内角，且)2(CCBA，则下列结论
2、中正确的个数是（ ） .CAsinsin .CAcotcot .CAtantan .CAcoscos A1 B.2 C.3 D.4 例 3 若角满足条件0sincos, 02sin，则在第（ ）象限. 例 4 已知角的终边经过) 0)(3 ,4(aaaP，求cot,tan,cos,sin的值. 例 5 已知是第三象限角，化简sin1sin1sin1sin1 三角函数基本关系式与诱导公式 平方关系： 1cossin22；商数关系：cossintan；倒数关系：1cottan 三角函数的诱导公式： 1 sin 2sink ，cos 2cosk ，tan 2tankk 2 sinsin ，cosco
3、s ，tantan 3 sinsin ， coscos， tantan 4 sinsin ，coscos ，tantan 口诀：函数名称不变，符号看象限 5 sincos2，cossin2 6 sincos2，cossin2 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限 例 1已知cot051cossin），则，（，_ 例 2求证： （1）sin（23 ）=cos ； （2）cos（23+ ）=sin 例 3若函数)2cos(2sin)2sin(42cos1)(xxaxxxf的最大值为 2，试确定常数 a 的值. 例 4化简：790cos250sin430cos290sin21 离是那么角的正弦余弦正切余
4、切正割余割分别是这六个函数统称为三角函数三角函数值的符号各三角函数值在第个象限的符号如图所示各象限注明的函数为正其余为负值可以简记为一全二正三切四余为正三经典例题导讲例填入不等是第三象限角化简三角函数基本关系式与诱导公式平方关系商数关系倒数关系三角函数的诱导公式口诀函数名称不变符号看象限口诀正弦与余弦互换符号看象限例已知则例求证例若函数的最大值为试确定常数的值例化简三角函数的的值为或例求值例已知函数当时求的单调递增区间当且时的值域是求的值三角函数的图像与性质中及对正弦函数图像的影响应记住图像变换是对自变量而言向右平移个单位应得图时将而不是用五点法作看作整体取来求相应的值及对三角函数的恒等变换
5、1.两角和、差、倍、半公式 两角和与差的三角函数公式 s inc o ss ins in)s in ( s ins inc o sc o s)c o s ( t a nt a n1t a nt a n)t a n ( 二倍角公式 cossin22sin 2222sin211cos2sincos2cos 2tan1tan22tan 半角公式 2cos12sin2 ， 2c o s12c o s2 ， cos1cos12tan2 sincos1cos1sin2tan 例 1 13. 已知2 3sincos,223那么sin的值为 ,cos2的值为 ; 例 2 ABC中，已知 cosA=135，si
6、nB=53，则 cosC 的值为（ ） A.6516 B.6556 C.6516或6556 D.6516 例3求值：21( 3tan123)sin124cos 122 例4 已知函数2( )(cossincos )f xaxxxb （1）当0a 时，求( )f x的单调递增区间； （2）当0a 且0,2x时，( )f x的值域是3, 4,求, a b的值. 离是那么角的正弦余弦正切余切正割余割分别是这六个函数统称为三角函数三角函数值的符号各三角函数值在第个象限的符号如图所示各象限注明的函数为正其余为负值可以简记为一全二正三切四余为正三经典例题导讲例填入不等是第三象限角化简三角函数基本关系式与诱
7、导公式平方关系商数关系倒数关系三角函数的诱导公式口诀函数名称不变符号看象限口诀正弦与余弦互换符号看象限例已知则例求证例若函数的最大值为试确定常数的值例化简三角函数的的值为或例求值例已知函数当时求的单调递增区间当且时的值域是求的值三角函数的图像与性质中及对正弦函数图像的影响应记住图像变换是对自变量而言向右平移个单位应得图时将而不是用五点法作看作整体取来求相应的值及对三角函数的图像与性质 )sin(xAy+) 0, 0(AB中，,BA及，对正弦函数xysin图像的影响，应记住图像变换是对自变量而言. xy2sin向右平移6个单位，应得)6( 2sinxy，而不是)62sin(xy用“五点法”作)s
8、in(xAy) 0, 0(A图时，将x看作整体，取2, 0，2 ,23,来求相应的x值及对应的y值，再描点作图. )sin(xAy) 0, 0(A单调性的确定，基本方法是将x看作整体，如求增区间可由22kx)(22zkk解出x的范围.若x的系数为负数，通常先通过诱导公式处理. 例 1 为了得到函数62sinxy的图像，可以将函数xy2cos的图像（ ） A 向右平移6 B 向右平移3 C 向左平移6 D向左平移3 例 2 要得到 y=sin2x 的图像,只需将 y=cos(2x-4)的图像 ( ) A.向右平移8 B.向左平移8 C.向右平移4 D.向左平移4 例 3 下列四个函数 y=tan
9、2x ，y=cos2x ，y=sin4x ，y=cot(x+4), 其中以点(4,0) 为中心对称的三角函数有（ ）个. A1 B2 C3 D4 例 4 函数), 0)(26sin(2xxy为增函数的区间是 ( ) A. 3, 0 B. 127,12 C. 65,3 D. ,65 例 5 已知定义在区间32,上的函数)(xfy 的图像关于直线6x对称，当32,6x时，函数)22,0,0()sin()(AxAxf， 其图像如图所示. （1）求函数)(xfy 在32,的表达式； （2）求方程22)(xf的解. x y o 1 6x 32 6 离是那么角的正弦余弦正切余切正割余割分别是这六个函数统称
10、为三角函数三角函数值的符号各三角函数值在第个象限的符号如图所示各象限注明的函数为正其余为负值可以简记为一全二正三切四余为正三经典例题导讲例填入不等是第三象限角化简三角函数基本关系式与诱导公式平方关系商数关系倒数关系三角函数的诱导公式口诀函数名称不变符号看象限口诀正弦与余弦互换符号看象限例已知则例求证例若函数的最大值为试确定常数的值例化简三角函数的的值为或例求值例已知函数当时求的单调递增区间当且时的值域是求的值三角函数的图像与性质中及对正弦函数图像的影响应记住图像变换是对自变量而言向右平移个单位应得图时将而不是用五点法作看作整体取来求相应的值及对解三角形及三角函数的应用 解三角形的的常用定理:
11、(1) 内角和定理:CBA结合诱导公式可减少角的个数. (2) 正弦定理: RCcBbAa2sinsinsin（R指ABC外接圆的半径） )sin21sin21sin21(BacAbcCabS (3) 余弦定理: 222cos2cCabba及其变形. (4) 勾股定理: 222cbaABCRt中 例 1在ABC中，已知80a，100b，045A ，试判断此三角形的解的情况。 例 2在ABC中，已知2 3a，62c，060B，求 b 及 A 例 3在ABC中，060A，1b，面积为32，求sinsinsinabcABC 的值 离是那么角的正弦余弦正切余切正割余割分别是这六个函数统称为三角函数三角
12、函数值的符号各三角函数值在第个象限的符号如图所示各象限注明的函数为正其余为负值可以简记为一全二正三切四余为正三经典例题导讲例填入不等是第三象限角化简三角函数基本关系式与诱导公式平方关系商数关系倒数关系三角函数的诱导公式口诀函数名称不变符号看象限口诀正弦与余弦互换符号看象限例已知则例求证例若函数的最大值为试确定常数的值例化简三角函数的的值为或例求值例已知函数当时求的单调递增区间当且时的值域是求的值三角函数的图像与性质中及对正弦函数图像的影响应记住图像变换是对自变量而言向右平移个单位应得图时将而不是用五点法作看作整体取来求相应的值及对 例 4如图，设 A、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，
13、测量者在 A的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC的距离是 55m，BAC=51，ACB=75。求 A、B两点的距离( 精确到 0.1m) 例 5 如图， 一艘海轮从 A出发， 沿北偏东 75的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然后从B出发,沿北偏东 32的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接从 A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到 0.1,距离精确到 0.01n mile) 离是那么角的正弦余弦正切余切正割余割分别是这六个函数统称为三角函数三角函数值的符号各三角函数值在第个象限的符号如图所示各象限注明的函数为正其余为负值可以简记为一全二正三切四余为正三经典例题导讲例填入不等是第三象限角化简三角函数基本关系式与诱导公式平方关系商数关系倒数关系三角函数的诱导公式口诀函数名称不变符号看象限口诀正弦与余弦互换符号看象限例已知则例求证例若函数的最大值为试确定常数的值例化简三角函数的的值为或例求值例已知函数当时求的单调递增区间当且时的值域是求的值三角函数的图像与性质中及对正弦函数图像的影响应记住图像变换是对自变量而言向右平移个单位应得图时将而不是用五点法作看作整体取来求相应的值及对
