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1、归纳与整理归纳与整理 专题一专题二专题一集合的运算集合运算是本章的重点内容,也是本章考试的主体内容,同学们必须熟练掌握.对于较简单的集合运算问题,可直接利用交集、并集和补集的定义;对于较复杂的集合运算问题,可借助数轴、Venn图.另外同学们还要掌握已知集合运算的结果求集合中参数的值或范围的问题.专题一专题二【例1】已知集合A=x|3x7,B=x|2x10,C=x|xa.(导学号51790024)(1)求AB,(RA)B;(2)若AC,求a的取值范围.思路分析借助数轴求解.解(1)AB=x|2x10.RA=x|x3,或x7,(RA)B=x|2x3,或7x3.品思感悟解含不等式的集合的交集、并集、
2、补集运算时,一定要借助数轴,利用其直观性求解,特别要注意含参问题中等号的取舍.专题一专题二专题二本章主要数学思想数学思想是数学的灵魂,是形成良好认知结构的纽带,是由知识转化为能力的桥梁.在集合问题中蕴含着丰富的数学思想,同学们在解题时不能仅仅满足答案的获得,还应该总结提炼,体会问题所蕴含的数学思想,从而促进自己知识水平和能力水平的飞跃.1.数形结合思想数形结合思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合,通过数形的转化,可以培养思维的灵活性、形象性,使问题化难为易、化抽象为具体.通过“形”往往可以解决用“数”很难解决的问题.集合中常用的方法是数轴法和Venn图法
3、.专题一专题二【例2】已知全集U=x|x250,xN,L(UM)=1,6,M(UL)=2,3,U(ML)=0,5,求集合M和L. (导学号51790025)思路分析可借助于Venn图解决.解全集U=x|x250,xN=0,1,2,3,4,5,6,7,将L(UM)=1,6,M(UL)=2,3,U(ML)=0,5中的元素在Venn图中依次定位如下.U=0,1,2,3,4,5,6,7,AB=4,7.M=2,3,4,7,L=1,4,6,7.品思感悟集合问题大都比较抽象,解题时要尽可能借助Venn图、数轴等工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象化、明朗化,从而使问题获解.专题一专题二2.分类讨论思想
4、分类讨论思想,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准进行分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解.使用分类讨论思想解题需注意三个方面:一是需要讨论时再讨论,不一定是解题的第一步就讨论;二是分类的标准要统一,分类要做到不重不漏;三是分类后要进行总结.专题一专题二【例3】已知集合P=x|x2-3x+b=0,xR,Q=x|(x+1)(x2+3x-4)=0,xR. (导学号51790026)(1)若b=4,存在集合M,使得PMQ,求出这样的集合M;(2)P能否成为Q的一个子集?若能,求b的取值或取值范围;若不能,请说明理由.思路分析第(1
5、)问要求的集合M有两个限制条件:PM且MQ,可用列举法写出集合M;第(2)问实质是一个存在性问题,解决这类问题的一般方法是先假设存在性成立,然后从已知出发,进行运算化简或推理论证,若出现矛盾,则存在性不成立,否则存在性成立.专题一专题二专题一专题二3.等价转化思想等价转化思想就是通过不断地转化、变形,把不熟悉、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题,从而便于问题的解决.【例4】已知集合A=x|x2-ax+a2-19=0,B=x|x2-5x+6=0,C=x|x2+2x-8=0. (导学号51790027)(1)若AB=BA,求a的值;(2)若AB,AC=,求a的值.思路分析对于(1),必须理解AB=A
6、B的意义.即由AAB=ABB,可知AB;又由AAB=ABB,可知AB,从而知A=B.对于(2),关键是抓住空集这个特殊集合,理解它的意义和性质,即由AB,得出AB的结论.专题一专题二解(1)由已知,得B=2,3,AB=AB,A=B.2,3是一元二次方程x2-ax+a2-19=0的两个根.解得a=5.(2)由已知,得B=2,3,C=2,-4,由AB,AC=,得3A,2A,-4A,由3A,得32-3a+a2-19=0,解得a=5,或a=-2,当a=5时,A=x|x2-5x+6=0=2,3,与2A矛盾;当a=-2时,A=x|x2+2x-15=0=3,-5,符合题意.故a=-2.专题一专题二品思感悟研究集合问题,首先要明确集合中的元素是什么.解决本题的关键是利用重要结论“由AB=AB,得A=B”及空集的特征,另外对求出的结果要检验,即是否满足集合中元素的特性.
