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1、目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 二、二、 无穷大量无穷大量 三三 、 无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量的关系 一、一、 无穷小量无穷小量 第三节第三节无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量目录 上页 下页 返回 结束 注意注意1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.一、无穷小量一、无穷小量1.定义定义:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.目录 上页 下页 返回 结束 2.无穷小量与函数极限的关系无穷小量与函数极限的关系:意义意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般
2、极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小);目录 上页 下页 返回 结束 3.无穷小量的运算性质无穷小量的运算性质: 定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小量的和有限个无穷小量的和,差仍是无穷小量差仍是无穷小量.证证目录 上页 下页 返回 结束 注意注意无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小. .目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小有界函数与无穷小量的乘积是无穷小.证证目录 上页 下页 返回 结束 推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小有极限的变量与无穷小量的乘积是无穷小量的乘积是无穷小.
3、推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小量常数与无穷小的乘积是无穷小量. 推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小量有限个无穷小的乘积也是无穷小量.都是无穷小都是无穷小目录 上页 下页 返回 结束 二、无穷小量的比较例如例如,极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.不可比不可比.观观察察各各极极限限无穷小量的和，差，积是无穷小，那么商呢？无穷小量的和，差，积是无穷小，那么商呢？目录 上页 下页 返回 结束 定义定义: :目录 上页 下页 返回 结束 注意：注意：1.1.高阶无穷小量趋于高阶无穷小量趋于0 0的速度快；的速度快；2.2.等价无穷小量常用于求
4、极限；等价无穷小量常用于求极限；3.目录 上页 下页 返回 结束 特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大注意注意1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3. 无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.二、无穷大量二、无穷大量绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例无穷大量是否一定是无界量 ?在某极限过程中,无界量是否一定是无穷大量 ?但该数列是无界的. 目录 上页 下页 返回 结束 三、无穷小量与无穷大
5、量的关系 定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大量的倒数为无无穷大量的倒数为无穷小量穷小量; ;恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量. .证证目录 上页 下页 返回 结束 意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无都可归结为关于无穷小的讨论穷小的讨论.目录 上页 下页 返回 结束 四、小结四、小结1、主要内容、主要内容:两个定义两个定义;四个定理四个定理;三个推论三个推论.2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1） 无穷小（无穷小（ 大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；混淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. .（3） 无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.目录 上页 下页 返回 结束 思考题思考题目录 上页 下页 返回 结束 思考题解答思考题解答不能保证不能保证.例例有有
