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1、习习 题题 课课三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和傅式级数四、函数的幂级数和傅式级数 展开法展开法一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 求和展开(在收敛域内进行)基本问题基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅里叶级数.为傅氏系数) 时,时为数项级数;时为幂级数;一、数项级数的审敛法一、数项级数的审敛法1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比较审敛法用它法判别积分审敛法部分和极限3. 任意项级数审敛法为收敛级数Le
2、ibniz审敛审敛法法: 若且则交错级数收敛 ,概念概念:且余项若收敛 , 称绝对收敛若发散 , 称条件收敛例例1. 若级数均收敛 , 且证明级数收敛 .证证: 则由题设收敛收敛收敛例2. 判别下列级数的敛散性:提示提示: (1) 据比较审敛法的极限形式, 原级数发散 .原级数发散 故原级数收敛发散,收敛,用洛必达法则, 原级数发散 时收敛 ;时, 为 p 级数时收敛;时发散.时发散.例3. 设正项级数和也收敛 .法法1 由题设根据比较审敛法的极限形式知结论正确.都收敛, 证明级数法法2 因 故存在 N 0,当n N 时从而 再利用比较法可得结论例4. 设级数收敛 , 且是否也收敛？说明理由.
3、但对任意项级数却不一定收敛 .问级数提示提示: 对正项级数,由比较判别法可知级数收敛 ,收敛,级数发散 .例如, 取例5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:提示提示: (1) p 1 时, 绝对收敛 ;0 p1 时, 条件收敛 ;p0 时, 发散 .(2)故原级数绝对收敛.因单调递减, 且但对所以原级数仅条件收敛 .由Leibniz审敛法知级数收敛 ;因所以原级数绝对收敛 .二、求幂级数收敛域的方法二、求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R : 再讨论 非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性 .求下列级数的敛散域:练习练习:(自证) 解解:当
4、因此级数在端点发散 ,时,时原级数收敛 .故收敛域为解解: 因故收敛域为级数收敛;一般项不趋于0,级数发散; 例例.解解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数极限不存在 原级数 = 其收敛半径注意: 此题 求部分和式极限三、幂级数和函数的求法三、幂级数和函数的求法 求和逐项求导或求积分逐项求导或求积分对和函数求积或求导难直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值求部分和等 初等变换法: 分解、套用公式（在收敛区间内） 数项级数 求和例例3. 求幂级数易求出级数的收敛域为练习练习:解解: 原式=的和 .求级数四、函数的幂级数和傅式级数展开法四、函数的幂级数和傅式级数展开法 直接展开法 间接展开法练习练习:1) 将函数展开成 x 的幂级数. 利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式解解:1. 函数的幂级数展开法函数的幂级数展开法2) 设, 将 f (x)展开成x 的幂级数 ,的和. ( 2001考研 )解解:于是并求级数例例1 1解解补充补充例例2 2解解例例解解两边逐项积分两边逐项积分例例4 4解解对于级数（对于级数（1）例例5 5解解例例7 7解解例例8 8解解例例9 9分析分析例例1010解解例例1111解解和函数的图形为和函数的图形为例例1212解解由上式得由上式得例例1313解解
