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1、华师华师大大九年级数学下册九年级数学下册27.1.2.27.1.2.圆的对称性圆的对称性学习目标学习目标 理解并掌握理解并掌握垂径定理：垂径定理：垂直于弦垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。所对的两条弧。问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ?它是它是13001300多年前我国隋代建造的石多年前我国隋代建造的石拱桥拱桥, , 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.437.4m m, , 拱高拱高( (弧的中点到弧的中点到
2、弦的距离弦的距离) )为为7.27.2m m，你能求出你能求出赵州桥赵州桥主桥拱的半径吗？主桥拱的半径吗？.(精确到0.1米) 赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？ ABCD是是O的直径，过直径上任一点的直径，过直径上任一点P作弦作弦AB CD，将，将O沿沿CD对折，比较对折，比较图中的线段和弧，你有什么发现？图中的线段和弧，你有什么发现？OABDCP线线段：段： AP=BPAD=BD. AC=BC,弧：弧：动手操作，观察猜想动手操作，观察猜想.问题问题1.1. 垂直于弦的直径有什么特点？垂直于弦的直径有什么特点？如图如图,理由是理由是:连连结结OA,OB,OA,OB,O则则OA
3、=OB. CD ABAP=BP AOC= BOC AC = BC,n由由 CD是直是直径径 CDAB可推得可推得AP=BP, AC=BC,AD=BD. 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对并且平分弦所对的两条弧的两条弧.ABDCP定理定理：AD =BD,错垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。所对的两条弧。平分弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧直径（或过圆心的直线）直径（或过圆心的直线）垂直于弦垂直于弦判断题：判断题：(1)过圆心的直线平分弦过圆心的直线平分弦(2)垂直于
4、弦的直线平分弦垂直于弦的直线平分弦(3)O中，中，OE 弦弦AB于于E，则，则AE=BE oABCDE(1)oABCDE(2)O ABE(3)题设题设结论结论错对1 1半径为半径为4cm4cm的的O O中，弦中，弦ABAB=4cm,=4cm, 那么圆心那么圆心O O到弦到弦ABAB的距离是的距离是 . .2 2O O的直径为的直径为10cm10cm，圆心，圆心O O到弦到弦ABAB的的 距离为距离为3cm3cm，则弦，则弦ABAB的长是的长是 . .3 3半径为半径为2cm2cm的圆中，过半径的圆中，过半径OCOC中点中点E E且且 垂直于这条半径的弦垂直于这条半径的弦ABAB长是长是 . .
5、 8cmA AB BO OE EA AB BO OE EO OA AB BE EC 练一练练一练CDAB,问题问题2 2 平分弦的直径平分弦的直径有什么特点？有什么特点？如图在如图在 O中，直径中，直径CD交弦交弦AB于点于点P，AP=BP你能发现直径你能发现直径CD与弦与弦AB有什么关系？图有什么关系？图中有哪些等量关系中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法与同伴说说你的想法和理由和理由.O下下图是轴对称图形吗图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?发现图中有发现图中有:DCn由由 CD是直是直径径 AP=BP可推得可推得 AC=BC,AD=BD. PAB平分弦平分弦 的
6、直径垂直于的直径垂直于这条这条弦弦,并并且平分弦所对的两条弧且平分弦所对的两条弧;（不是直径不是直径）推论推论1：问题3：平分弧的直径有什么特点？ AC=BC,由由 CD是直径是直径可推得可推得 AP=BPAD=BD.CD AB,平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。推论推论2：OABDCPO ABDD问题4：弦的垂直平分线有什么特点？ AC=BC, CD是直径是直径可推得可推得 AP=BPAD=BD.由由CD AB 弦的垂直弦的垂直平分平分线经过圆心并且线经过圆心并且平分平分弦所对的两弦所对的两条弧。条弧。推论推论3：P垂直于弦的直径平分这条弦，并垂直于弦的
7、直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。且平分弦所对的两条弧。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧。弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧的两条弧。平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并并且平分弦所对的另一条弧且平分弦所对的另一条弧。垂径定理垂径定理理解理解记记忆忆推论推论2：推论推论1：推论推论3： 练一练练一练驶向胜利的彼岸挑战自我挑战自我1、判断：、判断： (1)垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两
8、条并且平分弦所对的两条弧弧。 （2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧另一条弧。 （3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦。 （4）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧。 （5）平行弦所夹的弧相等。）平行弦所夹的弧相等。 （6）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行。 1300多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图如图)的的桥拱是圆弧形桥拱是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对是弦的长弧所对是弦的长)为为 3
9、7.4 m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离,也叫弓形高也叫弓形高)为为7.2m,求桥拱的半径求桥拱的半径(精确到精确到0.1m).驶向胜利的彼岸求赵州桥桥拱半径的问题求赵州桥桥拱半径的问题解得：解得：R279（m）BODACR求赵州桥桥拱半径的问题求赵州桥桥拱半径的问题在在Rt OAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2赵州桥的主桥拱半径约为赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2AB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2在图中在图中如图，用弧如图，用弧ABAB表示主桥拱，设弧表示主桥拱，设弧ABAB所在圆的圆心
10、为所在圆的圆心为O O，半径为，半径为R R经过圆心经过圆心O O 作弦作弦AB AB 的垂线的垂线OCOC，D D为垂足，为垂足，OCOC与弧与弧AB AB 相交于点相交于点C C，根据前面的结论，根据前面的结论，D D 是是AB AB 的的中点，中点，C C是弧是弧ABAB的中点，的中点，CD CD 就是拱高就是拱高1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心圆心O到弦到弦AB的的距离距离（弦心距弦心距）为）为3cm，求，求 O的半径的半径OAB解：解：答：答： O的半径为的半径为5cm.在在RT AOE中中E过点过点O做做OE AB于于E,连结连结OA检测题检测题2已知：如图，在以已知：如图，在以O为为圆心的两个同心圆中，圆心的两个同心圆中，大圆的弦大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。两点。试说明：试说明：ACBD。证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为垂足为E，则，则 AEBE，CEDEAECEBEDEE.ACDBO检测检测 ACBD 3 已知已知 O的直径是的直径是50 cm， O的两条的两条平行弦平行弦AB=40 cm ，CD=48cm，求弦求弦AB与与CD之间的距离。之间的距离。 .AEBOCD20152525247讲解讲解.AEBOCDFEF有两解：有两解：15+7=22cm 15-7=8cm请你谈谈这节课的收获和体会。
