《高等数学（上）课件：3_4单调性及凹凸性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学（上）课件：3_4单调性及凹凸性（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高等数学（上）高等数学（上）高等数学（上）高等数学（上）3.43.43.43.4节节节节 函数的单调性函数的单调性函数的单调性函数的单调性 曲线的凹凸性曲线的凹凸性曲线的凹凸性曲线的凹凸性主主 要要 内内 容容12 函数单调性的判断法曲线的凹凸性与拐点函数单调性的判定法函数单调性的判定法若若定理定理 1. 设函数设函数则则 在在 I 内单调递增内单调递增(递减递减) .证证: 无妨设无妨设任取任取由拉格朗日中值定理得由拉格朗日中值定理得故故这说明这说明 在在 I 内单调递增内单调递增.在开区间在开区间 I 内可导内可导,证毕证毕例例1. 确定函数确定函数的单调区间的单调区间.解解:令令得得故故
2、的单调增区间为的单调增区间为的单调减区间为的单调减区间为说明说明: 1)单调区间的分界点除驻点外单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点也可是导数不存在的点. 例如例如,2) 如果函数在某驻点两边导数同号如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性则不改变函数的单调性 .例如例如,例例2. 证明证明时时, 成立不等式成立不等式证证: 令令从而从而因此因此且且证证* 证明证明令则从而即函数单调性的判定法函数单调性的判定法主主 要要 内内 容容12 函数单调性的判断法曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性和拐点曲线的凹凸性和拐点定义定义 . 设函数设函数在区间在区间 I 上连续上连续 ,(1
3、) 若恒有若恒有则称则称图形是图形是凹凹的的;(2) 若恒有若恒有则称则称连续曲线上有切线的凹凸分界点连续曲线上有切线的凹凸分界点称为称为拐点拐点 .图形是图形是凸凸的的 .定理定理2.(凹凸判定法凹凸判定法)(1) 在在 I 内内则则 在在 I 内图形是凹的内图形是凹的 ;(2) 在在 I 内内则则 在在 I 内图形是凸的内图形是凸的 .证证:利用一阶泰勒公式可得利用一阶泰勒公式可得两式相加两式相加说明说明 (1) 成立成立;(2)设函数设函数在区间在区间I 上有二阶导数上有二阶导数证毕证毕曲线的凹凸性和拐点曲线的凹凸性和拐点凸函数凸函数凹函数凹函数 ）+ +）例例3. 判断曲线判断曲线的凹
4、凸性的凹凸性.解解:故曲线故曲线在在上是向上凹的上是向上凹的.说明说明:1) 若在某点二阶导数为若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下可得拐点的判别法如下:若曲线若曲线或不存在或不存在,但但在在 两侧异号两侧异号, 则点则点是曲线是曲线的一个拐点的一个拐点.则曲线的凹凸性不变则曲线的凹凸性不变 .在其两侧二阶导数不变号在其两侧二阶导数不变号,例例4. 求曲线求曲线的拐点的拐点. 解解:不存在不存在因此点因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线为曲线的拐点的拐点 .凹凹凸凸曲线的凹凸性和拐点曲线的凹凸性和拐点例5. 求曲线求曲线的凹凸区
5、间及拐点.解解:1) 求2) 求拐点可疑点坐标令得对应3) 列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及均为拐点.凹凹凸本本 节节 小小 结结1. 可导函数单调性判别可导函数单调性判别在在 I 上单调递增上单调递增在在 I 上单调递减上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别曲线凹凸与拐点的判别+拐点拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点连续曲线上有切线的凹凸分界点备用练习题备用练习题上上则则或或的的大小顺序是大小顺序是 ( )提示提示: 利用利用单调增加单调增加 , 及及B1. 设在设在备用练习题备用练习题 .2. 曲线曲线的凹区间是的凹区间是凸区间是凸区间是拐点为拐点为提示提示:及及作业作业P152 3 (1),(7); 9 (3) ,(6); 10 (3); 12 ; 13 ; ;
