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1、Lecture 8Lecture 8风险厌恶风险厌恶度量度量度量度量Measure of Risk Aversion1;.2Topics to be discussed预期效用与主观概率理论，对人们在不确定环境中的行为进行了准确描述和深刻分析，论证了人们追求预期效用最大化的行为准则，为研究不确定条件下的选择问题提供了很好的理论基础。本讲在此基础上展开进一步讨论，议题主要有三个：l预期效用与主观概率理论是否反映了实际现象？l在不确定的环境中，人们对待风险的态度如何？l如何测定人们的风险规避倾向的强弱？第三个问题是本讲要重点讨论的。事实上，从赌博事例已经看到，随着效用函数的性能发生“凸性线性凹性”
2、的变化，消费者对待风险的态度相应地发生“爱好中立厌恶”的变化。由此可以猜想：效用函数越凹，人们越厌恶风险，风险规避倾向越强。我们将证明这一猜想。由此猜想可引出一种办法来测定人们的风险规避倾向的强弱风险厌恶度量。;.关于预期效用的悖论与争议关于预期效用的悖论与争议关于预期效用的悖论与争议关于预期效用的悖论与争议关于不确定条件下的选择问题，预期效用和主观概率似乎是完美的和合乎实际的理论，让我们完全有理由相信人们在不确定的环境(风险环境或无常环境)中是根据预期效用大小进行评判和选择的。然而阿莱和艾斯勃格分别对预期效用和主观概率进行了实际考察，发现了理论与实际不符的两个现象：Allais Parado
3、x 和 Ellsberg Paradox，引起了人们对这两种理论的质疑和争议。有些人借此否定预期效用和主观概率理论，认为需要建立新的理论来解释不确定条件下的选择行为。另一些人则认为，出现如此悖论的原因不是理论错了，而在于人们进行评判时发生了“视觉错误”。比如，有时候人们无法判断距离，但这不意味着需要重新发明一种距离概念。因此，预期效用和主观概率理论是正确的。下面，我们介绍这两个悖论。3( ( ( (一一一一) ) ) ) Allais Paradox Allais Paradox这是关于预期效用的悖论。现有四种彩票A、B、C、D，其奖励等级、获奖概率分布以及预期收入情况见下表所示。彩票彩票AB
4、CD奖金奖金(万元万元)100110100010001100获奖概率获奖概率100%10%89%1%11%89%10%90%预期收入预期收入(万元万元)1001001111l l调查结果调查结果调查结果调查结果：通过调查发现，很多人都认为 A B 且 D C。 A B 的原因：A 与 B 相比，虽然预期收入都为 100 万元，但购买 A 将稳当地得到 100 万元，购买 B 则有 1% 的可能性将一无所获，且多得10 万元的概率才仅仅不过 10%：概率小，多得额也不大。这样，A 明显比 B 好。D C 的原因： C与D相比，虽然预期收入都为11万元，但 D 仅以少1%的可能性就要比 C 多得1
5、0万元，因而 D 比 C 好。关于预期效用的悖论与争议关于预期效用的悖论与争议关于预期效用的悖论与争议关于预期效用的悖论与争议4l l计算预期效用计算预期效用计算预期效用计算预期效用设消费者的预期效用函数为 u。计算一下预期效用，则有： u(A) = u(100) u(B) = u(110)10% + u(100)89% + u(0)1% u(C) = u(100)11% + u(0)89% u(D) = u(110)10% + u(0)90% 根据调查结果 A B，应有 u(A) u(B)。由此可知：u(100)11% u(110)10% + u(0)1%在此式两边加上 u(0)89% 可得
6、：u(100)11% + u(0)89% u(110)10% + u(0)90% 即 u(C ) u(D)，这与调查结果 D C 相矛盾：通过预期效用函数 u 得到的评价与调查出的消费者实际评价相悖。这一悖论是否说明预期效用理论有些不切实际这一悖论是否说明预期效用理论有些不切实际？其实，这个悖论中消费者评价的“视觉错误”是明显存在的。( ( ( (一一一一) ) ) ) Allais Paradox Allais Paradox关于预期效用的悖论与争议关于预期效用的悖论与争议关于预期效用的悖论与争议关于预期效用的悖论与争议5A. 从袋中摸出一球，如果为红球，可得1000元。B. 从袋中摸出一球
7、，如果为蓝球，可得1000元。C. 从袋中摸出一球，若不是红球，可得1000元。D. 从袋中摸出一球，若不是蓝球，可得1000元。主观判断主观判断：面对这四种赌博，每个人都需要对袋中有多少蓝球和有多少绿球作出自己的主观判断，因而涉及主观概率主观概率。l l调查结果调查结果调查结果调查结果：通过调查发现，大多数人认为 A B 且 C D 。 其原因可能在于 A 的确定性比 B 高，C 的确定性比 D 高。 P：赌博者的主观概率测度主观概率测度。 u ：赌博者在主观概率测度 P 下的预期效用函数预期效用函数。A. F ：摸出的是红球摸出的是红球。 ：摸出的不是红球摸出的不是红球。B. G：摸出的是
8、蓝球摸出的是蓝球。 ：摸出的不是蓝球摸出的不是蓝球。( ( ( (二二二二) ) ) ) Ellsberg Paradox Ellsberg Paradox 这是关于主观概率的悖论。情景情景：袋中有红、蓝、绿球共300个，其中红球100个。现有四种形式的赌博 A、B、C、D：关于预期效用的悖论与争议关于预期效用的悖论与争议关于预期效用的悖论与争议关于预期效用的悖论与争议6l l计算预期效用计算预期效用计算预期效用计算预期效用从 A B 知：( p- q) u(1000) ( p- q) u(0)。从 C D 知：( p- q) u(1000) 0)。随机事件随机事件 F：发生的概率为p。通过事
9、件F，可以设计赌博。赌博赌博 g(x, y)：若事件F 发生，则赢 x 元，财富变为w +x 元；若事件F 未发生，则赢 y 元，经济人的财富变为w +y 元。平面平面R：每一点(x, y)R 都代表一个赌博g(x, y)。这样，R代表通过F 设计的赌博的全体G：G = R ，称为赌博平面赌博平面。赌博显示的风险厌恶程度指标赌博显示的风险厌恶程度指标赌博显示的风险厌恶程度指标赌博显示的风险厌恶程度指标 以上对于消费者对待风险的态度的研究表明，没有风险规避倾向的风险爱好者，其结果效用函数是严格凸的；而对风险持中立态度的消费者，其结果效用函数既不严格凸，也不严格凹；一旦消费者具有了风险规避倾向，其
10、结果效用函数就成为严格凹的。这种现象让我们产生一种猜想：效用函数越凹效用函数越凹，风险规避倾向越强风险规避倾向越强。那么，这一猜想是否正确？我们还是以为赌博为例，来对这个问题进行说明。14( ( ( (一一一一) ) ) ) 赌博平面赌博平面赌博平面赌博平面偏盈赌博偏盈赌博px + (1p)y 0偏亏赌博偏亏赌博px + (1p)y RPB( )。( ( ( (一一一一) ) ) ) 绝对风险规避倾向绝对风险规避倾向绝对风险规避倾向绝对风险规避倾向风险规避倾向与风险厌恶度风险规避倾向与风险厌恶度风险规避倾向与风险厌恶度风险规避倾向与风险厌恶度 普拉特定理中的那些不等式还可以换成严格不等式，从而
11、得到严格形式的普拉特定理。26( ( ( (二二二二) ) ) ) 相对风险规避倾向相对风险规避倾向相对风险规避倾向相对风险规避倾向风险规避倾向与风险厌恶度风险规避倾向与风险厌恶度风险规避倾向与风险厌恶度风险规避倾向与风险厌恶度 AP(w) 测量了数量的绝对变化中，经济人对风险的厌恶程度强弱。但实际中也常使用相对量变，即用比例来表达数量变化，这样做的好处在于消除了量纲影响，能更好地把握经济变量的变化。因此，我们也需要测量相对量变中经济人对风险的厌恶程度，即相对风险厌恶度或相对风险规避倾向。为此，我们给出如下定义。n定义(APR) 设 u : X R 是经济人的VNM效用函数，X = R。对任何
12、 w X，定义 APR(w)为： 函数 APR : X R叫做阿罗-普拉特相对风险厌恶度量函数相对风险厌恶度量函数。函数值 APR(w)叫做经济人在w 处的相对风险厌恶度相对风险厌恶度或相对风险规避倾向相对风险规避倾向。 271. 1. 赌博揭示的相对风险规避倾向赌博揭示的相对风险规避倾向赌博揭示的相对风险规避倾向赌博揭示的相对风险规避倾向u(r)：经济人的财富收入效用函 数，(rX )(u(r) 0)。w：经济人当前拥有w元财富。F：随机事件，发生概率为 p。R：相对赌博平面相对赌博平面，即G = R。( ( ( (二二二二) ) ) ) 相对风险规避倾向相对风险规避倾向相对风险规避倾向相对
13、风险规避倾向风险规避倾向与风险厌恶度风险规避倾向与风险厌恶度风险规避倾向与风险厌恶度风险规避倾向与风险厌恶度 l赌博(x, y)的预期效用预期效用：Eu(x, y) = pu(1+x)w)+(1p)u(1+y)w)。l赌博(x, y)的接受条件接受条件：Eu(x, y) u(w)。l公平公平赌博赌博(x, y)：p x +(1p)y = 0。偏盈赌博偏盈赌博px + (1p)y 0偏亏赌博偏亏赌博px + (1p)y 0，u : X R 为VNM效用函数，并且对一切 xX ，都有 u(x) 0。则有下述结论：经济人具有不变的相对风险规避倾向 1当且仅当当且仅当存在常数 a , b (a 0)
14、使得 对一切 wX 成立。经济人具有始终为 1 的相对风险规避倾向当且仅当当且仅当存在常数 a 0和常数 b 使得 u(w) = a lnw + b 对一切 wX 成立。经济人具有不变的绝对风险规避倾向 0当且仅当当且仅当存在常数 a , b (b 0) 使得 对一切 wX 成立。nVNM效用函数形式当经济人具有不变的相对风险规避倾向 时，VNM效用函数可取作这样的形式： 。当经济人具有不变的绝对风险规避倾向 0 时，VNM效用函数可取作这样的形式： 。351. 1. 定理的证明定理的证明定理的证明定理的证明风险规避倾向的变化规律风险规避倾向的变化规律风险规避倾向的变化规律风险规避倾向的变化规
15、律( ( ( (三三三三) ) ) ) 风险规避倾向与效用函数形式风险规避倾向与效用函数形式风险规避倾向与效用函数形式风险规避倾向与效用函数形式只证明结论。其必要性通过计算可证，只需证充分性。已知 u(w)w u(w) = 1，即 du(w) u(w) = dw/w，也即 d ln u(w) = d ln w。故存在常数 C 使得 ln u(w) = ln w + C。因此，我们有 。再次求解微分方程，即可知：存在常数 b 使得令 a = A/(1 )。则 a 0 为常数且 对一切 wX 成立。充分性得证充分性得证。由于VNM效用函数在仿射变换下唯一，故可取 a = 1/(1 ) 和b = 1
16、/(1 )。结果， VNM效用函数可取作如下形式：362. 2. 均值均值均值均值- -方差效用方差效用方差效用方差效用风险规避倾向的变化规律风险规避倾向的变化规律风险规避倾向的变化规律风险规避倾向的变化规律( ( ( (三三三三) ) ) ) 风险规避倾向与效用函数形式风险规避倾向与效用函数形式风险规避倾向与效用函数形式风险规避倾向与效用函数形式 一个有趣的事实是，当经济人具有不变的绝对风险规避倾向 0且风险选择行为 服从正态分布 N( , ) 时，我们有： l在绝对风险规避倾向不变的情况下在绝对风险规避倾向不变的情况下，正态风险行为正态风险行为 的预期效用的预期效用Eu( ) 仅仅是仅仅是 的均值的均值 和方差和方差 的函数的函数。 这样的预期效用，就叫做均值均值-方差效用方差效用。37第第第第8 8 8 8次作业次作业次作业次作业( (11月月23日前，通过日前，通过e-mail交给助教胡谍交给助教胡谍) )1.证明：风险爱好者的拒绝集 GR 是凸集。其中GR的定义如下： GR = (x, y)R : Eu(x, y) u(w)， Eu(x, y) = pu(w+x)+(1p)u(w+y)， p 为随机事件 F 发生的概率， u 为风险爱好者的VNM效用函数， w 为风险爱好者当前持有的财富。2.证明：相对接受集 GA 在原点的曲率 。3.试论预期效用函数的基数意义。38
