函数的单调性

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1、函数的单调性函数的单调性一、函函数单调性的的判断方法数单调性的的判断方法除了用差分法 又称定义法 判断函数的单调性外， 常用的方法还是有以下几种：1.直接法直接法就是利用我们熟知的正比例函数、一次函数、反比例函数的单调性，直接判断函数的单调性，并写出它们的单调区间，熟记以下几种函数的单调性：(1)正比例函数y kx(k 0)：1 当k 0时，函数y kx在定义域R上是增函数；2 当k 0时，函数y kx在定义域R上是减函数.k(2)反比例函数y (k 0)：xk1 当k 0时，函数y 的单调递减区间是(,0),(0, )，不存在单调递增区xk间；2 当k 0时，函数y 的单调递增区间是(,0)

2、,(0, )，不存在单调递增区x间.(3)一次函数y kx b(k 0)：1 当k 0时，函数y kxb在定义域R上是增函数；2 当k 0时，函数y kxb在定义域R上是减函数.4二次函数y ax2bx c(a 0)：1 当a 0时， 函数y ax单调递增区间是2bx c的图像开口向上， 单调递减区间是(,b，2ab2 当a 0时，函数y ax2bx c的图像开口向下，单,)；2abb调递增区间是(,，单调递减区间是,).2a2a注意：y f (x) x3在定义域R上是增函数， 其图像如右图：2.图像法画出函数图象，根据其图像的上升或下降趋势判断函数的单调性.3.运算性质法1函数f (x)与a

3、f (x)，当a 0时有相同的单调性，当a 0时有相反的单调性；如函数f (x) x与3f (x) 3x的单调性相反，函供学习参考数f (x) x与3f (x) 3x的单调性相同；2当函数f (x)恒为正或恒为负时f (x)与数f (x) 函数；3假设f (x) 0，那么f (x)与1有相反的单调性，如：函f (x)111 0(x(,0)是递增函数，那么 x在区间(,0)是递减1xf (x)xf (x)具有相同的单调性，如： 函数3f (x) 2x23x 4，在定义域R上，f (x) 0，且f (x)是(,上的递减函数，是433,)上的递增函数，所以函数f (x) 2x23x4是(,上的递减函

4、数，443是,)上的递增函数；44假设f (x)，g(x)的单调性相同，那么f (x) g(x)的单调性与f (x)，g(x)的x2111 x，令f (x) x,g(x) ，即单调性相同.如F(x) xxxF(x) f (x) g(x)，因为函数f (x)在R上单调递减，g(x)的单调递减区间是x211 x的单调递减区间是，所以函数F(x) (,0),(0, ）xx；(,0),(0,）(5) 假设f (x)，g(x)的单调性相反，那么f (x) g(x)的单调性与f (x)的相同.因为g(x)与f (x)的单调性相同，所以f (x) g(x)的单调性与f (x)的相同.二、抽象函数单调性的判定

5、二、抽象函数单调性的判定没有具体函数解析式的函数，我们称为抽象函数，判断抽象函数单调性是一类重要的题型，其解法采用差分法.实例实例 1 1 定义在(0,)上的函数f (x)对任意x, y(0,)，恒有f (xy) f (x) f (y)，且当0 x1时f (x) 0，判断f (x)在(0,)上的单调性.解 设x,xh(0,),h 0，那么f (xh) f (x) f (xh) f f (xh) f (xx) f (xh) f ().xhxhx(xh)xh供学习参考0 xxx1, f () 0, f () 0， f (x h) f (x) 0，所以函数xhxhxhf (x)在(0,)上的单调递减

6、.二、二、复合函数单调性的判定方法复合函数单调性的判定方法求复合函数y f (g(x)的单调性的步骤：（1） 求出函数的定义域；（2）明确构成复合函数的简单函数所谓简单函数即我们熟知其单调性的函数:y f (u),u g(x);（3）确定简单函数的单调性；（4）假设这两个函数同增或同减单调性相同 ，那么y f (g(x)为增函数；假设这两个函数一增一减单调性相异那么y f (g(x)为减函数简记为“同增异减.如下表所示：函数u g(x)单调增性y f (u)复合函数y f (g(x)减增减增增减减增减减增实例实例 2 2 求函数f (x) x23x4在定义域上的单调区间解 ： 由 解 析 式

7、得x23x4 0， 即 函 数 的 定 义 域 为x| x 4或x 1. 令y t是增函数， 而t x23x4在(,4上是减函数，那么y t.t x23x4，在1,)上是增函数，函数f (x) x23x4的递增区间为1,)，递减区间为(,4.三、三、单调性的应用单调性的应用1. 用函数的单调性比较大小利用函数的单调性及自变量的大小可以比较两个函数值的大小，即函数y f (x)在定义域的某个区间上为增函数，假设对区间内的任意两个值x1,x2且x1 x2，那么f (x1) f (x2).减函数也有类似的性质.3例如例如 3 3 函数y f (x)在0,)上是减函数，试比较f ( )与f (a2a1

8、)的大小.4供学习参考1333解：a2a1 (a)2，与a2a 1都在区间0,)内.24443又y f (x)在区间0,)上是减函数， f ( ) f (a2a1).4注意：解答这类型的题目首先要判断函数的自变量是否在所给区间内.例如例如 4 4f (x)是定义在1,1上的增函数， 且f (x1) f (13x)， 求x的取值范围.解f (x)是定义在1,1上的增函数，且f (x1) f (13x)，可得不等式组0 x 2,1 x11,211113x 1,0 x ,即解得，所以所求0 x x0,).322x113x,1x .22. 用函数的单调性求最值在利用单调性求最值或值域时要注意以下结论：

9、（1） 假设f (x)在定义域a,b是增函数， 那么当x a时，f (x)取得最小值f (a)当x b，f (x)取得最大值f (b)如图 2.（2） 假设f (x)在定义域a,b是减函数， 那么当x a时，f (x)取得最大值f (a)，当x b，f (x)取得最小值f (b)如图 3.3函数y f (x),xa,b,a c b，如果f (x)在a,c上是单调递增减函数， 在c,b上是单调递减 增函数， 那么f (x)在x c时取得最大小 值， 在x a或x b时取得最小大值，如以下图 4,5.供学习参考例如例如 5 5 求函数y 3x 284x的最大值.解：令f (x) 3x2，g(x)

10、84x，那么y f (x) g(x).由题意得函数的定义域为(,2.f (x) 3x2在(,2上递增，g(x) 84x在(,2上递减，但g(x) 84x在(,2上递增，y 3x 284x在(,2上为递增函数，当x 2时，y有最大值 4.注意：研究函数最值时，先求定义域，再判断其单调性.3.利用单调性求参数的取值举例应用：课本 40 页例 34.解含“f的不等式根据函数y f (x)在某区间上的单调性及函数值的大小，可以求自变量的取值范围即函数y f (x)在定义域内的某个区间上为增函数，假设f (x1) f (x2),那么x1 x2；假设函数y f (x)在定义域内的某个区间上为减函数，假设f

11、 (x1) f (x2),那么x1 x2，就是增减函数定义的逆应用.例如例如 6 6 函数y f (x)是R上的减函数，且f (2x3) f (5x6)，求实数x的取值范围.解：函数y f (x)是R上的减函数，且f (2x3) f (5x6)，2x35x6，x(3,).函数的定义域和值域函数的定义域和值域一、复合函数的定义域复合函数y f (g(x)的定义域，是函数g(x)的定义域中，使中间变量u g(x)属于函供学习参考数f (u)的定义域全体.例如例如 1 1 假设函数f (x)的定义域为1,4，求函数f (x4)的定义域.解：函数f (x)的定义域为1,4，使得f (x4)有意义的条件

12、是1 x4 4,即3 x 0，那么f (x4)的定义域为3,0.注意：这类型的题目简记为“对应法那么相同，括号内的取值范围相同.例如例如 2 2f ( x 3)的定义域为0,3，求函数f (x)的定义域.解题分析：函数f ( x 3)和f (x)中的x并不是同一个量，假设设u x3，那么f ( x 3)变成f (u)，那么u的取值范围才是函数f (x)的定义域，即“对应法那么相同，括号内的取值范围相同.解：f ( x 3)的定义域为0,3，0 x 3，那么 3 x3 6，所以函数f (x)的定义域为 3,6.二、求函数值域的常用方法二、求函数值域的常用方法1.公式法：适用于初中所学的一次函数、

13、二次函数、反比例函数及以后学习的根ax ba本初等函数，形如y c 0且分式不可约的值域为y | y .cxdc3x1例如例如 3 3 求函数y 的值域x13x133x1y 3，y 解： 函数y ，的x11x1值域为y | y 3.2.图像法：适用于能画出图像的函数.如y x22x5(x(,2)的图像如右图所示，所以值域为6,).3.不等式性质法包括配方法、别离常数法、有界性法适用于解析式只含“一个x或通过变形能化成只出现 “一个x的函数， 如y 1| x|,由| x| 0，那么1| x |1，可得y(,1；又如y 127711，因为(x) ，244x2 x2(x1)2724供学习参考414，

14、所以y(0, .1777(x)2242x3例如例如 4 4 求函数f (x) (2 x 2且x 1)的值域x12x32(x1)55解：f (x) ，由2 x 2且x 1，得 2x1x1x11 x1 3且x1 0.5令t x1，那么1 t 3且t 0.结合反比例函数y 的图像可知，当t5551 t 3且t 0，即t1,0)(0,3时， 或 5.t3t555515 或 5.f (x) 2或f (x) 2 7.x13x1x13x12x31f (x) (2 x 2且x 1)的值域为（-，7,).x134.换元法：适用于无理式中含自变量的函.所以0 例如例如 5 5 求函数y x 2 1 x的值域.解：

15、函数的定义域是x| x 1.令1 x t，那么t0,)，x t2+1， y t212t (t22t 1) 2 (t 1)2 2，t 0， 结合二次函数的图像 y 2，原函数的值域为（-，2.注意：解这类型的题目要注意函数的定义域 ,在利用换元法求函数值域时，一定要注意新变量t的取值范围，假设无视了这点，就容易造成错误.ax2bxc(a,d不全为零且分式不可约)的函数 .5.判别式法：适用于形如y 2dx ex f2x24x7例如例如 6 6 求函数y 2的值域.x 2x32x24x7解： 由y 2得(y 2)x22(y 2)x3y7 0， 当y 2时， 方程无解；x 2x3当y 2时，要使关于

16、x的方程有解，必须 4(y 2)24(y 2)(3y 7) 0，解得9 y 2.29原函数的值域为-，2).26.方程思想包括判别式法、反解法适用于可解出x的解析式的函数.1 x2例如例如 7 7 求函数y 的值域1 x2供学习参考1 x22(y 1)x y 1 0，当y 1时，方程无解：当y 1时，要解：由y 得21 x使关于x的方程有解，必须 04(y 1)(y 1) 0，解得1 y 1.原函数的值域为-1，1.3x1例如 7：求函数y 的值域.x1解：由y y13x1得y(x1) 3x1 (y3)x y1 0 x ，x1只要y3 0,即y 3，就有x y1y3.原函数的值域为y| y 3.供学习参考y3