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1、第第18讲讲三角形和多边形三角形和多边形第第18讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 三角形概念及其基本元素三角形概念及其基本元素定义定义由由_直线上的三条线段首尾直线上的三条线段首尾顺次连接而成的图形叫三角形顺次连接而成的图形叫三角形基本元素基本元素三角形有三角形有_条边，条边，_个顶点，个顶点，_个内角个内角不在同一不在同一 三三 三三 三三 第第18讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 三角形的分类三角形的分类 1 1按角分：按角分：第第18讲讲 考点聚焦考点聚焦2 2按边分：按边分：第第18讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点3 3 三角形中的重要线段三角形中的重要线段 重要
2、线段重要线段交点位置交点位置中线中线三角形的三条中线的交点在三角形的三角形的三条中线的交点在三角形的_部部角平分线角平分线三角形的三条角平分线的交点在三角形的三角形的三条角平分线的交点在三角形的_部部高高_三角形的三条高的交点在三角形的内三角形的三条高的交点在三角形的内部；部；_三角形的三条高的交点是直角顶点；三角形的三条高的交点是直角顶点；_三角形的三条高所在直线的交点在三三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部角形的外部内内 内内 锐角锐角 直角直角 钝角钝角 考点考点4 4 三角形的中位线三角形的中位线 第第18讲讲 考点聚焦考点聚焦定义定义连接三角形两边的连接三角形两边的_的线段叫三
3、角形的线段叫三角形的中位线的中位线定理定理三角形的中位线三角形的中位线_于第三边，并且等于第三边，并且等于它的于它的_总结总结(1)(1)一个三角形有三条中位线一个三角形有三条中位线(2)(2)三角形三角形的中位线分得三角形两部分的面积比为的中位线分得三角形两部分的面积比为1313中点中点 平行平行 一半一半 考点考点5 5 三角形的三边关系三角形的三边关系 第第18讲讲 考点聚焦考点聚焦定理定理三角形的两边之和三角形的两边之和_第三边第三边推理推理三角形的两边之差三角形的两边之差_第三边第三边三角形的三角形的稳定性稳定性三条线段组成三角形后，形状无三条线段组成三角形后，形状无法改变是稳定性的
4、体现法改变是稳定性的体现大于大于 小于小于 考点考点6 6 三角形的内角和定理及推理三角形的内角和定理及推理 第第18讲讲 考点聚焦考点聚焦定理定理三角形的内角和等于三角形的内角和等于_推论推论1.三角形的一个外角等于和它三角形的一个外角等于和它_的和的和2.三角形的一个外角大于任何一个和它三角形的一个外角大于任何一个和它_的内角的内角3.直角三角形的两个锐角直角三角形的两个锐角_4.三角形的外角和为三角形的外角和为_拓展拓展 在任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两在任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个钝角，最多有一个直角个锐角；最多有一个钝角，最多有一个直角18
5、0 不相邻的两个内角不相邻的两个内角 不相邻不相邻 互余互余 360 考点考点7 7 多边形多边形第第18讲讲 考点聚焦考点聚焦多边形的定义多边形的定义在同一平面内，不在同一直线上的一在同一平面内，不在同一直线上的一些线段些线段_相接组成的图形叫相接组成的图形叫做多边形做多边形多边形多边形的性质的性质内角和内角和n边形内角和边形内角和_外角和外角和任意多边形的外角和为任意多边形的外角和为360多边形多边形对角线对角线n边形共有边形共有_条对角线条对角线不稳定不稳定性性 n边形具有不稳定性边形具有不稳定性(n3)拓展拓展n边形的内角中最多有边形的内角中最多有_个是个是锐角锐角首尾顺次首尾顺次 (
6、n(n2)2)180180 3 3 第第18讲讲 考点聚焦考点聚焦正多正多边形边形定义定义各个角各个角_，各条边，各条边_的多边形叫正多边形的多边形叫正多边形对称性对称性正多边形都是正多边形都是_对称图对称图形，边数为偶数的正多边形是形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形中心对称图形相等相等 相等相等 轴轴 考点考点8 8 平面图形的镶嵌平面图形的镶嵌第第18讲讲 考点聚焦考点聚焦定义定义用用_、_完全相同的一种或几完全相同的一种或几种种_进行拼接，彼此之间不进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的图形的_平面镶嵌平面镶嵌的条件的条件在同一
7、顶点的几个角的和等于在同一顶点的几个角的和等于360形状形状 大小大小 平面图形平面图形 镶嵌镶嵌第第18讲讲 考点聚焦考点聚焦常见常见形式形式(1)用同一种正多边形可以镶嵌的只有三种情况：用同一种正多边形可以镶嵌的只有三种情况：_个正三角形或个正三角形或_个正四边形或个正四边形或_个正六边形个正六边形(2)用两种正多边形镶嵌用两种正多边形镶嵌用正三角形和正四边形镶嵌：三个正三角形和用正三角形和正四边形镶嵌：三个正三角形和_个正四边形；个正四边形；用正三角形和正六边形镶嵌：用用正三角形和正六边形镶嵌：用_个正个正三角形和三角形和_个正六边形或者用个正六边形或者用_个个正三角形和正三角形和_个正
8、六边形；个正六边形；用正四边形和正八边形镶嵌：用用正四边形和正八边形镶嵌：用_个正个正四边形和四边形和_个正八边形可以镶嵌个正八边形可以镶嵌六六四四三三两两四四一一两两两两一一两两第第18讲讲 考点聚焦考点聚焦常见形式常见形式(3)用三种不同的正多边形镶嵌用三种不同的正多边形镶嵌用正三角形、正四边形和正六边形进行镶嵌，设用正三角形、正四边形和正六边形进行镶嵌，设用用m块正三角形、块正三角形、n块正方形、块正方形、k块正六边形，则块正六边形，则有有60m90n120k360，整理得，整理得_，因为，因为m、n、k为整数，所以为整数，所以m_，n_，k_，即用，即用_块正方形，块正方形，_块正三角
9、形和块正三角形和_块正六边形可以镶嵌块正六边形可以镶嵌防错防错提醒提醒能镶嵌平面的关键是几个正多边形在同一个顶点能镶嵌平面的关键是几个正多边形在同一个顶点的几个角的和等于的几个角的和等于3602m2m3n3n4k4k1212 1 12 21 1两两一一一一第第18讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例类型之一三角形三边的关系类型之一三角形三边的关系命题角度：命题角度：1. 判断三条线段能否组成三角形；判断三条线段能否组成三角形；2. 求字母的取值范围；求字母的取值范围；3. 三角形的稳定性三角形的稳定性例例1 2013徐州徐州若三角形的两边长分别为若三角形的两边长分别为6 cm、9 cm，则其
10、第三边的长可能为则其第三边的长可能为()A2 cm B3 cmC7 cm D16 cmC 解析解析 设第三边的长为设第三边的长为x，根据三角形三边关系得，根据三角形三边关系得96x96，即，即3 cmx15 cm，符合条件的只有选项，符合条件的只有选项C. 第第18讲讲 归类示例归类示例变式题变式题 2013长沙长沙现有现有3 cm，4 cm，7 cm，9 cm长的四长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是角形的个数是() A1 B2 C3 D4 B 第第18讲讲 归类示例归类示例 解析解析 四条木棒的所有组合：
11、四条木棒的所有组合：3，4，7和和3，4，9和和3，7，9和和4，7，9；只有；只有3，7，9和和4，7，9能组成三角形故选能组成三角形故选B. 第第18讲讲 归类示例归类示例 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，只要根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，只要两短边之和大于最长的边，这三条线段就能组成三角形，两短边之和大于最长的边，这三条线段就能组成三角形，通常只要两短边之和大于最长的边，这三条线段就能组通常只要两短边之和大于最长的边，这三条线段就能组成三角形成三角形 类型之二三角形的重要线段的应用类型之二三角形的重要线段的应用 命题角度：命题角度：1. 1. 三角形的中线、角平分线、高
12、线；三角形的中线、角平分线、高线；2. 2. 三角形的中位线三角形的中位线第第18讲讲 归类示例归类示例图图181 例例2 2011淮安淮安如图如图181，在，在ABC中，中， D，E分别分别是边是边AB、AC的中点，的中点，BC8，则，则DE_。4 第第18讲讲 归类示例归类示例 三角形的中位线常用来证明线段的倍分问题，题目三角形的中位线常用来证明线段的倍分问题，题目中有中点，就要想到三角形的中位线定理中有中点，就要想到三角形的中位线定理 类型之三类型之三 三角形内角与外角的应用三角形内角与外角的应用 例例3 3 20122012乐山乐山 如图如图182，ACD是是ABC的外角，的外角，AB
13、C的平分线与的平分线与ACD的平分线交于点的平分线交于点A1，A1BC的平分的平分线与线与A1CD的平分线交于点的平分线交于点A2，An1BC的平分线与的平分线与An1CD的平分线交于点的平分线交于点An. 设设A.则则(1)A1_； (2)An_.第第18讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1. 三角形内角和定理；三角形内角和定理；2. 三角形内角和定理的推论三角形内角和定理的推论图图182第第18讲讲 归类示例归类示例 解析解析 (1) (1)根据角平分线的定义可得根据角平分线的定义可得A A1 1BCBCABCABC，A A1 1CDCDACDACD，再根据三角形的一个，再根据三角
14、形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得外角等于与它不相邻的两个内角的和可得ACDACDA AABCABC，A A1 1CDCDA A1 1BCBCA A1 1，整理即可得解；，整理即可得解；(2)(2)与与(1)(1)同理求出同理求出A A2 2，可以发现后一个角等，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律再结合脚码即可于前一个角的，根据此规律再结合脚码即可得解得解 第第18讲讲 归类示例归类示例 变式题变式题 20132013黄冈黄冈 如图如图183，如图如图18183 3，ABCABC的的外角外角ACDACD的平分线的平分线CPCP与内角与内角ABCABC的平分线的平分线BPBP交
15、于点交于点P P，若，若BPCBPC4040，则，则CAPCAP_._.第第18讲讲 归类示例归类示例图图18350 第第18讲讲 归类示例归类示例第第18讲讲 归类示例归类示例 综合运用三角形的内角和定理与外角的性质、角平综合运用三角形的内角和定理与外角的性质、角平分线的性质，灵活地运用这些基础知识，合理地推理，分线的性质，灵活地运用这些基础知识，合理地推理，可以灵活的解决内外角的关系，得到结论可以灵活的解决内外角的关系，得到结论 类型之四类型之四 多边形的内角和与外角和多边形的内角和与外角和 例例4 4 20132013无锡无锡 若一个多边形的内角和为若一个多边形的内角和为1080，则这，
16、则这个多边形的边数为个多边形的边数为()A6 B7 C8 D9第第18讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1n边形的内角和定理的应用；边形的内角和定理的应用；2n边形的外角和定理的应用边形的外角和定理的应用C 解析解析 设这个多边形的边数为设这个多边形的边数为n n，则，则180(n180(n2)2)10801080，解得，解得n n8.8.故选故选C. C. 变式题变式题20132013淮安淮安 若一个多边形的内角和小于其外角和，若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是则这个多边形的边数是()A3 B4 C5 D6第第18讲讲 归类示例归类示例A 解析解析 三角形的内角和
17、为三角形的内角和为180180，四边形的内角和，四边形的内角和是是360360，而且边数越多，内角和越大，而多边形的外，而且边数越多，内角和越大，而多边形的外角和是角和是360360与边数无关，所以选择与边数无关，所以选择A.A.第第18讲讲 归类示例归类示例 如果已知如果已知n n边形的内角和，那么可以求出它的边数边形的内角和，那么可以求出它的边数n n；对于多边形的外角和等于；对于多边形的外角和等于360360，应明确两点：，应明确两点：(1)(1)多多边形的外角和与边数边形的外角和与边数n n无关；无关；(2)(2)多边形内角问题转化为多边形内角问题转化为外角问题常常有化难为易的效果外角问题常常有化难为易的效果
