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1、第一章第一章 习题课习题课一、向量的定义一、向量的定义 定义定义: n 个有次序的数个有次序的数a1, a2, , an所组成所组成的数组称为的数组称为n维向量维向量, 这这n个数称为该向量的个数称为该向量的n个个分量分量, 第第 i 个数个数ai 称为第称为第 i 个分量个分量. 分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量, 分量为复数的分量为复数的向量称为向量称为复向量复向量. 行向量行向量; 列向量列向量.向向量量的的相相等等; 负负向向量量; 零零向向量量.向量按照向量按照矩阵运算法则矩阵运算法则进行运算进行运算.向量加法和数乘向量运算称为向量的向量加法和数乘向量运算称为
2、向量的线性运算线性运算, ,满足下列八条运算规则满足下列八条运算规则: :二、向量的线性运算二、向量的线性运算(1) 加法交换律加法交换律: + + = = + + ;(2) 加法结合律加法结合律: ( ( + + ) + ) + g g = = + ( + ( + +g g ) ) ; (3) 对任一向量对任一向量 , 有有 +O = ;(4) 对任一向量对任一向量 , 存在负向量存在负向量 , 有有 +(+( ) = ) = O O ;(5) 1 = ;(6) 数乘结合律数乘结合律: k(l ) = (l k) ;(7) 数乘对向量加法的分配律数乘对向量加法的分配律: k( + ) = k
3、 + k ;(8) 数量加法对数乘的分配律数量加法对数乘的分配律: ( k + l ) = k + l ;其中其中 , , g g为为n维向量维向量, 1, k, l为数为数, O为零向量为零向量.除除了了上上述述八八条条运运算算规规则则, 显显然然还还有有以以下下性性质质:(1) 0 =O;(2) 若若 k = O, 则或者则或者k=0, 或者或者 = O;(3) 向量方程向量方程: + x = , 有唯一解有唯一解 x = = - - ; 其中其中 , 为为n维向量维向量, 0为数零为数零, k任意数任意数, O为零向量为零向量.三、线性组合三、线性组合 若干个同维数的列向量若干个同维数的
4、列向量(或同维数的行向量或同维数的行向量)所组所组成的集合叫做成的集合叫做向量组向量组. 定义定义: 给定向量组给定向量组A: 1, 2, , m, 对于任对于任何一组实数何一组实数k1, k2, ,km, 向量向量k1 1 + k2 2 + + km m称为称为向量组向量组A: 1, 2, m一个一个线性组合线性组合, k1, k2, ,km称为这个称为这个线性组合的线性组合的系数系数. 给定向量组给定向量组A: 1, 2, , m和和向量向量b, 如果如果存在一组数存在一组数 1, 2, , m, 使使b = 1 1 + 2 2 + + m m则向量则向量b是向量组是向量组A的线性组合的线
5、性组合, 这时称向量这时称向量b能由向能由向量组量组A线性表示线性表示. 定理定理1: 向量向量b能由向量组能由向量组A线性表示的充分必要线性表示的充分必要条件是矩阵条件是矩阵A=( 1, 2, , m)与与B=( 1, 2, , m, b)的秩相等的秩相等. 定义定义: 设有两设有两向量组向量组A: 1, 2, , m 与与 B: 1, 2, , s .若若B组中的每一个向量都能由组中的每一个向量都能由A组线性表示组线性表示, 则称则称向量向量组组B能由向量组能由向量组A线性表示线性表示; 若向量组若向量组B与向量组与向量组A可可以相互线性表示以相互线性表示, 则称这则称这两个向量组等价两个
6、向量组等价.四、线性相关性四、线性相关性 定义定义: 给定向量组给定向量组A: 1, 2, , m , 如果存如果存在不全为零的数在不全为零的数 k1, k2, ,km , 使使k1 1 + k2 2 + + km m = O则称向量组则称向量组A是是线性相关线性相关的的, 否则称它是否则称它是线性无关线性无关. 定理定理3: 向量组向量组 1, 2, , m线性相关的充线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵分必要条件是它所构成的矩阵A=( 1, 2, , m)的秩小于向量个数的秩小于向量个数m; 向量组线性无关的充分必要向量组线性无关的充分必要条件是条件是R(A)=m. 定理定理2: 向量组
7、向量组 1, 2, , m (当当 m 2 时时)线性相关的充分必要条件是线性相关的充分必要条件是 1, 2, , m中至中至少有一个向量可由其余少有一个向量可由其余 m1个向量线性表示个向量线性表示. 定理定理4: (1)若向量组若向量组A: 1, 2, , m线性相线性相关关, 则向量组则向量组B: 1, 2, , m, m+1也线性相关也线性相关; 反言之反言之, 若向量组若向量组B线性无关线性无关, 则向量组则向量组A也线性无也线性无关关.(2)设设即即 j 添上一个分量后得向量添上一个分量后得向量 j. 若向量组若向量组A: 1, 2, , m线性无关线性无关, 则向量组则向量组B:
8、 1, 2, , m也线性无关也线性无关; 反言之反言之, 若向量组若向量组B线性相关线性相关, 则向量组则向量组A也线性相关也线性相关. (3) m个个n维向量组成的向量组当维数维向量组成的向量组当维数n小于向量小于向量个数个数m时一定线性相关时一定线性相关 (4) 设向量组设向量组A: 1, 2, , m线性无关线性无关, 而而向量组向量组B: 1, 2, , m, 线性相关线性相关, 则向量则向量 必能由必能由向量组向量组A线性表示线性表示, 且表示式是唯一的且表示式是唯一的. 定义定义: 设有向量组设有向量组A, 如果在如果在A中能选出中能选出r 个向量个向量 A0: 1, 2, r,
9、 满足满足 (1)向量组向量组A0: 1, 2, r, 线性无关线性无关; (2)向量组向量组A中任意中任意r+1个向量个向量(如果存在的话如果存在的话)都都线性相关线性相关. 那末称向量组那末称向量组A0是向量组是向量组A的一个的一个最大线最大线性无关向量组性无关向量组(简称简称最大无关组最大无关组). 最大无关组所含向量个数最大无关组所含向量个数r 称为称为向量组的秩向量组的秩.五、向量组的秩五、向量组的秩 定理定理1: 矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的列向量组的秩, 也等于也等于它的行向量组的秩它的行向量组的秩. 定理定理2: 设向量组设向量组B能由向量组能由向量组A线性表示
10、线性表示, 则向量则向量组组B的秩不大于向量组的秩不大于向量组A的秩的秩, 即即 R(B) R(A).推论推论1: 等价的向量组的秩相等等价的向量组的秩相等.推论推论2: 设设Cm n = Am s Bs n, 则则R(C) R(A), R(C) R(B). 推论推论3: 设向量组设向量组B是向量组是向量组A的部分组的部分组, 若向量组若向量组B线性无关线性无关, 且向量组且向量组A能由向量组能由向量组B线性表示线性表示, 则向则向量组量组B是向量组是向量组A的一个最大无关组的一个最大无关组.六、向量空间六、向量空间 定义定义: 设设V为为n维向量的集合维向量的集合, 如果集合如果集合V非空非
11、空, 且且集合集合V对于加法及乘数两种运算封闭对于加法及乘数两种运算封闭, 那么就称集合那么就称集合V为为向量空间向量空间. 集合集合V对于加法及乘数两种运算封闭是指对于加法及乘数两种运算封闭是指:若若 , V, 则则 + V;若若 V, R, 则则 V.一般地一般地, 由向量组由向量组a1, a2, , am所生成的向量空间所生成的向量空间为为:七、子空间七、子空间 定义定义: 设有向量空间设有向量空间V1及及V2, 若有若有V1 V2. 则称则称V1是是V2的的子空间子空间.八、基与维数八、基与维数 定义定义: 设设V是向量空间是向量空间, 如果有如果有r 个向量个向量 1, 2, , r
12、 V, 满足满足 (1) 1, 2, , r 线性无关线性无关; (2) V中任一向量都可由中任一向量都可由 1, 2, , r 线性表线性表示示.则称向量组则称向量组 1, 2, , r为向量空间为向量空间V的一个的一个基基, 称整数称整数r 为向量空间为向量空间V的的维数维数, 并称并称V为为r 维向量空间维向量空间. 说明说明1: 只含有零向量的向量空间称为只含有零向量的向量空间称为0维向量空维向量空间间, 因此它没有基因此它没有基 说明说明2: 若把向量空间若把向量空间V看作向量组看作向量组, 那末那末V的基就的基就是向量组是向量组V的最大无关组的最大无关组, V的维数就是向量组的秩的
13、维数就是向量组的秩. 说明说明3: 若向量组若向量组 1, 2, , r 是向量空间是向量空间V的一个基的一个基, 则则V可表示为可表示为九、齐次线性方程组九、齐次线性方程组向向量量方方程程; 解解向向量量.解解向向量量的的性性质质 (1) 若若x = 1, x = 2为为Ax = 0的解的解, 则则 x = 1 + 2也也是是Ax = 0的解的解. (2) 若若x = 1为为Ax = 0的解的解, k为数为数, 则则 x = k 1也是也是Ax = 0的解的解.由以上两个性质可知由以上两个性质可知, 方程组的全体解向量所组方程组的全体解向量所组成的集合成的集合, 对于加法和数乘运算是封闭的对
14、于加法和数乘运算是封闭的, 因此构成因此构成一个一个向量空间向量空间, 称此向量空间为齐次线性方程组称此向量空间为齐次线性方程组 Ax = 0的的解空间解空间. 定义定义: 如果向量组如果向量组 1, 2, , t 为齐次线性为齐次线性方程组方程组Ax = 0的的解空间解空间的一组的一组基基, 则向量组则向量组 1, 2, , t 称为齐次线性方程组称为齐次线性方程组Ax = 0的的基础解系基础解系. 称向量组称向量组 1, 2, , t为齐次线性方程组为齐次线性方程组Ax = 0的的基础解系基础解系, 如果如果(1) 1, 2, , t 是是Ax = 0的一组的一组线性无关的解线性无关的解;
15、(2) Ax = 0的任一解都可由的任一解都可由 1, 2, , t 线性表出线性表出.方程组方程组Ax = 0的基础解系是不唯一的的基础解系是不唯一的. 如果向量组如果向量组 1, 2, , t 为齐次线性方程组为齐次线性方程组Ax = 0的一组的一组基础解系基础解系, 那么那么, Ax = 0的的通解通解可表示为可表示为:x = k1 1 + k2 2 + + kt t其中其中k1, k2, , kt t 为任意常数为任意常数.求求齐齐次次线线性性方方程程组组的的基基础础解解系系1. 用初等行变换将系数矩阵用初等行变换将系数矩阵A化为最简行阶梯形化为最简行阶梯形: 2. 将第将第r+1,
16、r+2, , n列的前列的前r个分量反号个分量反号, 得解得解 1, 2, , n-r的前的前r个分量个分量:3. 将其余将其余nr个分量依次组成个分量依次组成 nr 阶单位矩阵阶单位矩阵, 于于是得齐次线性方程组的一个是得齐次线性方程组的一个基础解系基础解系:十、非齐次线性方程组十、非齐次线性方程组 (1) 设设 x= 1 及及 x= 2 都是方程组都是方程组 Ax=b 的解的解, 则则 x= 1 2为对应齐次方程组为对应齐次方程组Ax=0的解的解. (2) 设设 x= 是方程组是方程组 Ax=b 的解的解, x= 是方程组是方程组 Ax=0 的解的解, 则则 x= + 仍为方程组仍为方程组
17、 Ax=b 的解的解.解解向向量量的的性性质质求求非非齐齐次次线线性性方方程程组组的的特特解解用初等行变换将增广矩阵用初等行变换将增广矩阵B化为最简行阶梯形化为最简行阶梯形: 当当dr+1 0时时, 则方程组则方程组 Ax=b 无解无解; 否则否则, 得齐次得齐次线性方程组线性方程组Ax=0的基础解系的基础解系 1, 2, , n-r和非和非齐次线性方程组齐次线性方程组Ax=b的一个特解的一个特解: *=(d1, d2, , dr , 0, , 0)T.一、向量组线性相关性的判定一、向量组线性相关性的判定典型例题典型例题研研究究这这类类问问题题一一般般有有两两个个方方法法.方方法法1. 从从定
18、定义义出出发发整整理理得得齐齐次次线线性性方方程程组组:令令 k1 1 + k2 2 + + km m = 0, 即即(1) 若齐次线性方程组若齐次线性方程组(1)只有零解只有零解, 则则 1, 2, , m线性无关线性无关; 否则否则, 1, 2, , m线性线性相关相关.方法方法2. 利用矩阵的秩与向量组的秩之间的关系利用矩阵的秩与向量组的秩之间的关系 给出一组给出一组n维向量维向量 1, 2, , m, 就得到一就得到一个相应的矩阵个相应的矩阵A=( 1, 2, , m), 求求R(A), 则则 若若R(A)=m, 则则 1, 2, , m线性无关线性无关; 若若R(A)m, 则则 1,
19、 2, , m线性相关线性相关.例例1: 研研究究下下列列向向量量组组的的线线性性相相关关性性,解一解一: 令令 k1 1 + k2 2 + k3 3 = 0, 即即整整理理得得齐齐次次线线性性方方程程组组:(2)上述齐次线性方程组上述齐次线性方程组(2)的系数行列式为的系数行列式为:齐次线性方程组齐次线性方程组(2)有非零解有非零解, 故故 1, 2, 3线性相关线性相关.解二解二: 构造矩阵构造矩阵A = ( 1, 2, 3) =则则由由 R(A) = 2 3 得得, 向量组向量组 1, 2, 3线性相关线性相关. 例例2: 设向量组设向量组 1, 2, , r (r 2)线性相线性相关关
20、, 证明证明: 存在不全为零的数存在不全为零的数 t1, t2, , tr , 使得使得对任何向量对任何向量 , 都有都有 1 + t1 , 2 + t2 , , r + tr ,线性相关线性相关.分分析析: 我我们们从从定定义义出出发发, 考考察察向向量量方方程程:k1( 1 + t1 ) + k2( 2 + t2 ) + + kr( r + tr ) = 0即向量方程即向量方程:k1 1 + k2 2 + + kr r + (k1t1 + k2t2 + + krtr ) = 0是否有某组不全为零的数是否有某组不全为零的数k1, k2, , kr , 而使得而使得对对任何向量任何向量 , 恒
21、有非零解恒有非零解, 因此可得如下证明因此可得如下证明: 证明证明: 因为向量组因为向量组 1, 2, , r 线性相关线性相关, 所以所以, 存在不全为零的数存在不全为零的数k1, k2, , kr , 使得使得k1 1 + k2 2 + + kr r = 0. 因为因为 r 2, 所以必有非零解所以必有非零解, 设设(t1, t2, , tr )为其一个非零解为其一个非零解, 则对任意向量则对任意向量 , 都有都有再考察方程组再考察方程组: k1x1 + k2x2 + + krxr = 0.k1 1 + k2 2 + + kr r + (k1t1 + k2t2 + + krtr ) = 0
22、,即即k1( 1 + t1 ) + k2( 2 + t2 ) + + kr( r + tr ) = 0.线性相关线性相关.由由k1, k2, , kr不全为零得不全为零得: 1 + t1 , 2 + t2 , , r + tr 例例3: 已知向量组已知向量组A: 1, 2, , s 的秩是的秩是r, 证明证明: A中任意个中任意个r 线性无关的向量均构成它的一个最线性无关的向量均构成它的一个最大线性无关组大线性无关组.分析分析: 证明向量组的一个部分组构成最大线性无证明向量组的一个部分组构成最大线性无关组的基本方法就是关组的基本方法就是: 根据最大线性无关组的定义来根据最大线性无关组的定义来证
23、证, 它往往还与向量组的秩相联系它往往还与向量组的秩相联系. 证明证明: 不失一般性不失一般性, 设设 是是A: 1, 2, , s 中的任意中的任意r 个线性无关的向量个线性无关的向量, 于是对于任于是对于任意的意的 k (k=1, 2, , s), 向量组向量组 , k 线性相关线性相关, 否则向量组否则向量组A的秩大于的秩大于r.又向量组又向量组线性无关线性无关, 所以所以 k可以由可以由线性表示线性表示.由定义这就证明了由定义这就证明了是是A的一个最大的一个最大线性无关组线性无关组.二、求向量组的秩二、求向量组的秩求一个向量组的秩求一个向量组的秩, 可以把它转化为矩阵的秩来可以把它转化
24、为矩阵的秩来求求, 这个矩阵是由这组向量为行这个矩阵是由这组向量为行(列列)向量所排成的向量所排成的. 若矩阵若矩阵A经过初等行经过初等行(列列)变换化为矩阵变换化为矩阵B, 则则A和和B中任何对应的列中任何对应的列(行行)向量组都有相同的线性相关性向量组都有相同的线性相关性. 如果向量组的向量以列如果向量组的向量以列(行行)向量的形式给出向量的形式给出, 把把向量作为矩阵的列向量作为矩阵的列(行行), 对矩阵作初等行对矩阵作初等行(列列)变换变换, 这样这样,不仅可以求出向量组的秩不仅可以求出向量组的秩, 而且可以求出最大线而且可以求出最大线性无关组性无关组.例例4: 求向量组求向量组的秩的
25、秩. 解解: 作矩阵作矩阵A=( 1, 2, 3, 4, 5), 对对A作初等作初等行变换化为阶梯形行变换化为阶梯形.故故, R(A)=3, 从而向量组从而向量组 1, 2, 3, 4, 5的秩为的秩为3. 又又 1, 2, 4是向量组是向量组 1, 2, 3, 4, 5的一个最的一个最大线性无关组大线性无关组. 所以所以 1, 2, 4也是也是向量组向量组 1, 2, 3, 4, 5的的一一个最大线性无关组个最大线性无关组.三、向量空间的判定三、向量空间的判定判断向量的集合是否构成向量空间判断向量的集合是否构成向量空间, 需看集合是需看集合是否对于向量的否对于向量的加法加法和和数乘数乘两种运
26、算封闭两种运算封闭. 若封闭若封闭, 则则构成向量空间构成向量空间; 否则否则, 不构成向量空间不构成向量空间. 例例5: 判断判断R3中与向量中与向量(0, 0, 1)不平行的全体向量不平行的全体向量所组成的集合是否构成向量空间所组成的集合是否构成向量空间. 解解: R3中与向量中与向量(0, 0, 1)不平行的全体向量所组不平行的全体向量所组成的集合成的集合V是否构成向量空间是否构成向量空间.两向量两向量 , 平行当且仅当它们的分量对应成比例平行当且仅当它们的分量对应成比例.因为因为, 对不平行于向量对不平行于向量(0, 0, 1)的向量的向量 1=(0, k, 0), 2=(0, -k,
27、 1) V ( k 0 ), 1+ 2 = (0, 0, 1) V.有有即即V对加法运算不封闭对加法运算不封闭, 故故V不构成向量空间不构成向量空间.四、基础解系的证法四、基础解系的证法 例例6: 证明与基础解系等价的线性无关的向量组也证明与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系是基础解系. 分析分析: 要证明某一向量组是方程组要证明某一向量组是方程组Ax=0的基础解的基础解系系, 需要证明三个结论需要证明三个结论: (1) 该组向量都是方程组的解该组向量都是方程组的解; (2) 该组向量线性无关该组向量线性无关; (3) 方程组的任一解均可由该向量组线性表示方程组的任一解均可由该向量组线
28、性表示. 证明证明: 设设 1, 2, , t是方程组是方程组Ax=0的一个的一个基础解系基础解系, 1, 2, , m是与是与 1, 2, , t等价的线性无关的向量组等价的线性无关的向量组. 由于等价的线性无关向量由于等价的线性无关向量组所含向量个数相同组所含向量个数相同,所以所以, 这两个向量组所含向量个这两个向量组所含向量个数相等数相等, 即即 m = t . (1) 由向量组的等价关系易知由向量组的等价关系易知, i ( i = 1, 2, , t )可以表示成可以表示成 1, 2, , t 的线性组合的线性组合. 而方程组而方程组 Ax=0 的解的线性组合仍然是原方程组的解的解的线
29、性组合仍然是原方程组的解, 故故 1, 2, , t 仍是方程组仍是方程组 Ax=0 的解的解.(2) 由题设知由题设知, 1, 2, , t 是线性无关的是线性无关的. (3) 设设 为方程组为方程组Ax=0的任一解的任一解, 则则 可由可由 1, 2, , t 线性表示线性表示, 由向量组的等价性由向量组的等价性, 1, 2, , t 均可由均可由 1, 2, , t 线性表示线性表示, 故故 也可由也可由 1, 2, , t 线性表示线性表示.注注: 当线性方程组有非零解时当线性方程组有非零解时, 基础解系的取法基础解系的取法不唯一不唯一, 且不同的基础解系之间是等价的且不同的基础解系之
30、间是等价的. 故由定义知故由定义知, 1, 2, , t 也是方程组也是方程组Ax=0 的一个基础解系的一个基础解系.五、解向量的证法五、解向量的证法 例例7: 设设 *是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组Ax=b的一个解的一个解, 1, 2, , nr是其导出组是其导出组(对应齐次线性方程组对应齐次线性方程组Ax=0)的一个基础解系的一个基础解系, 证明证明: (1) *, 1, 2, , nr 线性无关线性无关; (2) *, *+ 1, *+ 2, , *+ nr 是方程组是方程组Ax=b的的nr+1个线性无关的解个线性无关的解; (3) 方程组方程组Ax=b的任一解的任一解x都可以表示
31、为这都可以表示为这nr+1个解的线性组合个解的线性组合, 而且组合系数之和为而且组合系数之和为1.证证明明(1): 令令k0 * + k1 1 + k2 2 + + knr nr = 0 (1)其中必有其中必有k0=0. 否则有否则有 由于由于 1, 2, , nr 是其对应齐次线性方程是其对应齐次线性方程组组Ax=0的基础解系的基础解系, 故等式右边的线性组合必为故等式右边的线性组合必为 Ax=0 的解的解,而等式左边而等式左边 *是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组Ax=b 的解的解. 矛盾矛盾. 所以所以有有 k0=0 . 将将 k0=0 代如代如(1)式得式得,k1 1 + k2 2
32、+ + knr nr = 0由于由于 1, 2, , nr 线性无关线性无关, 因此只能有因此只能有k0 = k1 = k2 = = knr = 0所以所以, *, 1, 2, , nr 线性无关线性无关. (2) 由线性方程组解的性质知由线性方程组解的性质知, *, *+ 1, *+ 2, , *+ nr 都是都是Ax=b的解的解, 以下证它们线性无关以下证它们线性无关.k0 * + k1( *+ 1) + + knr( *+ nr ) = 0令令得得(k0 + k1 + + knr ) * + k1 1 + + knr nr = 0类似于类似于(1)的证明方式的证明方式, 可得可得 故故,
33、 *, *+ 1, *+ 2, , *+ nr 是方程组是方程组Ax=b的的 nr+1个线性无关的解个线性无关的解; *, *+ 1, *+ 2, , *+ nr 是线性无关的是线性无关的.(3) 设设x为方程组为方程组Ax=b的任一解的任一解, 则则 x可表为可表为x = *+ c1 1 + + cnr nr = *+ c1( *+ 1 *) + + cnr ( *+ nr *) = (1c1 cnr ) *+c1( *+ 1)+cnr ( *+ nr) 令令 c0= 1c1 cnr , 则则c0 + c1 + + cnr = 1, 故故, 方程组方程组Ax=b的任一解的任一解x都可以表示为
34、这都可以表示为这nr+1个解个解 *, *+ 1, *+ 2, , *+ nr的线性组合的线性组合, 而且组合系数之和为而且组合系数之和为1. 注意注意(1): 本例是对非齐次线性方程组本例是对非齐次线性方程组Ax=b的解的解的结构作进一步的分析和讨论的结构作进一步的分析和讨论, 即非齐次线性方程组即非齐次线性方程组一定存在着一定存在着nr+1个线性无关的解个线性无关的解, 题中题中(2)的证明表的证明表明了它的存在性明了它的存在性.注意注意(3): 对非齐次线性方程组对非齐次线性方程组Ax=b, 有时也把如有时也把如题中所给的题中所给的nr+1个解称为个解称为Ax=b的基础解系的基础解系,
35、所不同所不同的是它的线性组合只有当组合系数之和为的是它的线性组合只有当组合系数之和为1时时, 才是方才是方程组程组Ax=b的解的解. 注意注意(2): 对齐次线性方程组对齐次线性方程组, 当当R(A)=r n 时时, 有无穷多组解有无穷多组解, 其中任一解可由其基础解系线性表示其中任一解可由其基础解系线性表示. 10. 设向量组设向量组A: a1, a2, , am的秩为的秩为p, 向量向量组组B: b1, b2, , bn的秩为的秩为q, 向量组向量组C: a1, a2, , an, b1, b2, , bn的秩为的秩为r, 证明证明证明证明: 显然向量组显然向量组A和和B都可由向量组都可由
36、向量组C线性表示线性表示. 因此有因此有, R(A) R(C), R(B) R(C), 即即 Maxp, q r . 设向量组设向量组A, B的最大无关组分别为的最大无关组分别为A0, B0, 且且A0与与B0中的所有向量构成向量组中的所有向量构成向量组D. 由于由于R(A)=p, R(B)=q, 所以向量组所以向量组A0, B0中的向量中的向量个数分别为个数分别为p, q, 故向量组故向量组D中的向量数仅为中的向量数仅为 p + q 个个. 又由于向量组又由于向量组A0和和B0都可由向量组都可由向量组D线性表示线性表示, 从而从而, 向量组向量组A和和B都可由向量组都可由向量组D线性表示线性
37、表示, 所以所以, R(D) p + q.Maxp, q r p + q.C可由向量组可由向量组D线性表示线性表示, 因此因此, 故向量组故向量组 p+q.r =R(C) R(D)Maxp, q r p + q.因此得证因此得证:11. 证明证明:R(A+B) R(A)+R(B).证明证明: 设设A=(a1, a2, , an), B=(b1, b2, , bn), 则则A+B =(a1+b1, a2+b2, , an+bn)=(c1, c2, , cn), 显然显然, 向量组向量组c1, c2, , cn即即a1+b1, a2+b2, , an+bn可以由向量组可以由向量组 a1, a2,
38、, an, b1, b2, , bn线性表示线性表示.所以所以, R(c1, c2, , cn) R(a1, a2, , an, b1, b2, , bn),R(a1, a2, , an, b1, b2, , bn)又由又由习题习题10知知, R(a1, a2, , an)+R(b1, b2, , bn)因此因此R(c1, c2, , cn) R(a1, a2, , an)+R(b1, b2, , bn)即即R(A+B) R(A)+R(B)21. 设设A, B都是都是n阶方阵阶方阵, 且且AB=O, 证明证明:R(A)+R(B) n.证明证明: 设设R(A)=r .是以是以A为系数矩阵的齐次线
39、性方程组为系数矩阵的齐次线性方程组Ax=0的解向量的解向量.由由AB=O知知, B的每一个列向量都的每一个列向量都(1) 当当 r = n 时时, 齐次线性方程组齐次线性方程组Ax=0只有零解只有零解, 故故B=O, 此时有此时有, R(A)+R(B) = n + 0 = n,结论成立结论成立. (2) 当当 r n 时时, 该齐次线性方程组该齐次线性方程组Ax=0的基础解的基础解系中含有系中含有nr个向量个向量,从而从而, B的列向量组的秩的列向量组的秩 nr ,即即R(B) nr, 此时有此时有, R(A)+R(B) r + n r = n.综上所述综上所述, 结论成立结论成立.所以所以,
40、 由由习题习题21结论可知结论可知: R(A)+R(EA) n.再由再由习题习题11结论得结论得:R(A)+R(AE) = R(A)+R(EA) R(A+(EA) = R(E) = n.因此因此, 有有R(A)+R(AE)=n.22. 设设n阶矩阶矩A阵满足阵满足A2=A, E为为n阶单位矩阵阶单位矩阵, 证明证明证明证明: 由条件由条件A2=A得得, A(EA)=O, R(A)+R(AE)=n.(提示提示: 利用题利用题11及题及题21的结论的结论)例例: 设设A*为为n 阶方阵阶方阵A的伴随矩阵的伴随矩阵, 证明证明:(1) 当当R(A) = n 时时, R(A*) = n ;(2) 当当
41、R(A) = n 1 时时, R(A*) = 1;(3) 当当R(A) n 1 时时, R(A*) = 0.证明证明: 已知已知AA*=| A |E .(1): 当当R(A) = n 时时, 则则| A | 0,所以所以A和和A*均为可逆方阵均为可逆方阵, 从而从而R(A*) = n . (2): 当当R(A) = n 1时时, 则则| A |= 0, 所以所以AA*=O.则由则由习题习题21得得, R(A) +R(A*) n , 因此因此, R(A*) 1.又由又由R(A) = n 1知知, A中至少有一个中至少有一个n 1阶子式不为零阶子式不为零,即即A*中至少有一个非零元素中至少有一个非
42、零元素, 所以所以R(A*) 1, 从而从而R(A*) = 1 . (3): 当当R(A) n 1 时时, A中所有一个中所有一个n 1阶子式都阶子式都为零为零,故故A*=O, 所以所以R(A*) = 0.填空题填空题 1. 设设 1=(2, 1, 0, 5), 2=(4, 2, 3, 0), 3=(1, 0, 1, k), 4=(1, 0, 2, 1), 则则 k 时时, 1, 2, 3, 4 线性线性无关无关. 2. 设设 1=(2, 1, 3, 0), 2=(1, 2, 0, 2), 3=(0, 5, 3, 4), 4=(1, 2, t, 0), 则则 t = 时时, 1, 2, 3,
43、4 线性相关线性相关. 3. 已知向量组已知向量组 1 = (1, 2, 3, 4), 2 = (2, 3, 4, 5), 3=(3, 4, 5, 6), 4=(4, 5, 6, 7), 则该向量组的秩则该向量组的秩= . 4. n维单位向量组维单位向量组e1, e2, , en均可由向量组均可由向量组 1, 2, , s 线性表出线性表出, 则向量个数则向量个数 s n.任意实数任意实数2 5. 已知已知A =则则R(A)= . 6. 方程组方程组 Ax=0 以以 1= (1, 0, 2), 2 = (0, 1, 1)为为其基础解系其基础解系, 则该方程的系数矩阵为则该方程的系数矩阵为 .7. 设设 = (1, 2, 3)T, = (1, 2, 3), A= , 则则R(A)= . 8. 向量组向量组 1= (1, 2, 3, 4), 2= (2, 3, 4, 5), 3=(3, 4, 5, 6), 4=(4, 5, 6, 7)的最大无关组是的最大无关组是 .5(-2 1 1)1 1, 2任意两个任意两个
