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1、第一章第一章 主要知识点主要知识点1 1、古典概率中的摸球问题、古典概率中的摸球问题2 2、事件的概率、事件的概率3 3、事件的独立性、事件的独立性4 4、条件概率、条件概率5 5、全概率公式及贝叶斯公式、全概率公式及贝叶斯公式1 1、求事件、求事件A A的概率的概率例题例题，求，求解：解：例题例题 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为命中率分别为0.60.6和和0.50.5现已知目标命中，则它现已知目标命中，则它是甲射中的概率为是甲射中的概率为 。2 2、事件的独立性、事件的独立性相互独立事件至少发生一次的概率计算相互独立事件至少发生一次的
2、概率计算例题例题 设三次独立试验中，事件设三次独立试验中，事件A A出现的概率出现的概率相等若已知至少出现一次的概率等于相等若已知至少出现一次的概率等于19/2719/27，则事件，则事件A A在一次试验中出现的概率为在一次试验中出现的概率为 。3. 3. 3. 3. 全概率公式全概率公式全概率公式全概率公式设随机试验设随机试验E E 的样本空间的样本空间S S定理定理: :A A 为为 E E 的任意一个事件的任意一个事件, ,为为 S S 的一个划分的一个划分, ,则则贝叶斯公式贝叶斯公式例例例例1. 1.设某工厂甲设某工厂甲, 乙乙, 丙丙 3 个车间生产同一种产品个车间生产同一种产品,
3、 产量依次占全厂的产量依次占全厂的45, 35, 20,且各车间的合格品且各车间的合格品率为率为 0.96, 0.98, 0.95, 现在从仓库中抽查一件现在从仓库中抽查一件, 问抽出的是次品概率是多大？问抽出的是次品概率是多大？思考要点：（思考要点：（1）样本空间是什么？）样本空间是什么？（2）样本空间如何划分？）样本空间如何划分？ 例例2、已知一批产品中、已知一批产品中96 %是合格品是合格品. 检查产品检查产品 时，一合格品被误认为是次品的概率是时，一合格品被误认为是次品的概率是0.02；一一次次品品被被误误认认为为是是合合格格品品的的概概率率是是0.05求求在在被被检查后认为是合格品的
4、产品确实是合格品的概率检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率 例例3 3 甲袋中有甲袋中有4 4个红球、个红球、4 4个白球，乙袋中个白球，乙袋中2 2个红球、个红球、3 3个白球，任取一个袋子并从中摸出两球，两个全是红个白球，任取一个袋子并从中摸出两球，两个全是红球，问从甲袋中摸出球的概率是多少？球，问从甲袋中摸出球的概率是多少？第二章第二章 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数 1、密度函数、分布函数的性质、密度函数、分布函数的性质2、六个随机变量模型、六个随机变量模型3、随机变量函数的密度函数求法、随机变量函数的密度函数求法一、填空题一、填空题4. 4. 设设 为总体为总体 抽取
5、的样本抽取的样本均值均值 则则 . . 二、求随机变量函数的密度函数二、求随机变量函数的密度函数（一）分布函数法一）分布函数法例例2解解: 由题意可知由题意可知的取值的取值范围为范围为第三章第三章 多维随机变量多维随机变量1 1、二维随机变量的密度函数、分布函数、二维随机变量的密度函数、分布函数4 4、求、求Z=X+Y Z=Max(X,Y) Z=X+Y Z=Max(X,Y) Z=Min(X,Y) Z=Min(X,Y)的密度函数的密度函数3 3、X,Y X,Y 独立的条件独立的条件2 2、边缘密度函数、边缘密度函数若若是二维是二维连续型随机变量，连续型随机变量， 其概率密度为其概率密度为则则:
6、:特别特别 当当 相互独立且具有相同相互独立且具有相同 分布函数分布函数 时，时，设设 相互独立，相互独立， 其分布函数为其分布函数为 则则 的分布函数分别为：的分布函数分别为： 特别特别 当当 相互独立且具有相同相互独立且具有相同 分布函数分布函数 时，时，1. X、Y相互独立，将空白处填上数字相互独立，将空白处填上数字 Y y1 y 2 y3PX=xi=pi.x1 1/8 x2 1/8PY=yj=p.j 1/6 1X2 2、设二维随机变量、设二维随机变量 服从区域服从区域上的均匀分布，令，上的均匀分布，令，3 设设 的联合分布密度为的联合分布密度为 解解 关于关于 的边缘密度为的边缘密度为
7、 4、 设设 ( X , Y ) 的概率密度是的概率密度是求求: (1) c 的值的值;(2)两个边缘密度两个边缘密度.解：解：(1)c =1x xy y0 0y=x解：解：(2)x xy y0 0y=xx xy y0 0y=xx xz z0 0z=xz=2xx xz z0 0Z=2xx xy y0 0y=xy=xX+y=z例例4 4 已知二维已知二维随机变量随机变量X和和Y的分布律分别为的分布律分别为且且设随机变量设随机变量( (X ,Y) 的概率密度为的概率密度为 求常数求常数c 。例例5 5 求关于求关于X ,Y的的边缘概率密度边缘概率密度 求求( (X ,Y) 的的分布函数分布函数 求
8、求的的概率密度。概率密度。 求求 讨论讨论X ,Y的的独立性。独立性。 求求X ,Y的的数字特征数字特征 求求的的概率密度概率密度第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 数学期望的定义及性质数学期望的定义及性质若若X ,Y 相互独立相互独立 方差、协方差、相关系数的定义及性质方差、协方差、相关系数的定义及性质若若X ,Y 相互独立相互独立1)2)的的充要条件是充要条件是与与以以概率概率1呈线呈线性性关系。即关系。即其中其中为为常数常数定理定理1 设随机变量设随机变量 和和的的相关系数存在，则相关系数存在，则3、几种常用分布的期望与方差、几种常用分布的期望与方差（0-10-1）分布）
9、分布指数分布指数分布1 1、设设X 表表示示1010次次独独立立重重复复射射击击中中命命中中目目标标的的次次数数，每次击中目标的概率为每次击中目标的概率为0.40.4，则则 =_=_7、假设一部机器在一天内发生故障的概率为、假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2，机，机器发生故障时全天停止工作。若一周器发生故障时全天停止工作。若一周5个工作日里无故个工作日里无故障，可获利障，可获利10万元；发生一次故障仍可获利万元；发生一次故障仍可获利5万元；发万元；发生二次故障所获利生二次故障所获利0元；发生三次或三次以上故障就要元；发生三次或三次以上故障就要亏损亏损2万元，求一周内期望利润是多少？万
10、元，求一周内期望利润是多少？第五章第五章 中心极限定理中心极限定理1 1、车贝雪夫不等式、车贝雪夫不等式3 3、德莫佛拉普拉斯中心极限定理、德莫佛拉普拉斯中心极限定理2 2、独立同分布中心极限定理、独立同分布中心极限定理或或定理：（切比雪夫不等式）定理：（切比雪夫不等式）切比雪夫不等式）切比雪夫不等式）设随机变量设随机变量X X 有数学期望有数学期望对任意对任意不等式不等式成立，成立，则称此式为则称此式为切比晓夫不等式切比晓夫不等式（独立同分布的中心极限定理）（独立同分布的中心极限定理）定理定理设设X X1 1, ,X X2 2, , X Xn n , , 相互独立，相互独立，且服从同一分布，
11、且服从同一分布，具有相同的期望和方差具有相同的期望和方差则则( (棣莫佛拉普拉斯中心极限定理）棣莫佛拉普拉斯中心极限定理）定理设随机变量设随机变量 服从参数为服从参数为的二项分布的二项分布则对任意的则对任意的，有，有棣莫佛拉普拉斯中心极限定理棣莫佛拉普拉斯中心极限定理推论：推论：设随机变量设随机变量当当 n n 充分大时有：充分大时有：1 1、设随机变量、设随机变量X X 的数学期望的数学期望E(X)=E(X)=方差方差 则由切比雪夫不等式有则由切比雪夫不等式有 2 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占赔户占20%，以表示在随意抽查
12、的，以表示在随意抽查的100个索赔户中因被个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的数。盗而向保险公司索赔的数。（1）写出概率分布；）写出概率分布；（2）求被盗索赔户不少于）求被盗索赔户不少于14户且不多于户且不多于30户的概率的户的概率的近似值。近似值。根据棣莫佛根据棣莫佛拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理 3 3、计算机在进行加法时每个加数取整数（取最为接近于、计算机在进行加法时每个加数取整数（取最为接近于它的整数）。设所有的取整误差是相互独立的，且它它的整数）。设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在们都在0.5, 0.50.5, 0.5上服从均匀分布。上服从均匀分布。（1）若将）若将15
13、00个数相加，问误差总和的绝对值小于个数相加，问误差总和的绝对值小于15的的概率是多少？概率是多少？（2）最多几个数加在一起可使误差总和的绝对值小于）最多几个数加在一起可使误差总和的绝对值小于10的概率不小于的概率不小于0.90。 解：解：设设X Xk k为第为第k k个数的取整误差个数的取整误差 则则从而从而由中心极限定理由中心极限定理 3 3某商店出售某种贵重商品某商店出售某种贵重商品. . 根据经验，该商品每周根据经验，该商品每周销售量服从参数为销售量服从参数为 的泊松分布的泊松分布. . 假定各周的销假定各周的销售量是相互独立的售量是相互独立的. . 用中心极限定理计算该商店一年用中心
14、极限定理计算该商店一年内（内（5252周）售出该商品件数在周）售出该商品件数在5050件到件到7070件之间的概率件之间的概率. . 第六章第六章 样本及抽样分布样本及抽样分布1、简单随机样本、简单随机样本2、常用统计量、常用统计量样本均值样本均值样本方差样本方差样本样本k k 阶原点矩阶原点矩3、常用统计量的分布、常用统计量的分布相互独立相互独立, 都服从正态分布都服从正态分布N(0,1),分布分布 t (n)设设XN(0,1) ,Y, 且且X与与Y相互独立，相互独立，t 分布分布X与与Y相互独立，相互独立，F 分布分布 F ( n1,n2)4、正态总体统计量的分布、正态总体统计量的分布设设
15、X1,X2,X3,X4是总体是总体N（0，1）的样本，则：的样本，则：二、填空题二、填空题例例 设总体设总体X X 服从正态分布服从正态分布，其样本为其样本为解解 由已知得由已知得所以所以标准化得标准化得又因为故第七章第七章 参数估计参数估计1、点估计、点估计矩估计矩估计最大似然估计最大似然估计2、评选标准、评选标准无偏性无偏性有效性有效性3、区间估计、区间估计设设 x x1 1, , x x2 2, , , , x xn n 是是取自总体取自总体 X X 的的一个样本值一个样本值, ,例例(1)(1)求求 的矩估计量，并讨论无偏性；的矩估计量，并讨论无偏性；(2)(2)求求 的最大似然估计量，并讨论无偏性。的最大似然估计量，并讨论无偏性。解：解：(2)第八章第八章 假设检验假设检验假设检验三步：假设检验三步：1、建立假设；、建立假设；2、写出拒绝域；、写出拒绝域；3、计算统计量，进行判断。、计算统计量，进行判断。几个常用的统计量几个常用的统计量
