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1、一、引例一、引例(yn l)二、导数二、导数(do sh)的定义的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义(yy)五、函数的可导性与连续性的关系五、函数的可导性与连续性的关系四、左、右导数四、左、右导数1.11.1机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数的概念导数的概念第1页/共55页第一页，共56页。一、一、引例引例(ynl)1. 变速变速(bin s)直线运动的直线运动的速度速度设描述质点运动位置(wi zhi)的函数为则 到 的平均速度为而在 时刻的瞬时速度为自由落体运动机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第2页/共55页第二页，共56页。2.曲线曲线(qxin)
2、的切线的切线斜率斜率曲线(qxin)在 M 点处的切线(qixin)割线 M N 的极限位置 M T(当 时)割线 M N 的斜率切线 MT 的斜率机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共55页第三页，共56页。两个两个(lin)问题的共性问题的共性:瞬时速度(shn sh s d)切线(qixin)斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .类似问题还有:加速度人口增长率线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是人口增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共55页第四页，共56页。二
3、、导数二、导数(dosh)的定义的定义定义定义(dngy)1 . 设函数设函数在点存在(cnzi),并称此极限为记作:则称函数若的某邻域内有定义 , 在点处可导可导, 在点的导数导数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共55页第五页，共56页。若上述极限(jxin)不存在 ,在点 不可导. 若也称在就说函数(hnsh)的导数(do sh)为无穷大 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数定义导数定义记作第6页/共55页第六页，共56页。运动(yndng)质点的位置函数在 时刻的瞬时速度曲线(qxin)在 M 点处的切线(qixin)斜率说明说明: 在经济学中,边际成本率,边际劳动
4、生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共55页第七页，共56页。例例1.存在(cnzi), 求极限机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 设第8页/共55页第八页，共56页。例例2.机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 已知则例例3. 讨论讨论(toln)函数函数在点 处的可导性.解解:, 故函数(hnsh)在此点不可导.曲线在点 (1 , 0) 处有垂直切线第9页/共55页第九页，共56页。三、三、导数的几何意义导数的几何意义(yy)曲线在点的切线斜率若切线(qixin)与 x 轴平行 .曲线在点处切线切线(qixin)方程方程:法
5、线方程法线方程:机动 目录 上页 下页 返回 结束 若切线与 x 轴垂直 .切线方程切线方程:切线方程切线方程:第10页/共55页第十页，共56页。在点的某个(mu )右 邻域内四、四、左、右导数左、右导数若极限(jxin)则称此极限值为在 处的右右 导数导数,记作即(左)(左左)定义定义(dngy)2 . 设函数设函数有定义,存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共55页第十一页，共56页。定理定理(dngl)1.函数函数在点且存在可导的充分(chngfn)必要条件是机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求 解解:第12页/共55页第十二页，共56页。例例5
6、.证明证明(zhngmng)函函数数在 x = 0 不可(bk)导. 证证:机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共55页第十三页，共56页。五、五、函数函数(hnsh)的可导性与连的可导性与连续性的关系续性的关系定理定理(dngl)2.证证: 设在点 处可导,存在(cnzi) ,因此必有所以函数在点 连续 .注意注意: 函数在点 连续未必可导连续未必可导.反例反例:在 x = 0 处连续 , 但不可导.即机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论. 第14页/共55页第十四页，共56页。在 处连续(linx), 且存在(cnzi)，证明(zhngmng):在处可导.证证
7、：因为存在，则有又在处连续,所以即在处可导.例例6.设设故机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共55页第十五页，共56页。若函数(hnsh)与都存在(cnzi) ,则称在开区间 内可导,在闭区间 上可导.且机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 六、可导函六、可导函数数在开区间( a , b ) 内每点都可导, 则称在开区间 内可导, 记作函数称为导函数. 或简称导数.记作:若函数在某区间 I 内可导, 每点的导数值构成的新第16页/共55页第十六页，共56页。在的导数(do sh)即为导函数值：机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 导函数导函数(hnsh)注意注意
8、:？第17页/共55页第十七页，共56页。例例7.求常值函数求常值函数(hnsh)的导数(do sh). 解解:机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 求 的导数. 解解:例如例如. 第18页/共55页第十八页，共56页。例例9.求求的导数(do sh). 解解:则机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 例如例如(lr). 第19页/共55页第十九页，共56页。例例10. 求的导数(do sh). 解解:机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第20页/共55页第二十页，共56页。内容内容(nirng)小结小结1. 导数(do sh)的实质:3. 导数的几何意义(
9、yy):4. 可导必连续, 但连续不一定可导;5. 已学求导公式 :6. 判断可导性不连续, 一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2. 增量比的极限;切线的斜率;机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共55页第二十一页，共56页。思考思考(sko) 函数(hnsh) 在某点 处的导数区别(qbi):是函数 ,是数值;联系:注意注意:有什么区别与联系 ?？与导函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共55页第二十二页，共56页。练习题练习题解解: 因为因为(yn wi) 设存在(cnzi),且求所以(suy)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共55
10、页第二十三页，共56页。1.21.2机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 导数导数(do sh)(do sh)的基本公式与运算法则的基本公式与运算法则二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则(fz) 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 第24页/共55页第二十四页，共56页。思路思路(sl):( 构造性定义(dngy) )求导法则求导法则(fz)其它基本初等其它基本初等函数求导公式函数求导公式初等函数求导问题初等函数求导问题本节内容机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共55页第二十
11、五页，共56页。一、四则运算一、四则运算(szynsun)求导法则求导法则定理定理(dngl)1.的和、差、积、商 (除分母(fnm)为 0的点外) 都在点 x 可导,且机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共55页第二十六页，共56页。(1) (2)可推广(tugung)到任意有限项可导函数的情形:机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 特别特别(tbi)地地:( C为常数 )推论推论:第27页/共55页第二十七页，共56页。例例1.解解:机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第28页/共55页第二十八页，共56页。例例2.求证求证(qizhng)证证: 类似(li
12、 s)可证:机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第29页/共55页第二十九页，共56页。例例3.解解:机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 解解:第30页/共55页第三十页，共56页。二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则(fz)定理定理(dngl)2. y 的某邻域(ln y)内单调可导, 证证:在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 第31页/共55页第三十一页，共56页。例例4.求反三角函数及对数函数求反三角函数及对数函数(dushhnsh)的导数的导数.解解: 1) 设则, 则机动 目录 上页 下页 返回(fnhu
13、) 结束 第32页/共55页第三十二页，共56页。2)设设则特别当时,机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第33页/共55页第三十三页，共56页。在点 x 可导,三、复合三、复合(fh)函数求函数求导法则导法则定理定理(dngl)3.在点可导复合(fh)函数且在点 x 可导,机动 目录 上页 下页 返回 结束 或第34页/共55页第三十四页，共56页。复合函数复合函数(hnsh)求导求导法则法则证：证：在点 x 可导,即又又在点 u 可导,故故有机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 从而(cng r)，上式也成立，第35页/共55页第三十五页，共56页。例如(lr),关键
14、(gunjin):推广：此法则可推广到多个中间变量推广：此法则可推广到多个中间变量(binling)的情形的情形.机动 目录 上页 下页 返回 结束 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.链式法则链式法则第36页/共55页第三十六页，共56页。例例5.设设求解解:机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第37页/共55页第三十七页，共56页。例例6.设设解解:机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第38页/共55页第三十八页，共56页。例例7.(1)设设求解解:思考思考(sko): 若若存在(cnzi) , 如何求的导数(do sh)?这两个记号含义不同机动 目录 上页 下页 返
15、回 结束 第39页/共55页第三十九页，共56页。例例7.(2)设设求解解:机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第40页/共55页第四十页，共56页。四、初等四、初等(chdng)函数函数的求导问题的求导问题1. 常数和基本初等函数(hnsh)的导数 (P70)机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第41页/共55页第四十一页，共56页。2.有限次四则运算有限次四则运算(szynsun)的求导法则的求导法则( C为常数(chngsh) )3. 复合(fh)函数求导法则4. 初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数机动 目录 上页
16、下页 返回 结束 第42页/共55页第四十二页，共56页。例例8.求双曲函数求双曲函数(hnsh)的导数的导数:解解: 类似(li s)可得机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 （双曲正弦）（双曲余弦）（双曲正切）（双曲余切）第43页/共55页第四十三页，共56页。例例9.求解解:例例10.设解解:求机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第44页/共55页第四十四页，共56页。例例11.求解解:关键关键(gunjin): 搞清复合搞清复合函数结构函数结构 由外向内逐层求导由外向内逐层求导机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第45页/共55页第四十五页，共56页。
17、例12.设设解解:机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 幂指函数幂指函数(hnsh)求导法求导法第46页/共55页第四十六页，共56页。例13.机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 分段分段(fn dun)函数求导法函数求导法解解:当存在分段点的时候，要考虑分段点的导数(do sh)存在与否（左右导数(do sh)相等）；若不存在分段点，便不用考虑。第47页/共55页第四十七页，共56页。例14.设设, 求解解:故该函数在 x = 0 不连续 ，因而(yn r)不可导机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 则判断(pndun)是否可导：判断(pndun)该点是否有定
18、义判断(pndun)函数在该点左右极限是否等于本身函数值判断(pndun)其左右导数是否相等第48页/共55页第四十八页，共56页。例15.设设, 求解解:显然(xinrn)该函数在 x = 0 连续 .机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 则第49页/共55页第四十九页，共56页。例16.设设, 求解解:显然(xinrn)该函数在 x = 0 连续 .机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 则故不存在(cnzi).第50页/共55页第五十页，共56页。例17.设设, 求解解:显然该函数(hnsh)在 x = 0 连续 .机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 则注意注意
19、(zh y):导数在分段点处没有定义，因而不能直接求导，只能用定义求导。第51页/共55页第五十一页，共56页。例18.设设求 a , b.解解:函数(hnsh)在 x = 0处可导，必连续 .机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 于是(ysh)，在 x = 0 可导，由注意该处无定义，要用定义求导。第52页/共55页第五十二页，共56页。感谢您的欣赏(xnshng)！第55页/共55页第五十五页，共56页。内容(nirng)总结一、引例。所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .。是电量增量与时间增量之比的极限。在 M 点处的切线斜率。边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.。5. 已学求导公式 :。不连续, 一定不可导.。(1) (2)可推广到任意有限项可导函数的情形:。推广：此法则可推广到多个(du )中间变量的情形.。例7. (2) 设。1. 常数和基本初等函数的导数 (P70)。牛顿(1642 1727)。第54页/共55页第五十六页，共56页。
