《高三数学一轮复习精品课件：等差数列（必修5）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学一轮复习精品课件：等差数列（必修5）（51页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时 等差数列1等差数列的定义等差数列的定义如果一个数列从第如果一个数列从第2项起，每一项与项起，每一项与它的前一项的差都等于它的前一项的差都等于 ，那么，那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的等差数列的 ，通常用，通常用 表示，其符号表示，其符号语言为：语言为： (n2，d为常数为常数)基础知识梳理同一个常数同一个常数anan1d公差公差d2等差数列的通项公式若等差数列an的首项为a1，公差是d，则其通项公式为 .基础知识梳理ana1(n1)d已知等差数列an的第m项为am，公差为d，则其第n项an能否用am与d表示？【思考提示】能，anam(
2、nm)d.基础知识梳理 3等差中项 如果三个数a，A，b成 ，则A叫做a和b的等差中项，且有A .基础知识梳理等差数列等差数列4等差数列的前n项和公式Sn .基础知识梳理答案：B三基能力强化2an是首项a11，公差d3的等差数列，若an292，则序号n等于()A98 B99C100 D101答案：A三基能力强化3在等差数列an中，a3a214，则其前23项的和为()A10 B12C46 D52答案：C三基能力强化三基能力强化解析：设等差数列的公差为d，首项为a1，三基能力强化答案：答案：9三基能力强化5(教材习题改编)已知an为等差数列，a3a822，a67，则a5_.答案：15证明一个数列a
3、n是等差数列的基本方法有两种：一是利用等差数列的定义法，即证明an1and(nN*)，二是利用等差中项法，即证明：an2an2an1(nN*)在课堂互动讲练考点一考点一等差数列的判定等差数列的判定选择方法时，要根据题目条件的特点，选择方法时，要根据题目条件的特点，如果能够求出数列的通项公式，则可如果能够求出数列的通项公式，则可以利用定义法，否则，可以利用等差以利用定义法，否则，可以利用等差中项法中项法课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例1 1已知数列an的通项公式anpn2qn(p、qR且p、q为常数)(1)当p和q满足什么条件时，数列an是等差数列；(2)求证：对任意实数p和q，数列an1an是
4、等差数列【思路点拨】由等差数列的定义知an是等差数列的充要条件是an1an是一个与n无关的常数【解】(1)an1anp(n1)2q(n1)(pn2qn)2pnpq.要使an是等差数列，则2pnpq应是一个与n无关的常数，只有2p0，即p0.故当p0时，数列an是等差数列课堂互动讲练(2)证明：an1an2pnpq，an2an12p(n1)pq.而(an2an1)(an1an)2p为一个常数，an1an是等差数列【误区警示】在(2)中，要证明(an2an1)(an1an)是一个与n无关的常数，而不是证an1an是一个常数课堂互动讲练课堂互动讲练考点二考点二等差数列的基本运算等差数列的基本运算2数
5、列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例2 2已知等差数列an中，a1533，a61217，试探究153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？若不是，说明理由【思路点拨】求出通项公式，将153代入判断【解】设等差数列an的首项为a1，公差为d，则ana1(n1)d.课堂互动讲练an23(n1)44n27.令an153，即4n27153，n45.153是等差数列的项，是第45项课堂互动讲练【名师点评】在等差数列的五个基本量a1，d，an，Sn，n中，“知三求二”是一种基本运算，一般方法是利
6、用通项公式和前n项和公式，通过列方程组求解判断是否是数列中的项的问题，一般有两种解法：一是对所要判断的式子进行变形，看其是否与通项公式一致；二是假设其是数列的项，列出等式解出n，看所解出的n是否为正整数课堂互动讲练若题目条件不变，设p，qN*.试判断apaq是否仍为数列an中的项，并说明理由解：因an4n27.apaq(4p27)(4q27)16pq108(pq)27244pq27(pq)18927，4pq27(pq)189N*，apaq仍为数列an中的项课堂互动讲练互动探究互动探究已知数列an是等差数列，Sn是其前n项和(1)若mnpq，则amanapaq.若mn2p，则aman2ap.(2
7、)am，amk，am2k，am3k，仍是等差数列，公差为kd.课堂互动讲练考点三考点三等差数列的性质等差数列的性质(3)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(4)S2n1(2n1)an.若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项)(6)数列can，can，panqbn也是等差数列，其中c、p、q均为常数，bn是等差数列课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例3 3(1)设等差数列an的前n项和为Sn，已知前6项和为36，Sn324，最后6项的和为180(n6)，求数列的项数n及a9a10；(2)等差数列an、bn的前n项和分别【思路点拨】(1)可利用前6项与后6项的和及等差数列的性质求出a1an的
8、值，然后利用前n项和公式求出项数n.(2)可利用中项公式求解课堂互动讲练【解】(1)由题意可知a1a2a636anan1an2an5180得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216，a1an36.课堂互动讲练18n324.n18.a1a1836.a9a10a1a1836.课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评】(1)中解法运用了倒序求和的方法和等差数列的性质，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq，从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与简捷，应注意运用；(2)小题中，直接得出Sn(3n1)k，Tn(2n3)k，然后求a8，b8.这种做法是错误的课堂互动讲练求等差
9、数列前n项和Sn的最值问题，主要有以下方法：(1)二次函数法：将Sn看作关于n的二次函数，运用配方法，借助函数的单调性及数形结合，使问题得解；(2)通项公式法：求使an0(或an0)成立的最大n值即可得Sn的最大(或最小)值；课堂互动讲练考点四考点四等差数列前等差数列前n项和的最值项和的最值课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例4 4(解题示范)(本题满分12分)在等差数列an中，(1)若a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn最大，并求出它的最大值；(2)若a10，S9S12，则该数列前多少项的和最小？【思路点拨】我们可以通过分析数列中各项的正、负号确定前多少项的和最大，也可
10、以利用二次函数求最大值课堂互动讲练【解】(1)由a120，S10S15， S10S15，S15S10a11a12a13a14a150. 3分a11a15a12a142a13，a130.公差d0，a10，课堂互动讲练a1，a2，a11，a12均为正数，而a14及以后各项均为负数当n12或n13时，Sn有最大值为S12S13130. 6分课堂互动讲练(2)设数列an的公差为d，则由题意得即3a130d，a110d. 8分a10，d0.课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练(本题满分12分)设等差数列an的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.(1)若a110，S1498，求数列an的通项公式；(
11、2)若a16，a110，S1477，求所有可能的数列an的通项公式课堂互动讲练高考检阅高考检阅解：(1)由S1498得2a113d14，又a11a110d0，故解得d2，a120. 2分因此，an的通项公式是an222n，n1,2,3，.5分课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练又dZ，故d1.将代入得10a112.11分又a1Z，故a111或a112.所以，所有可能的数列an的通项公式是an12n和an13n，n1,2,3，.12分课堂互动讲练1等差数列的单调性等差数列的单调性当当d0时，时，an是递增数列是递增数列当当d0时，时，an是常数列是常数列当当d0时，时，an是递减数列是递减数列规律方法总结2等差数列的前n项和Sn(1)等差数列的前n项和Sn是用倒序相加法求得的注意这种思想方法在数列求和中的应用规律方法总结规律方法总结随堂即时巩固点击进入点击进入课时活页训练点击进入点击进入
