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1、14全称量词与存在量词全称量词与存在量词 1知识与技能理解全称量词、存在量词，能够用符号表示全称命题、特称命题，并会判断其真假2过程与方法明确判断全称命题、特称命题真假的判断方法本节重点：理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定本节难点：全称命题和特称命题的真假的判定，以及写出含有一个量词的命题的否定1必须明确存在量词和全称量词的含义及表示符号2明确全称命题与特称命题的含义符号xM，p(x)通俗说就是对集合M中所有元素x，都有p(x)成立，符号xM，q(x)通俗说存在集合M中的元素x，使q(x)成立3要判定一个全称命题是真命题必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)
2、成立；但要判定全称命题是假命题只要从M中找一个xx0，使p(x)不成立即可，通常称特例反驳4要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个xx0使p(x)成立即可；否则，这一特称命题是假命题1要判定全称命题是真命题，需对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题2要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个xx0，使p(x0)成立即可，否则，这一特称命题就是假命题3命题的否定形式有：4全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，因此，我们可以通过“举反例”来否定一个全称命题原语
3、句是都是至少有一个至多有一个对任意xA使p(x)真否定形式不是不都是一个也没有至少有两个存在xA使p(x)假1短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示，含有全称量词的命题，叫做 2短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示，含有存在量词的命题，叫做3全称命题p：xM，p(x)，它的否定p：4特称命题p：xM，p(x)，它的否定p：对所有的对任意一个全称命题存在一个至少有一个特称命题xM，綈p(x)xM，綈p(x)例1判断命题的真假(1)每个函数都有反函数(2)存在一个数xZ，使2x46.解析(1)yx2是函数，但它是偶函数，所以它没有反函数，所以“每个函数
4、都有反函数”是假命题(2)由于存在x1，使2x46成立，所以“存在xZ使2x46”是真命题点评要判断一个全称命题为假命题，只要举出一个反例即可，要判断一个特称命题为真命题，只要举出一个例子即可设语句q(x)：|x1|1x.(1)写出q(1)，q(2)，并判断它是不是真命题(2)写出“aR，q(a)”，并判断它是不是真命题(3)写出“aR，q(a)”，并判断它是不是真命题分析语句q(x)不是命题，给x赋值1,2，则成为命题q(1)，q(2)，判断其真假，即看x1,2时，等式|x1|1x是否成立即可解析(1)q(1)：|11|11，真命题q(2)：|21|1,121，|21|12，假命题(2)aR
5、，|a1|1a.由(1)知q(2)为假命题，所以“aR，|a1|1a”为假命题(3)aR，使|a1|1a.由(1)知q(1)为真命题，所以“aR，|a1|1a”为真命题.例2写出下列命题的否定形式(1)p：xR，x22x20；(2)p：有的三角形是等边三角形；(3)p：所有能被3整除的整数是奇数；(4)p：每一个四边形的四个顶点共圆解析(1)p：xR，x22x20.(2)p：所有的三角形都不是等边三角形(3)p：存在一个能被3整除的整数不是奇数(4)p：存在一个四边形的四个顶点不共圆点评解题时要注意存在性量词、全称量词的不同表示形式存 在 性 命 题 p： xA， p(x)， 其 否 定 为
6、p：xA，p(x)全称命题q：xA，q(x)，其否定为q：xA，q(x)例3写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论m取何实数，方程x2xm0必有实数根；(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；(3)每一个非负数的平方都是正数；(4)有的四边形没有外接圆；(5)某些梯形的对角线互相平分；(6)被8整除的数能被4整除解析(1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2xm0有实数根”，其否定是綈p：“存在实数m，使得x2xm0没有实数根”，注意到当14m0，即m 时，一元二次方程没有实根，因此綈p是真命题(2)命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题(3)命题的
7、否定：存在一个非负数的平方不是正数，是真命题(4)命题的否定：所有的四边形都有外接圆，是假命题(5)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题(6)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题例4函数f(x)对一切实数x，y均有f(xy)f(y)(x2y1)x成立，且f(1)0.(1)求f(0)的值；(2)当f(x)20D对任意的xR，x3x210答案C解析全称命题的否定是特称命题4下列命题中是全称命题并且是真命题的是()AxR，x22x10B若2x为偶数，则xNC所有菱形的四条边都相等D是无理数答案C解析当x1时，x22x10，故A错；当x1时，2为偶数，但1N，故B错； 是无理数不是全称命题二、填空题5写出下列命题的否定(1)p：aN，0._(2)q：19能被3或7整除_答案(1)p：aN， 0；(2)xQ，x23x1是有理数；(3)xN,2xx2；(4)x，yZ，x2y210.解析(1)真命题，对任意的x,2x0恒成立；(2)真命题，对于任意的有理数x，x23x1都是有理数；(3)真命题，x2,4时，2xx2成立；(4)真命题，x1，y3时，x2y210成立(1)(2)(3)(4)都是真命题
