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1、2 含参量反常积分含参量反常积分本节研究形如本节研究形如的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积性。下面只对无穷限积分讨论，无界函数的情性。下面只对无穷限积分讨论，无界函数的情况可类似处理。况可类似处理。设设 是定义在无界区域是定义在无界区域 上上, 若对每一个固定的若对每一个固定的 , 反常积分反常积分 都收敛都收敛,则它的值是则它的值是 在区间在区间 上取值的函数上取值的函数,表为表为 称为定义在称为定义在 上的含参量上的含参量 的无穷限反常积分的无穷限反常积分, 或或 简称为含参量反常积分简称为含参量反常积分.对于含参量反常积分对于含参量反常积分
2、和函数和函数 则称含参量反常积分则称含参量反常积分 在在 上一致收敛于上一致收敛于 . 一致收敛的柯西准则:含参量反常积分含参量反常积分 在在 上一致收敛的充要上一致收敛的充要u 一致收敛的充要条件;含参量反常积分含参量反常积分 在在 上一致收敛的充要上一致收敛的充要条件是条件是:对任一趋于对任一趋于 的递增数列的递增数列 (其中其中 ),函函数数项级数项级数 在在 一致收敛一致收敛. 魏尔斯特拉斯M判别法:设有函数设有函数 ,使得使得魏尔斯特拉斯（魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法）判别法若一致收敛。证明证明因为 收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西准则，有且 收敛，则 关于从而所以
3、 关于一致收敛。魏尔斯特拉斯（魏尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法）判别法若一致收敛。证明证明因为 收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西准则，有且 收敛，则 关于从而所以 关于一致收敛。例 1 在 内一致收敛解因为而积分 收敛，所以 在 内一致收敛u 狄利克雷判别法;u 阿贝耳判别法:二、一致收敛积分的性质1. 连续性定理因为 在 内一致收敛，所以证明证明因此，当 时，设 在 上连续， 关于 在 上一致收敛，则一元函数 在 上连续。又 在 上连续，所以作为 的函数在 连续，于是从而，当 时，有定理证毕。2. 积分顺序交换定理设 在 上连续， 关于在 上一致收敛，则 在可积，并且3. 积分
4、号下求导的定理设 在 上连续， 收敛， 关于 在 上一致收敛，则在 可导，且证明证明因为 在 连续，由连续性定理在 连续， 沿区间 积分 ，由积分顺序交换定理，得到在上式两端对 求导，得定理证毕。 连续性连续性即: 可微性可微性可微性定理表明在定理条件下,求导运算和积分运算可以交换.即 可积性可积性含参量反常积分含参量反常积分 在在 上一致收敛上一致收敛. 证明反常积分证明反常积分 在在 上一致收敛上一致收敛. 证明含参量反常积分证明含参量反常积分 在在 上一致收敛上一致收敛. 在在 上一致收敛上一致收敛. 证明含参量反常积分证明含参量反常积分 在在 上一致收敛上一致收敛 . 含参量反常积分含参量反常积分 在在 上一致收敛上一致收敛 . 例例4 证明证证 （1）用分段处理的方法. 因为 例例4 计算积分 解 例例 5 利用积分号下求导求积分 解解 因为 因为 故 由数学归纳法易证于是 例例6 计算积分 解解 令 在第二项积分中令 得 故 (2), 含参量反常积分一致收敛的定义;(1), 含参量反常积分的定义;(3), 含参量反常积分一致收敛的判别; 一致收敛的柯西准则: 一致收敛的充要条件; 魏尔斯特拉斯M判别法; 阿贝耳判别法; 狄利克雷判别法;(4), 含参量反常积分的性质;( i), 连续性;(ii), 可微性;(iii), 可积性;
