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1、复合函数的求导法则复合函数的求导法则第四节第四节 多元复合函数的多元复合函数的 求导法则求导法则第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用1一、一、复合函数的求导复合函数的求导法则法则(链导法则链导法则)证证1. 中间变量为中间变量为一元函数一元函数的情形的情形.定理定理且且其导数可用下列公式计算其导数可用下列公式计算:多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则也可微也可微,2 可微可微由于函数由于函数多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则3复合函数的复合函数的中间变量多于两个中间变量多于两个的情况的情况.定理推广定理推广导数导数变量树图变量树图 三个中间变量三个中间变
2、量称为称为全导数全导数全导数全导数( ( ( (又称又称又称又称链导公式链导公式链导公式链导公式).).).).多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则4项数项数问问:每一项每一项中间变量中间变量函数对函数对中间变量中间变量的偏导数的偏导数该中间变量对其该中间变量对其指定自变量指定自变量的偏导数的偏导数(或导数或导数).的个数的个数.函数对某自变量的偏导数之结构函数对某自变量的偏导数之结构多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则5例例 设设 求求这是幂指函数的导数这是幂指函数的导数,但用但用全导数公式全导数公式较简便较简便.法二法二 yuvx解解 法一法一可用可用取对数求导法取对数求导
3、法计算计算.多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则6多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则复合函数为复合函数为则复合函数则复合函数偏导数存在偏导数存在, 且可用下列公式计算且可用下列公式计算 两个中间变量两个中间变量 两个自变量两个自变量可微可微,2.的情形的情形.7 变量树图变量树图uv多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则8解解多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则例例 9中间变量多于两个的情形中间变量多于两个的情形类似地再推广类似地再推广,复合函数复合函数在对应点在对应点的两个偏导数存在的两个偏导数存在, 且可用下列公式计算且可用下列公式计算:三个中间变量两个自变
4、量三个中间变量两个自变量多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则10例例 设设解解 求求多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则11只有一个中间变量只有一个中间变量即即两者的区别两者的区别区区别别类类似似多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则3.的情形的情形.把复合函数把复合函数中的中的y看作不变而对看作不变而对x的偏导数的偏导数把把中的中的u及及y看作不变看作不变而对而对x的偏导数的偏导数12解解 zuxyxy变量树图变量树图例例多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则13 已知已知f(t)可微可微,证明证明 满足方满足方程程提示提示t, y 为中间变量为中间变量, x,
5、y 为自变量为自变量.引入中间变量引入中间变量,则则多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则14多元复合函数求导法则多元复合函数求导法则 (链导法则链导法则)多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则三、小结三、小结(大体分三种情况大体分三种情况)求抽象函数的二阶偏导数特别注意混合偏导求抽象函数的二阶偏导数特别注意混合偏导15一个方程的情形一个方程的情形第五节第五节 隐函数的求导公式隐函数的求导公式第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用16一、一个方程的情形一、一个方程的情形 在一元函数微分学中在一元函数微分学中, 现在利用复合函数的现在利用复合函数的链导法链导法给出
6、隐函数给出隐函数(1)的求导法的求导法.并指出并指出:曾介绍过隐函数曾介绍过隐函数的求导公式的求导公式,隐函数存在的一个充分条件隐函数存在的一个充分条件. .隐函数的求导公式隐函数的求导公式17隐函数存在定理隐函数存在定理1 1隐函数的求导公式隐函数的求导公式设二元函数设二元函数的某一邻域内满足的某一邻域内满足:在点在点则方程则方程的某一邻域内的某一邻域内并有并有(1) 具有连续偏导数具有连续偏导数;它满足条件它满足条件在点在点隐函数的求导公式隐函数的求导公式(2) (3) 恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数(证明从略证明从略)仅推导公式仅推导公式
7、.将恒等式将恒等式两边关于两边关于x求导求导,由由全导数公式全导数公式,得得18或简写或简写:于是得于是得隐函数的求导公式隐函数的求导公式所以存在所以存在的一个邻域的一个邻域, 在这个邻域内在这个邻域内19如如, , 方程方程记记(1)的邻域内连续的邻域内连续;所以方程在点所以方程在点附近确定一个有连续导数、附近确定一个有连续导数、且且隐函数的求导公式隐函数的求导公式隐函数存在定理隐函数存在定理1 1的隐函数的隐函数则则(2)(3)20解解 令令则则隐函数的求导公式隐函数的求导公式例例21则方程则方程内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的并有并有具有连
8、续偏导数具有连续偏导数;若三元函数若三元函数的某邻域内的某邻域内函数函数它满足条件它满足条件在点在点在点在点2. 由三元方程由三元方程确定二元隐函数确定二元隐函数隐函数存在定理隐函数存在定理2 2隐函数的求导公式隐函数的求导公式的某一邻域的某一邻域(1)(2)(3)满足满足:22隐函数的求导公式隐函数的求导公式(证明从略证明从略)仅推导公式仅推导公式.将恒等式将恒等式两边分别关于两边分别关于x和和y求导求导,应用应用复合函数求导复合函数求导法法得得是方程是方程所确定的隐所确定的隐设设函数函数, ,则则所以存在所以存在的一个邻域的一个邻域,在这个邻域内在这个邻域内因为因为连续连续,于是得于是得2
9、3例例 解解 则则令令隐函数的求导公式隐函数的求导公式24将将注注再一次对再一次对y求偏导数求偏导数,得得对复合函数求高阶偏导数时对复合函数求高阶偏导数时,需注意需注意:导函数仍是复合函数导函数仍是复合函数.故对导函数再求偏导数时故对导函数再求偏导数时,仍需用复合函数求导的方法仍需用复合函数求导的方法.隐函数的求导公式隐函数的求导公式25分析分析在某函数在某函数(或方程或方程)表达式中表达式中,自变量自变量互换后互换后, 仍是原来的函数仍是原来的函数 (或方程或方程),称函数称函数(或方程或方程)用对称性可简化计算用对称性可简化计算.解解 将方程两边对将方程两边对x求偏导求偏导,得得关于自变量对称关于自变量对称,将任意两个将任意两个隐函数的求导公式隐函数的求导公式26再将上式两边对再将上式两边对x求偏导求偏导,得得由由x, y的对称性的对称性知知,隐函数的求导公式隐函数的求导公式27隐函数的求导公式隐函数的求导公式2002年考研数学年考研数学(四四),7分分有连续偏导数有连续偏导数,且且解解 法一法一则则用公式用公式故故而而所以所以28隐函数的求导公式隐函数的求导公式有连续偏导数有连续偏导数,法二法二 用全微分用全微分两边微分两边微分,得得故故故故2002年考研数学年考研数学(四四),7分分29隐函数的求导法则隐函数的求导法则隐函数的求导公式隐函数的求导公式三、小结三、小结30
