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1、估计量的评选标准与区估计量的评选标准与区估计量的评选标准与区估计量的评选标准与区间估计间估计间估计间估计一一 估计量的评选标准估计量的评选标准( (一一一一) ) 无偏性无偏性无偏性无偏性 定义定义 若估计量 = (X1 ,X2 ,Xn)的数学期望E( )存在，且对于任意有 E( )=,则称 是的无偏估计。的无偏估计。 在科学技术中E( )-称为以 作为的估计的系统误 差,无偏估计的实际意义就是无系统误差。 例1 设总体X的的k阶矩k=E(Xk)(k1)存在，又设X1 ,X2 ,Xn是X的一个样本。试证明不论总体服从什么分布，k阶样本矩证 X1 ,X2 ,Xn与X同分布，故有 E(Xik)=E
2、(Xk) = k , i=1,2,n.即有证例2 对于均值,方差20都存在的总体，若, 2均为未知，则2的估计量 是有偏的。是k阶总体矩k的无偏估计。 特别，不论总体服从什么分布,只要它的数学期望存在 总是总体X的数学期望1=E(X)的无偏估计量。所得的估计量就是无偏的了：这就是说S2是2的无偏估计，因此，一般都是取S2作为方差2的估计量。 例3 设总体X服从参数为的指数分布，概率密度为其中0为未知,又设X1 ,X2 ,Xn是来自X的样本,试证都是的无偏估计量证 而Z=min(X1 ,X2 ,Xn)服从参数为/n的指数分布，即具有概率密度故知即nZ也是参数的无偏估计量。 由此可见一个未知参数可
3、以有不同的无偏估计量。事实上X1 ,X2 ,Xn均可。 ( ( ( (二二二二) ) ) )有效性有效性有效性有效性 的无偏估计量，若有现在来比较的两无偏估计量. 例4 (续例3)试证当n1时,的无偏估计量 较的无偏估计量nZ有效。( (三三三三) ) 一致性一致性一致性一致性 定义定义 设 (X1 ,X2 ,Xn)为参数的估计量,若对于任意,当n时 (X1 ,X2 ,Xn)依赖收敛于,则称 为的一致估计量。一致估计量。 证证 由于D(X)=2,故有D( )= 2 /n, 再者，由于D(Z)=2/n2 , 故有D(nZ)= 2. 当n1时 D(nZ)D( ),故 较nZ有效。 由第六章2知，样
4、本k(k1)阶矩是总体X的k阶矩k=E(Xk)的一致估计量，进而若待估参数=g(1 , 2 , k ),其中g为连续函数，则的矩估计量=g(A1 ,A2 ,Ak)是的一致估计量。 由极大似然估计法得到的估计量，在一定条件下也具有一致性。 二二二二 区间估计区间估计区间估计区间估计 对于未知参数,除了求出它的点估计 外，还必须给出一个范围，并知道这个范围包含真值的可信度，这样的范围用区间给出，并给出范围含的可信程度。这种形式的估计称为区间估计区间估计。 置信区间 设总体X的分布函数F(x;)含有一个未知参数. 对于给定值a(0a1), 若由样本X1 ,X2 ,Xn确定的两个统计量满足别称为置信度
5、为1-a的双侧置信区间的置信下限和置信上限，1-a称为置信度置信度。 意义：若反复抽样多次(容量都是n),每个样本确定一个区间，其中包含 真值的约占100(1-a)%。 例4 设总体XN(,2), 2为已知, 为未知, 设X1 ,X2,Xn 是来自X的样本, 求的置信度为1-a的置信区间。且它不依赖于任何未知参数, 按标准正态分布的上a分位点的定义，有(如图)这就得到了的一个置信度为1-a的置信区间 如果取a=0.05, 即1-0.05=0.95, 又若 =1, n=16, 查表得za/2 =z0.025 =1.96. 于是得到置信度为0.95的置信区间这已不是随机区间, 但仍称为95%的置信
6、区间，含义是该区间属于那些包含的区间的可信程度为95%, 或“该区间包含”的可信度为95%. 注意：置信区间不唯一，上例给定a=0.05, 则还有也是的置信度为95%的置信区间。 比较（5）和（7）则区间长度分别为 可见, L随n的增大而减小(当a给定时)。 我们可以 确定n , 使置信区间具有预先给定的长度。 寻求参数寻求参数寻求参数寻求参数 的置信区间的具体做法步骤的置信区间的具体做法步骤的置信区间的具体做法步骤的置信区间的具体做法步骤： 1)寻求一个样本X1 ,X2,Xn的函数： Z=Z(X1 ,X2,Xn ; ),它包含待估参数 ，而不含其它未知参数，且Z的分布不依赖其它未知参数。（当
7、然不依赖于待估参数 ) 2)对给定置信度1- ，定出两常数a, b，使PaZ(X1 ,X2,Xn;)b=1- 3)若能从a Z(X1 ,X2,Xn;)b得到等价的不等式 函数Z(X1 ,X2,Xn ; )的构造, 可以从 的点估计着手考虑。 (三三)单个总体单个总体N( , 2)的情况的情况 设已给定置信度为1-a, 并设X1 ,X2,Xn为总体N(,2)1)均值均值 的置信区间的置信区间于是得的置信度为1-a的置信区间例5 有一大批糖果,现从中随机地取16袋,称得重量为 506 508 499 503 504 510 497 512514 505 493 496 506 502 509 49
8、6 解 这里 1-a=0.95, a/2=0.025, n-1=15, s=6.2022.于是根据 得均值的0.95置信区间即 （500.4, 507.1). 若以此区间任一值作的近似值，其误差不大于设袋装糖果的重量近似服从正态分布，试求总体均值的置信区间。 2)方差2的置信区间(只介绍为未知) 2的无偏估计为S2 由第六章2定理一知 这就是2的置信度为1-a的置信区间还可得标准差的置信区间。 例6 求例5中的置信度为0.95置信区间。 解 a/2=0.025, 1-a/2=0.975, n-1=15, 20.025(15)=27.488, 20.975(15) =6.262, S=6.2022.由上式得 的置信区间为(4.58，9.60).
