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1、2.1 薄壁杆件的弯曲正应力薄壁杆件的弯曲正应力2.2 薄壁开口截面杆件弯曲剪应力薄壁开口截面杆件弯曲剪应力2.3 单室闭合截面薄壁杆件的弯曲剪应力单室闭合截面薄壁杆件的弯曲剪应力2.4 多室闭合截面薄壁杆件的弯曲剪应力多室闭合截面薄壁杆件的弯曲剪应力2.5 剪切中心剪切中心2. 剪切滞后剪切滞后第2章 薄壁杆件的弯曲2.1 薄壁杆件的弯曲正应力薄壁杆件的弯曲正应力 1、 弯曲正应力的计算弯曲正应力的计算 2、 截面特性计算截面特性计算 3、 中和轴位置计算中和轴位置计算 4、 位移计算位移计算2.1.1 弯曲正应力的计算弯曲正应力的计算 图所示为一具有任意横截面的薄壁杆件，为形心，xyz为过
2、形心的一任意直角坐标系。 平截面假定 正应力 由绕x、y轴的力矩平衡方程，得 当x、y轴为主轴时，xy，则有 称为“有效弯矩” 在上述推导中，仅利用了几何条件式、物理条件式和平衡条件式，而与杆件截面的几何形状和尺寸无关。上面的结果适用于任意截面，包括开口截面与闭口截面。如果在截面上还有轴力N，则在上式中加上一项由轴力引起的正应力N/A即可。 任意形状开口截面薄面杆件，计算其对形心轴的截面几何性质x、y和xy时2.1.2 截面特性的计算截面特性的计算2.1.3 中和（性）轴位置的计算中和（性）轴位置的计算 求中和（性）轴的位置时，可依求中和（性）轴的位置时，可依的条件得到的条件得到 若取中和轴若
3、取中和轴 与与x轴成逆时针方向轴成逆时针方向的夹角为的夹角为，则有，则有 当当x、y轴为截面的形心主轴时轴为截面的形心主轴时 中和轴与合力矩的作用面未必正交中和轴与合力矩的作用面未必正交 如果取合力矩如果取合力矩R的作用面与的作用面与x轴正向轴正向的夹角为的夹角为，则有。中和轴与，则有。中和轴与合力矩作用面夹角之间的关系：合力矩作用面夹角之间的关系： 梁上作用有一横向荷载，它与梁上作用有一横向荷载，它与x轴的夹角为轴的夹角为，求其作用下梁所产生的位移。把沿主轴，求其作用下梁所产生的位移。把沿主轴x、y方向分解成为方向分解成为cos 与与sin 产生的位移分别产生的位移分别为为 合位移的大小为合
4、位移的大小为 当取位移方向与当取位移方向与x轴逆时针方向的倾角轴逆时针方向的倾角为正时，为正时，2.1.4 位移计算位移计算 比较式（比较式（.10）和（）和（2.8），可得），可得 ，合位移方，合位移方向与中和轴相垂直。向与中和轴相垂直。2.2 薄壁开口截面杆件弯曲剪应力薄壁开口截面杆件弯曲剪应力1、剪切中心定义、剪切中心定义2、任意截面形状弯曲剪力流计算、任意截面形状弯曲剪力流计算3、直线板段组成的任意开口截面弯曲剪力流、直线板段组成的任意开口截面弯曲剪力流计算计算4、剪力流分布规律、剪力流分布规律 剪切中心：当杆件上荷载的合力通过杆件截面上的某一特定点，杆件只发生弯曲不产生扭转。也称弯曲
5、中心 ，扭转中心，简称剪心。 剪切中心1、 剪切中心定义剪切中心定义 本节仅讨论纯弯情况。非纯弯可以通过力的平移原理把它分为合力通过剪心的弯曲问题和由于力的平移产生附加扭矩引起扭转问题的叠加。首先建立该微段的平衡方程，求截面上的剪力与弯矩的关系。由x、 y，得 由式（2.2）和（2.12）可知，“有效剪力”与剪力之间的关系为横向荷载的合力通过剪切中心使杆件只发生弯曲 2、 任意截面形状弯曲剪力流计算任意截面形状弯曲剪力流计算 其次，考察微段截面上的剪应力，由 由于t=t（s）与z无关， 由此，解得 一般可以称剪应力与壁厚t的乘积t为剪力流剪力流：沿曲线坐标s单位长度方向的剪力，常用q表示。（假
6、定剪应力沿厚度均匀分布） 将上式代入 由于tds=dA由式（2.1），有 当x、y轴为截面主轴时，xy 对于开口截面，可把起始点选在开口处，由剪应力互等定理知，从而消除了（ t)项。 取si为从点i至点的距离，则在板段i至i内的任意点（x，y）处的剪力流q可由式（2.15）得出。3、 直线板段组成的任意开口截面弯曲剪力流计算直线板段组成的任意开口截面弯曲剪力流计算 板段对x轴有逆时针方向的夹角i 把上两式代入（2.19）即可得到板段i到i内任意点处的剪力流q 在节点i处的剪力流qi为 用节点坐标表示（1）剪力流与水流相似，在任一节点处，其流出的剪力流）剪力流与水流相似，在任一节点处，其流出的剪
7、力流必与流入的剪力流相等。必与流入的剪力流相等。4、 剪力流分布规律剪力流分布规律 一般情况下，当在节点p处有m个薄板板段汇合时，其中l=m-1个板段在p点一侧的剪力流qp.1，qp.2，qp.iqp.i为已知，且向着s1，s2sisl的坐标方向前进（图211b）。当求沿坐标sm方向板段的剪力流qp.m时，其值应为已知l个板段剪力流的代数和（2）当所选轴与截面主轴相一致时：）当所选轴与截面主轴相一致时： 、当、当x、y时，仅平行于时，仅平行于x轴方向的板段剪轴方向的板段剪力流呈直线分布，其他板段上的剪力流呈抛物线分布。力流呈直线分布，其他板段上的剪力流呈抛物线分布。 、当、当y、x时，仅平行于
8、时，仅平行于y轴方向的板段剪轴方向的板段剪力流呈直线分布，其他板段上的剪力流则呈抛物线分布。力流呈直线分布，其他板段上的剪力流则呈抛物线分布。（3）开口截面开口处剪力流为零。）开口截面开口处剪力流为零。 任意闭合截面薄壁杆件，假想在某点处将杆件沿母线切一口，以点为曲线坐标的起始点，截面中的剪力流可按式（2.17 )计算。2. 单室闭合截面薄壁杆件的弯曲剪应力单室闭合截面薄壁杆件的弯曲剪应力 q0仅根据静定条件就可求，称之为静定剪力流。 qA需要根据变形协调条件来确定，为超静定剪力流。 单室闭合截面薄壁杆件在求解其弯曲剪力流时，可称其为内部的一次超静定结构。根据A点的变形，以位移协调条件来求解q
9、A，变形协调条件 闭合截面中的剪力流由两项组成：（1）切口后的开口截面上的剪力流q0，其剪力流在开口处为零；（2）开口处作用的剪力流qA，它沿截面外形轮廓线是一常数。 设开口处点为曲线坐标s的起始点，将上式沿轮廓线积分一周再回到点，应有 从图从图219219杆件中面微元发生剪切杆件中面微元发生剪切变形可以看出：变形可以看出： 坐标轴为主轴时 对于单轴或双轴对称截面，仅在其某一对称轴方向作用有剪力时，弯曲作用所产生的剪力流必然对称，因此在截面该对称轴上必有剪力流等于零。在计算时，若将曲线坐标s取在截面对称轴上，显然是qA，这样就有qq0。2.4 多室闭合截面薄壁杆件的弯曲剪应力多室闭合截面薄壁杆
10、件的弯曲剪应力第i室各壁超静定剪力流分别为：第i室和第i-1室边界壁处第i室和第i1室边界壁处第i室非边界处第i室各壁剪力流分别为：第i室和第i-1室边界壁处建立变形协调条件第i室非边界处也可写成也可写成第i室和第i1室边界壁处求出超静定剪力流求出超静定剪力流q qi i（i i=1,2n=1,2n）后，便可求得最后的剪力流）后，便可求得最后的剪力流弯曲正应力的计算弯曲正应力的计算薄壁开口截面杆件弯曲剪应力薄壁开口截面杆件弯曲剪应力单室闭合截面薄壁杆件的弯曲剪应力单室闭合截面薄壁杆件的弯曲剪应力小小 结结2.5 剪切中心剪切中心 1、剪切中心位置分布规律、剪切中心位置分布规律 2、薄壁开口截面
11、剪切中心、薄壁开口截面剪切中心 坐标轴为截面的形心主轴坐标轴为截面的形心主轴 坐标轴为截面的形心轴，但非主轴坐标轴为截面的形心轴，但非主轴 3、薄壁开闭混合截面剪切中心、薄壁开闭混合截面剪切中心 坐标轴为截面的形心主轴坐标轴为截面的形心主轴 坐标轴为截面的形心轴，但非主轴坐标轴为截面的形心轴，但非主轴 2.5.1 剪切中心位置分布规律剪切中心位置分布规律 剪切中心：截面内的合成剪力通过点或弯曲剪力流绕某一点的合力矩剪切中心：截面内的合成剪力通过点或弯曲剪力流绕某一点的合力矩为零，该点即为剪切中心。为零，该点即为剪切中心。 弯曲中心弯曲中心: 当横向荷载通过此点时，梁仅产生平面弯曲而不产生扭转。
12、当横向荷载通过此点时，梁仅产生平面弯曲而不产生扭转。 根据截面内的合成剪力通过剪切中心的概念，可得以下规律：根据截面内的合成剪力通过剪切中心的概念，可得以下规律： (1)由薄板相交于一点组成的截面，其交点即为剪力中心；由薄板相交于一点组成的截面，其交点即为剪力中心； (2)截面由对称轴时，剪切中心一定在对称轴上；截面由对称轴时，剪切中心一定在对称轴上； (3)双轴对称截面，其剪切中心与截面形心相重合。双轴对称截面，其剪切中心与截面形心相重合。 无论对开口截面还是闭合截面，由剪力流确定的剪切中心与外荷载无关,仅取决于截面的几何形状。 取如图所示的任意薄壁开口截面，xoy为形心坐标系，B为剪切中心
13、，则由合力矩定理（弯曲剪力流绕剪切中心的合力矩必为零）知： 2.5.2 薄壁开口截面剪切中心薄壁开口截面剪切中心 剪力流在剪力流在x x、y y方向的合方向的合力可以写为力可以写为 在xoy坐标系内任取一点A，它在此坐标系中的坐标为（xA、yA），过该点作平行于oxy的坐标系 ，设剪切中心B在新坐标系中的坐标为（B，B）。由几何关系知，从任意点A至截面切线的距离A与剪切中心到截面切线的距离B之间有如下关系： 与 为剪切中心B在 中的 坐标 以式（以式（b）代入（）代入（a） (a) （1）当仅有主轴）当仅有主轴x方向作用剪力方向作用剪力式中式中(b) 相当于部相当于部分截面对分截面对y轴的静轴
14、的静矩，也称为弯曲矩，也称为弯曲剪力流函数剪力流函数1 x、y二轴为截面的形心主轴二轴为截面的形心主轴 以式（以式（b）代入（）代入（a） (a) （2）当仅有主轴）当仅有主轴y方向作用剪力方向作用剪力式中式中(b) 相当于部相当于部分截面对分截面对x轴的静轴的静矩，也称为弯曲矩，也称为弯曲剪力流函数剪力流函数 由直线板段组成的截面由直线板段组成的截面具具体体的的直直线板段线板段= = 、 为节点为节点i处处x、y坐标；坐标； 、 为节点为节点i+1处处x、y坐标；坐标； 、 分别为板段分别为板段ii+1的宽度和厚度；的宽度和厚度； 为由为由A点至板段点至板段ii+1切线的垂直长度，使板段切线
15、的垂直长度，使板段ii+1绕绕A点反时针向回转时为正，反之为负；点反时针向回转时为正，反之为负； 表示整个截面的所有板段进行求总和表示整个截面的所有板段进行求总和 剪剪力力中中心心相相对对于于形心的坐标为：形心的坐标为：引入符号引入符号2 当当x、y二轴为截面的形心轴，但不为主轴二轴为截面的形心轴，但不为主轴（1）当仅有）当仅有x轴方向作用剪力轴方向作用剪力 直线板段直线板段则：则：引入符号引入符号（2）当仅有）当仅有y轴方向作用剪力轴方向作用剪力 薄板中线绕第室所围成的面积薄板中线绕第室所围成的面积2.5.3 薄壁开闭混合截面剪切中心薄壁开闭混合截面剪切中心与前面薄壁开口截面相似与前面薄壁开
16、口截面相似第i室和第i-1室边界壁处第i室和第i1室边界壁处第i室非边界处开口截面部分（2）当仅有主轴）当仅有主轴y方向作用剪力方向作用剪力 1 当当x、y二轴为截面的形心主轴二轴为截面的形心主轴（1）当仅有主轴）当仅有主轴x方向作用剪力方向作用剪力2 当当x、y二轴为截面的形心轴，但不为主轴二轴为截面的形心轴，但不为主轴（1）当仅有）当仅有x轴方向作用剪力轴方向作用剪力 （2）同样当仅有）同样当仅有y轴方向作用剪力轴方向作用剪力 剪切滞后：由于剪切变形造成的应力分布不均匀现象，称为剪切滞后。2. 剪切滞后剪切滞后H形截面拉杆受弯构件均布荷载作用下的形截面简支梁框架筒体结构体系 总之，当杆件的长度与横截面典型尺寸相差不大时，往往剪切影总之，当杆件的长度与横截面典型尺寸相差不大时，往往剪切影响较大，欲对其分析，响较大，欲对其分析， 可以用弹性理论的方法。可以用弹性理论的方法。
