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1、3 3.1 1.3 3概率的基本性质 1.理解、掌握事件间的包含关系和相等关系.2.掌握事件的交、并运算,理解互斥事件和对立事件的概念及关系.3.掌握概率的性质,并能用它解决有关问题.1.事件的关系(1)包含关系.(2)相等关系. 归纳总结1.对事件的包含关系的理解:(1)不可能事件记作,显然C(C为任一事件);(2)事件A也包含于事件A,即AA;(3)事件B包含事件A,其含义就是事件A发生,事件B一定发生,而事件B发生,事件A不一定发生.2.对事件的相等关系的理解:(1)两个相等事件总是同时发生或同时不发生;(2)所谓A=B,就是A,B是同一事件;(3)在验证两个事件是否相等时,常用到事件相
2、等的定义.【做一做1】 同时抛掷两枚硬币,向上面都是正面为事件M,向上面至少有一枚是正面为事件N,则有()A.MNB.MNC.M=ND.MN答案:A2.事件的运算(1)并事件.(2)交事件. 归纳总结1.对并(和)事件的理解:(1)可与集合的并集类比.(2)AB=BA.(3)包含三层含义:A发生B不发生;A不发生B发生;A,B同时发生.2.对交(积)事件的理解:(1)可与集合的交集类比.(2)AB=BA.(3)A与B同时发生.归纳总结如果事件A与事件B是互斥事件,那么A与B这两个事件同时发生的概率为0.(3)互斥事件. (4)对立事件. 归纳总结1.对立事件的特征:在一次试验中,不会同时发生,
3、且必有一个事件发生.2.对立事件是特殊的互斥事件,即对立事件是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件.3.从集合角度看,事件A的对立事件,是全集中由事件A所含结果组成的集合的补集.【做一做2-1】 抛掷一枚均匀的正方体骰子,事件P=向上的点数是1,事件Q=向上的点数是3或4,M=向上的点数是1或3,则PQ=,MQ=.答案:向上的点数是1或3或4向上的点数是3【做一做2-2】 在30件产品中有28件一级品,2件二级品,从中任取3件,记“3件都是一级品”为事件A,则A的对立事件是.答案:至少有一件是二级品3.概率的性质(1)任何事件的概率P(A)0,1.(2)必然事件的概率P(A)=1.(3)不可能
4、事件的概率P(A)=0.(4)如果事件A与事件B互斥,那么P(AB)=P(A)+P(B).归纳总结1.事件A与事件B互斥,如果没有这一条件,加法公式将不能应用.2.如果事件A1,A2,An彼此互斥,那么P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An),即彼此互斥事件和的概率等于其概率的和.(5)若事件A与事件B互为对立事件,则AB为必然事件,P(AB)=P(A)+P(B)=1.归纳总结公式使用的前提必须是对立事件,否则不能使用此公式.【做一做3-1】 已知事件A与B是对立事件,且P(A)=0.6,则P(B)等于()A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.1答案:A【做一做3-2】 已知P
5、(A)=0.1,P(B)=0.2,且A与B是互斥事件,则P(AB)=.答案:0.3若事件A与事件B不互斥,则P(AB)P(A)+P(B)剖析:否定一个等式不成立,只需举出一个反例即可.例如:抛掷一枚均匀的正方体骰子,向上的点数是1或2或3或4或5或6为事件A,且A=B,则AB表示向上的点数是1或2或3或4或5或6,P(A)=P(B)=P(AB)=1,P(A)+P(B)=1+1=2,所以此时P(AB)P(A)+P(B),即P(AB)=P(A)+P(B)不成立.上例中P(AB)P(A)+P(B)的原因是事件A与事件B不是互斥事件.其实对于任意事件A与B,有P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)
6、(不要求证明也不要求会用),当且仅当AB=,即事件A与事件B是互斥事件时,P(AB)=0,此时才有P(AB)=P(A)+P(B)成立.题型一题型二题型三题型四判断互斥(对立)事件【例1】 判断下列各事件是不是互斥事件,如果是互斥事件,那么是不是对立事件,并说明理由.某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,其中:(1)恰有1名男生和恰有2名男生;(2)至少有1名男生和至少有1名女生;(3)至少有1名男生和全是女生.解:(1)是互斥事件.理由是在所选的2名同学中,“恰有1名男生”实质是选出“1名男生和1名女生”,它与“恰有2名男生”不可能同时发生,所以是互斥事件.不是对立事件.
7、理由是当选出的2名同学都是女生时,这两个事件都没有发生,所以不是对立事件.题型一题型二题型三题型四(2)不是互斥事件.理由是“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”这两种结果,“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”这两种结果,当选出的是1名男生、1名女生时,它们同时发生.这两个事件也不是对立事件.理由是这两个事件能同时发生,所以不是对立事件.(3)是互斥事件.理由是“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”这两种结果,它与“全是女生”不可能同时发生.是对立事件.理由是这两个事件不能同时发生,且必有一个发生,所以是对立事件.反思判
8、断互斥事件和对立事件时,主要用定义来判断.当两个事件不能同时发生时,这两个事件是互斥事件;当两个事件不能同时发生且必有一个发生时,这两个事件是对立事件.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】 某小区有甲、乙两种报刊供居民订阅,记事件A表示“只订甲报刊”,事件B表示“至少订一种报刊”,事件C表示“至多订一种报刊”,事件D表示“不订甲报刊”,事件E表示“一种报刊也不订”.判断下列事件是不是互斥事件,若是,再判断是不是对立事件.(1)A与C;(2)B与E;(3)B与D.解:(1)由于事件C“至多订一种报刊”中有可能“只订甲报刊”,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.(2)事件B“至
9、少订一种报刊”与事件E“一种报刊也不订”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件.由于事件B发生可导致事件E一定不发生,且事件E发生会导致事件B一定不发生,故B与E还是对立事件.(3)事件B“至少订一种报刊”中有可能“只订乙报”,即有可能“不订甲报刊”,即事件B发生,事件D也可能发生,故B与D不互斥.题型一题型二题型三题型四事件的关系及运算【例2】 盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A=3个球中有1个红球、2个白球,事件B=3个球中有2个红球、1个白球,事件C=3个球中至少有1个红球,事件D=3个球中既有红球又有白球.(1)事件D与A,B是什么运算关系?(2)事件C与A的交事件
10、是什么事件?分析:根据事件运算的定义解题,对于事件C和事件D需列出其包含的所有结果.解:(1)对于事件D,可能的结果为1个红球、2个白球,或2个红球、1个白球,故D=AB.(2)对于事件C,可能的结果为1个红球、2个白球,或者2个红球、1个白球,或者3个均为红球,故CA=A.题型一题型二题型三题型四反思1.进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.2.在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目,就得严格按照事件之间关系的定义来推理.题型一题型二
11、题型三题型四【变式训练2】 在本例中,设事件E=3个红球,事件F=3个球中至少有一个白球,那么事件C与A,B,E是什么运算关系?C与F的交事件是什么?解:分析可得C=ABE,CF=AB.题型一题型二题型三题型四概率加法公式的应用【例3】 某射箭运动员在一次训练中,射中10环,9环,8环,7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28,计算这个射箭运动员在一次射击中:(1)射中10环或7环的概率;(2)射中7环以下的概率.分析:(1)利用互斥事件的概率加法公式解决;(2)转化为求对立事件的概率.题型一题型二题型三题型四解:(1)设“射中10环”为事件A,“射中7环”为事件B,则“射中10
12、环或7环”的事件为AB,事件A和事件B是互斥事件,故P(AB)=P(A)+P(B)=0.21+0.28=0.49,所以射中10环或7环的概率为0.49.(2)设“射中7环以下”为事件C,“射中7环或8环或9环或10环”为事件D,则P(D)=0.21+0.23+0.25+0.28=0.97.又事件C和事件D是对立事件,则P(C)=1-P(D)=1-0.97=0.03.所以射中7环以下的概率是0.03.反思求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的并;二是先求对立事件的概率,进而再求所求事件的概率.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】 在数学考试中,小明的成绩在90分以
13、上的概率是0.18,在8089分的概率是0.51,在7079分的概率是0.15,在6069分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07,计算:(1)小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率;(2)小明考试及格的概率.解:分别记小明的成绩“在90分以上”“在8089分”“在7079分”“在6069分”为事件B,C,D,E,这四个事件彼此互斥.(1)小明的成绩在80分以上的概率是P(BC)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.(2)方法一:小明考试及格的概率是P(BCDE)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.方法二:小明考试不
14、及格的概率是0.07,又小明考试不及格与及格互为对立事件,故小明考试及格的概率P=1-0.07=0.93.题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点:不能区分事件是否互斥,而错用加法公式【例4】 抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率错解:记向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点分别为事件C1,C2,C3,C4,C5,C6,则它们两两是互斥事件,且A=C1C3C5,B=C1C2C3.题型一题型二题型三题型四错因分析:错解的原因在于忽视了“和事件”概率公式应用的前提条件,由于“朝上一面的数是奇数”与“朝上一面的数不超过3”这二者不是互斥事件,即出现1
15、或3时,事件A,B同时发生,所以不能应用公式P(AB)=P(A)+P(B)求解.正解:记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1,A2,A3,A4,由题意知这四个事件彼此互斥.则AB=A1A2A3A4.故P(AB)=P(A1A2A3A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)题型一题型二题型三题型四【变式训练4】 玻璃盒子里装有各种颜色的球12个,其中5红、4黑、2白、1绿,从中任取1球.记事件A为“取出1个红球”,事件B为“取出1个黑球”,事件C为“取出1个白球”,事件D为“取出1个绿球”.已知求:(1)“取出1球为红球或黑球”的概率;(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率.解法一:应用互斥事件的概率加法公式求概率.(1)“取出1球为红球或黑球”的概率为(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为 题型一题型二题型三题型四解法二:应用对立事件的概率公式求概率.(1)“取出1球为红球或黑球”的对立事件为“取出1球为白球或绿球”,即AB的对立事件为CD,故“取出1球为红球或黑球”的概率为(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1球为绿球”,即ABC的对立事件为D,所以“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为P(ABC)=1-P(D)=
