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1、第第6 6章章 无限长单位脉冲响应（无限长单位脉冲响应（IIRIIR） 数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法 16.1 引言引言 6.2 常用模拟低通滤波器的设计方法常用模拟低通滤波器的设计方法 6.3 脉冲响应不变法设计脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器数字滤波器 6.4 双线性变换法设计双线性变换法设计IIR数字滤波器数字滤波器 6.5 原型变换原型变换26.1 引言引言 (3) 利用有限精度算法来实现这个系统函数；数字滤波器的设计一般包括：(1) 按照任务的要求，确定滤波器的性能要求； (2) 用一个因果稳定的离散线性时不变系统的系统函数去逼近这一性能要求； (4) 实际的技术实现，
2、包括采用通用计算机软件或专用数字滤波器硬件来实现，或用采用专用的或通用的数字信号处理器来实现。3滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的允许误差来表征。以低通滤波器为例，如图6.l所示 。图6.1 理想低通滤波器逼近的误差容限频率响应有通带、 过渡带及阻带三个范围（而不是理想的陡截止的通带、阻带两个范围）。4在通带内，幅度响应以最大误差 逼近于1，即 (6.1) (6.2)在阻带内，幅度响应以误差小于 而逼近于零，即 。 其中 分别为通带截止频率和阻带截止频率，它们都是数字域频率。为了逼近理想低通滤波器特性，还必须有一个非零宽度 的过渡带，在这个过渡带内的频率响应平滑地从通带下降到阻带。5（
3、6.3） （6.4） 虽然给出了通带的容限 及阻带的容限 ，但是，在具体技术指标中往往使用通带允许的最大衰减（波纹） 和阻带应达到的最小衰减 描述， 及 的定义分别为： 式中，假定|H(ej0)|=1(已被归一化)。例如|H(ej)|在 处满足|H(ej )|=0.707，则 =3 dB；在 处满足|H(ej )|=0.001，则 =60 dB。6数字滤波器按频率特性划分也有低通、高通、带通、带阻、全通等类型，如图6.2所示。 是折叠频率。按照奈奎斯特抽样定理，频率特性只能限于 范围。 7图6.2 各种数字滤波器的理想幅度频率响应8数字滤波器的技术要求：滤波器的频率响应： 为幅频特性：表示信号
4、通过该滤波器后各频率成分的衰减情况。 为相频特性：反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。9 1幅度平方响应幅度平方响应（6.5）幅度平方响应定义为 这里由于脉冲响应为实函数，故满足 ，也 就是满足共轭对称条件。10零极点情况：零极点情况：1、 又由于 的有理表达式中各系数为实数，因而，零极点必然都以共扼对形式出现，故必有 和 两极点存在，所以 的极点既是共轭的，又是以单位圆镜像对称的。2、11由于是复数，可表示成(6.6)所以（6.7）由于（6.8）所以又有2相位响应相位响应 12定义为相位对角频率的导数的负值，即（6.9）可以化为（6.10)由于3群延迟响应群延迟响应滤波器平均延迟的
5、一个度量13所以因而又有(6.11)同样可化为(6.12)14 (1) 先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足预定指标的数字滤波器。 设计IIR数字滤波器一般有以下两种方法： (2) 计算机辅助设计法。 156.2 常用模拟低通滤波器的设计方法常用模拟低通滤波器的设计方法 常用的模拟原型滤波器有巴特沃思（Butterworth）滤波器、切比雪夫（Chebyshev）滤波器、椭圆（Ellipse）滤波器、贝塞尔（Bessel）滤波器等。 这些典型的滤波器各有特点：巴特沃思滤波器具有单调下降的幅频特性；切比雪夫滤波器的幅频特性在通带或者在阻带有波动，可以提高选择性；贝塞尔滤波器通带内有较好的线
6、性相位特性；椭圆滤波器的选择性相对前三种是最好的, 但在通带和阻带内均为等波纹幅频特性。16图 6.3 各种理想模拟滤波器的幅频特性 176.3.1 由幅度平方函数来确定系统函数由幅度平方函数来确定系统函数 模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数|Ha(j)|2来表示，即 由于滤波器冲激响应ha(t)是实函数，因而Ha(j)满足 所以 （6.14）式中，Ha(s)是模拟滤波器的系统函数，它是s的有理函数; Ha(j)是滤波器的频率响应特性； |Ha(j)|是滤波器的幅度特性。 （6.13）（6.12）18由已知的由已知的|Ha(j)|2求得求得Ha(s)：设Ha(s)有一个极点（或零点）位于s=s
7、0处，由于冲激响应ha(t)为实函数，则极点（或零点）必以共轭对形式出现，因而s=s 0*处也一定有一极点（或零点），所以与之对应Ha(-s)在s=-s0和-s0*处必有极点（或零点），Ha(s)Ha(-s)在虚轴上的零点（或极点）（对临界稳定情况，才会出现虚轴的极点）一定是二阶的， 这是因为冲激响应ha(t)是实的，因而Ha(s)的极点（或零点）必成共轭对出现。Ha(s)Ha(-s)的极点、零点分布是成象限对称的，如图6.4所示。 19图6.4 的零点（或极点）分布20 我们知道，任何实际可实现的滤波器都是稳定的，因此, 其系统函数Ha(s)的极点一定落在s的左半平面，所以左半平面的极点一定
8、属于Ha(s)，则右半平面的极点必属于Ha(-s)。 零点的分布则无此限制，只和滤波器的相位特征有关。如果要求最小的相位延时特性，则Ha(s)应取左半平面零点。如果有特殊要求，则按这种要求来考虑零点的分配；如无特殊要求，则可将对称零点的任一半（应为共轭对）取为Ha(s)的零点。 最后, 按照Ha(j)与a(s)的低频特性或高频特性的对比确定出增益常数。由求出的Ha(s)的零点、极点及增益常数，则可完全确定系统函数Ha(s)。 216.3.2 巴特沃思低通逼近巴特沃思低通逼近巴特沃思低通滤波器幅度平方函数定义为 （6.15） 式中，N为正整数，代表滤波器的阶数。当=0时，|Ha(j0)|=1；
9、当=c时，|Ha(jc)|=1/ =0.707，20lg|Ha(j0)/Ha(jc)|=3 dB， c为3 dB截止频率。22 巴特沃思低通滤波器特点：在通带内有最大平坦的幅度特性。随着由0增大，|Ha(j)|2单调减小，N越大，通带内特性越平坦， 过渡带越窄。当st，即频率为阻带截止频率时，衰减为As=-20lg|Ha(js)|, As为阻带最小衰减。对确定的As, N越大，s距c越近，即过渡带越窄。 巴特沃思低通滤波器的幅度特性如图6.5所示。 23图6.5 巴特沃兹滤波器幅度特性及其与N的关系24其零点全部在s=处，在有限s平面内只有极点，因而属于 “全极点型”滤波器。Ha(s)Ha(-
10、s)的极点为 k=1, 2, , 2N （6.17）（6.16）在幅度平方函数式（6.15）中，代入 , 可得 由此看出，Ha(s)Ha(-s)的2N个极点等间隔分布在半径为c的圆（称巴特沃思圆）上，极点间的角度间隔为 。25 图 6.6 和 时极点分布 可见，N为奇数时，实轴上有极点；N为偶数时，实轴上没有极点。26为形成稳定的滤波器，Ha(s)Ha(-s)的2N个极点中只取s左半平面的N个极点为Ha(s)的极点，而右半平面的N个极点构成Ha(-s)的极点。Ha(s)的表示式为 （6.18） k=1, 2, , N （6.19） 27或 （6.20） 一般模拟低通滤波器的设计指标由参数 ,
11、， 和 给出， 因此对于巴特沃思滤波器情况下, 设计的实质就是为了求得由这些参数所决定的滤波器阶次N和截止频率c。 （1）在，28 或 (6.21) 由式（6.20）和式（6.21）解出N 和c，有 (6.22) 一般来说，上面求出的N不会是一个整数，要求N是一个整数且满足指标要求，就必须选 (6.23) （2）在 ，, 29这里运算符x的意思是“选大于等于x的最小整数” 。为了在p精确地满足指标要求， 则由式（6.20）可得 (6.24)或者在st精确地满足指标要求，则由式（6.21）可得 (6.25)30表6.1巴特沃兹归一化低通滤波器分母多项式 巴特沃兹多项式的系数31（6.26） （6
12、.27） 代表归一化系统的系统函数，代表所需的参考角频率为的系统的系统函数，那么把归一化系统函数中的变量用代替后，就得到所需系统的系统函数，即：如果用表示归一化频率响应中的参考角频率, 而所需的实际滤波器幅度响应中的参考角频率为 。32 切比雪夫滤波器的幅度特性就是在一个频带中（通带或阻带）具有等波纹特性。幅度特性在通带中是等波纹的，在阻带中是单调的，称为切切比比雪夫雪夫型型。幅度特性在通带内是单调下降的，在阻带内是等波纹的，称为切比雪夫切比雪夫型型。图6.7、图6.8分别画出了N为奇数与N为偶数的切比雪夫，型低通滤波器的幅度特性。 6.3.3 切比雪夫低通逼近切比雪夫低通逼近 33图 6.7
13、 切比雪夫型低通滤波器的幅度特性 34图 6.8 切比雪夫型低通滤波器的幅度特性 35 切比雪夫型低通滤波器的幅度平方函数为 （6.28） 式中，为小于1的正数，它是表示通带波纹大小的一个参数， 越大，波纹也越大。c为通带截止频率，也是滤波器的某一衰减分贝处的通带宽度（这一分贝数不一定是3dB）。CN(x)是N阶切比雪夫多项式，定义为 36|x|1(通带) |x|1(阻带) 当N1 时，切比雪夫多项式的递推公式为 CN+1(x)=2xCN(x)-CN-1(x) (6.29) (6.30) 切比雪夫多项式的零值点（或根）在|x|1 间隔内。当|x|1 时， CN(x)是余弦函数，故 |CN(x)
14、|1 37 且多项式CN(x)在|x|1 内具有等波纹幅度特性；对所有的N， CN(1)=1，N为偶数时CN(0)=; N为奇数时CN(0)=0。当|x|1时， CN(x)是双曲余弦函数，它随x增大而单调增加。 切比雪夫滤波器的幅度函数的特点如下： （1）当0，N为偶数时， ；当N为奇数时，Ha (j0)=1。 38 （2）=c时 即所有幅度函数曲线都通过 点，所以把c定义为切比雪夫滤波器的通带截止频率。在这个截止频率下，幅度函数不一定下降 3 dB，可以是下降其他分贝值， 例如 1 dB等，这是与巴特沃思滤波器不同之处。 39 （3）在通带内，即当|c时，则|/cc时，随着的增大, 迅速满足
15、使|Ha(j)|迅速单调地趋近于零。 40 切比雪夫滤波器有三个参数：，c和N。c是通带宽度，一般是预先给定的; 是与通带波纹有关的一个参数。通带波纹Ap表示成 (6.31) 这里，|Ha(j)|max=1 表示通带幅度响应的最大值。 ， 表示通带幅度响应的最小值，故 因而 (6.32) (6.33) 41 滤波器阶数N等于通带内最大值和最小值的总数。N的数值可由阻带衰减来确定。设阻带起始点频率为st，此时阻带幅度平方函数值满足 42式中，A是常数。如果用误差的分贝数As表示，则有 所以 (6.34) 设s为阻带截止频率，即当s时，将上面的|Ha(j)|2的表达式代入式（6.28），可得 43
16、由此得出 由于s/c1，所以，由式（6.29）的第二式有 由此，并考虑式（6.34），可得 (6.35) 44 (6.36) 这里，c是切比雪夫滤波器的通带宽度，但不是3 dB带宽，可以求出3 dB带宽为 (6.37) 如果要求阻带边界频率上衰减越大（即A越大），也就是过渡带内幅度特性越陡，则所需的阶数N越高。 或者对 求解，可得 45 注意，只有当c1) , c, N给定后，就可以求得滤波器的传递函数Ha(s)，这可查阅有关模拟滤波器手册。 466.3 脉冲响应不变法设计脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器数字滤波器6.3.1 变换原理变换原理 从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响
17、应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应ha(t)，即将ha(t)进行等间隔采样，使h(n)正好等于ha(t)的采样值，满足 （6.38）式中, T是采样周期。 47 如果令Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯变换，H(z)为h(n)的z变换，利用采样序列的z变换与模拟信号的拉普拉斯变换的关系，得 (6.39) 则可看出，脉冲响应不变法将模拟滤波器的s平面变换成数字滤波器的z平面。48图 6.9 脉冲响应不变法的映射关系 496.3.2 混叠失真混叠失真 数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为 (6.40) 这就是说，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。只有当模拟滤波器
18、的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即 (6.41) 50 才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即 |(6.42) 但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的， 变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真，如图6-10所示。51图 6.10 脉冲响应不变法中的频响混叠现象 当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。526.3.3 模拟滤波器的数字化方法模拟滤波器的数字化方法 设模拟滤波器的系统函数Ha(s
19、)只有单阶极点，且假定分母的阶次大于分子的阶次（一般都满足这一要求，因为只有这样才相当于一个因果稳定的模拟系统），因此 (6.43) 53其相应的冲激响应ha(t)是Ha(s)的拉普拉斯反变换，即 式中, u(t)是单位阶跃函数。 在脉冲响应不变法中，要求数字滤波器的单位脉冲响应等于对ha(t)的采样，即 (6.44) 54对h(n)求Z变换，即得数字滤波器的系统函数 (6.45) 将式（6.43）的Ha(s)和式（6.45）的H(z)加以比较，可以看出： （1）s平面的每一个单极点s=sk变换到z平面上z=eskT处的单极点。 （2） Ha(s)与H(z)的部分分式的系数是相同的，都是Ak。
20、 55 （3）如果模拟滤波器是因果稳定的，则所有极点sk位于S平面的左半平面，即Resk0， 则变换后的数字滤波器的全部极点在单位圆内，即|eskT|=eReskT1， 因此数字滤波器也是因果稳定的。 （4）虽然脉冲响应不变法能保证s平面极点与z平面极点有这种代数对应关系，但是并不等于整个s平面与z平面有这种代数对应关系，特别是数字滤波器的零点位置就与模拟滤波器零点位置没有这种代数对应关系，而是随Ha(s)的极点sk以及系数Ak两者而变化。 56 从式（6.42）看出，数字滤波器频率响应幅度还与采样间隔T成反比： | 如果采样频率很高，即T很小，数字滤波器可能具有太高的增益，这是不希望的。为了
21、使数字滤波器增益不随采样频率而变化，可以作以下简单的修正，令 h(n)=Tha(nT) (6.46) 则有: (6.47) (6.48) 57例例 6-1 设模拟滤波器的系统函数为 试利用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成IIR数字滤波器的系统函数H(z)。 解解 直接利用式（6-47）可得到数字滤波器的系统函数为 设T=1，则有 58 模拟滤波器的频率响应Ha(j)以及数字滤波器的频率响应H(ej)分别为: 把|Ha(j)|和|H(ej)|画在图6-11上。由该图可看出，由于Ha(j)不是充分限带的，所以H(ej)产生了严重的频谱混叠失真。 59图 6-11 例6-1的幅频特性 606.3.4
22、 优缺点优缺点 从以上讨论可以看出，脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼近良好，而且模拟频率和数字频率之间呈线性关系=T。 因而，一个线性相位的模拟滤波器（例如贝塞尔滤波器）通过脉冲响应不变法得到的仍然是一个线性相位的数字滤波器。 616.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字滤波器数字滤波器 6.4.1 变换原理变换原理 脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。这是因为从S平面到平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-/T/T之间，再用z=esT转换到
23、Z平面上。也就是说，第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-/T/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=es1T将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系， 消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图6-12所示。 62图 6-12 双线性变换的映射关系 63 为了将S平面的整个虚轴j压缩到S1平面j1轴上的-/T到/T段上，可以通过以下的正切变换实现 （6.49） 式中, T仍是采样间隔。 当1由-/T经过0变化到/T时，由-经过0变化到+， 也即映射了整个j轴。将式（6-49）写成 64 将此关系解析延拓到整个S平面和S1平面，令j=s，
24、j1=s1， 则得再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面： z=es1T 从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为： （6.52） (6.53）式（6-52）与式（6-53）是S平面与Z平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换。 （6.50）（6.51）656.4.2 逼近的情况逼近的情况 式（6-56）与式（6-57）的双线性变换符合6.2节中提出的映射变换应满足的两点要求。 （1）首先, 把z=ej代入式（6-56），可得 （6.60） 即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。 66（2） 其次，将s=+j代入式（6-57），得 因此 67 由此看出，当0时
25、， |z|0时，|z|1。也就是说， S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。 因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。 686.4.3 优缺点优缺点 双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为S平面与Z平面是单值的一一对应关系。S平面整个j轴单值地对应于Z平面单位圆一周， 即频率轴是单值变换关系。这个关系如式（6-60）所示，重写如下： 上式表明，S平面上与Z平面的成非线性的正切关系，如图6-13所示。 69 由图6-13看出，在零频率附近，模拟角频
26、率与数字频率之间的变换关系接近于线性关系；但当进一步增加时，增长得越来越慢，最后当时，终止在折叠频率=处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象， 从而消除了频率混叠现象。 70图6-13 双线性变换法的频率变换关系 71 但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的，如式（6-54）及图6-13所示。由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常
27、数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性），不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变，如图 6-14 所示。 72图6-14 理想微分器经双线性变换后幅频响应产生畸变73 对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变， 这种频率的畸变，可以通过频率的预畸来加以校正。也就是将临界模拟频率事先加以畸变， 然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。 74图6-15 双线性变化的频率非线性预畸756.4.4 模拟滤波器的数字化方法模拟滤波器的数字化方法 双线性变换法比起脉冲响应不变法来，在
28、设计和运算上也比较直接和简单。由于双线性变换法中，s到z之间的变换是简单的代数关系，所以可以直接将式（6-56）代入到模拟系统传递函数， 得到数字滤波器的系统函数， 即 频率响应也可用直接代换的方法得到 （6.61） （6.62） 76 应用式（6-61）求H(z)时， 若阶数较高，这时将H(z)整理成需要的形式，就不是一件简单的工作。为简化设计，一方面， 可以先将模拟系统函数分解成并联的子系统函数（子系统函数相加）或级联的子系统函数（子系统函数相乘），使每个子系统函数都变成低阶的（例如一、 二阶的），然后再对每个子系统函数分别采用双线性变换。也就是说，分解为低阶的方法是在模拟系统函数上进行的
29、，而模拟系统函数的分解已有大量的图表可以利用，分解起来比较方便。另一方面，可用表格的方法来完成双线性变换设计，即预先求出双线性变换法中离散系统函数的系数与模拟系统函数的系数之间的关系式，并列成表格，便可利用表格进行设计了。 77设模拟系统函数的表达式为 （6.63） 应用双线性变换法得到H(z)表达式 得 （6-64） 786.4 原型变换 在模拟滤波器中已经形成了许多成熟的设计方法。如巴特沃兹滤波器、切比雪夫滤波器、考尔滤波器、贝塞尔滤波器等，每种滤波器都有自己的一套准确的计算公式。同时，也制备了大量归一化的设计表格与曲线，大大便利了滤波器的设计和计算。 在模拟滤波器的设计中，只要掌握原型变
30、换就可以通过归一化低通原型的参数，去设计各种实际的低通、高通、带通或带阻滤波器。这一套成熟的、行之有效的设计方法，也可以通过前面所讨论的各种变换应用于数字滤波器的设计。79一、低通变换一般，通过模拟原型设计数字滤波器大约可按以下四个步骤进行：(1) 确定数字滤波器的性能要求，确定各临界频率 值。(2) 由变换关系将 映射到模拟域，得出模拟滤被器的临界频率值 (3) 按照临界频率 设计模拟滤波器传递函数 。 (4) 通过变换将 转换为数字滤波器传递函数 现举例说明。设采样周期 (即采样频率为4kHz)，要求用脉冲响应不变法及双线性交换设计一个三阶的巴特沃兹低通滤波器，其3dB截止频率为 。801
31、脉冲响应不变法 由于脉仲响应不变法的频率关系是线性的，所以我们可以直接按 设计一个三阶巴特沃兹模拟低通滤波器，然后再变换为数字滤波器。 巴特沃兹滤波器传递函数为81其中当N=3时，（6.65）稍加整理即可得到（6.66）82 以上传递函数也可以直接从查表来得到，即先从常用的滤波器设计手册中查出巴特沃兹多项式的系数，然后以 代替其归一化频率，则可得到以上结果。根据式(6-65)，只要将 代入，就完成了三阶巴特沃兹模拟滤波器的计算。但一般来说，具体数值应该放在完成了数字滤波器的变换后最后一次代入，以减少数值运算中的误差积累。为了进行脉冲响应不变法变换，将式(6-65)展开成部分分式的结构。将此部分
32、分式的系数代入式(6-47)就得到83其中是数字滤波器数字频域的截止频率。将代入上式，就得到最后的传递函数：2双线性变换法首先确定数字域临界频率 第二步根据频率的非线性关系式，确定预畸的模拟滤波器临界频率84 c是调节模拟频带与数字频带间对应关系的一个常数，我们采用使模拟频率特性与数字频率特性在低频频率处有较确切对应关系的常数 ,则有 第三步将代入式(6-66)就得到模拟的传递函数最后，将双线性变换关系代入就得到数字滤波器的传递函数85 图6-16表示了这两种设计方法所得到的频响，横坐标作了两种标度，一种是数字域频率 ，一种是所对应的实际频率图 6-16 三阶巴特沃兹数字滤波器频响1-脉冲响应
33、不变法；2-双线形变换法86二、高通变换 当我们需要设计高通、带通、带阻等数字滤波器时，可以有两种 办法。第一种办法是，首先设计一个相应的高通、带通或带阻模拟滤波器，然后再通过脉冲响应不变法或双线性变换转换为数字滤波器，如图6.17上图的方案。第二种办法则是，直接利用模拟滤波器的低通原型，通过一定的频率变换关系，一步完成各种数字滤波器的设计，如图6.17下图的方案。对于第一种方案，设计办法完全和我们上面讨论的低通设计一样。即首先确定临界频率 ，然后转换成相应模拟滤波器的临界频率 。剩下的问题就完全是高通、带通成带阻模拟滤波器的设计问题了。最后再将设计好的 公式转换成 即可。我们在这里只讨论第二
34、种方案，这种方法简捷便利，因此得到普遍采用。另外，由于脉冲响应不变法对于高通、带阻等都不能直接采用，或者只能在加了保护滤波器以后使用。因此一般脉冲响应不变法使用直接频率变换要有许多特殊考虑，故对于脉冲响应不变法来说，采用第一种方案有时更方便一些。我们在下面只考虑双线性变换，实际使用中多数情况也正是这样。87图 6.17 两种等效的设计方法88 我们首先来考虑高通变换，在模拟滤波器的高通设计中我们已经知道，由低通模拟原型到模拟高通的变换关系为：(6.67) 式中， 为模拟低通滤波器的截止频率， 为实际高通滤波器的截止频率。根据双线性变换原理，模拟高通与数字高通之间的s平面与z平面的关系仍为：89
35、 采用使模拟滤波器与数字滤波器在低频处有较确切的对应关系， 从而 把变换式（6-67）和变换式 结合起来，可得到直接从模拟低通原型变换成数字高通滤波器的表达式，也就是直接联系s与z之间的变换公式： 式中，由此得到数字高通系统函数为：式中，为模拟低通滤波器传递函数。 (6.68) 90 可以看出，数字高通滤波器和模拟低通滤波器的极点数目（或阶次）是相同的。根据双线性变换，模拟高通频率与数字高通频率之间的关系仍为：则 (6.69) 又因为 ，所以： (6.70) 91下面讨论模拟低通滤波器与数字高通滤波器频率之间的关系。 令 代入式（6-68），可得 (6.71) 或 (6.72)其变换关系曲线如
36、图6-18所示。由图可看出， 映射到 映射到 。通过这样的变换后就可以直接将模拟低通变换为数字高通如图6-19所示。92图6-18 高通变换的频率关系93图6-19 高通原型变换94三、带通变换由低通模拟原型到模拟带通的变换关系为 (6.73)、 式中， 为模拟低通滤波器的截止频率， 分别为实际带通滤波器的通带上、下截止频率。根据双线性变换，模拟带通与数字带通之间的 s平面与 z平面的关系仍为：95 把上面两变换式结合起来，可得到直接从模拟低通原型变换成数字带通滤波器的表达式，也就是直接联系 s与z之间的变换公式： (6.74)经推导后得 (6.75) 96式中 (6.76) (6.77)根据
37、双线性变换，模拟带通频率与数字带通频率之间的关系仍为： (6.78) 97定义： (6.79)(6.80)，则将式（6-78）代入 式中， 为带通滤波器的通带宽度， ，数字带通滤 为带通滤波器通带的中心频率， 它也等于低通滤波器的带宽。设数字带通的中心频率为 波器的上、下边带的截止频率分别为 和 式（6-79）、 式（6-80），可得： (6.81) (6.82) 98考虑到模拟带通到数字带通是通带中心频率相对应的映射关系，则有： (6.83) 将式（6-81）、式（6-82）和式（6-83）代入式（6-75）及式（6-76），并应用一些标准三角恒等式可得： (6.84) (6.85) 99
38、所以，在设计时，要给定中心频率和带宽或者是中心频率和边带频率，利用式（6-84）和式（6-85）来确定 D和E两常数； 然后， 利用式（6-74）的变换，把模拟低通系统函数一步变成数字带通系统函数： (6.86) 式中， 为模拟低通原型传递函数。可以看出，数字带通滤波器的极点数 （或阶数）将是模拟低通滤波器极点数的两倍。 下面来讨论模拟低通滤波器与数字带通滤波器频率之间的关系。 令 ， 代入式（6-74），经推导后可得 (6.87)其变换关系曲线如图6-21所示。其映射关系为：100图6-21 从模拟低通变换到数字带通时频率间关系曲线101也就是说，低通滤波器的通带（ 附近）映射到带通滤波器的
39、通带（ 附近），低通的阻带（ ）映射到带通的阻带（ ）。 图 6.22 模拟低通变换到数字带通102四、带阻变换由模拟低通原型到模拟带阻的变换关系为：(6.88) 式中， 为模拟低通滤波器的截止频率， 分别为实际带阻滤波器的阻带上、下截止频率。根据双线性变换，模拟带阻与数字带阻之间的s平面与z平面 的关系仍为： (6.89)103 对于第一种方案，重点是模拟域频率变换，即如何由模拟低通原型滤波器转换为截止频率不同的模拟低通、高通、带通、带阻滤波器，这里我们不作详细推导，仅在表6-3列出一些模拟到模拟的频率转换关系。一般直接用归一化原型转换，取c=1, 可使设计过程简化。 表表6-3 截止频率为
40、截止频率为c的模拟低通滤波器到其它的模拟低通滤波器到其它频率选择性滤波器的转换公式频率选择性滤波器的转换公式 104把变换式（6-88）和变换式（6-89）结合起来，可得到直接从模拟低通原 型变换成数字带阻滤波器的表达式，也就是直接联系s与z之间的变换公式： (6.90)经推导后得：(6.91)105式中： (6.92) (6.93) 根据双线性变换，模拟带阻频率与数字带阻频率之间的关系仍为 (6.94)106宽度，它与低通原型中的截止频率 成反比。设数字带阻的中心频率为 定义： (6.95) (6.96)式中， 为带阻滤波器阻带的几何对称中心角频率； B为带阻滤波器的阻带，数字带阻滤波器的上
41、、下边带的截止频率分别为 和 ， 则将式（6-94）代入 式（6-95）、式（6-96），可得： (6.97) (6.98)107考虑到模拟带阻到数字带阻是阻带中心频率相对应的映射关系，则有： (6.99) 将式（6-97）、 式（6-98）和式（6-99）代入式（6-92）及式（6-93），并应用一些标准三角恒等式运算后可得： (6.100) (6.101) 108所以，在设计时，要给定中心频率和带宽或者是中心频率和边带频率， 利用式（6-100）和式（6-101）来确定 和 两常数，然后利用式（6-91） 的变换，把模拟低通系统函数一步变成数字带阻系统函数： (6.102)式中， 为模拟低通原型传递函数。可以看出，数字带阻滤波器 的极点数（或阶数）将是模拟低通滤波器极点数的两倍。下面来讨论模拟低通滤波器与数字带阻滤波器频率之间的关系。 109令 ， 代入式（6-91），经推导后可得： (6.103) 其变换关系曲线如图6-24所示，其映射关系为：也就是说，低通滤波器的通带映射到带阻滤波器的阻带范围之外 ，低通滤波器的阻带映射到带阻滤波器的阻带上 。 110图6-24 从模拟低通变换到数字带阻时，频率间关系的曲线111
