姜启源编数学模型第四版第2章初等模型

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1、 第第二二章章 初等模型初等模型2.1 光盘的数据容量光盘的数据容量2.2 双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效2.3 划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩2.4 实物交换实物交换2.5 污水均流池的设计污水均流池的设计2.6 交通流与道路通行能力交通流与道路通行能力2.7 核军备竞赛核军备竞赛2.8 扬帆远航扬帆远航2.9 天气预报的评价天气预报的评价 研究对象的机理比较简单研究对象的机理比较简单 用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的可以利用初等数学方法来构造和求解模型可以利用初等数学方法来构造和求解模型尽量采用简单的数学工具来建模尽量采用简单的数学工具来建模

2、如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎.初初 等等 模模 型型2.1 光盘的数据容量光盘的数据容量背景和问题背景和问题 20世纪世纪80年代出现激光唱片年代出现激光唱片(CD)与激光视盘与激光视盘(LD), 统称统称光盘，用于储存数字声频、视频信号和计算机数据等光盘，用于储存数字声频、视频信号和计算机数据等. 20世纪世纪90年代出现数字视频光盘年代出现数字视频光盘(DVD). 21世纪初光盘集计算机、光学记录和影视技术为一体世纪初光盘集计算机、光学记录和影视技术为一体

3、, 带动了出版、广播、通信、互联网等行业的发展带动了出版、广播、通信、互联网等行业的发展. CD的数据容量的数据容量: 单层单层650MB(兆字节兆字节)DVD的数据容量的数据容量: 单层单层4.7GB(千兆字节千兆字节)从数学建模的角度研究从数学建模的角度研究 : 光盘的数据容量是光盘的数据容量是怎么确定的，在一定条件下怎样使其最大化怎么确定的，在一定条件下怎样使其最大化.调查和分析调查和分析45mm120mm2mm信道间距信道间距信道信道(螺旋线螺旋线)经过编码的数字信息，以经过编码的数字信息，以一定深度和宽度、不同长一定深度和宽度、不同长度的凹坑的形式，用烧蚀度的凹坑的形式，用烧蚀技术存

4、储在光盘表面呈螺技术存储在光盘表面呈螺旋线形状的信道上旋线形状的信道上. 当盘片上环形区域面积一定时，当盘片上环形区域面积一定时，数据容量数据容量的大小的大小取决于取决于信道的总长度信道的总长度与信道上存储数据的与信道上存储数据的线密度线密度. 决定信道长度和线密度大小的主要因素是所用决定信道长度和线密度大小的主要因素是所用激光的波长激光的波长，和，和驱动光盘的机械形式驱动光盘的机械形式.调查和分析调查和分析 当光盘运转时激光束要能识别出信道上的凹坑当光盘运转时激光束要能识别出信道上的凹坑所携带的信息，必须精确地聚焦所携带的信息，必须精确地聚焦. 数据容量数据容量 激光波长激光波长 驱动形式驱

5、动形式 信道长度信道长度 线密度线密度激光波长激光波长 光的衍射使激光束在光盘上形成圆状的光斑光的衍射使激光束在光盘上形成圆状的光斑. 为了提高存储数据的线密度，应该使光斑尽量小，为了提高存储数据的线密度，应该使光斑尽量小，而光斑的大小与激光波长成正比而光斑的大小与激光波长成正比. 激光器激光器激光波激光波长（m）光斑直径光斑直径（m）信道信道间距距（m）数据数据线密度密度（字（字节/mm）红外外(CD)0.7821.6121红色色(DVD)0.640.9250.74387蓝色色(DVD)0.410.40.32800调查和分析调查和分析恒定角速度恒定角速度(CAV)驱动光盘的机械形式驱动光盘的

6、机械形式每一圈螺旋线上存储每一圈螺旋线上存储同等数量的数据信息同等数量的数据信息容量取决于最内圈的长容量取决于最内圈的长度、线密度以及总圈数度、线密度以及总圈数 各圈螺旋线上数据各圈螺旋线上数据的线密度不变的线密度不变 容量取决于固定的线容量取决于固定的线密度和螺旋线总长度密度和螺旋线总长度 恒定线速度恒定线速度(CLV )从光盘的容量比较，从光盘的容量比较，CLV优于优于CAV. 数据读取时间数据读取时间: CLV每圈转速不同，当读出磁头在内外每圈转速不同，当读出磁头在内外圈移动时，需要等待光盘加速或减速，而圈移动时，需要等待光盘加速或减速，而CAV不需要不需要. 对音乐、影像、计算机文件等

7、按顺序播放的信息，多用对音乐、影像、计算机文件等按顺序播放的信息，多用CLV;对词典、数据库、人机交互等常要随机查找的信息，多用对词典、数据库、人机交互等常要随机查找的信息，多用CAV.模型建立模型建立 CLV(恒定线速度恒定线速度)光盘光盘R1光盘环形区域内圆半径光盘环形区域内圆半径, R2 外圆半径外圆半径, d 信道间距信道间距LCLV 信道信道总长度度 环形区域面积环形区域面积/信道间距信道间距 同心圆平均周长同心圆平均周长*总圈数总圈数 数据容量数据容量线密度线密度,(n总圈数总圈数)其他方法建模其他方法建模模型建立模型建立 CAV(恒定角速度恒定角速度)光盘光盘螺旋螺旋线最内圈的最

8、内圈的长度近似度近似为2R1, 总圈数可圈数可视为 数据容量数据容量LCLV 信道信道总长度度 线密度线密度,当线密度当线密度、信道间距、信道间距d和外径和外径R2给定后，给定后， 可选择可选择环形区域的内圆半径环形区域的内圆半径R1，使数据容量最大，使数据容量最大 .模型求解模型求解 CLV(恒定线速度恒定线速度)光盘光盘激光器激光器激光波激光波长(m)信道信道长度度(mm)信息容量信息容量, (MB)影像影像时间(min)红外外(CD)0.785,611,17967918红色色(DVD)0.6412,132,2794,695126蓝色色(DVD)0.4128,055,89522,44560

9、3R2=58 mm , R1=22.5 mm CD信道长度在信道长度在5km以上，容量约以上，容量约680 MB; DVD容量在容量在GB量级量级. 影像时间按照每秒钟占用影像时间按照每秒钟占用0.62 MB计算计算 .模型求解模型求解 激光器激光器激光波激光波长 (m)信道信道长度度 (mm)信息容量信息容量, (MB)影像影像时间(min)红外外(CD)0.783,302,59940011红色色(DVD)0.647,140,7552,76474蓝色色(DVD)0.4116,512,99613,210355CAV(恒定角速度恒定角速度)光盘光盘即使在内圆半径的最佳选择下，即使在内圆半径的最佳

10、选择下，CAV光盘光盘的信息容量也小于的信息容量也小于CLV光盘光盘 .R1=R2/2时时LCAV最大最大 2d墙墙室室内内 T1室室外外 T2dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2问问题题双层玻璃窗与同样多材料的单层双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失玻璃窗相比，减少多少热量损失.假假设设热量传播只有传导，没有对流热量传播只有传导，没有对流.T1,T2不变，热传导过程处于稳态不变，热传导过程处于稳态.材料均匀，热传导系数为常数材料均匀，热传导系数为常数.建建模模热传导定律热传导定律Q1Q2Q 单位时间单位面积传导的热量单位时间单位面积传导的热量 T温差温差, d材料厚度材

11、料厚度, k热传导系数热传导系数2.2 双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效双层双层单单层层dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2Q1TaTb记双层玻璃窗传导的热量记双层玻璃窗传导的热量Q1Ta内层玻璃的外侧温度内层玻璃的外侧温度Tb外层玻璃的内侧温度外层玻璃的内侧温度k1玻璃的热传导系数玻璃的热传导系数k2空气空气的热传导系数的热传导系数建模建模记单层玻璃窗传导的热量记单层玻璃窗传导的热量Q22d墙墙室室内内 T1室室外外 T2Q2双层与单层窗传导的热量之比双层与单层窗传导的热量之比k1=48 10-3 (J/cmskwh), k2=2.5 10-4, k1/k2=16 32对对Q1比比Q2的减

12、少量的减少量作最保守的估计，作最保守的估计，取取k1/k2 =16建模建模hQ1/Q242O0.060.030.026模型应用模型应用取取 h=l/d=4, 则则 Q1/Q2=0.03即双层玻璃窗与同样多材即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可料的单层玻璃窗相比，可减少减少97%的热量损失的热量损失.结果分析结果分析Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气的热传导系所以如此小，是由于层间空气的热传导系数数k2 2极低极低, , 而这要求空气非常干燥、不流通而这要求空气非常干燥、不流通. .房间通过天花板、墙壁、房间通过天花板、墙壁、损失的热量更多损失的热量更多.实际上双层窗的功效不会如此之大

13、实际上双层窗的功效不会如此之大!2.3 划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩赛艇赛艇 2000m成绩成绩 t (min)种类种类 1 2 3 4 平均平均单人单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21双人双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四人四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32八人八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84空艇重空艇重w0(kg) 桨桨手数手数n 16.3 13.6 18.1 14.7对四种赛艇对四种赛艇 (单人、双人、四人、八人单人、双人、四人、八人) 4次国际次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与大赛冠军的成绩进行比较，发

14、现与桨桨手数有某手数有某种关系种关系. 试建立数学模型揭示这种关系试建立数学模型揭示这种关系.问问题题准准备备调查赛艇的尺寸和质量调查赛艇的尺寸和质量l /b, w0/n 基本不变基本不变艇长艇长l 艇宽艇宽b l/b (m) (m) 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.411.75 0.574 21.018.28 0.610 30.0问题分析问题分析 前进阻力前进阻力 浸没部分与水的摩擦力浸没部分与水的摩擦力 前进动力前进动力 桨手的划桨功率桨手的划桨功率分析赛艇速度与桨手数量之间的关系分析赛艇速度与桨手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定赛艇速度由前进动力

15、和前进阻力决定:划桨划桨功率功率 赛艇赛艇速度速度赛艇赛艇速度速度前进前进动力动力前进前进阻力阻力桨手桨手数量数量 艇艇重重浸没浸没面积面积 对桨手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定对桨手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定. . 运用合适的物理定律建立模型运用合适的物理定律建立模型. .模型假设模型假设1）艇形状相同）艇形状相同(l/b为常数为常数), w0与与n成正成正比比2）v是常数，阻力是常数，阻力 f与与 sv2成正比成正比符号：艇速符号：艇速 v, 浸没面积浸没面积 s, 浸没体积浸没体积 A, 空艇重空艇重 w0, 阻力阻力 f, 桨手数桨手数 n, 桨手功率桨手功率 p,

16、 桨手体重桨手体重 w, 艇重艇重 W.艇的静态特性艇的静态特性艇的动态特性艇的动态特性3）w相同，相同，p不变，不变，p与与w成正比成正比桨手的特征桨手的特征模型模型建立建立f sv2,p wv (n/s)1/3s1/2 A1/3, A W(=w0+nw) n s n2/3v n1/9比赛成绩比赛成绩 t n 1/9np fv,模型检验模型检验n t1 7.212 6.884 6.328 5.84线性最小二乘法线性最小二乘法利用利用4次国际大赛冠军的平均次国际大赛冠军的平均成绩对模型成绩对模型 t n 1/ 9 进行检验进行检验.与模型吻合！与模型吻合！tn12487.216.886.325

17、.84O划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩 对实际数据做比较、分析，发现并提出问题对实际数据做比较、分析，发现并提出问题. 利用物理基本知识分析问题利用物理基本知识分析问题. 模型假设比较粗糙模型假设比较粗糙. 利用合适的物理定律及简单的比例利用合适的物理定律及简单的比例方法建模方法建模(只考虑各种艇的相对速度只考虑各种艇的相对速度). 模型结果与实际数据十分吻合模型结果与实际数据十分吻合 (巧合！巧合！)问问题题甲有物品甲有物品X, 乙有物品乙有物品Y, 双方为满足更高的需要，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分商定相互交换一部分. 研究实物交换方案研究实物交换方案.yxp.用用x,y分别表示

18、甲分别表示甲(乙乙)占有占有X,Y的数量的数量. 设交换前甲占设交换前甲占有有X的数量为的数量为x0, 乙占有乙占有Y的的数量为数量为y0, 作图：作图：若不考虑双方对若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y)都是一种交换方案：甲占有都是一种交换方案：甲占有(x,y) ，乙占有，乙占有(x0 -x, y0 -y). xyy0Ox02.4 实物交换实物交换xyy0y1y2Ox1x2x0p1p2.甲的无差别曲线甲的无差别曲线分析与建模分析与建模如果甲占有如果甲占有(x1,y1)与占有与占有(x2,y2)具有同样的满意程度具有同样的满意程度,即即p1, p2对甲是

19、无差别的对甲是无差别的.MN将将所有与所有与p1, p2无差别的点无差别的点连接起来连接起来, 得到一条得到一条无差别无差别曲线曲线MN.线上各点的满意度相同线上各点的满意度相同, 线的形状反映对线的形状反映对X,Y的偏爱程度的偏爱程度.N1M1p3(x3,y3).比比MN各点满意度更高的点如各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲，在另一条无差别曲线线M1N1上上, 于是形成一族无差别曲线（无数条）于是形成一族无差别曲线（无数条）.p1.p2.c1 yOxf(x,y)=c1无差别曲线族的性质：无差别曲线族的性质： 单调减单调减(x增加增加, y减小减小) 下凸下凸(凸向原点凸向原点) 互不

20、相交互不相交在在p1点占有点占有x少、少、y多，多，宁愿以较多的宁愿以较多的 y换取换取较少的较少的 x;在在p2点占有点占有y少、少、x多，多，就要以较多的就要以较多的 x换取换取较少的较少的 y.甲的无差别曲线族记作甲的无差别曲线族记作f(x,y)=c1c1满意度满意度（f 等满意度曲线）等满意度曲线）甲的无差别曲线甲的无差别曲线xyOg(x,y)=c2c2 乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有具有相同性质（形状可以不同）相同性质（形状可以不同）. 双方的交换路径双方的交换路径xyy0Ox0f=c1Oxyg=c2乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g=c2 (坐标系坐标系

21、xOy, 且反向）且反向）甲的无差别曲线族甲的无差别曲线族 f=c1ABp P 双方满意的交换方案必双方满意的交换方案必在在AB（交换路径）上（交换路径）上! !因为在因为在AB外的任一点外的任一点p, (双方双方)满意度低于满意度低于AB上的点上的点p.两族曲线切点连线记作两族曲线切点连线记作AB分析与建模分析与建模AB 交换方案的进一步确定交换方案的进一步确定交换方案交换方案 交换后甲的占有量交换后甲的占有量 (x,y)0 x x0, 0 y y0矩形内矩形内任一点任一点交换路交换路径径AB双方的无差别曲线族双方的无差别曲线族X,Y用货币衡量其价值，设用货币衡量其价值，设交换前交换前x0,

22、y0价值相同，则等价值相同，则等价交换原则下交换路径为价交换原则下交换路径为CD(x0,0), (0,y0) 两点的连线两点的连线CD.AB与与CD的交点的交点p设设X单价单价a, Y单价单价b, 则等价交换下则等价交换下ax+by=s (s=ax0=by0)等价交等价交换原则换原则x0yy0O.xp.2.5 污水均流池的设计污水均流池的设计城市生活污水的流量是时刻变化的城市生活污水的流量是时刻变化的, 在净化处理在净化处理前需要先进入一个集中、储存的大池子，再通前需要先进入一个集中、储存的大池子，再通过水泵和输水管以恒定的流量流向净化设备过水泵和输水管以恒定的流量流向净化设备. 背景和问题背

23、景和问题集中、储存、均衡调节流量的池子称为集中、储存、均衡调节流量的池子称为均流池均流池.根据污水的流量设计根据污水的流量设计均流池的容积均流池的容积及水泵和输水及水泵和输水管的规格；在一定条件下按照施工成本最小的原管的规格；在一定条件下按照施工成本最小的原则确定则确定均流池的具体尺寸均流池的具体尺寸.调查和分析调查和分析除了节假日等特殊情况以外，生活污水进入均流池除了节假日等特殊情况以外，生活污水进入均流池的流量是的流量是以天为周期以天为周期变化的变化的.典型调查得到以小时为单位间隔、一天的污水流量典型调查得到以小时为单位间隔、一天的污水流量(m3/s) 时间(h)01234567流量流量0

24、.04170.03210.02360.01850.01890.01990.02280.0369时间(h)89101112131415流量流量0.05140.06300.06850.06970.07250.07540.07610.0775时间(h)1617181920212223流量流量0.08100.08390.08630.08070.07810.06900.05840.0519污水一天污水一天进入均流池的平均流量进入均流池的平均流量（忽略蒸发等损失）（忽略蒸发等损失） =从均流池用水泵从均流池用水泵打入净化设备的恒定流量打入净化设备的恒定流量 由以小时为单位间隔的由以小时为单位间隔的污水流入

25、量污水流入量和从均流池到净化设和从均流池到净化设备的备的恒定流出量恒定流出量，可得，可得均流池均流池中污水随时间变化中污水随时间变化的容量的容量. 调查和分析调查和分析 均流池的容积应该按照污水的均流池的容积应该按照污水的最大容量最大容量，并考虑留有，并考虑留有一定一定裕量裕量来设计来设计. 均流池的均流池的面积面积可以由它的容积和深度得到可以由它的容积和深度得到. 均流池的均流池的施工成本施工成本：底部单位面积的成本，四条边上：底部单位面积的成本，四条边上单位长度的施工成本单位长度的施工成本. 均流池的形状一般为均流池的形状一般为矩形矩形，其，其深度深度通常按照工程需要通常按照工程需要（底部

26、需安装设备、进行清理等）确定（底部需安装设备、进行清理等）确定. 模型假设与建立模型假设与建立 以调查得到的一天的污水流量为依据，并留有以调查得到的一天的污水流量为依据，并留有25%的的裕量进行均流池的设计裕量进行均流池的设计. 均流池的深度为均流池的深度为3m，施工成本：底部面积，施工成本：底部面积 340元元/m2，两条长边及一条短边两条长边及一条短边250元元/m，另一条短边，另一条短边450元元/m. 模型模型1 均流池的恒定流出量和最大容量模型均流池的恒定流出量和最大容量模型流量单位换算成流量单位换算成m3/h,记为记为f(t)平均流入量平均流入量=恒定流出量恒定流出量=203.67

27、(m3/h )设计流量设计流量255 m3/h (25%的裕量的裕量)f(t)模型模型1均流池中污水的容量为均流池中污水的容量为c(t) (m3)时间01234567容量容量0 53.55141.66260.37397.44533.07665.10786.69时间89101112131415容量容量857.52876.15853.02810.09762.84705.51637.74567.45时间1617181920212223容量容量492.12404.19305.82198.81111.96 34.4710.2616.83时间01234567容量容量876.15822.60734.4961

28、5.78478.71343.08211.0589.46时间89101112131415容量容量18.63023.1366.06113.31170.64238.41308.70时间1617181920212223容量容量384.03471.96570.33677.34764.19841.68886.41892.98设设c(0)=0 c(9)最小最小设设c(9)=0 c(23)最大最大模型模型1f(t)c(t)f(t)gc(t) 最小最小 f(t)g f(t)gc(t) 最大最大 最大容量为最大容量为892.98m 设计容量设计容量1116 m3 (25%的裕量的裕量)模型模型2 均流池的具体尺寸

29、模型均流池的具体尺寸模型设计容量设计容量1116 m3, 深度深度3m施工成本：底部面积施工成本：底部面积 340元元/m2, 两长边及一短边两长边及一短边250元元/m,另一短边另一短边450元元/m. l长边长度，长边长度， w短边长度短边长度底部面积底部面积 l w=372, w =372/ l 建造一个建造一个23 m16.5m的均流池，成本约的均流池，成本约15万元万元. S(l)=149301元元, w =16.30m2.6 交通流与道路通行能力交通流与道路通行能力现代城市生活中交通拥堵是普遍存在的现象，现代城市生活中交通拥堵是普遍存在的现象，在许多平面交叉路口，红灯后面总是排着长

30、长在许多平面交叉路口，红灯后面总是排着长长的汽车队伍等待放行的汽车队伍等待放行. 背景和问题背景和问题通过信号灯控制等管理手段提高道路通行能力，通过信号灯控制等管理手段提高道路通行能力，已经成为城市交通工程面临的重要课题之一已经成为城市交通工程面临的重要课题之一. 介绍交通流的基本参数及它们之间的关系介绍交通流的基本参数及它们之间的关系; 讨论一般道路及信号灯控制的十字路口的通行能力讨论一般道路及信号灯控制的十字路口的通行能力. 交通流的基本参数及其特性交通流的基本参数及其特性流量流量q某某时刻刻单位位时间内通内通过道路某断面的道路某断面的车辆数数(辆/h ) 密度密度k某某时刻通刻通过道路某

31、断面道路某断面单位位长度内的度内的车辆数数(辆辆/km ) 速度速度v 某某时刻通刻通过道路某断面的道路某断面的车辆速度速度(km/h) 交通流交通流 标准长度的小型汽车在单方向道路上行驶形标准长度的小型汽车在单方向道路上行驶形成的车流，没有外界因素如岔路、信号灯等的影响成的车流，没有外界因素如岔路、信号灯等的影响. 借用物理学概念借用物理学概念, 将交通流看作一辆辆汽车组成的连续将交通流看作一辆辆汽车组成的连续流体流体, 用用流量、速度、密度流量、速度、密度3个参数描述其基本特性个参数描述其基本特性. 3个参数之间的基本关系个参数之间的基本关系 交通流的基本参数及其特性交通流的基本参数及其特

32、性速度速度v 与与密度密度k 的关系的关系 线性模型线性模型 vf 畅行车速畅行车速(k=0时时)kj阻塞密度阻塞密度(v=0时)适合车流适合车流密度适中密度适中的情况的情况 对数模型对数模型 车流车流密度较大密度较大时适用时适用 指数模型指数模型 车流车流密度较小密度较小时适用时适用 v1 k=kj/e时的车速时的车速(理论上理论上), 由由观测数据确定数据确定. 车流密度加大车流密度加大 司机被迫减速司机被迫减速 交通流的基本参数及其特性交通流的基本参数及其特性速度速度v流量流量qvmvmkmkmqmqmvfvfkjkj000密度密度k 流量流量qkm=kj/2 最大流量时的密度最大流量时

33、的密度vm=vf/2 最大流量时的速度最大流量时的速度 城市干道的通行能力城市干道的通行能力道路通行能力道路通行能力单位时间内通过某断面的最大车辆数单位时间内通过某断面的最大车辆数. 交通流量远小于通行能力时，车速高，呈自由流状态交通流量远小于通行能力时，车速高，呈自由流状态 交通流量接近通行能力时，车速低，呈强制流状态，交通流量接近通行能力时，车速低，呈强制流状态，出现交通拥堵出现交通拥堵.饱和度饱和度流量与通行能力的比值流量与通行能力的比值, 表示道路的负荷程度表示道路的负荷程度.城市干道的通行能力城市干道的通行能力在理想的道路和交通条件下，在理想的道路和交通条件下，当具有标准长度和技术指

34、标的车辆，以当具有标准长度和技术指标的车辆，以前后两车最小前后两车最小车头间隔连续行驶车头间隔连续行驶时，单位时间内通过道路某断面的时，单位时间内通过道路某断面的最大车辆数最大车辆数N (辆辆/h). 城市干道的通行能力城市干道的通行能力v车速车速 (km/h)， d最小车头间隔最小车头间隔(m) d 主要由刹车距离决定，刹车距离与车速密切相关主要由刹车距离决定，刹车距离与车速密切相关. d1刹刹车时司机在反司机在反应时间t0 内汽内汽车行行驶的距离的距离. d2刹车时从制动器起作用到汽车停止行驶的距离刹车时从制动器起作用到汽车停止行驶的距离.c与路面阻力、车重、湿度、坡度等有关的系数与路面阻

35、力、车重、湿度、坡度等有关的系数. d3两两车之之间的安全距离，的安全距离，d4车辆的的标准准长度度. 单位时间内通过的最大车辆数单位时间内通过的最大车辆数N城市干道的通行能力城市干道的通行能力v102030405060708090100N95812081233117310901006928858797742交通工程的专业教材交通工程的专业教材: 司机刹车的反应时间司机刹车的反应时间t0 =1s，系数，系数c=0.01,安全距离安全距离 d3=2m，小型，小型车辆的的标准准长度度d4=5m. 当当t0，c，d3，d4变大大时最大通行能力最大通行能力Nm减小减小. 最大通最大通行能力行能力最大制

36、动力与车的质量成正比，使汽车作匀减速运动最大制动力与车的质量成正比，使汽车作匀减速运动.常数常数制动距离与车速的模型制动距离与车速的模型制动距离：制动距离：制动器作用力、车重、车速、道路、气候制动器作用力、车重、车速、道路、气候设计制动器的合理原则：设计制动器的合理原则：刹车时使用最大制动力刹车时使用最大制动力F，F作的功等于汽车动能的作的功等于汽车动能的改变，且改变，且F与车的质量与车的质量m成正比成正比. F d2= m v2/2F m模型假设模型假设信号灯控制的十字路口的通行能力信号灯控制的十字路口的通行能力西西东东南南北北相位相位A相位相位B相位相位C相位相位D信号灯控制采用信号灯控制

37、采用4相位方案相位方案 典型的十字路口典型的十字路口 东西方向有东西方向有3条车道：条车道：左转、直行、直右混行左转、直行、直右混行 南北方向有南北方向有2条车道：条车道：左转、直右混行左转、直右混行 某一相位下每小时通过停止线某一相位下每小时通过停止线的最大车辆数的最大车辆数(单行道单行道) S (辆辆/h) 信号灯控制的十字路口的通行能力信号灯控制的十字路口的通行能力 假设红灯时车辆在停止线后排成一列等待，绿灯后假设红灯时车辆在停止线后排成一列等待，绿灯后第第1辆车立即启动通过停止线，其余车辆按照固定时辆车立即启动通过停止线，其余车辆按照固定时间间隔通过停止线间间隔通过停止线. T(s)信

38、号灯周期，信号灯周期， tg(s)某相位的绿灯时间某相位的绿灯时间.t0(s)绿灯后第绿灯后第1辆车通过停止线的时间辆车通过停止线的时间.ts(s)直行或右转车辆通过停止线的时间直行或右转车辆通过停止线的时间. 反映车辆通过路口不均匀性的折减系数反映车辆通过路口不均匀性的折减系数.信号灯控制的十字路口的通行能力信号灯控制的十字路口的通行能力G=tg/T绿灯灯时间与信号灯周期之比与信号灯周期之比(绿信比信比) Q= 3600/ts小时流量小时流量(按每按每ts(s) 通通过一一辆车计算算)每小时通过停止线每小时通过停止线的最大车辆数的最大车辆数实地调查高峰时段实地调查高峰时段 4个相位通行的个相

39、位通行的实际流量流量qA, qB, qC, qD 调整整4个相位的个相位的绿信比信比, 使使GA:GB:GC:GD qA:qB:qC:qD t0=2.3s，ts=2.5s(小型车辆小型车辆)3.5s(大型车辆大型车辆)，对直行或右转对直行或右转 =0.9(左转更小左转更小) 2.7 核军备竞赛核军备竞赛 冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全, 实行实行“核威慑战略核威慑战略”, 核军备竞赛不断升级核军备竞赛不断升级. 随着前苏联的解体和冷战的结束随着前苏联的解体和冷战的结束, 双方通过了双方通过了一系列核裁军协议一系列核裁军协议. 在什么情况下双方的核军备竞赛不

40、会无限扩张在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张, 而存在暂时的平衡状态而存在暂时的平衡状态. 当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时弹头导弹等措施时, 平衡状态会发生什么变化平衡状态会发生什么变化. 估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量,这个数量受哪些因素影响这个数量受哪些因素影响.背背景景与与问问题题以双方以双方(战略战略)核导弹数量描述核军备的大小核导弹数量描述核军备的大小.假定双方采取如下同样的假定双方采取如下同样的核威慑战略：核威慑战略： 认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾认为

41、对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；其全部核导弹攻击己方的核导弹基地； 己方在经受第一次核打击后，应保存足够的己方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击.在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地导弹只能攻击对方的一个核导弹基地.摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定攻击精度和另一方的防御能力决定.模模型型假假设设图图的的模模型型y=f(x)甲有甲有x枚导弹枚导弹

42、,乙所需的最少导弹数乙所需的最少导弹数(乙安全线乙安全线)x=g(y)乙有乙有y枚导弹枚导弹,甲所需的最少导弹数甲所需的最少导弹数(甲安全线甲安全线)当当 x=0时时 y=y0，y0乙方的乙方的威慑值威慑值xyy0Oy0甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数.x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xyOy0y=f(x)y=f(x)乙安全区乙安全区甲甲安安全全区区双方双方安全区安全区P平衡点平衡点(双方最少导弹数双方最少导弹数)乙安全线乙安全线分析分析模型模型乙方乙方残存率残存

43、率 s 甲方一枚导弹攻击乙方一个甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率基地，基地未被摧毁的概率.sx个基地未被摧毁，个基地未被摧毁，yx个基地未被攻击个基地未被攻击.xy甲方以甲方以 x枚导弹攻击乙方枚导弹攻击乙方 y个基地中的个基地中的 x个个,y0=sx+yxx=yy0=sy乙的乙的xy个基地被攻击个基地被攻击2次次, s2(xy)个未被摧毁个未被摧毁;y (xy)=2y x个被攻击个被攻击1次次, s(2y x )个未被摧毁个未被摧毁.y0= s2(xy)+ s(2y x )x=2yy0=s2yyx2yy= y0+(1s)xy=y0/sy=y0/s2x=a y,分析分析模型模型

44、x=y, y=y0/sx=2y, y=y0/s2y0威慑值威慑值s残存率残存率y=f(x)利用微积分知识可知利用微积分知识可知y是一条上凸的曲线，且是一条上凸的曲线，且 y0变大，曲线上移、变陡变大，曲线上移、变陡. s变大，变大，y减小，曲线变平减小，曲线变平.xyOy0xy, y= y0+(1s)xx=yx=2yyx2y, 甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标.乙方威慑值乙方威慑值 y0变大变大xyOy0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级.（其他因素不变）（其他

45、因素不变）乙安全线乙安全线 y=f(x)上移上移模型解释模型解释 平衡点平衡点PP 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架.乙安全线乙安全线y=f(x)不变不变甲方残存率变大甲方残存率变大威慑值威慑值x 0不变不变x减小，甲安全线减小，甲安全线x=g(y)向向y轴靠近轴靠近xyOy0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)模型解释模型解释 甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少.PP 双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标.(x , y仍为双方核导弹的数量仍为双

46、方核导弹的数量)双方威慑值双方威慑值x 0, y0和残存率和残存率s均减小均减小.y0减小减小 y下移且变平下移且变平xyOy0x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)s变小变小 y增加且变陡增加且变陡双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析.模型解释模型解释 乙安全线乙安全线 y=f(x)核核 军军 备备 竞竞 赛赛 对对“核威慑战略核威慑战略”做一些合理、简化假设，用图做一些合理、简化假设，用图的模型描述双方核武器相互制约、达到平衡的过程的模型描述双方核武器相互制约、达到平衡的过程. 提出提出安全曲线安全曲线概念，给出它的一般形式

47、概念，给出它的一般形式. 通过更精细的分析找到影响安全线的参数：通过更精细的分析找到影响安全线的参数：威慑值威慑值和残存率和残存率，给出安全线的分析表达式，给出安全线的分析表达式. 利用模型对核军备竞赛中的一些现象作出合理解释利用模型对核军备竞赛中的一些现象作出合理解释.帆船在海面上乘风远航，确定帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向最佳的航行方向及帆的朝向.简化问题简化问题AB 风向风向北北航向航向帆船帆船海面上东风劲吹，设帆船海面上东风劲吹，设帆船要从要从A点驶向正东方的点驶向正东方的B点，点，确定起航时的航向确定起航时的航向 ，帆帆 以及帆的朝向以及帆的朝向 .2.8 扬帆远

48、航扬帆远航模型分析模型分析 风风(通过帆通过帆)对船的推力对船的推力w 风对船体部分的阻力风对船体部分的阻力p推力推力w的分解的分解 wp阻力阻力p的分解的分解w=w1+w2w1w2w1=f1+f2f1f2p2p1p=p1+p2模型模型假设假设 w与帆迎风面积与帆迎风面积s1成正比，成正比，p与船迎风面积与船迎风面积s2成正比，比例系数相同且成正比，比例系数相同且 s1远大于远大于 s2 .f1航行方向的推力航行方向的推力p1 航行方向的阻力航行方向的阻力w1=wsin( )f1=w1sin =wsin sin( )p1=pcos 模型模型假设假设 wpw1w2f1f2p2p1 w2与帆面平行

49、，可忽略与帆面平行，可忽略. f2, p2垂直于船身，可由舵抵消垂直于船身，可由舵抵消.模型模型建立建立w=ks1, p=ks2船在正东方向速度分量船在正东方向速度分量v1=vcos 航向速度航向速度v与力与力f=f1p1成正比成正比.v=k1(f1p1)v1v2) 令令 = /2, v1=k1 w(1cos )/2pcos cos 求求 使使v1最大最大（w=ks1, p=ks2）1) 当当 固定时求固定时求 使使f1最大最大f1=wcos( 2 )cos /2 = /2 时时 f1=w(1cos )/2最最大大= k1(f1p1)cos f1=w1sin =wsin sin( )p1=pc

50、os 求求 , ,使使 v1最大最大模型建立模型建立v1=vcos wpw1w2f1f2p2p1v1v模型求解模型求解60 75 1 t 2v1最大最大备备注注 只讨论起航时的航向，是静态模型只讨论起航时的航向，是静态模型. 航行过程中终点航行过程中终点B将不在正东方，应调整将不在正东方，应调整 和和 . 记记 t=1+2s2/s1, k2=k1w/2 =( k1w/2)1(1+2p/w)cos cos w=ks1, p=ks21/4cos s22.8 天气预报的评价天气预报的评价 明天是否下雨的天气预报以明天是否下雨的天气预报以有雨概率有雨概率形式给出形式给出. 问题问题已得到某地一个月已得

51、到某地一个月4种预报方法种预报方法的有雨概率的有雨概率预报，和实际上有雨或无雨的预报，和实际上有雨或无雨的观测结果观测结果. 日期日期预报A(%)预报B (%)预报C (%) 预报D (%)实测(有雨有雨=1,无雨无雨=0)190309060 1240305080130151030201003031803050100怎样根据这些数据对怎样根据这些数据对4种预报方法给以评价种预报方法给以评价 9天天有雨有雨22天天无雨无雨全全相相同同计数模型计数模型根据明天是否有雨的实测，根据明天是否有雨的实测，统计预报的的正确率正确率 有雨概率有雨概率=50% 毫无意义毫无意义, 不予统计不予统计 预报预报C

52、2175预报预报实测实测有雨有雨有雨有雨无雨无雨无雨无雨3预报预报D26预报预报实测实测有雨有雨有雨有雨无雨无雨无雨无雨 0216预报预报实测实测有雨有雨有雨有雨无雨无雨无雨无雨10311预报预报A预报预报实测实测有雨有雨有雨有雨无雨无雨无雨无雨09022预报预报B明天有雨概率明天有雨概率50% 预报有雨预报有雨明天有雨概率明天有雨概率50% 预报无雨预报无雨 正确率正确率0.57正确率正确率0.71正确率正确率0.81正确率正确率0.93计数模型计数模型从实用角度看，更重要的是从实用角度看，更重要的是误报率误报率. 预报无雨预报无雨而而实测有雨实测有雨的概率的概率P2 预报有雨预报有雨而而实

53、测无雨实测无雨的概率的概率P1 预报预报C2175预报预报实测实测有雨有雨有雨有雨无雨无雨无雨无雨3预报预报D26预报预报实测实测有雨有雨有雨有雨无雨无雨无雨无雨 0216预报预报实测实测有雨有雨有雨有雨无雨无雨无雨无雨10311预报预报A设两种后果的损失之比为设两种后果的损失之比为1 : 2P1=10/16P2=3/14误报率误报率P=P1/3+2P2/3=0.35 误报率误报率P=0.20 误报率误报率P=0.06 造成预防费用浪费造成预防费用浪费 预防不足导致损失预防不足导致损失 误报率误报率P=P1/3+2P2/3 缺点缺点: : 未考虑预报概率的具体值未考虑预报概率的具体值 记分模型

54、记分模型将预报有雨概率与实测结果比较并记分将预报有雨概率与实测结果比较并记分 模型模型1 pk第第k天天预报有雨概率有雨概率vk=1第第k天天有雨，有雨， vk=0无雨无雨第第k天的预报得分天的预报得分 对对k 求和得到预报的分数求和得到预报的分数S1 S1 (A) =1.0， S1 (B) = 2.6， S1 (C) = 7.0， S1 (D) = 6.7 预报有雨概率预报有雨概率0.5 得到相应的正分得到相应的正分 S1越大越好越大越好 记分模型记分模型模型模型2pk第第k天天预报有雨概率有雨概率vk=1第第k天天有雨，有雨， vk=0无雨无雨第第k天的预报得分天的预报得分 对对k 求和得

55、到预报的分数求和得到预报的分数S2 S2越小越好越小越好 S2 (A) =14.5，S2 (B) = 12.9， S2 (C) = 8.5， S2 (D) = 8.8 模型模型3第第k天的预报得分天的预报得分 对对k 求和得到预报的分数求和得到预报的分数S3 S3越小越好越小越好 S3 (A) =8.95，S3 (B) = 6.39， S3 (C) =4.23， S3 (D) =3.21 记分模型记分模型S2 (A) =14.5，S2 (B) = 12.9， S2 (C) = 8.5， S2 (D) = 8.8 S3 (A) =8.95，S3 (B) = 6.39， S3 (C) =4.23，

56、 S3 (D) =3.21 S1 (A) =1.0， S1 (B) = 2.6， S1 (C) = 7.0， S1 (D) = 6.7 模型模型1, 2对对4种预报的优劣排序、相对分差都相同种预报的优劣排序、相对分差都相同f理论上的有雨概率理论上的有雨概率 模型模型3的期望分数的期望分数 p预报有雨概率有雨概率v=1有雨，有雨， v=0无雨无雨P(v=1)= f, P(v=0)= 1 f 比较模型比较模型3 3与模型与模型2 2的优劣的优劣 p=f 时时E(S)最小最小等价等价! 考察一般模型考察一般模型 求求E(S)的极值的极值 此意义下模型此意义下模型3 3最佳！最佳！ 仅当仅当n=2时时

57、p=f才能才能E(S)最小最小 图形模型图形模型(1) (1) (1) (3) (1) (2) * * * * * *(1)(1)(2)(3)(3)(1)(3)(2)(4)(2) * * * * * * * * * *0 0.2 0.4 0.6 0.8 1pv=1v=0预报预报A(1)(1) (2) (1) (1)(3) * * * * * * (5)(6)(4)(1)(1)(2)(3) * * * * * * *0 0.2 0.4 0.6 0.8 1pv=1v=0预报预报C(2)(4)(4)(6)(5)(1) * * * * * * 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1pv=1v=0 (2

58、)(1)(1)(2)(3) * * * * *预报预报D (22) * 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1pv=1v=0预报预报B(9) *号几乎随机分布号几乎随机分布, 预报效果很差预报效果很差 模型模型1 *号的号的p没有变化没有变化, 毫无用途毫无用途 v=0*号在号在p=0.6左边左边,无雨预报较无雨预报较好好; v=1 *号分散号分散 ,有雨预报较差有雨预报较差 v=0 *号在号在p=0.5左边左边,v=1 *号在号在p=0.4右边右边,无雨、有雨预报都好无雨、有雨预报都好 *上上( )中数字是坐标在中数字是坐标在*的天数的天数 图形模型图形模型模型模型2 0.5* * * *

59、* * * * * *0.5p0q预报预报A*0.50.5p0q预报预报B * * * * * * * *0.50.5p0q预报预报C * * * * * * * * 0.50.5p0q预报预报Dp 预报有雨概率预报有雨概率, q实测有雨天数比例实测有雨天数比例p和和q越接近越好越接近越好 *离对角线越近越好离对角线越近越好 *几乎均匀分布几乎均匀分布,明显不好明显不好 只有一个只有一个*, 几乎在几乎在q=p上上 比比A好一些好一些 未显示出优势未显示出优势 模型缺陷模型缺陷 不能用于预报不能用于预报B的情况的情况 数据量小可能是预报数据量小可能是预报D未得到正确评价的原因未得到正确评价的原

60、因 用用*与与q=p的竖直距离的竖直距离度量模型的优劣度量模型的优劣, 并考并考虑各个虑各个*的权重，模型的权重，模型2可量化为分数模型可量化为分数模型 .深入讨论深入讨论 评价预报的优劣，需制定评价标准评价预报的优劣，需制定评价标准 无统一看法无统一看法, 提出三类层次、内涵不同但相互关联的标准提出三类层次、内涵不同但相互关联的标准 第一类标准：预报者本身的一致性第一类标准：预报者本身的一致性 指预报者根据知识、信息和经验对预报的事件指预报者根据知识、信息和经验对预报的事件做出的判断，与他对外发布的预报之间的关系做出的判断，与他对外发布的预报之间的关系. 不完全一致不完全一致 预报者没有利用

61、全部判断，只从使用者的需要出发预报者没有利用全部判断，只从使用者的需要出发. 出于预报效益等考虑，对判断作了适当改变出于预报效益等考虑，对判断作了适当改变.一致性受预报者控制，外界通常难以掌握一致性受预报者控制，外界通常难以掌握 在预报以概率形式给出的情况下，当预报与预报者在预报以概率形式给出的情况下，当预报与预报者的判断一致时，才会得到与实际观测最相符的结果的判断一致时，才会得到与实际观测最相符的结果. 深入讨论深入讨论 第二类标准第二类标准: : 根据预报和实测间的关系根据预报和实测间的关系, ,评价预报的品质评价预报的品质 利用预报利用预报(随机变量随机变量x)与观测与观测(随机变量随机

62、变量y)的联合分布的联合分布F(x, y) 可靠性可靠性 决定性决定性 将特定预报将特定预报x下观测下观测y的条件均值与的条件均值与x之差对所有之差对所有x平均平均,作为可靠性的数量指标作为可靠性的数量指标. 由条件分布由条件分布F(y x) 和边际分布和边际分布F(x) 计算得到计算得到 将特定预报将特定预报x下观测下观测y的条件均值与的条件均值与y的无条件均值之差的无条件均值之差对所有对所有x平均平均, 作为决定性的数量指标作为决定性的数量指标. 越小越好越小越好 越大越好越大越好 深入讨论深入讨论 第二类标准第二类标准: : 根据预报和实测间的关系根据预报和实测间的关系, ,评价预报的品

63、质评价预报的品质 分辨度分辨度 敏锐性敏锐性 将特定观测将特定观测y下预报下预报x的条件均值与的条件均值与y之差对所有之差对所有y平均平均,作为分辨度的数量指标作为分辨度的数量指标. 越小越好越小越好 将这个条件均值与将这个条件均值与y的无条件均值之差对所有的无条件均值之差对所有y平均平均, 作为分辨度的又一数量指标作为分辨度的又一数量指标. 越大越好越大越好 预报本身的敏锐预报本身的敏锐, 与事件无关与事件无关. 由边际分布由边际分布F(x)决定决定. 如预报有雨概率多数接近如预报有雨概率多数接近1或或0. 由条件分布由条件分布F(x y) 和边际分布和边际分布F(y) 计算得到计算得到 不

64、确定性不确定性 实际事件发生的不确定，与预报无关实际事件发生的不确定，与预报无关.会给预报带来困难会给预报带来困难 深入讨论深入讨论 第二类标准第二类标准: : 根据预报和实测间的关系根据预报和实测间的关系, ,评价预报的品质评价预报的品质 由边际分布由边际分布F(y)决定决定 计数、记分、图形模型都从某一侧面反映第二类标准计数、记分、图形模型都从某一侧面反映第二类标准. 第三类标准：利用预报所实现的效益或带来的费用第三类标准：利用预报所实现的效益或带来的费用 用决策分析法估计预报的效益或费用的期望值，用决策分析法估计预报的效益或费用的期望值，与不用预报与不用预报(做先验估计做先验估计)相比相比. 与预报的品质，即第二类标准密切相关与预报的品质，即第二类标准密切相关. 在谷物种植、耕种计划、水果保护等领域有广泛应用在谷物种植、耕种计划、水果保护等领域有广泛应用.