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1、 7-3 平面应力状态分析-图解法 (Analysis of plane stress-state with graphical means)一、莫尔圆一、莫尔圆（Mohrs circleMohrs circle） 将斜截面应力计算公式改写为将斜截面应力计算公式改写为把上面两式等号两边平方把上面两式等号两边平方, ,然后相加便可消去然后相加便可消去 , ,得得 因为因为 x x , , y y , , xy xy 皆为已知量皆为已知量, ,所以上式是一个以所以上式是一个以 , , 为变量的为变量的圆周方程圆周方程. .当斜截面当斜截面随方位角随方位角 变化时变化时, ,其上的应力其上的应力 ,
2、 , 在在 - - 直角坐标系内的轨迹是一个圆直角坐标系内的轨迹是一个圆. . 1. 1.圆心的坐标圆心的坐标 （Coordinate of circle centerCoordinate of circle center） 2. 2.圆的半径圆的半径（Radius of circleRadius of circle） 此圆习惯上称为此圆习惯上称为 应力圆应力圆（ plane stress circleplane stress circle）, ,或称为或称为莫尔圆莫尔圆（Mohrs Mohrs circlecircle） （1 1）建）建 - - 坐标系坐标系, ,选定比例尺选定比例尺o二、
3、应力圆作法二、应力圆作法（The method for drawing a stress circleThe method for drawing a stress circle）1.1.步骤步骤（StepsSteps）xy x x x x yxyx xyxy y y y yDxyo （2 2）量取）量取OA= OA= x xADAD = = xyxy得得D D点点xy x x x x yxyx xyxyxAOB= OB= y y （3 3）量取）量取BD= BD= yxyx得得DD点点yB ByxD （4 4）连接）连接 DDDD两点的直线与两点的直线与 轴相交于轴相交于C C 点点 （5
4、5）以）以C C为圆心为圆心, , CDCD 为半径作圆为半径作圆, ,该圆就是相应于该单元体的应力圆该圆就是相应于该单元体的应力圆C C （1 1）该圆的圆心）该圆的圆心C C点到点到 坐标原点的坐标原点的 距离为距离为 （2 2）该圆半径为）该圆半径为DxyoxAyB ByxDC C2.2.证明证明(Prove)(Prove)三、应力圆的应用三、应力圆的应用（Application of stress-circleApplication of stress-circle） 1. 1.求单元体上任一求单元体上任一 截面上的应力截面上的应力（Determine the stresses on
5、any inclined plane Determine the stresses on any inclined plane by using stress-circleby using stress-circle） 从应力圆的半径从应力圆的半径 CD CD 按方位角按方位角 的转向转动的转向转动2 2 得到半径得到半径CE.CE.圆周上圆周上 E E 点的坐标就点的坐标就依次为斜截面上的正应力依次为斜截面上的正应力 和切应力和切应力 . .DxyoxAyB ByxDC C2 2 0 0FE E2 2 xya x x x x yxyx xyxye ef f n n 证明：证明： （1 1）点
6、面之间的对应关系）点面之间的对应关系: :单元体某一面上的应力单元体某一面上的应力, ,必对应于应力圆上某一点的坐必对应于应力圆上某一点的坐标标. .说说 明明AB （2 2）夹角关系）夹角关系: :圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍两倍. .两者的转向一致两者的转向一致. .2 2 OOC CB BA2.2.求主应力数值和主平面位置求主应力数值和主平面位置 （Determine principle stress and the Determine principle stress and the directi
7、on of principle plane by using direction of principle plane by using stress circlestress circle）（1 1）主应力数值）主应力数值 A A1 1 和和 B B1 1 两点为与主平面两点为与主平面对应的点对应的点, ,其横坐标其横坐标 为主应力为主应力 1 1, , 2 2 1 12DxyoxAyB ByxDC C2 2 0 0FE E2 2 B1A12 2 0 0DxyoxAyB ByxDC C 1 12A1B1（2 2）主平面方位）主平面方位 由由 CDCD顺时针转顺时针转 2 2 0 0 到到CA
8、CA1 1 所以单元体上从所以单元体上从 x x 轴顺时针转轴顺时针转 0 0 （负值）即负值）即到到 1 1对应的对应的主平面的外法线主平面的外法线 0 0 确定后确定后, , 1 1 对应的对应的主平面方位即确定主平面方位即确定3.3.求最大切应力求最大切应力（Determine maximum Determine maximum shearingshearing stress by using stress circlestress by using stress circle） G G1 1和和GG两点的纵坐标分别代表最大和两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力最小切应力 2 2 0 0
9、DxyoxAyB ByxDC C 1 12A1B1G1G2 因为因为最大最小切应力等于应力圆的半径最大最小切应力等于应力圆的半径例7-4-1 已知 求此单元体在30和 -40两斜截面上的应力。例7-4-2 ：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁件受扭转时的破坏现象。解：1取单元体ABCD，其中 ， ，这是纯剪切应力状态。2作应力圆 主应力为 ，并可确定主平面的法线。3分析 纯剪切应力状态的两个主应力绝对值相等，但一为拉应力，另一为压应力。由于铸铁抗拉强度较低，圆截面铸铁构件扭转时构件将沿倾角为 45的螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。 已知已知受力物体内某一点处三个主应力受力物体内某一点处三个主应力
10、 1 1, , 2 2, , 3 3 利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力力. .一、一、 空间应力状态下的最大正应力和最大切应力空间应力状态下的最大正应力和最大切应力(the maximum normal stress and shear stress in (the maximum normal stress and shear stress in three-three-dimensional stress-state)dimensional stress-state)7-4 三向应力状态分析（analysis of three-dimens
11、ional stress-state） 3 3 1 1 2 2 2 2 3 3 1 113 首先研究与其中一个主平面首先研究与其中一个主平面 （例如（例如主应力主应力 3 3 所在的平面）垂直的斜截面上所在的平面）垂直的斜截面上的应力的应力122 用截面法用截面法, ,沿求应力的沿求应力的截面将单元体截为两部分截面将单元体截为两部分, ,取左下部分为研究对象取左下部分为研究对象 21 主应力主应力 3 3 所在的两平面上是一对自相平衡所在的两平面上是一对自相平衡的力的力, ,因而该斜面上的应力因而该斜面上的应力 , , 与与 3 3 无关无关, , 只由只由主应力主应力 1 1 , , 2 2
12、 决定决定 与与 3 3 垂直的斜截面上的应力可由垂直的斜截面上的应力可由 1 1 , , 2 2 作出的应力圆上的点来表示作出的应力圆上的点来表示1233 21 该应力圆上的点对应于与该应力圆上的点对应于与 3 3 垂垂直的所有斜截面上的应力直的所有斜截面上的应力 A1 O2B 与主应力与主应力 2 2 所在主平面垂直的所在主平面垂直的斜截面上的应力斜截面上的应力 , , 可用由可用由 1 1 , , 3 3作作出的应力圆上的点来表示出的应力圆上的点来表示C3 与主应力与主应力 所在主平面垂直所在主平面垂直的斜截面上的应力的斜截面上的应力 , , 可用由可用由 2 2 , , 3 3作出的应
13、力圆上的点来表示作出的应力圆上的点来表示 该截面上应力该截面上应力 和和 对应的对应的D D点必位点必位于上述三个应力圆所围成的阴影内于上述三个应力圆所围成的阴影内 abc abc 截面表示与三个主平截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面面斜交的任意斜截面a ab bc c12123A1 O2BC3结论结论 三个应力圆圆周上的点及由它三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的表了空间应力状态下所有截面上的应力应力 该点处的最大正应力（指代该点处的最大正应力（指代数值）应等于最大应力圆上数值）应等于最大应力圆上A A点的点的
14、横坐标横坐标 1 1A1 O2BC3 最大切应力则等于最大的应力最大切应力则等于最大的应力圆的半径圆的半径 最大切应力所在的截面与最大切应力所在的截面与 2 2 所在的主平面垂直所在的主平面垂直, ,并与并与 1 1和和 3 3所所在的主平面成在的主平面成4545角角. .例题例题9 9 单元体的应力如图所示单元体的应力如图所示, ,作应力圆作应力圆, , 并求出主应力和最大切应力值及其作并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位用面方位. .解解: : 该单元体有一个已知主应力该单元体有一个已知主应力 因此与该主平面正交的各截面上的应力因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力与主应力 z z
15、 无关无关, , 依据依据 x x截面和截面和y y 截面上的应截面上的应力画出应力圆力画出应力圆. . 求另外两个求另外两个主应力主应力40MPaxyz20MPa20MPa20MPa 由由 x x , , xyxy 定出定出 D D 点点由由 y y , , yxyx 定出定出 DD 点点 以以 DDDD为直径作应力圆为直径作应力圆 A A1 1, ,A A2 2 两点的横坐标分别代表另外两两点的横坐标分别代表另外两个主应力个主应力 1 1 和和 3 3 A1A2DDOD DC13 1 1 = =46MPa46MPa 3 3 = =-26MPa-26MPa 该单元体的三个主应力该单元体的三个
16、主应力 1 1 = =46MPa46MPa 2 2 = =20MPa20MPa 3 3 = =-26MPa-26MPa 根据上述主应力，作出三个应力圆根据上述主应力，作出三个应力圆 7-5 平面应变状态分析(Analysis of plane strain-state) 平面应力状态下，已知一点的应变分量平面应力状态下，已知一点的应变分量 x x , , y y , , x xy y ，欲求，欲求 方向上的线应变方向上的线应变 和切和切应变应变 , ,可根据弹性小变形的几何条件可根据弹性小变形的几何条件, ,分别找出微单元体（长方形）由于已知应变分分别找出微单元体（长方形）由于已知应变分量量 x x , , y y , , xyxy在此方向上引起的线应变及切应变在此方向上引起的线应变及切应变, ,再利用叠加原理再利用叠加原理. . 一、任意方向的应变一、任意方向的应变( (The strain of any directionThe strain of any direction） 二、主应变数值及其方位二、主应变数值及其方位 (The principal strains and its (The principal strains and its direction) direction)
