理论误差PPT课件

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1、2.1 2.1 理论误差理论误差2.1.1 随机误差及其正态分布随机误差及其正态分布 在在重重复复测测量量条条件件下下，对对同同一一被被测测物物理理量量进进行行多多次次测测量量，若若每每一一次次的的测测量量中中无无粗粗大大误误差差和和系系统统误误差差，则则在在测测量量结结果果中中只只有有随随机机误误差差，这这些些随随机机误误差差是是由由很很多多暂暂时时未未能能掌掌握握或或无无法法掌掌握握的的微微小小因因素素所所引引起起的的，其其主主要要有有下下列列几几个个方方面：面：（1）测测量量设设备备方方面面的的因因素素，如如零零部部件件配配合合的的不不稳稳定定性性、零零部部件件的的变变形形、零零部部件表

2、面油膜不均匀、有摩擦等。件表面油膜不均匀、有摩擦等。（2）环环境境方方面面的的因因素素，如如温温度度的的微微小小波波动动、温温度度与与气气压压的的微微量量变变化化、光光照照强强度的变化、灰尘以及电磁场的变化等。度的变化、灰尘以及电磁场的变化等。（3）人员方面的因素，如瞄准、读数的不稳定、情绪的波动等。）人员方面的因素，如瞄准、读数的不稳定、情绪的波动等。 这些误差表面上看来是毫无规律的，但从整体上观察是服从统计规律的，这些误差表面上看来是毫无规律的，但从整体上观察是服从统计规律的，这种统计规律往往可以通过试验的方法得到。这种统计规律往往可以通过试验的方法得到。第第2章误差理论及数理统计章误差理

3、论及数理统计2.6 方差方差 在在第第1章章中中给给出出了了一一个个实实际际测测量量结结果果的的例例子子，以以误误差差作作为为横横坐坐标标，以以频频率率数数 f 作为纵坐标，将所得数据画成频率分布的直方图，如图作为纵坐标，将所得数据画成频率分布的直方图，如图2.1所示。所示。 由由图图2.1可可以以看看出出，误误差差集集中中在在零零值值附附近近，若若进进一一步步增增加加试试验验的的次次数数，区间宽度进一步缩小，则图区间宽度进一步缩小，则图2.1可以变成一条光滑曲线，如图可以变成一条光滑曲线，如图2.2所示。所示。（1）高斯误差定律）高斯误差定律正态分布的分布密度函数为：正态分布的分布密度函数为

4、：（2-1） （2-2） F（x）的图形关于中心轴对称，由此可以得出：）的图形关于中心轴对称，由此可以得出： （2-3） 图2.3表示 中不同的正态密度曲线，图形是关于的x =轴对称， 的大小影响图形的形状， 大图形胖而矮， 小图形瘦而高。一般的正态分布可以通过适当变换化为标准正态分布。一般的正态分布可以通过适当变换化为标准正态分布。（2-4） 其值见附表其值见附表1。分布图见图分布图见图2.3-1 19世世纪纪德德国国的的科科学学家家高高斯斯研研究究大大量量的的测测量量数数据据时时发发现现，随随机机误误差差分分布布符符合合正正态态分分布布。因因此此，在在误误差差理理论论中中将将正正态态分分布

5、布又又称称为为高高斯斯分分布布，图图2.3中中的曲线称为高斯曲线，其分布密度函数及概率分布函数分别表示为：的曲线称为高斯曲线，其分布密度函数及概率分布函数分别表示为：（2-5） （2-6） 图图2.3-1 2.3-1 标准正态分布曲线标准正态分布曲线（2）高斯分布的概率计算）高斯分布的概率计算I. 查表法查表法利用利用Excel计算计算利用利用Excle进行计算进行计算利用利用Excel进行计算进行计算II. 电子表格计算法电子表格计算法计算步骤如下：计算步骤如下：a或或或或2.1.2 随机误差的数理统计随机误差的数理统计（1）母体和子样）母体和子样 数数理理统统计计中中将将研研究究对对象象的

6、的全全体体称称为为母母体体，组组成成母母体体的的每每一一个个单单元元称称为为子样。工程试验的重要任务就是从子样的试验中得到关于母体的结论。子样。工程试验的重要任务就是从子样的试验中得到关于母体的结论。（2）统计量与无偏估计）统计量与无偏估计 通通过过有有限限的的子子样样观观测测值值来来计计算算母母体体最最可可信信赖赖的的平平均均值值及及方方差差，这这种种由由子子样样计计算算出出来来的的特特征征量量又又称称作作统统计计量量，而而统统计计量量是是随随机机变变量量，当当子子样样容容量量足足够够大大时时（一一般般n30），完完全全可可以以用用子子样样的的参参数数估估计计出出母母体体参参数数（称称为为点

7、点估估计计），子子样样平平均均值值可可以以代代表表母母体体平平均均值值A，子子样样方方差差s可可以以代代表表母母体体方方差差，这统称为母体参数的无偏估值。，这统称为母体参数的无偏估值。可改写为：可改写为：置信度的意义置信度的意义置信度的意义置信度的意义测量结果子样平均值测量结果子样平均值 置信置信区间半长区间半长 在在实实际际监监测测数数据据及及分分析析测测定定数数据据中中，尽尽管管不不是是所所有有的的测测量量值值都都严严格格遵遵守守正正态态分分布布，但但是是，根根据据概概率率论论的的中中心心极极限限定定理理，n个个相相互互独独立立且且又又服服从从同同一一分分布布的的随随机机变变量量X，当当n

8、足足够够大大时时（如如n30时时，可可称称为为大大子子样样样样本本），测测定定值值的的平平均均值值渐渐近近地地服服从从正正态态分分布布。然然而而，实实际际测测量量中中的的子子样样容容量量一一般般都都较较小小（小小子子样样样样本本），特特别别是是热热工工方方面面的的试试验验往往往往如如此此，这这时时的的n一一般般只只有有35。在在这这种种情情况况下下，不不能能用用子子样样均均方方差差s来来代代表表标标准准误误差差。因因为为s是是一一个个随随机机变变量量，不不同同的的子子样样有有不不同同的的值值，子子样样愈愈小小，值值愈愈不不可可靠靠，其其统统计计量量不不再再服服从从正正态态分分布布，而而服服从从

9、类类似似于于正正态态分分布的布的 t 分布。分布。2.1.3 测量中的坏值及剔除测量中的坏值及剔除 在在实实际际测测量量中中，由由于于偶偶然然误误差差的的客客观观存存在在，所所得得的的数数据据总总存存在在着着一一定定的的离离散散性性。但但也也可可能能由由于于过过失失误误差差出出现现个个别别离离散散较较远远的的数数据据，这这通通常常称称为为坏坏值值或或可可疑疑值值。如如果果保保留留了了这这些些数数据据，必必然然影影响响测测量量结结果果的的精精确确性性。反反过过来来，如如果果把把属属于于偶偶然然误误差差的的个个别别数数据据当当作作坏坏值值处处理理，也也许许暂暂时时可可以以报报告告出出一一个个精精确

10、确度度较较高高的的结结果果，但但这这是是虚虚伪伪的的，不不科科学学的的。正正确确区区分分坏坏值值并并去去除除它它，是是试试验验中中经经常常遇遇到到的的实实际际问问题题，必必须须以以科科学学的的态态度度按按统计学的原理来处理。统计学的原理来处理。 通通常常判判别别坏坏值值常常用用的的方方法法有有两两种种：一一是是物物理理判判别别法法，即即在在观观测测过过程程中中及及时时发发现现并并纠纠正正由由于于仪仪表表、人人员员及及试试验验条条件件等等情情况况变变化化而而造造成成的的错错误误；二二是是统统计计判判别别法法，即即规规定定一一个个误误差差范范围围（k）及及相相应应的的置置信信概概率率1，凡凡超超出

11、出该该误误差差范范围围的的测测量量值值都都是是小小概概率率事事件件，都都可可以以认认为为是是坏坏值值而而予予以剔除。关于以剔除。关于k值的求得，有下面几种方法。值的求得，有下面几种方法。（1）拉伊特方法）拉伊特方法 该该方方法法按按正正态态分分布布理理论论，以以最最大大误误差差范范围围3为为依依据据进进行行判判别别。设设有有 一一 组组 测测 值值 xi（ i 1， 2n） ， 其其 子子 样样 平平 均均 值值 为为 ， 偏偏 差差 ，按贝塞尔公式按贝塞尔公式 ，如果某测量值，如果某测量值xl（1ln）的偏差）的偏差 xl3s时，则认为时，则认为xl是含有粗差的坏值。是含有粗差的坏值。 该该

12、方方法法的的最最大大优优点点是是简简单单、方方便便、不不需需查查表表。但但对对小小子子样样不不准准，往往往会把一些坏值隐藏下来而犯往会把一些坏值隐藏下来而犯“存伪存伪”的错误。例如，当的错误。例如，当n10时：时：（2-8）（2-9） 例例2.5 对对某某物物理理量量进进行行15次次等等精精度度测测量量，测测量量值值为为：28.39，28.39，28.40，28.41，28.42，28.43，28.40，28.30，28.39，28.42，28.43，28.40，28.43，28.42，28.43试试用用拉拉伊伊特特方方法法判判断断该该测测量量数数据据的的坏坏值值，并剔除。并剔除。解：解：3s

13、30.0330.099 由由 拉拉 伊伊 特特 方方 法法 可可 知知 ： x8 0.104不不 在在 区区 间间（0.099,0.099）范围内，）范围内，x828.30是坏值，应剔除。是坏值，应剔除。（2）肖维勒方法）肖维勒方法 该该方方法法的的基基本本原原理理是是：认认为为在在n次次测测量量中中，坏坏值值出出现现的的次数为次数为1/2次，即坏值出现的概率为次，即坏值出现的概率为1/2n。按概率积分：。按概率积分：（3）格拉布斯方法）格拉布斯方法 本本方方法法的的原原理理是是用用显显著著性性水水平平来来计计算算k值值。这这里里把把误误差差超超过过k的的概概率率称称为为显显著著性性水水平平1

14、F（xik），这这样式（样式（2-11）变为：）变为：1F（x） （2-12）或或 F（x）1 （2-13） 在在绝绝大大多多数数场场合合采采用用的的显显著著性性水水平平为为0.01或或0.05（即即有有1%或或5%的的概概率率是是超超出出范范围围k的的），对对精精度度高高的的测测量量一一般般都用都用0.01。k由观测次数由观测次数n和和所决定，列于表所决定，列于表2-3中。中。 一一组组观观测测值值中中的的离离差差值值xik（n,）者者为为坏坏值值，应应予剔除。予剔除。 肖肖氏氏法法是是经经典典的的方方法法，但但概概率率上上的的意意义义不不很很科科学学，特特别别当当n时时，理理论论上上k（n

15、,），此此时时所所有有的的粗粗差差坏坏值值都都不不能能剔剔除。而格氏方法被实践证明是效果最好的方法。除。而格氏方法被实践证明是效果最好的方法。注意：注意：不论上述哪一种方法，在计算离差不论上述哪一种方法，在计算离差xixi 时时，平平均均值值 。 中中包包括括所所有有的的数数据据（即即包包括括要要剔剔除除但但未未判判断断清清楚楚的的可可疑疑值值），标标准准误误差差s按按贝贝塞塞尔尔公公式式计计算算。经经检检查查确确认认为为坏坏值值者者应应予予剔剔除除，然然后后用用剩剩下下的的值值计算平均值及误差。计算平均值及误差。例例2.6 例例2.5中的数据，用格拉布斯方法判断是否存在中的数据，用格拉布斯方

16、法判断是否存在坏值（坏值（ =0.05）。）。解：解：（4）狄克逊方法）狄克逊方法 该该法法应应用用极极差差（两两测测值值之之差差）比比的的方方法法得得以以简简化化复复杂杂的的计计算算公公式式。为为提提高高判判别别坏坏值值的的效效率率，对对不不同同的的测测量量次次数数应应用用不不同同的的极极差差比比公公式式计计算算。本本方方法法对对数数据据较较多多的的情情况况更更显显得得简简单方便。单方便。在在n次测量中，各数据依大小顺序排列：次测量中，各数据依大小顺序排列：x1x2xn当怀疑值为当怀疑值为xn时，狄克逊方法为：时，狄克逊方法为：（2-14） 研研究究这这些些统统计计量量的的分分布布，当当选选

17、定定显显著著水水平平，得得各各统统计计量的临界值量的临界值r0（n，），如果测量的统计量，如果测量的统计量rij满足满足 rijr0（n，） （2-15）则认为为坏值，应剔除。则认为为坏值，应剔除。当怀疑值为当怀疑值为x1时，狄克逊方法为：时，狄克逊方法为：（2-16）如果测量的统计量如果测量的统计量rij满足满足 rijr0（n，） （2-17） 则认为为坏值，应剔除。狄克逊系数则认为为坏值，应剔除。狄克逊系数r0（n，）及及统计量统计量rij的计算公式如的计算公式如表表2-4所示。所示。 例例 2.7 仍以例仍以例2.5中的数据，用狄克逊方法判断是中的数据，用狄克逊方法判断是否存在坏值（否

18、存在坏值（ =0.05）。）。解：解：（5）t检验方法检验方法 该该方方法法以以t分分布布为为出出发发点点，把把可可疑疑的的坏坏值值xl先先暂暂时时去去掉掉，然然后后在在所所剩剩余余的的测测量量值值中中计计算算子子样样平平均均值值 和和均均方方差差（标标准准误误差差）s。当当xlxl k（,n）s时时，可可疑疑值值xl即即为坏值。为坏值。注意：注意：（2-18）（2-19）k（n,）列于表列于表2-5中。中。2.1.4 系统误差系统误差 上上述述讨讨论论的的是是随随机机误误差差的的处处理理方方法法，是是以以测测量量数数据据中中不不含含有有系系统统误误差差为为前前提提的的。实实际际上上，测测量量

19、过过程程中中不不仅仅存存在在随随机机误误差差，而而且且还还存存在在着着系系统统误误差差，在在某某种种情情况况下下，系系统统误误差差还还比比较较大大。因因此此，试试验验结结果果的的正正确确性性，不不仅仅取取决决于于随随机机误误差差，还还取取决决于于系系统统误误差差的的影影响响。由由于于随随机机误误差差和和系系统统误误差差同同时时存存在在于于测测量量数数据据之之中中，而而且且系系统统误误差差不不易易被被发发现现，多多次次重重复复测测量量又又不不能能减减小小它它对对测测量量的的影影响响，这这种种潜潜伏伏性性使使得得系系统统误误差差比比随随机机误误差差具具有有更更大大的的危危险险性性。因因此此，研研究

20、究系系统统误误差差的的规规律律，用用一一定定的的方方法法发发现现和和减减小小或或消消除除系系统统误误差差是是很很重重要要的的。否否则则，对对随随机机误误差差严严格格的的数数学学处处理理将将失失去去意意义义。在在测测量量过过程程中中，发发现现有有系系统统误误差差存存在在，必必须须进进一一步步分分析析比比较较，找找出出可可能能产产生生系系统统误误差差的的因因素素，减减少少或或消消除除系系统统误差。误差。（1）系统误差的分类）系统误差的分类 根根据据系系统统误误差差产产生生的的特特点点可可将将其其分分为为固固定定系系统统误误差差和和变变化化系系统统误误差差两两大大类类。凡凡是是整整个个测测量量中中始

21、始终终存存在在着着一一个个固固定定不不变变的的偏偏差差，便便称称之之为为固固定定系系统统误误差差；如如果果这这个个偏偏差差经经常常变变化化（如如累累进进变变化化、周周期期性性变变化化等等），则则称称之之为为变变化化系系统误差。消除系统误差一般可从下面三个方面着手：统误差。消除系统误差一般可从下面三个方面着手：（）改进或选用适宜的测量方法来消除系统误差；）改进或选用适宜的测量方法来消除系统误差；（）用修正值来消除测量值中的系统误差；）用修正值来消除测量值中的系统误差；（）在测量过程中随时消除产生系统误差的因素。）在测量过程中随时消除产生系统误差的因素。（2）固定系统误差消除或减弱的方法）固定系统

22、误差消除或减弱的方法（A） 交换抵消法交换抵消法以天平测重为例说明如下：以天平测重为例说明如下：见图见图2.6所示。所示。 即即以以两两次次交交换换测测量量的的结结果果的的平平均均值值作作为为被被测测物物的的质质量量，这时实际不等臂产生的固定系统误差就已经被消除了。这时实际不等臂产生的固定系统误差就已经被消除了。（B） 替代消除法替代消除法 首首先先用用一一已已知知中中间间量量T与与被被测测量量X平平衡衡（如如图图2.6（a）所所示示），然然后后再再用用砝砝码码替替代代X再再称称一一次次。对对比比这这两两次次的的测测量量，便可消除由天平不等臂引起的固定系统误差。便可消除由天平不等臂引起的固定系

23、统误差。图图2.6 交换抵消法示意图交换抵消法示意图 X P X P 上面两式相乘，得上面两式相乘，得X 当当l1l2时时（3）变化系统误差的消除方法）变化系统误差的消除方法a. 对称测量法对称测量法对呈线性变化的累进系统误差，用对称测量来消除。对呈线性变化的累进系统误差，用对称测量来消除。如图如图2.6.1所示：所示：b. 半周期偶数测量法半周期偶数测量法 对对于于周周期期性性变变化化的的系系统统误误差差，可可用用半半周周期期偶偶数数测测量量法法消消除除。方方法法为为对对于于周周期期性性变变化化的的系系统统误误差差，可可以以每每隔隔半半个个周周期期进进行行一一次次测测量量，取取两两次次读读数

24、数的的平平均均值值，即即可可消消除除周周期期性的系统误差。性的系统误差。如图如图2.6.2所示：所示：图图2.6.1 对称测量法测量电阻的原理图对称测量法测量电阻的原理图 Rx为被测电阻，R0是已知电阻（标准值），用电位计分别测Rx和R0两端的电压降以求Rx。 t1时，测Ux.1=I1Rx t2时，测U0.2=I2R0 t3时，测Ux.3=I3Rxt1、 t3时所测结果算术平均，得：因为电流呈线性变化，时间间隔相等，故 ，把此结果与t2时的测量结果相除便得：图图2.6.2 周期性系统误差的消除周期性系统误差的消除 如图所示的秒表。由于制造或装配上的偏差，秒表中心有一偏心，从而引起了周期性的系统

25、误差。按半周期偶数测量法的原理，可在表盘的外圈按相差半个周期再刻一圈指示数，同时在指针的反方向再装一指针，这时把内外圈指示数取平均值即消除了周期系统误差。 如图所示，短指针所读的内圈指示值为61，长指针所读外圈指示值为59，两者平均值为60，这就消除了偏心引起的误差（4）修正）修正值值 在试验中不能用测量方法的改变来消除已定系统在试验中不能用测量方法的改变来消除已定系统误差，只能通过仪器的标定引入修正值来实现准确的误差，只能通过仪器的标定引入修正值来实现准确的测量。测量。 在试验过程中，常常会出现随机误差、固定系统误差和未定系统误差，且它们的绝对值和符号又常是未知的。(1)、已定系统误差、已定

26、系统误差 的合成方法的合成方法代数合成代数合成设有m个已定系统误差，其绝对值和符号均已知，则：（224）(2)、随机不确定度、随机不确定度 的合成方法的合成方法方差合成方差合成 设有n个随机误差，随机不确定度为i，用3来估计，误差范围为i，则：（225）(3)、系统不确定度、系统不确定度e的合成方法的合成方法 设有 p 个系统误差，系统误差限为（不确定度）为 ei (i =1,2,.p)，所对应的误差范围为 ei ，则可有如下两种合成方法。（a）绝对值求和法2.1.5 试验误差的合成方法试验误差的合成方法（226）（b）方差合成法：（227）(4)、总不确定度、总不确定度E（随机不确定度（随机

27、不确定度 与系统不确定度与系统不确定度e）的合成）的合成（a）绝对值求和法：（228）（b）方差求和法：（229）（c）广义方差求和法：（230）式中： K为n个随机误差与 p个未定系统误差之和分布的置信系数， ki 为 对 应于p个未定系统误差概率分布的置信系数，对正态分布 k = 2.58 3.0。 在只需估计标准误差时，式（229）可变为：（231） 代表（n + p）个误差引起的总标准误差。(5)、准确度、准确度 A（232） 当用已定系统误差 的反号值（即 ）来修正测量值后，该项误差即可消除，此时的总不确定度就是测量的准确度。2.2 直接测量中误差评价直接测量中误差评价 2.2.1

28、等精度测量中的误差评价等精度测量中的误差评价（1）最可信赖值（算术平均值）最可信赖值（算术平均值） 在在一一组组测测量量中中，如如果果测测量量的的全全部部条条件件都都相相同同，那那末末各各个个观观测测值值都都是是同同样样可可信信、可可取取的的，各各个个值值相相互互之之间间是是等等价价的的，也也就就是是说说，它它们们的的权权是是相相同同的的，称称这这样样的的测测量量为为等等精精度度测测量量。或或者者说说，凡凡标标准准误误差差s相相同同的的测测量量都都称称为为等等精精度度测测量。量。 设设a为为某某测测量量的的最最佳佳值值，而而各各个个量量值值为为x1，x2，xn， 为为各各测测量量值值的的算算术

29、术平平均均值值，则则测测量量中中各各值值与与最最佳佳值值间间和和算算术术平均值的误差为：平均值的误差为： 取取n个误差的和：个误差的和：根据误差的抵偿性，当根据误差的抵偿性，当n的次数很大时，的次数很大时，（2-33）（2）有限观测次数中，标准误差）有限观测次数中，标准误差s的计算的计算 所所以以， 就就是是最最可可信信赖赖的的最最佳佳值值，而而 正正是是算算术术平平均均值值。由由此此可可得得出出结结论论：在在等等精精度度测测量量中中，算算术术平平均值为最能近似代表真值的最佳值。均值为最能近似代表真值的最佳值。设真值为设真值为a，算术平均值为，算术平均值为 ，各观测值为，各观测值为xi，则有，

30、则有（2-34）将（将（2-34）式求和得：）式求和得：（2-35）将将(2-34)式平方后求和得：式平方后求和得：将（将（2-35）平方后得：）平方后得：当当n的次数很大时，可认为的次数很大时，可认为则则所以所以（2-36）即即 （2-37） 这这说说明明在在有有限限次次观观测测中中，各各观观测测值值与与算算术术平平均均值值之之差差的的平平方方和和除除以以测测量量次次数数减减1（即即n1）的的方方根根为为均均方方差差（标标准准差差s）。这这首首先先由由贝贝塞塞尔尔导导出出，故故又又称称贝贝塞塞尔尔方方程程。表表示示了了测测量量中中约约有有68.3%的的点点落落在在（ ， ）范范围围内内，反反

31、映映了了测测量量的的精精密密性性。当当n很很大大时时，可可以以认认为为算算术术平平均均值值等等于于真真值值，这这个个结结论论与与前前面面的的结结论论完完全一致。全一致。 用用上上述述方方法法可可以以证证明明，在在一一组组等等精精度度观观测测中中，测测量量值值的的算术平均值算术平均值 的标准误差为：的标准误差为：（2-38） 由此可得到启示：对测量对象进行多次重复观测，所得由此可得到启示：对测量对象进行多次重复观测，所得结果的平均值（子样平均值）比单次测量结果要精确得多。结果的平均值（子样平均值）比单次测量结果要精确得多。 例例2.8对对某某零零件件的的长长度度进进行行9次次重重复复测测量量，数

32、数据据如如下下表表，计算出测量结果。计算出测量结果。2.2.2 不等精度测量中的误差的评价不等精度测量中的误差的评价（1）不等精度测量中的权）不等精度测量中的权 试试验验中中常常常常对对同同一一物物理理量量 a 作作很很多多组组的的平平行行测测量量，以以提提高高准确度。而每一组均有足够的测量次数，准确度。而每一组均有足够的测量次数，ni越越大大，测测量量的的准准确确度度越越大大，对对结结果果占占更更重重要要的的地位。地位。 用用来来表表示示测测量量值值可可信信赖赖程程度度的的数数值值称称为为权权。因因此此求求真真值值的的最可信赖值，必须加上权的影响。最可信赖值，必须加上权的影响。 既既然然权权

33、是是用用来来表表示示测测量量值值可可信信赖赖程程度度的的一一个个量量，而而测测量量值值可可信信赖赖程程度度又又与与标标准准误误差差有有关关，标标准准误误差差愈愈小小，测测量量值值可可信信赖赖程度愈大，因而其权也应该大。程度愈大，因而其权也应该大。 对对于于一一组组不不等等精精度度的的测测量量值值x1，x2xn，对对应应的的标标准准误误差差为为s1，s2sn，对对应应的的权权数数为为m1，m2，mn，每每单单位权的标准差为位权的标准差为s，则有，则有（2-39）得出：得出：（2-40） 式（式（2-40）是根据标准误差计算权的公式。为了计算方）是根据标准误差计算权的公式。为了计算方便这里便这里s

34、通常取通常取1。（2）最佳估计值）最佳估计值 按按上上节节同同样样的的原原理理，可可得得出出在在不不等等精精度度直直接接测测量量中中，xi的的最佳估计值为各测量值的加权算术平均值最佳估计值为各测量值的加权算术平均值 ：（2-41）（3）不等精度测量中的标准误差）不等精度测量中的标准误差s及算术平均值的标准误差及算术平均值的标准误差（2-42） （2-43） 例例2.9 利用四台测角仪测量同一工件的角度，所得数利用四台测角仪测量同一工件的角度，所得数据及其标准差如下：据及其标准差如下： x1384706，s10.2 x 2384711，s20.5 x 3384709，s30.4 x 438470

35、8，s40.4 求测量结果。求测量结果。解：计算测量值xi的权mi：2.3 2.3 间接测量中误差的数学处理间接测量中误差的数学处理 设间接测量量设间接测量量 y 与直接测量量与直接测量量 u、v、w 存在如下的函数关系式：存在如下的函数关系式：（2-44）直接测量量的最可信赖值（平均值）直接测量量的最可信赖值（平均值） 及其误差及其误差而而利用直接测量值求间接测量的最可信赖值利用直接测量值求间接测量的最可信赖值 及误差及误差2.3.1 的求法的求法根据上述函数关系及式（根据上述函数关系及式（2-44）有：）有：如果误差如果误差 较小，那么较小，那么 上式可按泰勒级数展开为：上式可按泰勒级数展

36、开为： （2-46）（2-45）略去高阶无穷小量，则：略去高阶无穷小量，则：所以所以或或（2-47）（2-48）（2-49）（2-50）式式中中 称称为为误误差差的的传传递递系系数数。式式（2-47）就就是是已已定定系系统统误误差差的的传传递递公公式式，即即总总系系统统误误差差为为各各部部分分系系统统误误差差的的代代数数和和。用用绝绝对对值值表表示示时时，式式（2-47）和式（）和式（248）可写成由可写成由 引起的：引起的：最大绝对误差界最大绝对误差界最大相对误差界最大相对误差界如果重复测量了如果重复测量了n次，则每次测量值可分别表示为：次，则每次测量值可分别表示为：间接测量量间接测量量 y

37、 的算术平均值为：的算术平均值为：将将式（式（2-47）所表示的各个所表示的各个 yi 代入上式，则：代入上式，则：（2-50a）式中：式中： 代代表表各各独独立立物物理理量量u，v，w的算术平均误差。的算术平均误差。结论：结论：结论：结论：2.3.2 间接测量中标准误差传递的普遍公式间接测量中标准误差传递的普遍公式 设有间接测量函数关系式，进行设有间接测量函数关系式，进行 n 次观测，由次观测，由式（式（2-47）有：有：上式两端平方上式两端平方n 次测量中所引起的误差次测量中所引起的误差 y 的平方总和为：的平方总和为： 根根据据随随机机误误差差的的四四大大分分配配率率（对对称称性性和和抵

38、抵偿偿性性），当当 n 时时，上上式式中的非平方项中的非平方项零。零。把上式两瑞除以把上式两瑞除以 n 后再开方，即得到：后再开方，即得到：（2-51）式中：式中：Du、Dv、Dw称为间接测量中各个物理量的部分绝对误差。称为间接测量中各个物理量的部分绝对误差。结结结结论论论论：间间接接测测量量中中，函函数数的的绝绝对对标标准准误误差差是是各各独独立立物物理理量量部部分分绝绝对对误误差差平方和的平方根。平方和的平方根。误差传递的基本规律。误差传递的基本规律。误差传递的基本规律。误差传递的基本规律。注意！注意！ u、 v、 w 有量纲与有量纲与 u、v、w 相同。相同。 而而 Du、Dv、Dw 与

39、与 y 单位相同。单位相同。相相对对误误差差：把把式式（2-51)两两端端分分别别除除以以函函数数 y 的的平平均均值值 ，此此时时的的相相对对标标准准误差误差 0y 为：为： （2-52）无量纲无量纲无量纲无量纲 在等精度测量中，在等精度测量中， 同理可得出：同理可得出：（2-51a）（2-52a）式式中中： 分分别别为为 n 次次测测量量中中，u、v、w 子子样样平均值的绝对及相对误差。平均值的绝对及相对误差。例例2.10 已已知知某某空空心心圆圆柱柱体体的的外外径径（3.6000.004）mm，内内径径d（2.8800.004）mm，高高h（2.5750.004）mm，求体积求体积V及其

40、误差，并写出结果的表达式。及其误差，并写出结果的表达式。解：其体积为：解：其体积为：2.4 组合测量中的误差的评价组合测量中的误差的评价 组组合合测测量量方方法法是是一一种种比比较较复复杂杂的的常常用用测测量量方方法法，该该方方法法的的数数据据处处理理和和误误差差的的评评价价是是根根据据最最小小二二乘乘法法进进行行的的。最最小二乘法在数据处理中有着非常重要的地位。小二乘法在数据处理中有着非常重要的地位。2.4.1 最小二乘法原理最小二乘法原理 最最小小二二乘乘法法的的分分类类有有以以下下几几种种：（1）按按计计算算方方法法分分为为：一一般般计计算算法法、高高斯斯约约化化法法、矩矩阵阵解解法法，

41、这这是是本本节节讲讲解解的的重重点点。（2）按按数数据据的的相相关关性性可可分分为为：相相关关性性最最小小二二乘乘法法和和非非相相关关性最小二乘法，这是第性最小二乘法，这是第5章讲解的重点。章讲解的重点。 最小二乘法的原理：设l1，l2，ln为被测物的测量值，v1，v2，vn是测量值l1，l2，ln的残差（其中 ），m1，m2，mn是测量值l1，l2，ln的权。若l1，l2，ln符合正态分布，则（2-53） 一般算法是将一般算法是将求导数并将其导数等于零，列出方求导数并将其导数等于零，列出方程组，解方程组即可。程组，解方程组即可。 矩阵解法为将矩阵解法为将用矩阵表示为：用矩阵表示为：V TPV

42、min式中：V残差距阵，P全距阵。即当为等精度测量时，m1m2mn =1，P为单位矩阵。 （2-54）还可以证明，测量值l1，l2，ln符合正态分布，的值最小。2.4.2 组合测量中的数据处理及评价组合测量中的数据处理及评价 在在测测量量中中，采采用用组组合合测测量量方方法法的的目目的的是是为为了了避避免免产产生生过过多多的的测测量量次次数数和和测测量量方方程程，利利用用误误差差的的抵抵偿偿性性以以提提高高测测量结果的准确性。量结果的准确性。(1) 组合测量量的最佳值组合测量量的最佳值 设设y1，y2，yn是是测测量量值值l1，l2,ln的的最最佳佳估估计计值值，x1，x2,xt是是未未知知量

43、量的的最最佳佳估估计计值值，即即是是待待求求量量。根根据据第第1章中的组合测量定义知，章中的组合测量定义知，xi与与yi有下列关系：有下列关系：（2-55） 若 v1,v2,vn是 测 量 值 l1,l2,ln的 残 差 ， m1，m2，mn是测量值l1,l2,ln的权，则残差的方程为：（2-56）根据最小二乘法原理得：根据最小二乘法原理得：，则，则上式对x1，x2，xt求偏导数并且偏导数等于零，即得出正规方程组：得出正规方程组：（2-57）式中：式中：maiaj正规方程未知数前的系数，正规方程未知数前的系数，majl正规方程的常数项。残差方程中各残差正规方程的常数项。残差方程中各残差xi前的

44、系数、和其前的系数、和其对应的权对应的权mk三项乘积之和，其公式为：三项乘积之和，其公式为：（2-58）式中相对应的残差方程中各残差式中相对应的残差方程中各残差xi前的系数。前的系数。并且又并且又 的值为残差方程中各残差的值为残差方程中各残差xi前的系数、其对应的测前的系数、其对应的测量值量值lk和权和权mk三项乘积之和，其公式为：三项乘积之和，其公式为：（2-59） 解出正规方程组，求出未知量的最佳估计值。解线性方解出正规方程组，求出未知量的最佳估计值。解线性方程组的方法很多，如代入消元法、加减消元法等。下面介绍程组的方法很多，如代入消元法、加减消元法等。下面介绍矩阵解法，分别计算出矩阵解法

45、，分别计算出D，D1，D2，Dt的值。的值。未知量的最佳估计值的计算公式为：未知量的最佳估计值的计算公式为：（2-60）（2）组合测量的标准误差）组合测量的标准误差 设设y1，,y2，yn是是测测量量值值l1，l2，ln的的最最佳佳估估计计值值，x1，x2，xt是是未未知知量量的的最最佳佳估估计计值值，s1，s2，st是是测测量量值值x1，x2,xt的的标标准准误误差差，是是测测量量值值x1，x2,xt单单位位权权的的标标准准误误差差，它它的的计计算算为为测测量量值值l1，l2，ln总总的的残残差差平平方和方和 除以自由度除以自由度nt。即：。即：tnvmniii-鍈=12s（2-61） 下下

46、面面采采用用矩矩阵阵法法来来推推导导各各测测量量值值x1，x2,xt的的标标准准误误差差 s1，s2，st。方程（。方程（2-56）写为矩阵的形式：）写为矩阵的形式： VLAX式中：式中：写为矩阵的形式：写为矩阵的形式：V TPV，其中，其中，由最小二乘法原理得：，由最小二乘法原理得：要使要使V TPVmin，则，则，即，即 得：得： ( LAX )TPA0 （2-62）由矩阵的法则化简为：由矩阵的法则化简为： （2-63）令令，并代入上式得：并代入上式得： （2-64）（2-64）式就是正规方程的矩阵形式。该式的解为：）式就是正规方程的矩阵形式。该式的解为： - （2-65）下面根据权的定义

47、下面根据权的定义构造权逆阵，现构造构造权逆阵，现构造xi的的方差矩阵方差矩阵D(X)。（2-66）= Q叫叫做做xi的的权权逆逆阵阵，根根据据xi的的权权逆逆阵阵中中的的Q1，Q2，Qt可以计算出可以计算出xi的标准误差，公式为：的标准误差，公式为：（2-68） 由由矩矩阵阵的的知知识识可可以以证证明明：Q=N -1，利利用用这这个个式式子子可可以以求求出出Q1，Q2，Qt。计算公式如下：。计算公式如下： 对对 QN 1 式子的两边同乘以矩阵式子的两边同乘以矩阵 N ，则，则 NQN -1NE （2-69）即即将上式写成方程组的形式：将上式写成方程组的形式：用行列式法解上述方程组：用行列式法解

48、上述方程组：例例2.11已知某测量量已知某测量量x1和和x2是组合测量量，测量方程为：是组合测量量，测量方程为：测量数据为测量数据为l13.0mm，l25.1mm，l34.6mm，求（求（1）测量量）测量量x1和和x2的测量结果，（的测量结果，（2）测量量）测量量x1和和x2标准误差。标准误差。方程组行列式解为：方程组行列式解为：（2-70）所以，各测量值所以，各测量值x1，x2，xt的标准误差的标准误差s1，s2，st为：为：（2-71）解：解： 列出误差方程：列出误差方程： 组建正规方程：测量个数为组建正规方程：测量个数为3，未知数为，未知数为2，正规方程的形式为，正规方程的形式为计算正规

49、方程的系数及常数项：计算正规方程的系数及常数项：a1a1a11a11a21a21a31a3122+33+4429同理可计算出：同理可计算出：a1a212，a2a26，a2a112相当于相当于li是等精度测量计算出：是等精度测量计算出：a1l39.7，a2l17.8正规方程为：正规方程为：解方程组得：解方程组得： 计算计算xi的标准误差的标准误差先计算出单位权的标准误差先计算出单位权的标准误差 ，将，将 和和代入误差方程求得：代入误差方程求得：v10.03，v20.02，v30.01，则则x1的权倒数的权倒数Q1的计算：的计算：由方程由方程计算出：计算出： Q10.2x2的权倒数的权倒数Q2的计

50、算：的计算：由方程由方程计算出：计算出： Q20.97x1的标准误差：的标准误差：x2的标准误差：的标准误差：所以，测量结果表示为：所以，测量结果表示为：2.5 统计假设检验统计假设检验2.5.1 预备知识预备知识（1）t分布分布 在在小小子子样样测测量量中中，由由于于试试验验数数据据有有限限，因因而而母母体体标标准准误误差差是是不不能能求求得得的的。在在未未知知情情况况下下，欲欲根根据据子子样样平平均均值值估估计计母母体体的的参参数数a，必必须须引引入入一一个个统统计计量量t，而而它它只只决决定定于于子子样样容容量量n，与与其其标标准准误误差差无无关关。此此时时的的统统计计量量t有有其其独独

51、特特的的分分布布规规律律t分分布布或或学学生生分分布布（这这是是由由英英国国化化学学家家W.S.Gosset用用student的的笔笔名名发发表表的的，学学生生分分布布的的名名称称由由此此而而来来）Gosset提提出出的的新新统统计计量量t定义为：定义为： （2-72）t分布的概率分布密度为：分布的概率分布密度为：（t+）式中式中是伽玛函数：是伽玛函数： 叫叫做做自自由由度度，当当子子样样容容量量为为n时时，在在n个个重重复复观观测测的的数数据据之之间间，它它们们要要受受到到子子样样均均值值 的的约约束束，所所以以n个个数数据据中中有有一一个个是是不不独独立立的的，其其余余n-1个个可可以以独

52、独立立变变化化，因因此此自自由由度度 。t分布的概率积分为：分布的概率积分为：（2-73）此式表明，在此式表明，在n次测量中，次测量中，值的概率为值的概率为，具体数值可查附表具体数值可查附表2。t分布的概率分布图形如分布的概率分布图形如图图2.11所示。所示。 当给定一个自由度当给定一个自由度 f 和显著性水平和显著性水平 时，查附表时，查附表2求求 t分布的置信区间半长分布的置信区间半长 ，如，如 ， 。图图2.12 t分布曲线与正态分布曲线分布曲线与正态分布曲线 从从图图2.12可可知知，当当自自由由度度 f 很很小小时时，t分分布布的的中中心心值值较较小小，分分散散度度大大，如如果果用用

53、正正态态分分布布对对小小子子样样进进行行估估计计，则则结结果果可可能能有有存存伪伪的的错错误误，故故t分分布布主主要要用用于于小小子子样样测测量量中中的的估估计计和和推推断断。当子样容量大于当子样容量大于30后，后，t分布趋近于正态分布。分布趋近于正态分布。otf (t)显著性水平a/2显著性水平a/2-ta/2ta/2图图2.11 t分布示意图分布示意图 对正态分布，用对正态分布，用3作为根限误差范围的半长，其置信概率作为根限误差范围的半长，其置信概率10.9973。但是对小子样测量，其实际置信概率。但是对小子样测量，其实际置信概率1将随将随自由度自由度 f = n-1的减小而减小，列表对照

54、如下：的减小而减小，列表对照如下：表表2-6 正态分布与正态分布与t分布对照表分布对照表（2）F分布分布 若若 与与 分别遵从正态分布分别遵从正态分布 与与 且且两两样样本本相相互互独独立立，它它们们的的方方差差分分别别为为S12与与S22，则统计量：，则统计量：（2-74）遵遵从从第第一一自自由由度度为为f1n11与与第第二二自自由由度度f2n21的的F分分布布。F分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为式中为式中为( f ) 伽玛函数。伽玛函数。F 分布只取决于计算方差分布只取决于计算方差S12与与S22的的自由度自由度 f1 与与 f2 。F分布的一个重要的性质为：分布的一个重要的性质为

55、：（2-75）公式（公式（2-75）的）的F分布的概率密度函数示意如分布的概率密度函数示意如图图2.13查表法求值：查表法求值：F0.05（6，10）3.22,F0.01（24，14）3.43,F0.10（14，24）1.80.图图2.13 F分布的概率密度函数示意图分布的概率密度函数示意图2.5.2 统计检验的原理统计检验的原理 用用子子样样观观测测值值推推论论母母体体的的参参数数特特征征属属于于统统计计推推断断的的范范畴畴，它它包包括括两两方方面面的的内内容容：参参数数的的估估计计，统统计计检检验验。由由于于试试验验研研究究工工作作的的需需要要，往往往往先先要要对对母母体体的的某某一一统统

56、计计特特征征进进行行假假定定，之之后后利利用用反反复复观观测测的的子子样样数数据据，根根据据概概率率统统计计原原理理，用用参参数数估估计计的的方方法法进进行行计计算算，以以判判断断假假设设是是否否成成立立，这这就就是是统统计检验或假设检验。计检验或假设检验。（1）统计检验的原理和基本思想）统计检验的原理和基本思想 生生产产和和试试验验中中，反反复复观观测测同同一一个个物物理理量量时时会会发发现现，量量值值总总是是存存在在着着差差异异和和波波动动，而而其其性性质质不不外外乎乎两两种种：随随机机（偶偶然然）误误差差引引起起的的差差异异和和波波动动；生生产产或或试试验验条条件件发发生生变变化化而而引

57、引起起的的差差异异条条件件误误差差。这这两两种种误误差差常常常常交交叉叉、混混杂杂在在一一起起，一一般般用用直直观观的的方方法法很很难难分分辨辨出出来来，而而统统计计检检验验正正是是科科学学地地处处理理和和分分辨辨这这两两种种不不同同性性质质差差异异的方法。的方法。 为说明统计检验的原理和基本思想，举例说明如下。为说明统计检验的原理和基本思想，举例说明如下。 例例2.12 某建筑陶瓷厂生产一种新产品，其抗压力某建筑陶瓷厂生产一种新产品，其抗压力X服从正服从正态分布，根据历史资料记录可知：态分布，根据历史资料记录可知：XN（20，12），即抗压力），即抗压力X020MPa，标准误差，标准误差01

58、 MPa，今为增加新产量，改变了，今为增加新产量，改变了工艺，抽子样工艺，抽子样n100个进行估计后，得子样平均值个进行估计后，得子样平均值19.78 MPa。试判断与。试判断与X0之间的差异是什么性质？之间的差异是什么性质？解解：用用统统计计检检验验的的方方法法进进行行分分析析和和判判断断。先先假假设设工工艺艺的的改改变变对对产产品品的的抗抗压压力力没没有有影影响响，就就是是说说，与与X0之之间间不不存存在在条条件件差差异异，即即与与X0之之间间差差异异纯纯粹粹是是随随机机误误差差，或或者者说说子子样样仍仍可可看看作作是是从从原原来来的的母母体体中中取取出出来来的的。既既然然如如此此， 也也

59、应应遵遵守守正正态态分分布布。若若 19.78 MPa落落在在区区间间 的的置置信信概概率率为为1，即，即 如如果果取取0.05，则则k1.96（查查正正态态分分布布表表），同同样样取取0.01，则，则k2.58。列表如下：。列表如下：（a）当当显显著著性性水水平平0.05时时，子子样样平平均均值值与与标标准准值值X0之之间间存存在在着着很很大大的的差差异异。否否定定原原假假设设。即即认认为为工工艺艺的的改改变变对对产产品品的的抗抗压力显著地减小了。这就是统计检验的基本思想。压力显著地减小了。这就是统计检验的基本思想。 （b）上上面面的的结结论论是是在在0.05下下得得出出的的。反反之之，当当

60、0.01时时却却得得出出另另一一个个完完全全相相反反的的结结论论。说说明明在在显显著著性性水水平平0.01下下， 与与X0之间无显著性差异，接受原假设。之间无显著性差异，接受原假设。 这这两两个个结结论论虽虽然然不不同同，但但并并不不矛矛盾盾。这这是是因因为为它它们们是是在在不不同同的的显显著著性性水水平平下下做做出出的的。第第一一种种情情况况是是以以显显著著性性水水平平0.05来来判判定定原原假假设设不不成成立立；而而在在0.01下下，不不能能拒拒绝绝（否否定定）原假设。原假设。 由由此此可可知知，的的大大小小是是很很重重要要的的。在在某某一一确确定定的的子子样样容容量量下下，选选择择的的太

61、太大大，则则置置信信区区间间太太小小。此此时时，完完全全有有可可能能把把本本来来无无显显著著性性差差异异的的事事件件错错判判为为有有显显著著性性差差异异，从从而而犯犯了了拒拒绝绝原原假假设设的的“弃弃真真”错错误误，这这称称为为第第一一类类错错误误。反反过过来来，如如果果选选得得太太小小，则则置置信信区区间间很很大大，此此时时犯犯“弃弃真真”错错误误的的可可能能性性减减少少，但但可可能能把把本本来来有有显显著著性性差差异异的的事事件件错错判判为为正正常常的的、无无显显著著性性差差异异，从从而而犯犯接接受受原原假假设设的的“存存伪伪”错错误误，这这称称为为第第二二类类错错误误。显显然然，犯犯两两

62、类类错错误误的的概概率率不不可可能能同同时时减减少少，如如果果减减少少其其中中的的一一个个，则则必必然然增增大大犯犯另另一一个个错错误误的的可可能能性性。要要使使它它们们同同时时减减少少，只只有有增增大重复观测的次数大重复观测的次数n。 在在 显显 著著 性性 水水 平平 下下 ， 检检 验验 假假 设设 H0： = 0， 如如 果果 ， 则则 接接 受受 假假 设设 H0（ 即即 认认 为为 未未 产产 生生 条条 件件 差差 异异 ） ； 如如 果果 ，则拒绝（否定）原假设，则拒绝（否定）原假设H0（即认为已产生了条件差异）。（即认为已产生了条件差异）。归纳：归纳： 在在实实际际工工作作中

63、中， 的的大大小小应应视视具具体体情情况况而而定定。如如工工艺艺改改变变比比较较容容易易，而而采采用用新新工工艺艺的的优优越越性性较较大大时时， 应应取取得得大大一一些些；相反，如果检验药品等关系重大的事件时，相反，如果检验药品等关系重大的事件时， 可取得小一些。可取得小一些。2.5.3 正态性检验 正态概率纸检验正态概率纸检验 频率直方图检验频率直方图检验 计计算算出出各各组组数数据据出出现现的的频频率率 f ，作作出出 f （x xi ）图图频频率率直直方图。见方图。见图图2.14a所示所示。与正态曲线偏离很大，否定正态性。与正态曲线偏离很大，否定正态性。与正态曲线偏离很大，否定正态性。与

64、正态曲线偏离很大，否定正态性。 用正态概率纸来检验用正态概率纸来检验 对正态分布，对正态分布， 平均值，标准误差平均值，标准误差 ，则其概率积分为：则其概率积分为：正态频率分布图图图 2.14a 频率分布直方图频率分布直方图三、三、u检验法检验法当当给给定定一一个个 值值后后，就就有有相相应应的的F(x) = 1Q(u)与与之之对对应应。根根据据正正态概率积分可态概率积分可列表如下：列表如下： 2.5.4 u检验法检验法1)、母体均值一致性检验、母体均值一致性检验 设设母母体体遵遵守守正正态态分分布布N（ 0， 02），取取子子样样数数据据 xi ，方方差差 02已知，已知，检验检验 ：（1）

65、给出假设）给出假设H0： = 0 ，对立假设，对立假设H1： 0 （2）在）在H0： = 0 成立的条件下，选统计成立的条件下，选统计 量：量：（a）双边检验双边检验（3）对对给给定定的的显显著著性性水水平平 ，根根据据对对立立假假设设H H1 1和和统统计计量量 u 的的分布，分布，如图如图2.15-12.15-1所示：所示：（4）从从正正态态概概率率积积分分表表中中查查得得u /2，当当u u u /2时时否否定定假假设。设。（5）判判断断u u u /2是是否否出出现现，若若u u u /2，就就拒拒绝绝H0；若；若u u 它的概率表达式为它的概率表达式为图图2.15-1 u 检验法图示

66、检验法图示图图26-1(b) 右边检验右边检验 在在这这种种情情况况下下，将将检检验验新新的的总总体体均均值值是是否否比比原原总总体体均均值值0大，即在显著性水平大，即在显著性水平下，下，（c）左边检验左边检验 同同样样，在在显显著著性性水水平平下下，将将检检验验新新的的总总体体均均值值是是否否比比原原总总体体均均值值0小小，检检验验原原假假设设H：0，当当uu时接受原假设，反之否定原假设。时接受原假设，反之否定原假设。 例例2.14 已已知知水水泥泥厂厂生生产产的的普普通通硅硅酸酸盐盐水水泥泥，此此水水泥泥水水化化后后，28天天的的抗抗压压强强度度（MPa）在在正正常常情情况况下下遵遵守守正

67、正态态分分布布N（45.5，1.082）。取取5个个样样品品测测试试，其其值值为为44.81，47.00，47.21，46.46，48.72。结结果果标标准准差差不不变变，试试问问总总体体均均值值有有无无显显著著性性变变化化?解：采用解：采用u检验法，进行双边检验：检验法，进行双边检验：计算统计量：计算统计量：子样均值子样均值（44.81+47.00+47.21+46.46+48.72）46.84统计量统计量 假假设设总总体体均均值值无无变变化化，即即0，则则应应遵遵守守正正态态分分布布N（45.5，0.1082），这这样样u应应遵遵守守N（0，1）。取取显显著著性性水水平平0.05，查查附附

68、录录中中的的正正态态分分布布概概率率积积分分表表，有有 1.96，比比较较得得 。所以否定假设。水泥的抗压强度。所以否定假设。水泥的抗压强度（MPa）发生了显著性变化。）发生了显著性变化。下面再进行单边检验：下面再进行单边检验： 用用右右边边检检验验：假假设设抗抗压压强强度度（MPa）比比原原来来显显著著地地增增大大0，同同样样在在显显著著性性水水平平0.05下下，单单边边临临界界点点u1.64，因因为为u2.7741.64，故故接接受受假假设设，抗抗压压强强度度（MPa）比比原来显著地增加了。原来显著地增加了。(2) 两个母体均值一致性检验两个母体均值一致性检验 设两个母体设两个母体N1(

69、1， 2 )和和N2( 2， 2 )1）给出假设）给出假设 H： 1 = 2 （ 1容量容量 n1， 2容量容量n2） 2）在）在 H： 1 = 2 成立的条件下，选统计量：成立的条件下，选统计量： N（0，1）分布）分布 3）在显著性水平）在显著性水平 下，从正态概率积分表查得下，从正态概率积分表查得u /2； 4）判判断断u u u /2是是否否出出现现，若若u u u /2，就就拒拒绝绝H；若若u u t /2，拒绝，拒绝H；若；若t s22；（3）计算统计量）计算统计量 F（f1，f2）分布；分布；（4）对给定的显著性水平）对给定的显著性水平 和和f1，f2查附表得查附表得F （f1，

70、f2）值；）值；例例2.17例例2.18F F分布图分布图（5）判断：当）判断：当F F （f1，f2） 时，否定假设。反之接受假设。时，否定假设。反之接受假设。例例2.19 2.6 方差分析方法方差分析方法2.6.1 概述概述 对对试试验验进进行行多多次次测测量量所所得得到到的的一一组组数数据据x1，x2，xn，由由于于受受到到各各种种因因素素的的影影响响，各各个个测测量量值值通通常常都都是是参参差差不不齐齐的的，它们之间的差异称为误差。它们之间的差异称为误差。由于试验条件的改变由于试验条件的改变试验误差试验误差 反映了测试结果的反映了测试结果的精密度精密度 随机因素引起随机因素引起 系统误

71、差系统误差 反映测试条件对测反映测试条件对测试结果的影响试结果的影响 误差大小的表示方法误差大小的表示方法,误差平方和：误差平方和： 数值越大，表示测量值之间的差异越大。数值越大，表示测量值之间的差异越大。 误差平方和随着测量数目的增多而增大。为了克服这一误差平方和随着测量数目的增多而增大。为了克服这一缺点，用方差来表征误差的大小，公式为：缺点，用方差来表征误差的大小，公式为： 方方差差表表征征了了误误差差大大小小的的统统计计平平均均值值，其其优优点点是是既既能能充充分分利利用测试数据所提供的信息，又能避免对测量数目的依赖性。用测试数据所提供的信息，又能避免对测量数目的依赖性。2.6.2 方差

72、分析的原理方差分析的原理(1) 数据的数学模型数据的数学模型 水平水平 同一参数，数值的变化（水平变化）同一参数，数值的变化（水平变化） 误差误差 每一水平重复测量时产生的变化每一水平重复测量时产生的变化 表表27 是是温温度度对对产产品品转转化化率率影影响响的的试试验验数数据据。温温度度为为5水平，每一水平重复试验水平，每一水平重复试验3次。次。 每每一一温温度度水水平平条条件件下下的的三三次次试试验验数数据据都都可可以以认认为为是是某某个个总总体体的的一一个个样样本本。假假设设Ai水水平平条条件件下下的的总总体体真真值值为为 i，则则Ai水水平条件下的全部数据可以表示为：平条件下的全部数据

73、可以表示为： j 为重复次数，为重复次数， ij 为随机误差。为随机误差。 假假设设各各个个样样本本之之间间没没有有明明显显差差异异，则则在在这这种种条条件件下下，p个个样样本的平均值也可以认为是一个随机样本，其平均值的真值：本的平均值也可以认为是一个随机样本，其平均值的真值： 称称 为为一一般般平平均均。把把 Ai 水水平平条条件件下下的的总总体体真真值值 i 与与 p 个个总体真值总体真值的平均值的平均值 之差，定义为效应之差，定义为效应 i ： i 为为因因素素水水平平第第 i 水水平平时时的的效效应应，它它表表示示因因素素取取第第 i 水水平平时试验结果与时试验结果与“中等中等”水平比

74、，好多少或差多少的一个量。水平比，好多少或差多少的一个量。单因素试验试验数据的数学模型单因素试验试验数据的数学模型 利用数学模型计算利用数学模型计算 、 i 和和 ij 的估计值。的估计值。 ij 是是相相互互独独立立的的随随机机变变量量，它它服服从从正正态态颁颁分分布布 N（0， 2），则：则：（ 为重复次数）为重复次数）可以证明，可以证明， 是一般平均值是一般平均值 的无偏估计。的无偏估计。（a） 的估计值。的估计值。 由此得由此得 的估计值为：的估计值为：表表27中数据的计算值为：中数据的计算值为：（b）效应）效应 i 的估计值。的估计值。 Ai 水平的平均值：水平的平均值：由由可得可得

75、各水平效应的估计各水平效应的估计值为：值为：（c）残差）残差 ij 的估计的估计数据见表数据见表27总偏差可以用下式表示：总偏差可以用下式表示：总偏差分离出总偏差分离出条件误差条件误差+试验误差。试验误差。全部数据分解，得表全部数据分解，得表28。通过数据分解，则可知：通过数据分解，则可知：（2）平方和及自由度的计算方法）平方和及自由度的计算方法通常用通常用 F 检验样本间差异的显著性。即用：检验样本间差异的显著性。即用：来判断差异的显著性。来判断差异的显著性。I. 平方和加法定理平方和加法定理（a）误差平方和）误差平方和 第第 i 个水平的试验误差平方和个水平的试验误差平方和：总误差平方和总

76、误差平方和：（b b）样本间的变差平方和）样本间的变差平方和（c）总偏差平方和）总偏差平方和II. 自由度加法定理自由度加法定理（a）总平方和的自由度）总平方和的自由度 fT 。计算总平均值。计算总平均值 时，存在一个约束条件：时，存在一个约束条件：自由度为：自由度为：（b）变差平方和的自由度）变差平方和的自由度 fA 。同上，存在的约束条件为：。同上，存在的约束条件为：自由度为：自由度为：（c）试验误差平方和的自由度）试验误差平方和的自由度 f e 。同上，存在。同上，存在 p 个约束条件为：个约束条件为：自由度为：自由度为：由上述公式可得：由上述公式可得：自由度加法定理自由度加法定理(3)

77、 显著性检验显著性检验计算统计量计算统计量 F ： 当当 F F （fA，fe）（查查表表值值）时时，因因素素变变化化影影响响大大于于误误差差影响，即该因素影响显著。影响，即该因素影响显著。以下规定以下规定：（1）F F0.01 时因素影响特别显著，记为时因素影响特别显著，记为“ ”；（2） F0.01 F F0.05 时因素影响显著，记为时因素影响显著，记为“ ”；（3） F0.05 F F0.10 有一定的影响，记为有一定的影响，记为“ ”；（4） F0.10 F 影响不大或没有影响。影响不大或没有影响。2.6.3 单因素方差分析单因素方差分析 在在设设计计单单因因素素多多水水平平试试验验

78、时时，最最好好设设计计为为等等重重复复测测试试次次数数，这这样样，处处理理数数据据要要简简单单，而而且且，在在总总测测试试次次数数相相同同的的条条件件下下，各各水水平平等等重重复复测测试试次次数数试试验验的的精精度度要要优优于于不不重重复复测测试试次数试验。次数试验。各误差平方和及自由度的计算公式如下：各误差平方和及自由度的计算公式如下：总偏差平方和：总偏差平方和： （2-101）因素的误差平方和：因素的误差平方和：（2-102）误差平方和：误差平方和：SESTSA 总平方和的自由度总平方和的自由度fT：（2-103）fTn1 （2-104）因素误差平方和的自由度因素误差平方和的自由度fA：f

79、Ap1 （2-105）误差的自由度误差的自由度fE：fEfTfA （2-106） 将将上上述述方方差差分分析析的的计计算算结结果果列列成成表表，即即方方差差分分析析表表，进进行显著性检验。行显著性检验。 下下面面以以表表2-7催催化化剂剂对对产产品品转转化化率率的的影影响响试试验验数数据据为为例例，进行方差分析。进行方差分析。2.6.4 方差分析的基本假设方差分析的基本假设1、正态性、正态性 误差项误差项 ij 具有互相独立，随机性，服从正态分布。具有互相独立，随机性，服从正态分布。2、方差齐性、方差齐性各样本的总体方差相等。各样本的总体方差相等。3、平均值与方差的独立性、平均值与方差的独立性

80、各样本的方差与其样本平均值不相关。各样本的方差与其样本平均值不相关。4、线性可加性、线性可加性平均值、效应与误差项之间具有线性关系。平均值、效应与误差项之间具有线性关系。2.6.5 多因素方差分析法多因素方差分析法 多多因因素素试试验验是是分分析析测测试试中中经经常常遇遇到到的的问问题题，方方差差分分析析是是处处理理多多因因素素试试验验数数据据的的基基本本方方法法之之一一。两两因因素素试试验验是是多多因因素素试验的最简单的情况，下面研究两因素试验数据的方差分析。试验的最简单的情况，下面研究两因素试验数据的方差分析。误差平方和：误差平方和：SEST (SA+SB）（2-110）总平方和的自由度总

81、平方和的自由度fT：fTn1 因素误差平方和的自由度：因素误差平方和的自由度：fAp1fBp1误差的自由度误差的自由度fE：fE fT ( (fAfB） 将将上上述述方方差差分分析析的的计计算算结结果果列列成成表表，即即方方差差分分析析表表，进进行显著性检验。行显著性检验。 仍仍选选用用提提高高某某化化学学产产品品转转化化率率的的试试验验为为例例。影影响响转转化化率率的的因因素素很很多多，其其中中合合成成温温度度和和催催化化剂剂用用量量的的影影响响最最大大，所所以以拟拟重重点点研研究究这这两两个个因因素素对对指指标标的的影影响响，通通过过试试验验寻寻找找最最佳佳工工况况。这这里里用用Ai代代表

82、表合合成成温温度度，用用Bj代代表表催催化化剂剂用用量量，根根据据化化学学原原理理和和经经验验，温温度度在在200300，催催化化剂剂用用量量在在0.20.8%之之间间，转转化化率率较较高高。由由于于温温度度和和催催化化剂剂用用量量的的范范围围较较大大，因因此此决决定定温温度度取取五五水水平平，催催化化剂剂用用量量取取四四水水平平，如如表表2-12、2-13所所示：示：试验要求达到以下目的：试验要求达到以下目的：（a）合成温度、催化剂用量对转化率的影响；合成温度、催化剂用量对转化率的影响；（b）确定最佳工况；确定最佳工况；（c）温度和催化剂用量改变后，是否对转化率有显著性的影响。）温度和催化剂用量改变后，是否对转化率有显著性的影响。计算步骤如下：计算步骤如下：1.计算各因素的方差，如表计算各因素的方差，如表2-14所示；所示；2.列出方差分析表列出方差分析表2-15，进行方差分析。，进行方差分析。第三章第三章