《最全的立体几何知识点和例题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最全的立体几何知识点和例题（309页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、P.F. Productions 1P.F. Productions 问题(1)是否存在三条直线两两互相垂直？若存在，请举出 实际例子。CADB两直线没有公共点， 则它们平行；(2)请判断下列命题是否正确：垂直于同一条直线的两 条直线平行。2P.F. Productions 1、平面图形与立体图形的联系与区别：联系：从集合论的角度看，两者都是点的集合；区别：平面图形由点、线构成，而立体图形是由点、 线、面构成。平面图形的点都在一个平面内，而立体图形 的点不全在一个平面内；3P.F. Productions 2、立体图形的研究方法考虑问题时，要着眼于整个空间，而不是局限于某 一个平面；立体图形的
2、问题常常转化为平面图形问题来解决。4P.F. Productions 3、学习要点 搞清平面图形和立体图形的联系与区别； 发展空间想像能力； 提高推理论证能力。5P.F. Productions 4、立体几何的主要思想方法类比法：要善于与平面几何做比较，认识其相同点，发现 其不同点，这种思想方法称之为类比思想。转化法：把空间图形的问题转化为平面图形问题去解决，这是学习立体几何的很重要的数学思想方法。展开法：将可展的空间图形展开为平面图形，来处理问题的思想方法称为展开思想。6P.F. Productions 14.1(1) 平面的基本性质7P.F. Productions 一、平面一个平面把空间
3、分成两部分。 一条直线把平面分成两部分。2、平面的特征：无厚度、无边界、无长度、无宽度 (不能度量)；无限延展的；1、平面的概念：不定义的原始概念8P.F. Productions 3、平面的画法：通常用平行四边形来表示平面。4、平面的表示方法：垂直放置水平放置平面 M平面 ABCDM平面 倾斜放置9P.F. Productions 5、相交平面的画法：注意：必须画出其交线，被遮部分的线段画成虚线 或者不画。10P.F. Productions lBABABAl11P.F. Productions 二、点与线、点与面的位置关系（集合语言表示法）点P在(不在)直线 l 上，点A在(不在)平面 上
4、，12P.F. Productions 三、线与面的位置关系（集合语言表示法）三、线与面的位置关系（集合语言表示法）(1)直线直线 l 在平面在平面 上上(或平面或平面 经过直线经过直线 l )：直线直线 l 上的所有点都在平面上的所有点都在平面 上。上。13P.F. Productions (2)直线直线 l 在平面在平面 外外直线直线 l 与在平面与在平面 相交相交:直线直线 l 与平面与平面 只有一个公共点。只有一个公共点。Pl14P.F. Productions 直线直线 l 与在平面与在平面 平行平行 :直线直线 l 与平面与平面 没有公共点。没有公共点。15P.F. Product
5、ions 直线与平面的位置关系（集合语言表示法）直线与平面的位置关系（集合语言表示法）(1)直线直线 l 在平面在平面 上上(或平面或平面 经过直线经过直线 l )：(2)直线直线 l 在平面在平面 外外直线直线 l 与在平面与在平面 相交相交P:直线直线 l 与在平面与在平面 平行平行 :16P.F. Productions 四、面与面的位置关系（集合语言表示法）四、面与面的位置关系（集合语言表示法）(1)平面平面 与平面与平面 相交：相交：空间不同的两个平面空间不同的两个平面 有公共点有公共点P。17P.F. Productions (2)平面平面 与平面与平面 平行：平行：两个平面两个平
6、面 没有公共点。没有公共点。18P.F. Productions 平面与平面的位置关系（集合语言表示法）平面与平面的位置关系（集合语言表示法）(1)平面平面 与平面与平面 相交于相交于直线直线 l：(2)平面平面 与平面与平面 平行：平行：19P.F. Productions 公理公理1 如果直线如果直线 l 上有上有两个点两个点在一个平面在一个平面 上上，那么，那么 直线直线 l 在平面上。在平面上。 集合语言表述集合语言表述20P.F. Productions 例例1、判断题、判断题如果一条直线上所有的如果一条直线上所有的点都在某一个面内，那点都在某一个面内，那 么这个面一定是平面；么这个
7、面一定是平面；一个平面一定可以把空间分成两部分。一个平面一定可以把空间分成两部分。直线直线 l 与平面与平面 的公共点的个数为的公共点的个数为 0、1、2；？两个平面可以把空间分成几部分，三个平面呢？两个平面可以把空间分成几部分，三个平面呢？21P.F. Productions 公理公理2 如果不同的两个平面如果不同的两个平面 有一有一个公共点个公共点 P，那么，那么 的交的交集是集是过点过点P 的直线的直线 l 。22P.F. Productions 例例2、试试用集合符号表示下列各用集合符号表示下列各语语句，并画出句，并画出图图形：形：点点A在平面在平面 上上，但不在平面，但不在平面上；上
8、；直直线线 l 经过不属于平面经过不属于平面 的点的点A；平面平面 与平面与平面 相交于直线相交于直线 l 且经过点且经过点P。23P.F. Productions PQ24P.F. Productions Q25P.F. Productions ABCDEP例例5、已知、已知D、E分别是分别是ABC的边的边AC、BC上的点，上的点， 平面平面 经过经过D、E两点（如图所示）两点（如图所示） 求作：直线求作：直线AB与平面与平面 的交点的交点P26P.F. Productions 例例1、判断题、判断题如果一条直线上所有的如果一条直线上所有的点都在某一个面内，那点都在某一个面内，那 么这个面一
9、定是平面；么这个面一定是平面；如果一条直线在如果一条直线在一个面上无论怎样放置，都与这一个面上无论怎样放置，都与这 个面有无数个公共点，那么这个面一定是平面；个面有无数个公共点，那么这个面一定是平面；一个平面一定可以把空间分成两部分。一个平面一定可以把空间分成两部分。直线直线 l 与平面与平面 的公共点的个数为的公共点的个数为 0、1、2；27P.F. Productions 14.2(2) 平面的基本性质平面的基本性质P.F. Productions 公理公理3 不在同一直线上的三点确定一个平面。不在同一直线上的三点确定一个平面。 “有且只有有且只有”、“存在且唯一存在且唯一”、“确定一个确
10、定一个”表示表示 同一个意思同一个意思 ； 说明：说明： 平面平面 与平面与平面 有三个不共线的公共点，那么有三个不共线的公共点，那么 与与 重合。重合。P.F. Productions 推论推论1 1、一条直线和直线外的一点确定一个平面一条直线和直线外的一点确定一个平面。 PBCP.F. Productions 推论推论2、 两条相交直线确定一个平面。两条相交直线确定一个平面。 PABP.F. Productions 推论推论3、 两条平行直线确定一个平面。两条平行直线确定一个平面。 AP.F. Productions 例例1、回答下列问题、回答下列问题三条直线相交于一点，可以确定多少个平面
11、？三条直线相交于一点，可以确定多少个平面？两两平行的三条直线，可以确定多少个平面？两两平行的三条直线，可以确定多少个平面？三点可以确定多少个平面？三点可以确定多少个平面？四点可以确定多少个平面？四点可以确定多少个平面？1 或或 31 或或 31 或或 不确定不确定1 或或 4 或或不确定不确定三个平面将空间分成的部分可能有几种？三个平面将空间分成的部分可能有几种？4 或或 6 或或 7 或或 8P.F. Productions 例例2、判断下列命题的真假，真的打、判断下列命题的真假，真的打“”，假的打，假的打“” (1)空间三点可以确定一个平面空间三点可以确定一个平面 (2)两条直线可以确定一
12、个平面两条直线可以确定一个平面 (3)两条相交直线可以确定一个平面两条相交直线可以确定一个平面 (4)一条直线和一个点可以确定一个平面一条直线和一个点可以确定一个平面 (5)三条平行直线可以确定三个平面三条平行直线可以确定三个平面 (6)两两相交的三条直线确定一个平面两两相交的三条直线确定一个平面 (7)两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合 (8)若四点不共面，那么每三个点一定不共线若四点不共面，那么每三个点一定不共线 P.F. Productions 例例3、已知不共点的三条直线两两相交，、已知不共点的三条直线两两相交， 求证：这三条直线共
13、面。求证：这三条直线共面。ABCP.F. Productions 例例4、已知：一条直线和两条平行线都相交，、已知：一条直线和两条平行线都相交， 求证：这三条直线共面。求证：这三条直线共面。BAabl证明直线共面的常用方法：证明直线共面的常用方法：1、先由这些直线中的某些直线确定一个平面；先由这些直线中的某些直线确定一个平面； 然后证明其他直线都在这个平面上。然后证明其他直线都在这个平面上。2、先证明这些直线分别在两个（或几个）平面上；先证明这些直线分别在两个（或几个）平面上； 然后证明这两个（或几个）平面重合。然后证明这两个（或几个）平面重合。P.F. Productions 14.2(1)
14、空间直线与直线的位置关系空间直线与直线的位置关系P.F. Productions 公理公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行平行于同一条直线的两条直线互相平行 平行线的传递性。平行线的传递性。abced观察：将一张纸如图进行折叠观察：将一张纸如图进行折叠 ， 则各折痕及边则各折痕及边 a, b, c, d, e, 之间有何关系？之间有何关系？ab c d e P.F. Productions 例例1、已知在空间四边形、已知在空间四边形ABCD中，中，E、F、G、H分别是分别是 AB、BC、CD、DA的中点。的中点。 求证：四边形求证：四边形EFGH是平行四边形。是平行四边形。AB DEFG
15、HC 如果再加上条件如果再加上条件AC=BD，那么四边形那么四边形EFGH是什么图形是什么图形?菱形菱形空间四边形：顺次连结不共面的四点空间四边形：顺次连结不共面的四点A、B、C、D所组所组成的四边形叫空间四边形，相对顶点的连线成的四边形叫空间四边形，相对顶点的连线AC、BD叫叫空间四边形的对角线。空间四边形的对角线。P.F. Productions 例例2、已知在空间四边形、已知在空间四边形ABCD中，中，E、F、G、H分别是分别是 AB、BC、CD、DA上的点，且上的点，且EFGH是是平面四边形，平面四边形， EH不平行不平行FG。 求证：直线求证：直线EH、FG、BD 共点。共点。ABC
16、DEHFGP证明若干条直线共点的常用方法：证明若干条直线共点的常用方法：先先确定两条确定两条直线的交点；直线的交点；然后证明其他直线也经过此点。然后证明其他直线也经过此点。P.F. Productions 在平面内在平面内, , 我们知道我们知道“如果一个角的两边与另一个角如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”。空间中这。空间中这一结论是否仍然成立呢？一结论是否仍然成立呢？定理定理1(等角定理等角定理)：如果一个角的两边与另一个角的：如果一个角的两边与另一个角的 两边分别平行，那么这两个角相等或互补。两边分别平行，那么这两个角相
17、等或互补。P.F. Productions P1Q1PQOabO1a1b1特征：方向相同特征：方向相同P.F. Productions OabO1a1b1等角定理从平面几何推广到立体几何等角定理从平面几何推广到立体几何P.F. Productions CDBCDABAP.F. Productions 14.2(2)空间直线与直线的位置关系空间直线与直线的位置关系P.F. Productions 问题：空间中的两条直线有几种位置关系？问题：空间中的两条直线有几种位置关系？P.F. Productions 1 1、空间两条直线的位置关系、空间两条直线的位置关系( (不重合）不重合）相交直线相交直线
18、平行直线平行直线异面直线异面直线-有且仅有一个公共点有且仅有一个公共点-在同一平面内在同一平面内, ,没有公共点没有公共点不存在不存在任何任何一个平面；一个平面； 没有公共点没有公共点-不能置于同一个平面内不能置于同一个平面内P.F. Productions 同在一个平面内同在一个平面内相交直线相交直线平行直线平行直线 不同在任何一个平面内：不同在任何一个平面内： 异面直线异面直线 有一个公共点：有一个公共点：相交直线相交直线无无 公公 共共 点点平行直线平行直线异面直线异面直线按平面基本性质分按平面基本性质分按公共点个数分按公共点个数分P.F. Productions 2 2、异面直线的画法
19、、异面直线的画法abbaab说明说明: 画异面直线时画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点。为了体现它们不共面的特点。 常借助一个或两个平面来衬托常借助一个或两个平面来衬托.P.F. Productions 例例1 1、已知：直线、已知：直线 l 与平面与平面 相交于点相交于点A，直线，直线 m 在平面在平面 上，且不经过点上，且不经过点A， 求证：求证：直线直线 l 与直线与直线 m 是异面直线是异面直线3 3、证明异面直线的方法、证明异面直线的方法 -反证法反证法和定义法和定义法abP.F. Productions 例例2、已知、已知A、B、C、D是不在同一平面内的空间四点，是不在同一
20、平面内的空间四点， 求证：求证：AB与与CD、 BD与与AC、 AD与与BC是异面直线。是异面直线。P.F. Productions 练习练习1 1、选择题、选择题两条直线两条直线a、b分别和异面直线分别和异面直线c、d都相交，则直线都相交，则直线 a、b的位置关系是的位置关系是 ( )A、一定是异面直线一定是异面直线 B、一定是相交直线一定是相交直线C、可能是平行直线可能是平行直线 D、可能是异面直线，也可能是相交直线可能是异面直线，也可能是相交直线一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另 一条的位置关系是一条的位置关系是 ( )A、平行平行B
21、、相交相交 C、异面异面 D、相交或异面相交或异面P.F. Productions 练习练习2、已知长方体中、已知长方体中平行平行相交相交异面异面 BD和和FH是是 直线直线 EC和和BH是是 直线直线 BH和和DC是是 直线直线BACDEFHG(2)与棱与棱AB所在直线异面的棱共有所在直线异面的棱共有 条条?4分别是分别是 ：CG、HD、GF、HE思考题思考题：这个长方体的棱中共有多少对异面直线这个长方体的棱中共有多少对异面直线?(1)说出以下各对线段的位置关系说出以下各对线段的位置关系?24P.F. Productions 14.2(3)空间直线与直线的位置关系空间直线与直线的位置关系P.
22、F. Productions 1、异面直线所成的角：、异面直线所成的角：对于异面直线对于异面直线a和和b，在空间任取一点，在空间任取一点P，过，过P分别作分别作 a和和b的平行线的平行线 a和和b，我们把，我们把 a与与b所成的锐角所成的锐角（或（或直角）叫做异面直线直角）叫做异面直线a与与b所成的角。所成的角。abPabP PaP.F. Productions 异面直线所成角异面直线所成角的取值范围：的取值范围：当两条直线所成角为直角时，则当两条直线所成角为直角时，则a与与b垂直。垂直。记作：记作：ab说明：说明：当两条直线所成角为零角时，则当两条直线所成角为零角时，则a与与b平行或重合。平
23、行或重合。P.F. Productions 例例1(1)直线直线AA与哪些棱所在的直线是互相垂直的异面直线？与哪些棱所在的直线是互相垂直的异面直线？与与CD，CD，BC，BC是互相垂直的异面直线。是互相垂直的异面直线。(2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直呢？另一条直线是否也与这条直线垂直呢？(3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行？垂直于同一条直线的两条直线是否平行？ABCDABCD垂直垂直平行、异面、相交平行、异面、相交P.F. Productions 2、求异面直线所成角的一般方法、求异面直线所
24、成角的一般方法找出异面直线所成的角找出异面直线所成的角简单说明理由简单说明理由解含解含的三角形的三角形作、证、算作、证、算补形法补形法3、定角一般方法、定角一般方法P.F. Productions 正弦定理正弦定理ABCbc余弦定理余弦定理ABCbca预备知识预备知识P.F. Productions 例例 2、在正方体、在正方体ABCDA1B1C1D1中，点中，点E、F分别是线分别是线段段A1B1，BB1的中点，的中点，出下列各对线段所成的角。出下列各对线段所成的角。(1)AB与与CC1(2)A1 B1与与AC(3)A1B与与D1B1B1CC1ABDA1D1= 9 0= 4 5= 6 0(4)
25、EF与与D1B1 EF= 6 0(5)AD1与与B1C= 9 0P.F. Productions ABDCA1B1D1C1A1B和和B1C所成角为所成角为60在正方体在正方体AC1中，求异面直线中，求异面直线A1B和和B1C所成的角？所成的角？P.F. Productions ABDCA1B1D1C1MN在正方体在正方体AC1中，中，M,N分别是分别是A1A和和B1B的中点，的中点，求异面直线求异面直线CM和和D1N所成的角？所成的角？P.F. Productions 例例 3、在长方体、在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，AB=BC=2a， AA1=a，E、F分别是线段分别是线段A1B1
26、、BB1的中点，的中点， 求求出下列各对线段所成角的大小。出下列各对线段所成角的大小。(1)EF与与AD1(2)EF与与B1C(3)EF与与A1CEF(4)EF与与AC1P.F. Productions ABDCA1B1D1C1E在正方体在正方体AC1中，求异面直线中，求异面直线D1B和和B1C所成的角？所成的角？P.F. Productions ABCDEF例例4、已知在空间四边形、已知在空间四边形ABCD中，中，AD=BC=2，E、F分分 别是别是AB、CD上的中点，且上的中点，且EF= ，求直线，求直线AD、 BC所成角的大小所成角的大小。6 0MP.F. Productions 思考题
27、：思考题：已知正四面体已知正四面体ABCD中，中，E、F分别是分别是BC、 AD的中点，求的中点，求 (1)直线直线EF、AC所成角的大小；所成角的大小； (2)直线直线AE、CF所成角的大小所成角的大小。CBDAEFMP.F. Productions PABCMN空间四边形空间四边形P-ABC中，中，M，N分别是分别是PB，AC的中点，的中点，PA=BC=4，MN=3，求，求PA与与BC所成的角？所成的角？EP.F. Productions 14.3(1) 空间直线与平面的位置关系68P.F. Productions (1)直线在平面内（有无数个公共点）；线面位置关系： (2)直线在平面外P
28、l（仅有一个公共点）（无公共点）69P.F. Productions 日常生活中的直线与平面垂直的例子70P.F. Productions 1、线面垂直定义： 一般地，如果一条直线 l 与平面上的任何直线都垂直，那么我们就说直线 l与平面垂直，记作： l . 直线 l 叫做平面的垂线， 平面叫做直线l的垂面， l 与的交点P叫做垂足.lP画法：画直线与平面垂直时， 通常把直线画成与表示平面 的平行四边形的一边垂直。 71P.F. Productions 线面垂直直观图的画法：72P.F. Productions 2、线面垂直的性质（公理）(1)过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；(2)过一点
29、有且只有一个平面和一条直线垂直。73P.F. Productions 例1、下列命题是否正确？为什么？(1)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线， 那么这条直线与这个平面垂直。(2)如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂 直于这个平面内的无数条直线。 74P.F. Productions 跨栏的支架 75P.F. Productions 3、线面垂直的判断定理-定理 2 如果直线 l 与平面 上的两条相交直线 a、b 都垂直，那么直线 l 与平面垂直。76P.F. Productions lOabgP1PlABC77P.F. Productions 例2、求证：如果两条平行直线中的一条
30、垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。在 上作两条相交直线mnP78P.F. Productions 例例3、在正方体、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E、F分分别是是AA1、 CC1的中点，判断下列的中点，判断下列结论是否正确？是否正确？ AC面面CDD1C1 AA 1面面A1B1C1D1AC面面BDD1B1 EF面面BDD1B1 ACBD1BDA1F79P.F. Productions 例例4、已知点、已知点P是平行四边形是平行四边形ABCD所在平面外一点，所在平面外一点，O 是对角线是对角线AC与与BD的交点，且的交点，且PA=PC，PB=PD。 求证：求证：PO平面平面
31、ABCDBDCPA80P.F. Productions 求证：平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在求证：平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面上的射影垂直，平面上的射影垂直， 那么这条直线就和这条斜线垂直。那么这条直线就和这条斜线垂直。逆命题是：平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜逆命题是：平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和这条斜线在平面上的射影垂直。线垂直，那么这条直线就和这条斜线在平面上的射影垂直。CDE81P.F. Productions 小结小结 1、线面垂直的定义、线面垂直的定义 2、线面垂直的判断定理、线面垂直的判断定理82P.F
32、. Productions 14.3(2) 空间直线与平面的位置关系空间直线与平面的位置关系83P.F. Productions 复习复习 线面垂直的定义线面垂直的定义 线面垂直的判断定理线面垂直的判断定理84P.F. Productions 空间图形中的有关距离：空间图形中的有关距离： 1、点、点 M 和平面和平面 的距离的距离 设设M是平面是平面 外一点，过点外一点，过点M作平面作平面的垂线，的垂线，垂足为垂足为N，我们把点，我们把点M到垂足到垂足N之间的距离叫做之间的距离叫做点点M和平面和平面 的距离。的距离。85P.F. Productions 2、直线、直线l和平面和平面 的距离的距
33、离 设直线设直线 l 平行于平面平行于平面 ，在直线，在直线 l 上任取一点上任取一点M，我们把点我们把点M到平面到平面 的距离叫做的距离叫做直线直线 l 和平面和平面 的距离。的距离。86P.F. Productions 3、平面、平面 和平面和平面 的距离的距离 设平面设平面 平行平面平行平面 ，在平面，在平面 上任取一点上任取一点M，我，我们把点们把点M到平面到平面 的距离叫做的距离叫做平面平面 和平面和平面 的距离。的距离。87P.F. Productions 在正方体中，观察给出的三条棱所在直线的关系：在正方体中，观察给出的三条棱所在直线的关系：88P.F. Productions
34、4、异面直线、异面直线 a 和和 b 的距离的距离 设直线设直线 a 和直线和直线 b 是异面直线，当点是异面直线，当点M、N分别分别在在 a 和和 b上，且直线上，且直线MN既垂直于直线既垂直于直线a，又垂直于直，又垂直于直线线b时，我们把直线时，我们把直线MN叫做异面直线叫做异面直线a和和b的的公垂线公垂线，垂足垂足M、N之间的距离叫做之间的距离叫做异面直线异面直线a和和b的距离的距离。89P.F. Productions 说明：说明： (1)异面直线间距离具有存在性、唯一性、最小性；异面直线间距离具有存在性、唯一性、最小性； (1)找出公垂线段；找出公垂线段；(2)异面直线间距离的求法：
35、先异面直线间距离的求法：先“证证”后后“算算”。5、异面直线距离的方法、异面直线距离的方法(2)转化为线面距离。转化为线面距离。 90P.F. Productions 例例1、如图、如图, 在长方体在长方体ABCD-A1B1C1D1中，中，AA1 = 4 cm、 AB = 5 cm、AD = 6 cm 。求。求(1)求点求点A和点和点C1的距离；的距离；(2)求点求点A到棱到棱B1C1的距离；的距离；(3)求棱求棱AB和平面和平面A1B1C1D1的距离；的距离；(4)求异面直线求异面直线AD和和A1B1的距离。的距离。91P.F. Productions 例例2、已知线段、已知线段AB的两端点
36、的两端点A、B到平面到平面 的距离分别的距离分别 是是3 0cm和和50 cm。求分线段为。求分线段为AP:PB=3:7的点的点P到到 平面平面 的距离。的距离。3 6cm 或或 6cmBAPP1A1B1BAB1A1PP192P.F. Productions 例例3、AB是是 O的直径，的直径，C为圆上一点，为圆上一点，AB2， AC1，P为为 O所在平面外一点，且所在平面外一点，且PAO， (1)证明：证明：BC平面平面PAC ； (2)若若PBA=45，求点，求点A到平面到平面PBC的距离。的距离。93P.F. Productions 例例4、正方体、正方体ABCDA1B1C1D1中，中，
37、P为为AB中点，中点，Q为为BC中点，中点，AA1=a, O为正方形为正方形ABCD的中心，的中心，求求PQ与与C1O间的距离。间的距离。M94P.F. Productions 例例4、如图，已知空间四边形、如图，已知空间四边形OABC各边及对角线长各边及对角线长都是都是1，D、E分别是分别是OA、BC的中点，连结的中点，连结DE。(1)求证：求证：DE是是OA和和BC的公垂线；的公垂线；(2)求求OA和和BC间的距离。间的距离。OABCDE95P.F. Productions 小结小结 (1)点面距离；点面距离； (2)线面距离；线面距离； (3)面面距离；面面距离； (4)异面直线间的距离
38、。异面直线间的距离。96P.F. Productions 练、如图练、如图, 在长方体在长方体ABCD-A1B1C1D1中，中，AA1 = 5 AB = 12 ，AD = 13 。 (1)求点求点B和点和点D1的距离；的距离；(2)求点求点C到棱到棱A1B1的距离；的距离；(3)求棱求棱CD和平面和平面AA1B1B的距离；的距离；(4)求异面直线求异面直线DD1和和B1C1的距离。的距离。97P.F. Productions 14.3(3)(4) 空间直线与平面的位置关系直线与平面所成的角98P.F. Productions 线面关系直线与平面的位置关系：1.直线在平面内：2.直线与平面相交：
39、3.直线与平面平行：有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点a a Aa线面相交的特殊情况线面垂直定义：定理2：如果一条直线 l 与平面上的任何直线都垂直如果直线 l 与平面 上的两条相交直线 a、b 都垂直，那么直线 l 与平面 垂直。今天研究线面相交的一般情况99P.F. Productions 1、平面的斜线 当直线 l 与平面 相交且不垂直时，叫做直线 l 与平面 斜交，直线 l 叫做平面的斜线。 斜线 l 与平面 的交点M叫做斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段。 A100P.F. Productions 2、射影 设直线 l 与平面 斜交于点 M，过 l 上任意
40、点 A （异于点M），作平面 的垂线，垂足为O，我们把点O叫做点A在平面 上的射影，直线OM叫做直线 l 在平面 上的射影。 斜线上一点与垂足间的线段叫做这个点到平面的垂线段。垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影。思考：直线l在平面上的射影与点A在l上的取法是否有关？101P.F. Productions 思考：直线l在平面上的射影与点A在l上的取法是否有关？AO假设在直线l上另取点A（异于M），在面AMO内过A作AO/AO交MO于点O。因为AO平面 ，所以AO平面 。所以直线l在平面 上的投影是直线MO（即MO）直线l在平面上的射影与点A在l上的取法无关！即对于任意一条
41、斜线在平面内的射影是唯一的！102P.F. Productions 例1、如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）线段AB1在面BB1D1D中的射影（2）线段AB1在面A1B1CD中的射影A1D1C1B1ADCBO线段B1O103P.F. Productions A1D1C1B1ADCBE线段B1E例1、如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）线段AB1在面BB1D1D中的射影（2）线段AB1在面A1B1CD中的射影104P.F. Productions 思考一：通过观察比萨斜塔，如果把斜塔看成斜线，地面看成面，如何用数学知识来描述斜塔的倾斜程度呢？如何求得呢？线面所成的角思考
42、二：异面直线所成的角是如何定义的？思考三：那么斜线与平面所成角是否也可类比定义，转化为两相交直线所成的角？转化为两相交直线所成角来定义但经过斜足的直线有无数条，选取哪条直线与斜线所成的角来定义直线与平面所成的角呢？由于斜线在一个平面内的射影是确定的，而面内其它的直线却具有不确定性！105P.F. Productions AOBC探究：斜线与射影所成角和斜线与平面内任意一条直线的所成角之间的大小关系？斜线与射影所成角是斜线与平面内任意一条直线的所成角中的最小值！106P.F. Productions 3、直线和平面所成的角 规定斜线 l 与其在平面 上的射影OM所成的锐角叫做直线 l 与平面 所
43、成的角。规定： 当直线 l 与平面 垂直时，它们所成的角等于90 若直线 l 与平面 平行或直线 l 在平面 上时，它们所成的角为0 。107P.F. Productions 说明：(1)直线和平面所成角的范围是(2)斜线和平面所成角的范围是108P.F. Productions 例例2、已知正方体、已知正方体ABCD-A1B1C1D1中的棱长为中的棱长为1， (1)求直线求直线D1B1和平面和平面A1B1BA所成的角；所成的角；解：解：109P.F. Productions (2)求直线求直线D1B和平面和平面ABCD所成的角。所成的角。 解：解：110P.F. Productions 练习
44、：练习：如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，（1）A1C1与面与面ABCD所成的角所成的角（2） A1C1与面与面BB1D1D所成的角所成的角（3） A1C1与面与面BB1C1C所成的角所成的角（4）A1C1与面与面ABC1D1所成的角所成的角A1D1C1B1ADCB0o111P.F. Productions 练习：练习：如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，（1）A1C1与面与面ABCD所成的角所成的角（2） A1C1与面与面BB1D1D所成的角所成的角（3） A1C1与面与面BB1C1C所成的角所成的角（4）A1C1与面与面ABC1D1所成的角所成
45、的角A1D1C1B1ADCB90o112P.F. Productions 练习：练习：如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，（1）A1C1与面与面ABCD所成的角所成的角（2） A1C1与面与面BB1D1D所成的角所成的角（3） A1C1与面与面BB1C1C所成的角所成的角（4）A1C1与面与面ABC1D1所成的角所成的角C45oA1D1C1B1ADB113P.F. Productions 练习：练习：如图：正方体如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，（1）A1C1与面与面ABCD所成的角所成的角（2） A1C1与面与面BB1D1D所成的角所成的角（3） A1C1与
46、面与面BB1C1C所成的角所成的角（4）A1C1与面与面ABC1D1所成的角所成的角A1D1C1B1ADCBE30o114P.F. Productions 小结：求直线与平面所成的角方法小结：求直线与平面所成的角方法(1)先判断直线与平面的位置关系；先判断直线与平面的位置关系；(2)当直线与平面斜交时，常采用以下步骤：当直线与平面斜交时，常采用以下步骤：作出作出(找出找出)斜线上的点到平面的垂线；斜线上的点到平面的垂线；作出作出(找出找出)斜线在平面上的射影；斜线在平面上的射影；求出斜线段、射影、垂线段的长度；求出斜线段、射影、垂线段的长度；解此直角三角形。解此直角三角形。其中关键是确定斜足和
47、垂足其中关键是确定斜足和垂足115P.F. Productions 思考题思考题：已知正六边形：已知正六边形ABCDEF的棱长为的棱长为1，PA垂直于垂直于正六边形正六边形ABCDEF所在的平面所在的平面M，且，且PA=1。求点。求点P与正与正六边形各顶点连线和平面六边形各顶点连线和平面M所成的角；所成的角； BEACDFP116P.F. Productions (2)点点P到正六边形各边的距离。到正六边形各边的距离。BEACDFP117P.F. Productions 课后作业：课后作业：P7（A）6、8 P10（B）3、4P18 8、9. 11堂堂练堂堂练P11 14.3（2） 118P.
48、F. Productions 观察：从平面外一点引平面的垂线段和斜线段及观察：从平面外一点引平面的垂线段和斜线段及其射影，你有何发现？其射影，你有何发现？119P.F. Productions ACBO从平面外一点向这个从平面外一点向这个平面所引的垂线段和平面所引的垂线段和斜线段中，斜线段中，（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长长的斜线段也较长（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长线段的射影也较长（3）垂线段比任何一条斜线段都短）垂线段比任何一条斜线段都短垂线段和斜线段长定理垂线段和斜线段长定
49、理120P.F. Productions 例例2、点、点P是是ABC所在平面外一点，所在平面外一点，且且P点到点到ABC三三个顶点距离相等，个顶点距离相等，则则P点在点在ABC所所在平面上的射影是在平面上的射影是ABC的的_心。心。PCBAO外外121P.F. Productions 回顾有关概念：回顾有关概念：MAM线段线段AM点点OAO直线直线OM线段线段OM点点A在平面在平面上的射影上的射影点点A到平面到平面的垂线段的垂线段平面平面的一条斜线的一条斜线斜足斜足斜线段斜线段斜线斜线AM在平面在平面上的射影上的射影斜线段斜线段AM在平面在平面上的射影上的射影连连看连连看122P.F. Pro
50、ductions 例例2、点、点P是是ABC所在所在平面外一点，且平面外一点，且P点到点到ABC三边所在直线的距三边所在直线的距离相等，则离相等，则P点在点在ABC所在平面上的射影所在平面上的射影O是是ABC的的_心。心。PCBAO内内123P.F. Productions PABCHD例例3、正四面体、正四面体P-ABC中，求侧棱中，求侧棱 PA与底面与底面ABC 所所 成的角。成的角。124P.F. Productions PABCHD例例3、正四面体、正四面体P-ABC中，求侧棱中，求侧棱 PA与底面与底面ABC 所所 成的角。成的角。125P.F. Productions SACBOF
51、E例例4、如图如图 ACB=90 ，S为平面为平面ABC外一点，外一点， SCA= SCB= 60 ，求，求SC与平面与平面ACB所成的角。所成的角。126P.F. Productions AOBC例例5、直线、直线OA与平面与平面 所成的角为所成的角为 ，平面内一条直线，平面内一条直线 OC与与OA的射影的射影OB所成的角为所成的角为 1 ，设，设AOC为为 2 求证：求证：cos 2= cos 1 cos 127P.F. Productions ABCDA1B1C1D1例例6、已知正方体、已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线中，求直线B1C和和 平面平面D1AC所成的角。所成的角
52、。 H128P.F. Productions 14.3(5) 空间直线与平面的位置关系空间直线与平面的位置关系129P.F. Productions (1)直线在平面内（有无数个公共点）；线面位置关系：线面位置关系： (2)直线在平面外Pl（仅有一个公共点）（仅有一个公共点）（无公共点）（无公共点）130P.F. Productions 感受校园生活中线面平行的例子感受校园生活中线面平行的例子:天花板平面天花板平面131P.F. Productions 如果如果平面外一条直线平面外一条直线平面外一条直线平面外一条直线和这个平面内的一条直线平和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行
53、。行，那么这条直线和这个平面平行。a b已知：直线已知：直线a不在平面不在平面 上，上，b，a b求证：求证： a 1、直线和平面平行的判定定理、直线和平面平行的判定定理简称：线线平行简称：线线平行线面平行线面平行132P.F. Productions abP 133P.F. Productions 用该定理判断直线和平面是否平行时必须具备三个条件：用该定理判断直线和平面是否平行时必须具备三个条件：直线直线a在平面在平面外，外， 直线直线b在平面在平面内，内，两条直线两条直线a、b平行平行这三个条件缺一不可这三个条件缺一不可.134P.F. Productions 如果一条直线和一个平面平行，
54、经过这条直线的如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。简称：线面平行简称：线面平行线线平行线线平行已知：已知：a/ ，a ，=b求证：求证：a/b 2、直线和平面平行的性质定理、直线和平面平行的性质定理 ab135P.F. Productions ab已知：已知：a/ ，a ，=b求证：求证：a/b 136P.F. Productions 例例1、判断题、判断题(4)如果直线和平面平行，那么直线和平面内的所有如果直线和平面平行，那么直线和平面内的所有 直线平行。直线平行。(3)如果直线和平面平行，那么直线
55、和平面内的无数如果直线和平面平行，那么直线和平面内的无数 条直线平行；条直线平行；(2)如果一条直线和平面内的一条直线平行，那么直如果一条直线和平面内的一条直线平行，那么直 线和平面平行；线和平面平行；(1)如果一条直线在平面外，那么直线和平面平行；如果一条直线在平面外，那么直线和平面平行；137P.F. Productions 说明：使用直线与平面平行的判定定理和性质说明：使用直线与平面平行的判定定理和性质 定理时，定理时，必须都具备三个条件。必须都具备三个条件。(1)线线平行线线平行线面平行；线面平行；(2)线面平行线面平行线线平行。线线平行。138P.F. Productions 例例2
56、、正方体、正方体ABCD- A1B1C1D1 中，中，P 是平面是平面A1B1C1D1 上的点，过点上的点，过点 P 画一条直线使之与截面画一条直线使之与截面A1BCD1 平行。平行。A1AB1D1CBPC1D139P.F. Productions 例例3、已知空间四边形、已知空间四边形ABCD中，中，M、N、P、Q分别是分别是 AB、BC、CD、DA的中点。的中点。 求证：求证：BD平面平面MNPQ.ABCDMPNQ140P.F. Productions 例例4、在三棱柱、在三棱柱ABCA1B1C1中，中，D是是AC的中点。的中点。 求证：求证：AB1/平面平面DBC1PB1BC1CA1DA
57、141P.F. Productions 例例5、在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，试作出过中，试作出过AC且且 与直线与直线D1B平行的截面，并说明理由。平行的截面，并说明理由。 OM142P.F. Productions l 如如果果两两个个相相交交平平面面分分别别经经过过两两条条平平行行直直线线中中的一条的一条, ,那么它们的交线和这两条直线平行。那么它们的交线和这两条直线平行。 ab例例6、求证：、求证：143P.F. Productions 小结：小结：2、 “线线平行线线平行”与与“线面平行线面平行”在一定条件下可在一定条件下可互相互相 转化，它们互为条件，互为结论；转化，
58、它们互为条件，互为结论；3、在解题过程中，常需将判定定理与性质定理相在解题过程中，常需将判定定理与性质定理相 结合，得到需要的结论。结合，得到需要的结论。1、判定定理和性质定理三要素；、判定定理和性质定理三要素；144P.F. Productions 14.4(1) 空间平面与平面的位置关系空间平面与平面的位置关系145P.F. Productions 一、一、二面角二面角1、半平面：半平面：平面的一条直线把平面分为平面的一条直线把平面分为两两部分，其部分，其 中的每一部分都叫做一个中的每一部分都叫做一个半平面半平面。半半平平面面半半平平面面146P.F. Productions AB，由，由
59、、的半平面及其交线的半平面及其交线AB所组成所组成的空间图形叫做的空间图形叫做二面角二面角。记作：。记作：2、二面角的定义：、二面角的定义： 交线交线AB叫做叫做二面角的棱二面角的棱棱棱面面面面AB也记作：也记作：两个半平面两个半平面、叫做叫做二面角的面。二面角的面。147P.F. Productions 3、二面角的画法：、二面角的画法：(1)平卧式平卧式(2)直立直立式式148P.F. Productions 二二、二面角的平面角二面角的平面角 在二面角的棱在二面角的棱AB上任取一点上任取一点O，过，过O分别在面分别在面和和上作棱上作棱AB的垂线的垂线OM和和ON，射线，射线OM和和ON所
60、成所成的角叫做的角叫做二面角二面角-AB-的平面角。如图的平面角。如图149P.F. Productions 说明：说明：1、二面角的平面角的特点：二面角的平面角的特点：(3)角的两边都要垂直于二面角的棱。角的两边都要垂直于二面角的棱。(1)角的顶点在棱上；角的顶点在棱上；(2)角的两边分别在两个半面内；角的两边分别在两个半面内； lOABAOB150P.F. Productions 3、二面角的、二面角的范围范围：2、当二面角的平面角是、当二面角的平面角是 n时，就说这个二面角是时，就说这个二面角是 n( 0 n 180)；4、二面角的大小与点、二面角的大小与点O在棱上选取的位置无关；在棱上
61、选取的位置无关；5、平面角是直角的二面角叫做直二面角。、平面角是直角的二面角叫做直二面角。151P.F. Productions 三、三、二面角的平面角定位二面角的平面角定位(1)点点P在棱上：在棱上： 定义法定义法AB152P.F. Productions (2)点点P在一个半平面上：在一个半平面上： 垂线法垂线法PHB过过H向向棱作棱作垂线垂线HB，交棱，交棱 于于B，PBH就是二面角就是二面角 的平面角。的平面角。连结连结PB。153P.F. Productions (3)点点P在二面角内：在二面角内： 垂面法垂面法PABO 通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角通过做二面角的棱的垂面
62、，两条交线所成的角即为平面角。即为平面角。154P.F. Productions (4)射影法：射影法：若多边形的面积是若多边形的面积是S，它在一个平面上的，它在一个平面上的 射影图形面积是射影图形面积是S0，则二面角，则二面角 的大小为的大小为 ABCDO155P.F. Productions 156P.F. Productions 例例1、已知正方体、已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，求中，求 (1)二面角二面角 D1-AB- D 的大小；的大小； (2)二面角二面角 A1-AB-D 的大小。的大小。157P.F. Productions 例例2、已知正方体、已知正方体ABCD-A1
63、B1C1D1中，求中，求 (1)二面角二面角B1-AA1-C1的大小；的大小； (2)二面角二面角B-AA1-D的大小；的大小； (3)二面角二面角C1-BD-C的大小。的大小。158P.F. Productions 例例3、在一个倾斜角为、在一个倾斜角为300的斜坡上，沿着与坡的斜坡上，沿着与坡脚的水平线成脚的水平线成600角的道路上山，行走角的道路上山，行走100米，米，求这个人升高了多少米？求这个人升高了多少米？ABHC100300600159P.F. Productions PAOB例例4、如图，二面角、如图，二面角 的大小为的大小为 ，PA 于于A点，点，PB 于于B点，点，PA=4
64、，PB=6，求点，求点P到到 棱棱 的距离的距离.l160P.F. Productions 例4、在锐二面角中，若到的距离是到的距离的 倍，求二面角的大小AB= 2 AO161P.F. Productions 例例5、如图，、如图， 的斜边在平面的斜边在平面 内，内，AC、BC与平面与平面 所成角为所成角为300和和450，求，求 所在平所在平面与平面面与平面 所成的锐二面角。所成的锐二面角。162P.F. Productions 例例7 7、如图，二面角、如图，二面角 的平面角为的平面角为 , PA , PA 于于A A点，点，PB PB 于于B B点，点，PA=a,PB=b,PA=a,PB
65、=b,求求点点P P到棱到棱 的距离的距离. .PAOB163P.F. Productions 例例8、将边长为、将边长为2的正方形的正方形ABCD沿对角线沿对角线AC折成直二折成直二 面角后，求面角后，求B、D两点间的距离。两点间的距离。ACBDBACDM164P.F. Productions 2、二面角的平面角、二面角的平面角1、二面角、二面角3、求二面角的平面角方法、求二面角的平面角方法点点P在棱上在棱上点点P在一个半平面上在一个半平面上点点P在二面角内在二面角内定义法定义法垂线法垂线法垂面法垂面法小结：小结：射影法射影法165P.F. Productions 14.4(2) 空间平面与
66、平面的位置关系空间平面与平面的位置关系166P.F. Productions 例例1、已知二面角、已知二面角 的大小为的大小为 ，线段，线段CD夹夹 在二面角内，在二面角内，CA l ，DBl ，垂足分别为，垂足分别为A、 B，且，且AC=6，BD=8，AB=4，求，求CD的长的长.DABCE167P.F. Productions 例例2、已知二面角、已知二面角 的大小为的大小为 ，线段，线段AB夹夹 在二面角内，在二面角内，CA l ，DBl ，垂足分别为，垂足分别为A、 B，且，且AC=2，AB=10，求，求AB与平面与平面 所成的角。所成的角。ACBDH168P.F. Productio
67、ns 例例3、在正方体、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E、F分别是中点，分别是中点， 求截面求截面A1ECF和底面和底面ABCD所成的锐二面角的大小。所成的锐二面角的大小。EFGABDCA1B1D1C1FGBCDAFEA1C169P.F. Productions EFGABDCA1B1D1C1HFGBCDAH170P.F. Productions 例例4(1)已知已知P是平面是平面ABC外一点，且外一点，且PA=PB=PC， 试判断点试判断点P在底面在底面ABC的射影的位置？的射影的位置？OA=OB=OCO为三角形为三角形ABC的的外心外心PABCO171P.F. Producti
68、ons (2)已知已知P是平面是平面ABC外一点，且外一点，且P到底面三角形到底面三角形ABC的的 三条边的距离相等三条边的距离相等，试判断点，试判断点P在底面在底面ABC的射影的射影 的位置？的位置？O为三角形为三角形ABC的的内心内心PABCOEF172P.F. Productions (3)已知已知P是平面是平面ABC外一点，且外一点，且PA、PB、PC两两垂直两两垂直, 试判断点试判断点P在底面在底面ABC的射影的位置？的射影的位置？O为三角形为三角形ABC的的垂心垂心PABCDO173P.F. Productions 1、三条侧棱相等2、侧棱与底面所成的角相等3、侧面与底面所成的角相
69、等4、顶点P到ABC的三边距离相等5、三条侧棱两两垂直6、相对棱互相垂直7、三个侧面两两垂直外心外心内心内心垂心垂心垂心在下列条件下，判断三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC内的射影位置174P.F. Productions 14.4(3) 空间平面与平面的位置关系空间平面与平面的位置关系175P.F. Productions 1、直线与平面平行的判定定理和性质定理、直线与平面平行的判定定理和性质定理(1)线线平行线线平行线面平行；线面平行；(2)线面平行线面平行线线平行。线线平行。复习复习176P.F. Productions 2、两个平面的位置关系、两个平面的位置关系 没有公共点没有公共点
70、 有一条公共直线有一条公共直线位置关系位置关系两平面平行两平面平行两平面相交两平面相交公共点公共点符号表示符号表示 图形表示图形表示177P.F. Productions 3、两个平面平行的画法、两个平面平行的画法(2)不正确画法不正确画法178P.F. Productions 由两个平面平行的定义得：由两个平面平行的定义得：1、如果两个平面平行，那么在其中一个平面内的、如果两个平面平行，那么在其中一个平面内的所所有有直线一定都和另一个平面平行；直线一定都和另一个平面平行；2、如果一个平面内的任意直线都和另一个平面平行、如果一个平面内的任意直线都和另一个平面平行,那么这两个平面平行。那么这两个
71、平面平行。 两个平面平行的问题可以转化为线面平行的问题来两个平面平行的问题可以转化为线面平行的问题来解决，可是最少需要几条线与面平行呢？解决，可是最少需要几条线与面平行呢？179P.F. Productions 若平面若平面内有两条直线内有两条直线a、b都平行于平面都平行于平面，能保证能保证吗？吗？abab180P.F. Productions 1、平面平行的判定定理平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。一个平面，那么这两个平面平行。已知：已知：a在在平面上，平面上，b在在平面上，平面上，ab=P， a，b
72、求证：求证：ab P简称：简称：线线面平行面平行面面面面平行平行181P.F. Productions 已知：已知：a在在平面上，平面上，b在在平面上，平面上，ab=P， a，b求证：求证：ba Pl182P.F. Productions 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。那么它们的交线平行。2、两个平面平行的性质定理、两个平面平行的性质定理简称：面面平行简称：面面平行线线平行线线平行183P.F. Productions 例例1、判断题、判断题1.若平面若平面内有两条直线平行于平面内有两条直线平行于平面,则则与与平行；平行； 2.
73、若平面若平面内有无数条直线平行于平面内有无数条直线平行于平面,则则与与平行；平行；3.平行于同一条直线的两个平面平行；平行于同一条直线的两个平面平行；4.两个平面分别经过两条平行直线两个平面分别经过两条平行直线,则这两个平面平行。则这两个平面平行。184P.F. Productions 例例2、如图，在长方体、如图，在长方体 ABCD-ABCD中，中， 求证：平面求证：平面C DB平面平面A B DDCBADCBA线线平行线线平行 线面平行线面平行 面面平行面面平行185P.F. Productions 例例3、 求证求证: 夹在两个平行平面间的平行线段相等夹在两个平行平面间的平行线段相等.1
74、86P.F. Productions 例例4、如图、如图,设设AB、CD为夹在两个平行平面为夹在两个平行平面 、 之间之间的线段，且直线的线段，且直线AB、CD为异面直线，为异面直线，M、P 分别为分别为AB、CD 的中点，求证：的中点，求证： 直线直线MP / 平面平面 .187P.F. Productions 15.1 多面体的概念多面体的概念188P.F. Productions 一、基本概念一、基本概念由平面多边形由平面多边形(或三角形或三角形)围成的封闭体叫做围成的封闭体叫做多面体多面体.构成多面体的各平面多边形构成多面体的各平面多边形(或三角形或三角形)叫做叫做多面体的面多面体的面
75、.多面体相邻面的公共边叫做多面体相邻面的公共边叫做多面体的棱多面体的棱.棱与棱的交点叫做棱与棱的交点叫做多面体的顶点多面体的顶点.189P.F. Productions 二、两种简单多面体二、两种简单多面体1 1、棱柱、棱柱 如果一个多面体有两个全等的多边形的面相互平如果一个多面体有两个全等的多边形的面相互平行，且不在这两个面上的棱都相互平行，那么这个多行，且不在这两个面上的棱都相互平行，那么这个多面体叫做面体叫做棱柱棱柱. 棱柱的两个相互平行的面叫做棱柱的两个相互平行的面叫做棱柱的底面棱柱的底面，其他，其他的面叫做的面叫做棱柱的侧面棱柱的侧面，棱柱的侧面都是平行四边形棱柱的侧面都是平行四边形
76、.不在底面上的棱叫做不在底面上的棱叫做棱柱的侧棱棱柱的侧棱.两个底面间的距离叫做两个底面间的距离叫做棱柱的高棱柱的高.多面体的多面体的面面 多面体的多面体的棱棱 多面体的多面体的顶点顶点190P.F. Productions (1)侧棱与底面垂直的棱柱叫做侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱直棱柱。直棱柱的侧面都是矩形，且这些矩形高相等，直棱柱的侧面都是矩形，且这些矩形高相等，直棱柱的高与侧棱的长相等。直棱柱的高与侧棱的长相等。191P.F. Productions (2)底面是底面是正多边形正多边形的的直棱柱直棱柱叫做叫做正棱柱正棱柱正棱柱的各侧面是全等的矩形正棱柱的各侧面是全等的矩形AABBCC
77、正三棱柱正三棱柱ABCABCDD正四棱柱正四棱柱ABCDFEABCDFE正六棱柱正六棱柱正棱柱是同时满足下列两条的棱柱：正棱柱是同时满足下列两条的棱柱：1.底面是正多边形底面是正多边形2.侧棱垂直于底面侧棱垂直于底面192P.F. Productions (3)特殊性质的棱柱特殊性质的棱柱底面是平行四边形底面是平行四边形的棱柱有六个面，且六个面都是的棱柱有六个面，且六个面都是平行四边形。这样的棱柱叫做平行四边形。这样的棱柱叫做平行六面体平行六面体.ABCDABCD193P.F. Productions 底面是矩形的直棱柱叫做底面是矩形的直棱柱叫做长方体长方体ABCABCDD所有棱长都相等的长方
78、体叫做所有棱长都相等的长方体叫做正方体正方体ABCABCDD194P.F. Productions 例例1、下列几何体哪些是棱柱？直棱柱？正棱柱？、下列几何体哪些是棱柱？直棱柱？正棱柱？（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）195P.F. Productions 例2、下列命题正确的是( )A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱.B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形几何体叫棱柱.C. 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.D. 有两个相邻侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱.DABCA1B1C1196P.F. Productions 练：把四棱柱集合、平行六面体集合、直平行六面体集合
79、、长方体集合、正四棱柱集合、正方体集合分别记作集合A、B、C、D、E、F，试考虑A、B、C、D、E、F之间的包含关系197P.F. Productions 例例3 、下列命题中的假命题是、下列命题中的假命题是( ) A. 直棱柱的侧棱就是直棱柱的高直棱柱的侧棱就是直棱柱的高. B. 有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱. C. 直棱柱的侧面是矩形直棱柱的侧面是矩形. D. 有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱.例例4、棱柱成为直棱柱的一个充要条件是、棱柱成为直棱柱的一个充要条件是( ) A. 棱柱有一条侧棱与底面的两边垂直棱柱有一条侧棱与
80、底面的两边垂直. B. 棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直. C. 棱柱有一个侧面是矩形，且它与底面垂直棱柱有一个侧面是矩形，且它与底面垂直. D. 棱柱的侧面与底面都是矩形棱柱的侧面与底面都是矩形. B C198P.F. Productions 例例5、判断下列各说法是否正确：、判断下列各说法是否正确：(1)有两个全等的多边形的面相互平行，其余各面是平有两个全等的多边形的面相互平行，其余各面是平 行四边形的多面体是棱柱；行四边形的多面体是棱柱；(2)棱柱的侧棱彼此平行；棱柱的侧棱彼此平行；(3)棱柱的高等于棱柱的侧棱长；棱柱的高等于棱柱的侧棱长；(4)有两个侧面
81、垂直于底面的棱柱是直棱柱；有两个侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱；199P.F. Productions (5)底面是正方形的棱柱是一种长方体。底面是正方形的棱柱是一种长方体。(6)所有棱长都相等的直棱柱是一种正方体。所有棱长都相等的直棱柱是一种正方体。(7)底面是菱形的棱柱是一种平行六面体。底面是菱形的棱柱是一种平行六面体。(8)侧面都是全等矩形的棱柱是一种正棱柱侧面都是全等矩形的棱柱是一种正棱柱。200P.F. Productions 如果一个多面体有一个多边形的面，且不在这个面如果一个多面体有一个多边形的面，且不在这个面上的棱都有一个公共点，那么这个多面体叫做上的棱都有一个公共点，那么这个多
82、面体叫做棱锥棱锥. 棱锥的多边形的面叫做棱锥的多边形的面叫做棱锥的底面棱锥的底面，其他的面叫做，其他的面叫做棱锥的侧面棱锥的侧面，棱锥的侧面都是三角形棱锥的侧面都是三角形.不在底面上的棱叫做不在底面上的棱叫做棱锥的侧棱棱锥的侧棱侧棱的公共点叫做侧棱的公共点叫做棱锥的顶点棱锥的顶点顶点与底面之间的距离叫做顶点与底面之间的距离叫做棱锥的高棱锥的高2、棱锥、棱锥201P.F. Productions (1)棱棱锥锥的分类的分类 按底面多边形的边数分类可分为三棱按底面多边形的边数分类可分为三棱锥锥、四棱、四棱锥锥、五棱五棱锥锥等等。等等。ABCDEP五棱锥五棱锥P-ABCDEPABCD四棱锥四棱锥P-
83、ABCD三棱锥三棱锥P-ABCACPB202P.F. Productions (2)特殊性质的棱锥特殊性质的棱锥 如果棱锥的底面是如果棱锥的底面是正多边形正多边形，且底面中心与顶点的，且底面中心与顶点的连线连线垂直垂直于底面，那么这个棱锥叫做于底面，那么这个棱锥叫做正棱锥正棱锥.PABCD正四棱锥正四棱锥ABCDFEP正六棱锥正六棱锥APBC正三棱锥正三棱锥正棱锥的各侧棱长相等；正棱锥的各侧棱长相等；正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形；正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形；正棱锥的高与其顶点到底面中心的距离相等。正棱锥的高与其顶点到底面中心的距离相等。203P.F. Productions
84、正棱锥是同时满足下列条件的棱锥：正棱锥是同时满足下列条件的棱锥：1.底面是正多边形底面是正多边形2.顶点与底面中心的连线垂直于底面。顶点与底面中心的连线垂直于底面。204P.F. Productions (4)棱锥的高可以是棱锥的一条侧棱长；（棱锥的高可以是棱锥的一条侧棱长；（ ）例例6 6、判断下列各说法是否正确：、判断下列各说法是否正确：(1)底面是正多边形的棱锥是正棱锥；底面是正多边形的棱锥是正棱锥；（ ）(2)各侧棱的长都相等的棱锥是正棱锥；各侧棱的长都相等的棱锥是正棱锥；（ ）(3)各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；（ ）(5)正四面体是
85、一种正三棱锥正四面体是一种正三棱锥。（。（ ）205P.F. Productions 15.2(1) (2) 多面体的直观图 要在平面上画出具有立体感的空间图形的直观图，就要求画图方法符合透视的原理。平行透视点透视206P.F. Productions “斜二测”画图法 （）规定按图所示的位置和夹角作三条轴分别表示铅垂方向、左右方向以及前后方向的轴，依次把它们叫做z轴、y轴和x轴zyx135 （）规定z轴和y轴方向上线段与其表示的真实长度相等，而在x轴方向上，线段的长度是其表示的真实长度的二分之一 有了以上规定之后，可在铅垂方向、左右方向和前后方向分别测量空间图形在对应方向上线段的长度，并计算
86、出这些线段在x轴、y轴和z轴方向上相应的长度，从而画出空间图形的直观图用这种方法画的空间图形的直观图叫做斜二轴测图207P.F. Productions “斜二测”画图法有两条重要性质：1.平行直线的斜二测图仍是平行直线2.线段及其线段上定比分点的斜二测图保持原比例不变208P.F. Productions 画多面体的直观图，首先要画出它的底面多边形的直观图（通常称为底面多边形的水平放置图）。 例1.画水平放置的边长为3cm和4cm的矩形的直观图4cm4cm3cmABCDDC1.5cmAB209P.F. Productions 例2.画水平放置的边长为a的正六边形的直观图GAFCBEDaFCG
87、2a2aAEBDxxyy210P.F. Productions 练习1.画水平放置的边长为3cm的正三角形直观图ABC3cmBC3cmMMA211P.F. Productions 例3.画正三棱柱ABC-ABC的直观图，使它的底面是边长为2cm的正三角形，高为3cm1.先画一个水平放置的边长为2cm的正三角形ABCABC2.再沿z轴方向，作3cm线段AA、BB和CCABC3.连结AB、BC和CA4.把能看到的线改成实线212P.F. Productions 例3.所要求的直观图也可从另两个方向画出ABCABCACBACB你能叙述出这两个图的画图过程吗？213P.F. Productions 例
88、4.画三棱锥的直观图，使它的底面是腰长为a的等腰直角三角形，过直角顶点的侧棱长为a,且垂直于底面ABCD214P.F. Productions 15.2(3) 多面体的直观图多面体的直观图P.F. Productions 定义定义: 当一个平面截多面体时，多面体的表当一个平面截多面体时，多面体的表面与平面的交线所围成的面与平面的交线所围成的平面图形平面图形叫叫做做平面截多面体的截面平面截多面体的截面。P.F. Productions 例例1、已知正方体、已知正方体ABCD-A1B1C1D1，1）画出由点）画出由点A1、C1、D确定的平面确定的平面 与正方体表面与正方体表面的交线。的交线。2)平
89、面平面 将正方体分割为怎样的两个多面体，画出将正方体分割为怎样的两个多面体，画出这两个多面体的直观图这两个多面体的直观图ABCDA1B1C1D1P.F. Productions ABCDA1B1C1D1PMQ例例2、1)已知已知P是正方体是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱的棱BB1的中的中 点，过点，过A、P、D1作一个平面，画出此平面截正作一个平面，画出此平面截正 方体的截面方体的截面 。2)平面将正方体分割为两个多面体，画出这两个平面将正方体分割为两个多面体，画出这两个多面体的直观图多面体的直观图P.F. Productions ABCDA1B1C1D1PQ例例3、已知、已知P、Q是正
90、方体是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱的棱AB， BC的中点，过的中点，过P、Q、D1作一个平面，画出此平作一个平面，画出此平 面截正方体的截面。面截正方体的截面。P.F. Productions 例例4、已知、已知P、Q、M是正方体是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱的棱 AB、BC、A1D1的中点，过的中点，过P、Q、M作一个平面，作一个平面， 画出此平面截正方体的截面。画出此平面截正方体的截面。ABCDA1B1C1D1PQMP.F. Productions 例例4(1)已知已知P是平面是平面ABC外一点，且外一点，且PA=PB=PC， 试判断点试判断点P在底面在底面ABC的射影的位
91、置？的射影的位置？OA=OB=OCO为三角形为三角形ABC的的外心外心PABCOP.F. Productions (2)已知已知P是平面是平面ABC外一点，且外一点，且P到底面三角形到底面三角形ABC的的 三条边的距离相等三条边的距离相等，试判断点，试判断点P在底面在底面ABC的射影的射影 的位置？的位置？O为三角形为三角形ABC的的内心内心PABCOEFP.F. Productions (3)已知已知P是平面是平面ABC外一点，且外一点，且PA、PB、PC两两垂直两两垂直, 试判断点试判断点P在底面在底面ABC的射影的位置？的射影的位置？O为三角形为三角形ABC的的垂心垂心PABCDOP.F
92、. Productions 1、三条侧棱相等2、侧棱与底面所成的角相等3、侧面与底面所成的角相等4、顶点P到ABC的三边距离相等5、三条侧棱两两垂直6、相对棱互相垂直7、三个侧面两两垂直外心外心内心内心垂心垂心垂心在下列条件下，判断三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC内的射影位置P.F. Productions 旋转体旋转体153旋转体的概念旋转体的概念225P.F. Productions 226P.F. Productions 我们把由一个平面图形绕它所在平面内的我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体旋转体.这条定
93、直线叫做这条定直线叫做旋转体的旋转体的轴轴。227P.F. Productions 圆柱的两个底面间的距离（即圆柱的两个底面间的距离（即AB的长度）叫做的长度）叫做圆柱的圆柱的高高1圆柱圆柱如图，将矩形如图，将矩形ABCD（及其内及其内部）绕其一条边部）绕其一条边AB所在直线旋转所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做一周，所形成的几何体叫做圆柱圆柱 AB所在直线叫做圆柱的所在直线叫做圆柱的轴轴线段线段AD和和BC旋转而成的旋转而成的 圆面叫做圆柱的圆面叫做圆柱的底面底面线段线段CD旋转而成的曲面叫做圆旋转而成的曲面叫做圆柱的柱的侧面侧面 CD叫做圆柱侧面的一条叫做圆柱侧面的一条母线母线ABCD轴
94、轴底面底面底面底面侧侧面面母母线线互相平行互相平行228P.F. Productions 2圆锥圆锥圆锥的顶点到底面间的距离（即圆锥的顶点到底面间的距离（即AB的长度）叫做圆锥的高的长度）叫做圆锥的高将直角三角形将直角三角形ABC（及其内部）及其内部）绕其一条直角边绕其一条直角边AB所在直线旋转所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做一周，所形成的几何体叫做圆锥圆锥 AB所在直线叫做圆锥的所在直线叫做圆锥的轴轴，点点A叫做圆锥的叫做圆锥的顶点顶点直角边直角边BC旋转而成的圆面叫做旋转而成的圆面叫做圆锥的圆锥的底面底面斜边斜边AC旋转而成的曲面叫做旋转而成的曲面叫做圆锥的圆锥的侧面侧面斜边斜边AC叫
95、做圆锥侧面的一条叫做圆锥侧面的一条母线母线顶点顶点ABC轴轴侧面侧面底面底面母线母线与轴夹角相等与轴夹角相等229P.F. Productions 轴截面轴截面(过轴的截面过轴的截面)矩形矩形等腰三角形等腰三角形230P.F. Productions 圆柱与圆锥的相同点：圆柱与圆锥的相同点：1.1.与轴垂直的边旋转形成的面叫做底面。与轴垂直的边旋转形成的面叫做底面。2.2.底面都是圆面。底面都是圆面。3.3.不与轴垂直的边旋转形成的曲面叫做不与轴垂直的边旋转形成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做圆柱侧面的母线。叫做圆柱侧面的母线。4.4.平行于底
96、面的截面都是圆面。平行于底面的截面都是圆面。不同点：不同点：1.圆柱有两个底面；圆锥有一个底面。圆柱有两个底面；圆锥有一个底面。2.圆柱的所有母线互相平行圆柱的所有母线互相平行;圆锥的圆锥的所有母线交与一点所有母线交与一点231P.F. Productions 练习：练习：3.平行于母线的平面截圆锥，截面是等腰三角平行于母线的平面截圆锥，截面是等腰三角形。形。1.直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥。旋转体是圆锥。4.过圆锥顶点的截面是等腰三角形。过圆锥顶点的截面是等腰三角形。 2.圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体。圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体。
97、判断下列命题判断下列命题232P.F. Productions 3球球将圆心为将圆心为O的半圆（及其内部）绕的半圆（及其内部）绕其直径其直径AB所在的直线旋转一周，所所在的直线旋转一周，所形成的几何体叫做形成的几何体叫做球球，记作球，记作球OO半圆的圆弧所形成的曲半圆的圆弧所形成的曲面叫做面叫做球面球面点点O到球面上任意点的距到球面上任意点的距离都相等，把点离都相等，把点O称为称为球心球心B把把原原半圆的半径和直径分半圆的半径和直径分别称为别称为球的半径球的半径和和球的直径球的直径ACD233P.F. Productions 大圆大圆小圆小圆ABOCO1C1大圆所在的平面大圆所在的平面经过球心
98、经过球心小圆所在的平小圆所在的平面不经过球心面不经过球心234P.F. Productions 练习：练习：1.过球面上的任意两点作球的大圆过球面上的任意两点作球的大圆,只可以作只可以作1个。个。2.当平面到球心的距离小于球半径时，球面与当平面到球心的距离小于球半径时，球面与平面的交线总是一个圆。平面的交线总是一个圆。3.球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径。球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径。4.过空间过空间4点总能作一个球。点总能作一个球。235P.F. Productions 例例1 1：如图，设：如图，设ABAB是球是球O O的直径，的直径，AB=10AB=10，O O1 1是是
99、ABAB上的点，上的点，平面平面通过点通过点O1，且垂直于且垂直于AB，截得圆截得圆O1，当，当O1满足下列条件时，求满足下列条件时，求O1的半径的半径r1。(1)OO1=4；ABOCO1解：解：(2)OO1=23236P.F. Productions 练习：练习：1.圆柱的高为圆柱的高为4cm，底面半径为底面半径为3cm，已知上已知上底面一条半径底面一条半径OA与下底面的一条半径与下底面的一条半径OB成成60角，求：角，求：（1）直线）直线AB与圆柱与圆柱的轴的轴OO所成的角；所成的角；（2）线段）线段AB的长。的长。CABBOO237P.F. Productions 2.过圆锥顶点过圆锥顶
100、点S作截面作截面SAB与底面成与底面成60二面角，二面角，且分底面圆周为且分底面圆周为1：2两段，已知截面面积为两段，已知截面面积为 cm2。求底面圆的半径。求底面圆的半径。SABOCD答案：答案：3cm解：解：238P.F. Productions 3.（1）过球半径的中点，作一个垂直于这半）过球半径的中点，作一个垂直于这半径的截面，那么这个截面的面积与球的大圆径的截面，那么这个截面的面积与球的大圆面积之比是面积之比是_。3：4（2）已知球的半径为）已知球的半径为14的球面上有的球面上有A，B，C三点，且三点，且AB=9，AC=15，BAC=120，则球心则球心O到到A，B，C三点所确定的平
101、面的距三点所确定的平面的距离是离是_。7（3）已知半径为）已知半径为5的球的两个平行截面的周的球的两个平行截面的周长分别为长分别为 ，则两平行截面间的距，则两平行截面间的距离为离为_。1或或7239P.F. Productions 小结：小结：1.旋转体的概念旋转体的概念2.圆柱、圆锥、球的概念及性质圆柱、圆锥、球的概念及性质240P.F. Productions 几何体的表面积、体积和球面距离几何体的表面积、体积和球面距离15.4 几何体的表面积几何体的表面积常用的方法：常用的方法：将将几何体的侧面展开成平面图形，几何体的侧面展开成平面图形，转化为计算平面图形的面积转化为计算平面图形的面积2
102、41P.F. Productions 242P.F. Productions 直柱体直柱体243P.F. Productions h直直棱柱的侧面积：棱柱的侧面积：直直棱柱的表面积：棱柱的表面积：hc1.直柱体的表面积 244P.F. Productions hh圆柱的表面积：圆柱的表面积：圆柱的侧面积：圆柱的侧面积：c245P.F. Productions 例1、已知底面为平行四边形的直棱柱的侧棱长为5cm，底面边长分别为6cm和8cm，且两边长的夹角为30，求此直棱柱的全面积。188cm2246P.F. Productions 例2、已知圆柱侧面展开图是一个正方形，它的侧面积是两底面面积和
103、的多少倍？247P.F. Productions 248P.F. Productions 249P.F. Productions 2.锥体的表面积hh 正棱锥的侧面积：正棱锥的表面积：250P.F. Productions 圆锥的侧面积：圆锥的侧面积：圆锥的表面积：圆锥的表面积：251P.F. Productions 252P.F. Productions 直棱柱、圆柱的侧面积公式：直棱柱、圆柱的侧面积公式：正棱锥、圆锥的侧面积公式：正棱锥、圆锥的侧面积公式：h和和c 分别是直棱柱的高和底面周长。分别是直棱柱的高和底面周长。253P.F. Productions 圆锥也可以看作是正棱锥当底面正
104、多边形圆锥也可以看作是正棱锥当底面正多边形的边数趋向无穷大时的极限的边数趋向无穷大时的极限,由正棱锥侧面由正棱锥侧面积公式积公式,推得圆锥的侧面积公式推得圆锥的侧面积公式:254P.F. Productions 例3、已知正三棱锥的底面边长为2cm，高为1cm， 求该三棱锥的侧面积和表面积.ABCDOO255P.F. Productions 例4、用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45，容器的高为10cm，制作该容器需要多少面积的铁皮？（衔接部分忽略不计，结果精确到0.1cm2）10cm45O256P.F. Productions 3.球的表面积球的表面积（
105、其中其中r为球半径）为球半径）球的表面积是大圆面积的球的表面积是大圆面积的4倍倍257P.F. Productions 例5、已知球面上过三点A、B、C的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，求此球的表面积。258P.F. Productions 例例6、已知一个圆锥的底面半径为、已知一个圆锥的底面半径为R，高为，高为H，在其中有，在其中有一个高为一个高为x 的内接圆柱。的内接圆柱。H(1)求圆柱的侧面积；求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？为何值时，圆柱的侧面积最大？259P.F. Productions 例7、如图，PA，PB是圆锥PO的两条母线，O是底
106、 面圆的圆心，底面圆的半径为10，C是PB中点， AOB=60，AC与底面所成角为45，求圆 锥的侧面积。ABKPOC45260P.F. Productions 例例8、如图，斜三棱柱、如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为的底面是边长为 的的正三角形，侧棱正三角形，侧棱AA1长为长为 ，它和，它和AB，AC所成的角所成的角均为均为60，求三棱柱的侧面积。，求三棱柱的侧面积。ABCA1B1C1OEFE261P.F. Productions 练习：练习：1.正六棱柱的高为正六棱柱的高为5cm，最长的对角线长为最长的对角线长为13cm，则它的侧面积为则它的侧面积为_cm2。1803.三棱
107、锥的侧面积为三棱锥的侧面积为S，过棱锥的高的三过棱锥的高的三等分点的两个平行于底面的截面将棱锥分等分点的两个平行于底面的截面将棱锥分成三部分的侧面积分别为成三部分的侧面积分别为_。2.圆锥的底面半径为圆锥的底面半径为3，高为，高为4，侧面展开，侧面展开图的中心角为图的中心角为_。262P.F. Productions 2.（1）过球半径的中点，作一个垂直于这半）过球半径的中点，作一个垂直于这半径的截面，那么这个截面的面积与球的大圆径的截面，那么这个截面的面积与球的大圆面积之比是面积之比是_。3：4（2）已知球的半径为）已知球的半径为14的球面上有的球面上有A，B，C三点，且三点，且AB=9，A
108、C=15，BAC=120，则球心则球心O到到A，B，C三点所确定的平面的距三点所确定的平面的距离是离是_。7（3）已知半径为）已知半径为5的球的两个平行截面的周的球的两个平行截面的周长分别为长分别为 ，则两平行截面间的距，则两平行截面间的距离为离为_。1或或7263P.F. Productions 小结：小结：1.直柱体的侧面积公式：直柱体的侧面积公式： 其中圆柱的侧面积公式：其中圆柱的侧面积公式：2. 锥体的侧面积公式：锥体的侧面积公式： 其中圆锥的侧面积公式：其中圆锥的侧面积公式：3.球的表面积公式：球的表面积公式：264P.F. Productions 15.5(1) 柱体和锥体的体积柱
109、体和锥体的体积几何体占有空间部分的大小叫做它的体积几何体占有空间部分的大小叫做它的体积265P.F. Productions aahhPQ平行四边形与它等底等高的矩形面积相等S平行四边形=ah266P.F. Productions 夹在两条平行线间的两个平面图形,被与这两条平行直线平行的直线所截,如果截得的线段总是相等的,那么这两个平面图形的面积相等.hQ1p1p2Q2267P.F. Productions 祖暅原理祖暅原理 体积可看成是由体积可看成是由面积叠加面积叠加而而成，用一组成，用一组平行平面平行平面截两个空间截两个空间图形，若在图形，若在任意等高处任意等高处的截面的截面面面积都对应相
110、等积都对应相等，则两空间图形的，则两空间图形的体积必然相等体积必然相等。268P.F. Productions 如果两个几何体满足下列两个条件：如果两个几何体满足下列两个条件：那么，这两个几何体的那么，这两个几何体的体积相等。体积相等。能够夹在两个平行平面内，能够夹在两个平行平面内，即：高相等即：高相等用平行于上述两个平行平面的用平行于上述两个平行平面的任意任意平面去截这两平面去截这两 个几何体，截得的截面个几何体，截得的截面面积总相等面积总相等, ,祖暅原理祖暅原理269P.F. Productions 夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面
111、积总相等，那么这两个几何体的体积相等。PQ祖暅原理270P.F. Productions 271P.F. Productions 推导柱体体积公式的依据：推导柱体体积公式的依据：1、用平行于底面的平面截、用平行于底面的平面截棱柱或圆柱棱柱或圆柱，所，所得的截面都与底面得的截面都与底面全等；全等；2、祖暅原理。、祖暅原理。272P.F. Productions 1、柱体的体积、柱体的体积定理定理: 柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积底面积 s和高和高h的积。的积。273P.F. Productions shS直直274P.F. Productions S S1
112、S2Shhh1h1 用平形于平面用平形于平面的任意平面去截它们，截面分别与底的任意平面去截它们，截面分别与底面相似。设截面和顶点的距离是面相似。设截面和顶点的距离是h1，截面面积分别是，截面面积分别是S1、S2。等底等高的锥体的体积等底等高的锥体的体积275P.F. Productions 截面与底面平行截面与底面平行S S1S2Shhh1h1276P.F. Productions 三棱柱可以分割成体积相等的三个三棱锥三棱柱可以分割成体积相等的三个三棱锥.柱体的柱体的体积等于相应锥体体积的三倍体积等于相应锥体体积的三倍.2、锥体的体积公式、锥体的体积公式277P.F. Productions
113、3、球的体积、球的体积（其中其中r为球半径）为球半径）278P.F. Productions 例例1、三棱柱的底面是直角、三棱柱的底面是直角ABC，两直角边，两直角边BC=6cm， CA=8cm，侧棱侧棱AA的长是的长是20cm，求满足下列条，求满足下列条 件的三棱柱的体积件的三棱柱的体积. (1)侧棱侧棱AA垂直与底面；垂直与底面； (2)侧棱侧棱AA与底面所成的角是与底面所成的角是60. ABCA1B1C1OB1A1C1ABC279P.F. Productions 例例2、平行六面体的所有面的边长都为、平行六面体的所有面的边长都为a、锐角为、锐角为 的全等菱形，求其体积的全等菱形，求其体积
114、. 280P.F. Productions PNO一个毛坯的体积为一个毛坯的体积为例例3、有一堆相同规格的六角螺帽毛坯、有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重共重5.8kg. 已知底面六边形的边长是已知底面六边形的边长是12mm，高是高是10mm，内孔直径是内孔直径是10mm. 问约有毛坯多少个（铁的密度问约有毛坯多少个（铁的密度是是7.8g/cm3）。）。281P.F. Productions 例例3、如图所示，已知三棱锥、如图所示，已知三棱锥ABCD的三个侧面互的三个侧面互 相垂直，且它们的面积分别为相垂直，且它们的面积分别为6、4、3，求此，求此 三棱锥的体积。三棱锥的体积。ABCDABCD取
115、适当的取适当的底和高底和高282P.F. Productions ABCAABCBC例例4、斜三棱柱、斜三棱柱ABCABC的侧面的侧面BBCC的面积为的面积为S，AA到此侧面的距离为到此侧面的距离为a，求斜三棱柱的体积，求斜三棱柱的体积V .ABCABCSa方法一方法一283P.F. Productions 方法二方法二ABCABCSaABCSaABC284P.F. Productions 求多面体的体积时常用的方法求多面体的体积时常用的方法1、直接法、直接法:2、割补法、割补法:3、变换法：、变换法：根据条件直接用根据条件直接用柱体柱体或或锥体锥体的体积公式的体积公式如果一个多面体的体积直接
116、用体积公式如果一个多面体的体积直接用体积公式计算用困难，可将其计算用困难，可将其分割成易求体积的分割成易求体积的几何体几何体，逐块求积，然后求和。，逐块求积，然后求和。如果一个如果一个三棱锥三棱锥的体积直接用体积公式的体积直接用体积公式计算用困难，可转换为等积的另一三棱计算用困难，可转换为等积的另一三棱锥，而这一三棱锥的底面面积和高都是锥，而这一三棱锥的底面面积和高都是容易求得。容易求得。285P.F. Productions 15.6 球面距离球面距离286P.F. Productions 287P.F. Productions 球的公式球的公式球的体积球的体积球的表面积球的表面积288P.
117、F. Productions 球面上两点之间的最短连线的长度，就是经球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度.我们把这个弧长叫做我们把这个弧长叫做两点的球面距离两点的球面距离.问题问题1: 直观的观察直观的观察,在在过过A、B点的球的截面中半径最大的是点的球的截面中半径最大的是过过A、B的圆中，半径越大，的圆中，半径越大，在在A、B之间的劣弧的长越小！之间的劣弧的长越小！过球心的大圆过球心的大圆发现：发现：289P.F. Productions 一、球面距离一、球面距离ABO1、A、B两点的球面距离：两点的球面距离：
118、过过A、B两点的大圆在两点的大圆在A、B间的劣弧长度。间的劣弧长度。注意：注意： 球面距离是球面上两点间的最短距离球面距离是球面上两点间的最短距离290P.F. Productions .关键：球心角关键：球心角(弧度弧度)2、球面距离的求解：、球面距离的求解：BAO291P.F. Productions 292P.F. Productions 293P.F. Productions 球心和截面圆球心和截面圆心的连线和截心的连线和截面是什么关系面是什么关系？294P.F. Productions Rdr请问：请问：R，d，r三三者之间的关系？者之间的关系？295P.F. Productions
119、 二、球的性质二、球的性质OO球心与截面圆的圆心的连线垂直于截面圆球心与截面圆的圆心的连线垂直于截面圆296P.F. Productions OAP北极北极南极南极三、地球仪中的经纬度三、地球仪中的经纬度纬线纬线赤道赤道经线经线1、经线和纬线的规定：、经线和纬线的规定：过南北极的半大圆是过南北极的半大圆是经线经线， 平行于赤道的小圆是平行于赤道的小圆是纬线纬线。2、经度和纬度的规定：、经度和纬度的规定：G等于等于GPO的度数的度数(1)P地的地的纬度纬度就是经过就是经过P点的点的球半径和赤道平面所成的球半径和赤道平面所成的线线面角面角POA的度数的度数.297P.F. Productions
120、PMA本本初初子子午午线线地轴地轴经过经过P点的经线与地轴确定的半点的经线与地轴确定的半平面和本初子午线与地轴确定平面和本初子午线与地轴确定的半平面所成的的半平面所成的二面角二面角的度数的度数（即（即AMP的度数的度数）思考思考： 怎样转是东经？怎样转是东经？ 怎样转是西经？怎样转是西经？(2)P地的地的经度经度的规定：的规定：O298P.F. Productions 北极北极PABO0经线经线P点的经点的经纬纬度是度是怎么规定的？怎么规定的？P点的经度数就是点的经度数就是AOB的度数。的度数。P点的纬度数就是点的纬度数就是BOP的度数。的度数。299P.F. Productions 经度：是
121、指经度：是指0经线与另一条经线所在平面所成经线与另一条经线所在平面所成 的二面角的度数的二面角的度数.纬度：是指赤道及一条纬线同一条经线相交所得纬度：是指赤道及一条纬线同一条经线相交所得 两个交点与球心的连线所成的角度两个交点与球心的连线所成的角度.C300P.F. Productions 例例1、球的表面积是、球的表面积是2500 ，球内有两个平行截球内有两个平行截 面的面积分别是面的面积分别是49 、400 ，求两截面距离。，求两截面距离。OO2O1ABOO2O1AB301P.F. Productions .OAB2525OO2O1O2720302P.F. Productions 例例2、
122、我国首都北京靠近北纬、我国首都北京靠近北纬40 ，求北纬线的，求北纬线的 长度（地球半径约长度（地球半径约6370km）。）。OAKB40 A北京北京OK30660(km)303P.F. Productions 赤道赤道CP304P.F. Productions O1305P.F. Productions 例例5、设地球的半径为设地球的半径为R，在北纬，在北纬30 0圈上有甲乙圈上有甲乙两地，它们的经度相差两地，它们的经度相差180 0，问，问 (1)这两地所在纬线的长为这两地所在纬线的长为_ (2)这两地的球面距离是这两地的球面距离是_O1306P.F. Productions 例例6、设地
123、球的半径为、设地球的半径为R，在北纬，在北纬450 圈上有两圈上有两个点个点A、B，A在西经在西经400，B在东经在东经500。求。求AB所在纬线圈的长及所在纬线圈的长及AB两点的球面距离。两点的球面距离。307P.F. Productions 思考题、思考题、把地球当作半径为把地球当作半径为R的球，地球上的球，地球上A、B两点都在北纬两点都在北纬450的纬线上，的纬线上，A、B两点的球面两点的球面距离距离 ，A在东经在东经200，求，求B点的位置。点的位置。OO308P.F. Productions 小结小结1.球的概念和性质球的概念和性质2.大圆、小圆、球面上两点的距离的定义大圆、小圆、球面上两点的距离的定义3.球的截面为圆面及这个截面的两个性质球的截面为圆面及这个截面的两个性质4.地球经纬度的含义地球经纬度的含义5.球的体积公式球的体积公式309
