四年级奥数教案

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1、第一讲 巧算加减法教学目标：1、学会“化零为整”的思想。2、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。 3、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者，先把后两个数相加，再与第一个数相加，它们的和不变。教学重点：加减法的巧算主要是“凑整”，就是将算式中的数分成若干组，使每组的运算结果都是整十、整百、整千的数，再将各组的结果求和。教学难点：有些题目直观上凑整不明显，这时可“借数”凑整。教学过程学习例 1：凑整法 2354184782；解：2354184782(2347)(1882)547010054224；学习例 2：借数凑整法有些题目直观上凑整不明显，这时可“借

2、数”凑整。例如，计算97685，可在 85 中借出 24，即把85 拆分成 2461，这样就可以先用 976 加上 24，“凑”成 1000，然后再加 61。 (13504968)(51321650)。解：(13504968)(51321650)135049685132+1650(13501650)(4951)(6832)30001001003200学习例 3：分组凑整法计算：(1)875-364-236； (2)1847-1928628-136-64；解：(1)875-364-236=875-(364236)=875-600=275；(2)1847-1928628-136-64=1847-(

3、1928-628)-(13664)=1847-1300-200347；4.加补凑整法学习例 4 计算：(1)512-382；(2)6854-876-97；解：(1)512-382=(50012)-(400-18)=500+12-400+18(500-400)(1218)10030130；1(2)6854-876-97=6854-(1000-124)-(100-3)=6854-1000124-1003=5854+24+35881；习题：1.(13504968)(51321650)。2.499339965997848。3.1348-234-762234-48-24。4.397-146288-339

4、。2第二讲 和倍问题教学目标： 1、学会运用画图线的方法表示和倍关系中两个量，以更方便的找到解题的思路。 2、熟练掌握解答和倍问题的方法，理解和倍问题中各个量之间的关系。教学重点：运用画图线的方法，准确分析各量之间的关系。教学难点：能够理解和倍应用题中各倍数和差倍数的量得关系。教学过程：学习例 1：甲班和乙班共有图书160 本.甲班的图书本数是乙班的3 倍，甲班和乙班各有图书多少本？集体讨论：甲班和已班各占多少分，你能不能画出倍数图线？分析与解答：设乙班的图书本数为1 份，则甲班图书为乙班的3 倍，那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的 4 倍.还可以理解为 4 份的数量是 160 本

5、，求出 1 份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数.用下图表示它们的关系：解：乙班：160（3+1）=40（本）甲班：403=120（本）或 160-40=120（本）答：甲班有图书 120 本，乙班有图书 40 本。这道应用题解答完了，怎样验算呢？可把求出的甲班本数和乙班本数相加，看和是不是160 本；再把甲班的本数除以乙班本数， 看是不是等于 3 倍.如果与条件相符， 表明这题作对了.注意验算决不是把原式再算一遍。验算：12040=160（本）12040=3（倍）。学习例 2：甲班有图书 120 本，乙班有图书 30 本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍？集体

6、讨论：你能画出图线来表示题中甲班和已班的倍数的关系吗？分析与解答：解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量从已知条件中得出，不管甲班给乙班多少本书，还是乙班从甲班得到多少本书，甲、乙两班图书总和是不变的量.最后要求甲班图书是乙班图书的 2 倍，那么甲、乙两班图书总和相当于乙班现有图书的3 倍.依据解和倍问题的方法， 先求出乙班现有图书多少本，再与原有图书本数相比较，可以求出甲班给乙班多少本书（见上图）。解：甲、乙两班共有图书的本数是：30120=150（本）甲班给乙班若干本图书后，甲、乙两班共有的倍数是：3213（倍）乙班现有的图书本数是：1503=50（本）甲班给乙班图书本数是：50-

7、30=20（本）综合算式：（30120）（2+1）=50（本）50-30=20（本）答：甲班给乙班 20 本图书后，甲班图书是乙班图书的2 倍。验算：（120-20）（30+20）2（倍）（120-20）+（30+20）150（本）。习题：1.小明和小强共有图书 120 本，小强的图书本数是小明的2 倍，他们两人各有图书多少本？2.果园里一共种 340 棵桃树和杏树，其中桃树的棵数比杏树的3 倍多 20 棵，两种树各种了多少棵？4第三讲 差倍问题教学目标：1、进一步掌握运用画图线的方法表示差倍关系中的两个量。2、比较和倍问题的阶梯方法的基础上，熟练掌握解答差倍问题的方法，理解和倍问题中各个量之

8、间的关系。教学重点：运用画图线的方法，准确分析差倍关系中各量之间的关系。教学难点：能够理解差倍应用题中各倍数和差倍数的量得关系。教学过程：前面讲了应用线段图分析“和倍”应用题，这种方法使分析的问题具体、形象，使我们能比较顺利地解答此类应用题.下面我们再来研究与“和倍”问题有相似之处的“差倍”应用题。“差倍问题”就是已知两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。学习例 1：甲班的图书本数比乙班多80 本，甲班的图书本数是乙班的3 倍，甲班和乙班各有图书多少本？分析与解答:上图把乙班的图书本数看作1 倍，甲班的图书本数是乙班的3 倍， 那么甲班的图书本数比乙班多2倍.又知“甲班的图书比乙班多80 本

9、”，即 2 倍与 80 本相对应，可以理解为2 倍是 80 本，这样可以算出 1 倍是多少本.最后就可以求出甲、乙班各有图书多少本。解：乙班的本数： 80（3-1）=40（本）甲班的本数： 403=120（本）或 4080=120（本）。验算：120-4080（本）12040=3（倍）答：甲班有图书 120 本，乙班有图书 40 本。学习例 2：菜站运来的白菜是萝卜的3 倍，卖出白菜 1800 千克，萝卜 300 千克，剩下的两种蔬菜的重量相等，菜站运来的白菜和萝卜各是多少千克？分析与解答：这样想： 根据“菜站运来的白莱是萝卜的3 倍”应把运来的萝卜的重量看作1 倍；“卖出白菜 1800千克，

10、萝卜 300 千克后，剩下两种蔬菜的重量正好相等”，说明运来的白菜比萝卜多1800-300=1500（千5克）.从上图中清楚地看到这个重量相当于萝卜重量的3-1=2（倍），这样就可以先求出运来的萝卜是多少千克，再求运来的白菜是多少千克。解：运来萝卜：（1800-300）（3-1）=750（千克）运来白菜： 7503=2250（千克）验算：2250-1800=450（千克）（白菜剩下部分）750-300=450（千克）（萝卜剩下部分）答：菜站运来白菜 2250 千克，萝卜 750 千克。学习例 3：有两根同样长的绳子，第一根截去12 米，第二根接上 14 米，这时第二根长度是第一根长的3 倍，两

11、根绳子原来各长多少米？分析与解答：上图，两根绳子原来的长度一样长，但是从第一根截去12 米，第二根绳子又接上14 米后，第二根的长度是第一根的 3 倍.应该把变化后的第一根长度看作1 倍，而 12+14=26（米），正好相当于第一根绳子剩下的长度的 2 倍.所以，当从第一根截去12 米后剩下的长度可以求出来了，那么第一根、第二根原有长度也就可以求出来了。解：第一根截去 12 米剩下的长度：（12+14）（3-1）13（米）两根绳子原来的长度：131225（米）答：两根绳子原来各长 25 米。自己进行验算，看答案是否正确.另外还可以想想，有无其他方法求两根绳子原来各有多长.小结：解答这类题的关键

12、是要找出两个数量的差与两个数量的倍数的差的对应关系.用除法求出 1 倍数，也就是较小的数，再求几倍数。解题规律：差倍数的差=1 倍数（较小数）1 倍数几倍=几倍的数（较大的数）或：较小的数+差=较大的数。学习例 4：三（1）班与三（2）班原有图书数一样多.后来，三（1）班又买来新书 74 本，三（2）班从本班原书中拿出 96 本送给一年级小同学，这时，三（1）班图书是三（2）班的 3 倍，求两班原有图书各多少本？6分析与解答：两个班原有图书一样多.后来三（1）班又买新书 74 本，即增加了 74 本；三（2）班从本班原有图书中取出 96 本送给一年级同学，则图书减少了96 本.结果是一个班增加

13、，另一个班减少，这样两个班图书就相差 96+74170（本），也就是三（1）班比三（2）班多了 170 本图书.又知三（1）班现有图书是三（2）班图书的 3 倍，可见这 170 本图书就相当于三（2）班所剩图书的 3-1=2 倍，三（2）班所剩图书本数就可以求出来了，随之原有图书本数也就求出来了（见上图）。解：后来三（1）班比三（2）班图书多多少本？7496=170（本）三（2）班剩下的图书是多少本？170（3-1）=85（本）三（2）班原有图书多少本？8596=181（本）（两个班原有图书一样多）综合算式：（7496）（3-1）961702+968596=181（本）验算：181+74=25

14、5（本）181-96=85（本）25585=3（倍）答：两班原来各有图书 181 本。习题：1.一只大象的体重比一头牛重4500 千克， 又知大象的重量是一头牛的10 倍，一只大象和一头牛的重量各是多少千克？2.果园里的桃树比杏树多90 棵，桃树的棵数是杏树的3 倍，桃树和杏树各有多少棵？7第四讲 和差问题教学目标：1：学会运用画图线的方法表示倍关系中两个量，以更方便的找到解题的思路。2：更熟练掌握解答差倍问题的方法，理解差倍问题中各个量之间的关系。教学重点：更加熟练的运用画图线方法，更准确分析各量之间的关系。教学难点：能够更好的理解差倍应用题中各倍数和差倍数的量的关系。教学过程：和差问题是已

15、知大小两个数的和与两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式.有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。学习例 1：两筐水果共重 150 千克，第一筐比第二筐多8 千克，两筐水果各多少千克？分析与解答：我们可以这样想：假设第二筐和第一筐重量相等时，两筐共重1508158（千克）；假设第一筐重量和第二筐相等时，两筐共重150-8142（千克）.解法 1：第二筐重多少千克？（150-8）2=71（千克）第一筐重多少千克？718=79（千克）或 150-71=79（千克）解法 2：第一筐重多少

16、千克？（150+8）279（千克）第二筐重多少千克？79-8=71（千克）或 150-79=71（千克）答：第一筐重 79 千克，第二筐重 71 千克。学习例 2：今年小强 7 岁，爸爸 35 岁，当两人年龄和是 58 岁时，两人年龄各多少岁？分析与解答：题中没有给出小强和爸爸年龄之差，但是已知两人今年的年龄，那么今年两人的年龄差是 35-7=28（岁）.不论过多少年，两人的年龄差是保持不变的.所以，当两人年龄和为58 岁时他们年龄差仍是 28 岁.根据和差问题的解题思路就能解此题。解：爸爸的年龄：58（35-7）2=582828=862=43（岁）小强的年龄：58-4315（岁）答：当父子两

17、人的年龄和是58 岁时，小强 15 岁，他爸爸 43 岁。学习例 3 ： 小明期末考试时语文和数学的平均分数是94 分，数学比语文多 8 分，问语文和数学各得了几分？分析与解答：解和差问题的关键就是求得和与差，这道题中数学与语文成绩之差是8 分，但是数学和语文成绩之和没有直接告诉我们.可是，条件中给出了两科的平均成绩是94 分，这就可以求得这两科的总成绩.解：语文和数学成绩之和是多少分？942188（分）数学得多少分？（188+8） 21962=98（分） 语文得多少分？（188-8）2=1802=90（分）或 98-8=90（分）答：小明期末考试语文得90 分，数学得 98 分.练习：1.果

18、园里有桃树和梨树共150 棵，桃树比梨树多 20 棵，两种果树各有多少棵？2.甲、乙两桶油共重 30 千克，如果把甲桶中 6 千克油倒入乙桶，那么两桶油重量相等，问甲、乙两桶原有多少油？9第五讲 鸡兔同笼问题教学目标：1：使学生在解题时初步掌握用假设法解决鸡兔同笼问题。2：进一步熟练差倍和倍及平均数问题的解题方法。教学重点：如何掌握用简单的假设的方法解题，灵活运用差倍和倍方法解。教学过程：学习例 1：（古典题）鸡兔同笼，头共46，足共 128，鸡兔各几只？分析与解答：如果 46 只都是兔，一共应有 446=184 只脚，这和已知的 128 只脚相比多了 184-128=56 只脚.如果用一只鸡

19、来置换一只兔，就要减少4-2=2（只）脚.那么，46 只兔里应该换进几只鸡才能使 56 只脚的差数就没有了呢？显然，562=28，只要用 28 只鸡去置换 28 只兔就行了.所以，鸡的只数就是 28，兔的只数是 46-28=18。解：鸡有多少只？（46-128）（4-2）=（184-128）2=562=28（只）免有多少只？46-28=18（只）答：鸡有 28 只，免有 18 只。我们来总结一下这道题的解题思路：先假设它们全是兔.于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看相差多少.每差 2 只脚就说明有一只鸡；将所差的脚数除以 2，就可以算出共

20、有多少只鸡.我们称这种解题方法为假设法.概括起来，解鸡兔同笼问题的基本关系式是：鸡数=（每只兔脚数兔总数-实际脚数）（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）兔数=鸡兔总数-鸡数当然，也可以先假设全是鸡。学习例 2：鸡与兔共有 100 只，鸡的脚比兔的脚多80 只，问鸡与兔各多少只？分析与解答：这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢？ 假设 100 只全是鸡，那么脚的总数是2100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多 200 只，而实际上鸡脚比兔脚多80 只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只），这是因为把其中的兔换成

21、了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2 只，兔的脚数减少 4 只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加 （2+4） =6 （只） ， 所以换成鸡的兔子有1206=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）。解：（2100-80）（2+4）=20（只）。100-20=80（只）。答：鸡与兔分别有 80 只和 20 只。学习例 3：红英小学三年级有 3 个班共 135 人，二班比一班多 5 人，三班比二班少 7 人，三个班各有多少人？分析与解答： 我们设想，如果条件中三个班人数同样多，那么，要求每班有多少人就很容易了.由此得到启示，是否可以通过假设三个班人数同样多来分析求解。 结合下图可以想，假设二班、

22、三班人数和一10班人数相同，以一班为标准， 则二班人数要比实际人数少5 人.三班人数要比实际人数多7-5=2（人）.那么，请你算一算，假设二班、三班人数和一班人数同样多，三个班总人数应该是多少？解法 1：一班：135-5+（7-5）3=1323=44（人）二班：44+5=49（人）三班：49-7=42（人）答：三年级一班、二班、三班分别有 44 人、 49 人和 42 人。分析 2假设一、三班人数和二班人数同样多，那么，一班人数比实际要多5 人，而三班要比实际人数多7 人.这时的总人数又该是多少？解法 2：（135+ 5+ 7）3=1473=49（人）49-5=44（人），49-7=42（人）

23、答：三年级一班、二班、三班分别有44 人、49 人和 42 人。想一想：根据解法 1、解法 2 的思路，还可以怎样假设？怎样求解？学习例 4：刘老师带了 41 名同学去北海公园划船，共租了10 条船.每条大船坐 6 人，每条小船坐 4人，问大船、小船各租几条？分析与解答：我们分步来考虑：假设租的 10 条船都是大船，那么船上应该坐 610= 60（人）。假设后的总人数比实际人数多了 60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4 人都假设成坐6 人。一条小船当成大船多出2 人， 多出的 18 人是把 182=9 （条）小船当成大船。解：610-(41+1）（6-4）= 182=9（条）

24、10-9=1（条）答：有 9 条小船，1 条大船。练习：1.小华用二元五角钱买了面值二角和一角的邮票共17 张， 问两种邮票各买多少张？2.有鸡兔共 20 只，脚 44 只，鸡兔各几只？11第六讲复习课复习：巧算加减法 、和倍问题、差倍问题、和差问题、鸡兔同笼问题练习题1 用简便方法计算下列各题。（1）45+38+55（2）442-196+158（3）2+4+6+.+1002.一个长方形的周长是 48 厘米，长是宽的 3 倍，求长方形的面积。3.甲乙两人共加工零件 100 个，甲加工的零件个数是乙加工零件个数的2 倍少 20 个，求甲乙两个人各加工多少个零件。4.妈妈的年龄比小明大 24 岁，

25、今年妈妈的年龄正好是小明的4 倍，今年妈妈和小明的年龄各是多少。5.某校男生、女生男生人数比女生人数多74 人，男生女生各多少人。6.小丽数学和语文平均分是95 分，语文比数学多 2 分，求小丽语文和数学各是多少分。7.鸡兔同笼，共有头 90 只，脚 252 只，鸡兔各有多少只。12第七讲 归一问题教学目标：1、让学生初步了解归一化问题，并掌握解决正归一问题，反规一问题的方法。2、通过老师讲解，使学生掌握分析归一问题的方法。3、熟悉并掌握归一应用题的解题步骤。教学重点：会分析归一应用题，使之转化为数学问题，并运用数学方法解决。教学难点：反归一问题的计算。教学过程：归一问题有两种基本类型.一种是

26、正归一，也称为直进归一.如：一辆汽车 3 小时行 150 千米，照这样，7 小时行驶多少千米？另一种是反归一，也称为返回归一.如：修路队 6 小时修路 180 千米，照这样，修路 240 千米需几小时？ 正、反归一问题的相同点是：一般情况下第一步先求出单一量； 不同点在第二步.正归一问题是求几个单一量是多少，反归一是求包含多少个单一量。学习例 1 ： 一只小蜗牛 6 分钟爬行 12 分米，照这样速度 1 小时爬行多少米？集体讨论：一只小蜗牛 6 分钟爬行 12 分米，那么蜗牛一分钟爬行多远？分析与解答：为了求出蜗牛 1 小时爬多少米，必须先求出1 分钟爬多少分米，即蜗牛的速度，然后以这个数目为

27、依据按要求算出结果。解：小蜗牛每分钟爬行多少分米？ 126=2（分米） 1 小时爬几米？1 小时=60 分。260=120（分米）=12（米）答：小蜗牛 1 小时爬行 12 米。小结还可以这样想：先求出题目中的两个同类量（如时间与时间）的倍数（即60 分是 6 分的几倍），然后用 1 倍数（6 分钟爬行 12 分米）乘以倍数，使问题得解。解：1 小时=60 分钟12（606）1210120（分米）12（米）或 12（660）120.1=120（分米）=12（米）答：小蜗牛 1 小时爬行 12 米。学习例 2：一个粮食加工厂要磨面粉20000 千克.3 小时磨了 6000 千克.照这样计算，磨完

28、剩下的面粉还要几小时？集体讨论：加工厂一小时磨多少千克面粉？分析与解答：方法 1：通过 3 小时磨 6000 千克， 可以求出 1 小时磨粉数量.问题求磨完剩下的要几小时，所以剩下的量除以 1 小时磨的数量，得到问题所求。解：（20000-6000）（60003）=7（小时）答：磨完剩下的面粉还要7 小时。学习例 3：学校买来一些足球和篮球.已知买 3 个足球和 5 个篮球共花了 281 元；买 3 个足球和 7 个篮球共花了 355 元.现在要买 5 个足球、4 个篮球共花多少元？分析与解答要求 5 个足球和 4 个篮球共花多少元，关键在于先求出每个足球和每个篮球各多少元.根据已知条件分析出

29、第一次和第二次买的足球个数相等，而篮球相差7-52（个），总价差 355-2817413（元）.74 元正好是两个篮球的价钱，从而可以求出一个篮球的价钱，一个足球的价钱也可以随之求出，使问题得解。解：一个篮球的价钱：（355-281）（7-5） =37 元一个足球的价钱：（281-375）332（元）共花多少元？ 325374=308（元）答：买 5 个足球，4 个篮球共花 308 元。学习例 4：一个长方体的水槽可容水480 吨.水槽装有一个进水管和一个排水管.单开进水管 8 小时可以把空池注满； 单开排水管 6 小时可把满池水排空.两管齐开需多少小时把满池水排空？分析与解答要求两管齐开需要

30、多少小时把满池水排光，关键在于先求出进水速度和排水速度.当两管齐开时要把满池水排空，排水速度必须大于进水速度，即单位时间内排出的水等于进水与排水速度差 .解决了这个问题，又知道总水量，就可以求出排空满池水所需时间。解：进水速度：4808=60（吨/小时）排水速度：4806=80（吨/小时）排空全池水所需的时间：480（80-60）=24（小时）列综合算式：480（4806-4808）=24（小时）答：两管齐开需 24 小时把满池水排空。学习例 5： 7 辆“黄河牌”卡车 6 趟运走 336 吨沙土.现有沙土 560 吨， 要求 5 趟运完，求需要增加同样的卡车多少辆？分析与解答：方法 1：要想

31、求增加同样卡车多少辆，先要求出一共需要卡车多少辆；要求5 趟运完 560 吨沙土，每趟需多少辆卡车，应该知道一辆卡车一次能运多少吨沙土。解：一辆卡车一次能运多少吨沙土？33667=567=8（吨） 560 吨沙土，5 趟运完，每趟必须运走几吨？5605112（吨）需要增加同样的卡车多少辆？1128-77（辆）列综合算式：5605（33667）-77（辆）答：需增加同样的卡车 7 辆。方法 2：在求一辆卡车一次能运沙土的吨数时，可以列出两种不同情况的算式： 33667 ， 33676. 算式先除以 6，先求出 7 辆卡车 1 次运的吨数，再除以 7 求出每辆卡车的载重量；算式，先除以 7，求出一

32、辆卡车 6 次运的吨数，再除以 6，求出每辆卡车的载重量。 在求 560 吨沙土 5 次运完需要多少辆卡车时，有以下几种不同的计算方法：14求出一共用车 14 辆后，再求增加的辆数就容易了。学习例 6：某车间要加工一批零件，原计划由18 人，每天工作 8 小时，7.5 天完成任务.由于缩短工期，要求 4 天完成任务，可是又要增加6 人.求每天加班工作几小时？分析与解答：我们把 1 个工人工作 1 小时，作为 1 个工时.根据已知条件，加工这批零件，原计划需要多少“工时”呢？求出“工时”数，使我们知道了工作总量.有了工作总量，以它为标准，不管人数增加或减少，工期延长或缩短，仍然按照原来的工作效率

33、，只要能够达到加工零件所需“工时”总数，再求出要加班的工时数，问题就解决了。解：原计划加工这批零件需要的“工时”：8187.5=1080（工时）增加 6 人后每天工作几小时？1080（18+6）4=11.25（小时）每天加班工作几小时？ 11.25-8=3.25（小时）答：每天要加班工作 3.25 小时。练习：1. 花果山上桃树多，6 只小猴分 180 棵.现有小猴 72 只，如数分后还余 90 棵，请算出桃树有几棵？2. 5 箱蜜蜂一年可以酿 75 千克蜂蜜，照这样计算，酿300 千克蜂蜜要增加几箱蜜蜂？15第八讲 盈亏问题教学目标：1、让学生初步了解盈亏问题，并掌握解决盈亏问题的方法。2、

34、通过老师讲解，使学生掌握分析盈亏问题的方法。3、熟悉并掌握盈亏应用题的解题步骤。教学重点：关键求出总差数，以及两次分配的数量之差，然后按照公式求出人数，在求物品的数量。教学难点：比较法计算。教学过程：学习例 1：三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动.如果每人搬 4 块砖，还剩 7 块；如果每人搬 5 块，则少 2 块砖.这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？分析 比较两种搬砖法中各个量之间的关系：每人搬 4 块，还剩 7 块砖；每人搬 5 块，就少 2 块.这两次搬砖，每人相差5-4=1（块）。第一种余 7 块，第二种少 2 块，那么第二次与第一次总共相差砖数：7+2=9（块）每人相差 1

35、块，结果总数就相差 9 块，所以有少先队员 91=9（人）。共有砖：49743（块）。解：（7+2）（5-4）=9（人）49+7=43（块）或 59-2=43（块）答：共有少先队员 9 人，砖的总数是 43 块。如果把例 1 中的“少 2 块砖”改为“多 1 块砖”，你能计算出有多少少先队员，有多少块砖吗？由本题可见，解这类问题的思路是把盈余数与不足数之和看作采用两种不同搬法产生的总差数，被每人搬砖的差即单位差除，就可得出单位的个数，对这题来说就是搬砖的人数.学习例 2 妈妈买回一筐苹果，按计划吃的天数算了一下，如果每天吃4 个，要多出 48 个苹果；如果每天吃 6 个，则又少 8 个苹果.那

36、么妈妈买回的苹果有多少个？计划吃多少天？分析 题中告诉我们每天吃 4 个，多出 48 个苹果；每天吃 6 个，少 8 个苹果.观察每天吃的个数与苹果剩余个数的变化就能看出，由每天吃4 个变为每天吃 6 个，也就是每天多吃 2 个时，苹果从多出 48 个到少 8 个，也就是所需的苹果总数要相差48856（个）.从这个对应的变化中可以看出，只要求56 里面含有多少个 2，就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的天数，就不难求出共有多少个苹果了。解：（48+8）（6-4）=562=28（天）628-8=160（个）或 42848=160（个）答：妈妈买回苹果 160 个，计划吃 28 天。如果条件“每天

37、吃 4 个，多出 48 个”不变，另一条件改为“每天吃6 个，则还多出 8 个”，问苹果应该有多少个，计划吃多少天？分析 改题后每天吃的苹果个数没有变，也就是说每天多吃2 个条件没变，苹果总数由原来多出48个变为多出 8 个.那么所需苹果总数要相差：48-8=40（个）解：（48-8）（6-4）=40220（天）1642048=128（个）或 6208=128（个）答：有苹果 128 个，计划吃 20 天.学习例 3 学校规定上午 8 时到校，小明去上学，如果每分种走60 米，可提早 10 分钟到校；如果每分钟走 50 米，可提早 8 分钟到校，求小明几时几分离家刚好8 时到校？由家到学校的路

38、程是多少？分析 小明每分钟走 60 米，可提早 10 分钟到校，即到校后还可多走6010=600（米）；如果每分钟走 50 米，可提早 8 分钟到校，即到校后还可多走508=400（米），第一种情况比第二种情况每分钟多走 60-5010（米），就可以多走 600-400=200（米），从而可以求出小明由家到校所需时间。解：10 分种走多少米？6010600（米） 8 分种走多少米？508400（米）需要多长时间？（600+400）（60-50）=20（分钟）由家到校的路程：60（20-10）=600（米）或：50（20-8）=600（米）答：小明 7 点 40 分离家去上学刚好 8 时到校；小

39、明的家离校有600 米。学习例 4 学校为新生分配宿舍.每个房间住 3 人，则多出 23 人；每个房间住 5 人，则空出 3 个房间.问宿舍有多少间？新生有多少人？分析 每个房间住 3 人，则多出 23 人，每个房间住 5 人，就空出 3 个房间，这 3 个房间如果住满人应该是 5315（人）.由此可见，每一个房间增加5-3=2（人）.两次安排人数总共相差23+1538（人），因此，房间总数是：382=19（间），学生总数是：319+2380（人），或者 519-53=80（人）。解：（23+53）（5-3）（2315）238219（间）319+23=80（人）或 519-5380（人）。答：

40、有 19 间宿舍，新生有 80 人。学习例 5 少先队员去植树.如果每人种 5 棵，还有 3 棵没人种；如果其中2 人各种 4 棵，其余的人各种 6 棵，这些树苗正好种完.问有多少少先队员参加植树，一共种多少树苗？分析 这是一道较难的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中2 人各种 4 棵，其余的人各种 6 棵，就恰好种完.这组条件中包含着两种种树的情况2 人各种 4 棵，其余的人各种 6棵。如果我们把它统一成一种情况，让每人都种6 棵，那么，就可以多种树（6-4）24（棵）.因此，原问题就转化为：如果每人各种5 棵树苗，还有 3 棵没人种；如果每人种6 棵树苗，还缺 4 棵.问

41、有多少少先队员，一共种多少树苗？解：3+（6-4）2（6-5）7（人）57+338（棵）或 67-438（棵）答：有 7 个少先队员，一共种 38 棵树。17练习：1. 红山小学学生乘汽车到香山春游.如果每车坐 65 人，则有 5 人不能乘上车；如果每车多坐5 人，恰多余了一辆车，问一共有几辆汽车，有多少学生？ 2.三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动.如果每人搬 4 块砖，还剩 7 块；如果每人搬 5 块，则多 1块砖.这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？18第九讲 寻规律填数教学目标：1、让学生初步了解数列问题。2、通过老师讲解，使学生掌握求数列规律问题的方法。教学重点：掌握常见数列的

42、规律（1）数列的各项只与项数有关，或只与前一项有关（2）前后几项为一组，以组为单位观察规律（3）数列比较复杂，分步找规律。教学难点：难点：培养学生观察能力，发现规律教学过程：学习例 1：找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数 (1)1，2，2，3，3，4，( )，( )；(2)( )，( )，10，5，12，6，14，7；(3) 3，7，10，17，27，( )；(4) 1，2，2，4，8，32，( )。解：通过对各数列已知的几个数的观察分析可得其规律。(1)把数列每两项分为一组，1，2，2，3，3，4，不难发现其规律是：前一组每个数加1得到后一组数，所以应填4，5。(2)把后

43、面已知的六个数分成三组：10，5，12，6，14，7，每组中两数的商都是2，且由5，6，7的次序知，应填8，4。(3)这个数列的规律是：前面两项的和等于后面一项，故应填( 17+27=)44。(4)这个数列的规律是：前面两项的乘积等于后面一项，故应填(832=)256。学习例2 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：(1)18，20，24，30，( )；(2)11，12，14，18，26，( )；(3)2，5，11，23，47，( )，( )。解：(1)因20-18=2，24-20=4，30-24=6，说明(后项-前项)组成一新数列2，4，6，其规律是“依次加2”，因为6后面

44、是8，所以，a5-a4=a5-30=8，故a5=8+30=38。(2)12-11=1，14-12=2， 18-14=4， 26-18=8，组成一新数列1，2，4，8，按此规律，8后面为16。因此，a6-a5a6-26=16，故 a616+26=42。(3)观察数列前、后项的关系，后项=前项2+1，所以a6=2a5+1247+195，a72a6+1295+1=191。练习：1. 12，15，17，30， 22，45，( )，( )；2. 2，8，5，6，8，4，( )，( )。19第十讲 年龄问题教学目标：年龄问题是小学数学中常见的一类问题.例如：已知两个人或若干个人的年龄，求他们年龄之间的某种

45、数量关系等等.年龄问题又往往是和倍、差倍、和差等问题的综合.它有一定的难度，因此解题时需抓住其特点。教学重点：大小年龄差是个不变的量，而年龄的倍数却年年不同.我们可以抓住差不变这个特点，再根据大小年龄之间的倍数关系与年龄之和等条件，解答这类应用题。教学难点：解答年龄问题的一般方法是：几年后年龄=大小年龄差倍数差-小年龄，几年前年龄=小年龄-大小年龄差倍数差。教学过程：学习例 1 爸爸妈妈现在的年龄和是72 岁；五年后，爸爸比妈妈大6 岁.今年爸爸妈妈二人各多少岁？分析 五年后，爸比妈大 6 岁，即爸妈的年龄差是6 岁.它是一个不变量.所以爸爸、妈妈现在的年龄差仍然是 6 岁.这样原问题就归结成

46、“已知爸爸、妈妈的年龄和是72 岁，他们的年龄差是6 岁，求二人各是几岁”的和差问题。解：爸爸年龄：（72+6）2=39（岁）妈妈的年龄：39-6=33（岁）答：爸爸的年龄是 39 岁，妈妈的年龄是 33 岁。学习例 2 在一个家庭里，现在所有成员的年龄加在一起是73 岁.家庭成员中有父亲、母亲、一个女儿和一个儿子.父亲比母亲大 3 岁，女儿比儿子大 2 岁.四年前家庭里所有的人的年龄总和是58 岁.现在家里的每个成员各是多少岁？分析 根据四年前家庭里所有的人的年龄总和是58 岁，可以求出到现在每个人长4 岁以后的实际年龄和是 58+44=74（岁）。但现在实际的年龄总和只有73 岁，可见家庭

47、成员中最小的一个儿子今年只有3 岁.女儿比儿子大 2岁，女儿是 3+2=5（岁）.现在父母的年龄和是 73-3-5=65（岁）.又知父母年龄差是 3 岁，可以求出父母现在的年龄。解：从四年前到现在全家人的年龄和应为：58+44=74（岁）儿子现在几岁？ 4-（74-73）=3（岁）女儿现在几岁？3+2=5（岁）父亲现在年龄：（73-3-5+3）2=34（岁）母亲现在年龄： 34-3=31（岁）答：父亲现在 34 岁，母亲 31 岁，女儿 5 岁，儿子 3 岁。学习例 3 父亲现年 50 岁，女儿现年 14 岁.问：几年前父亲年龄是女儿的5 倍？分析 父女年龄差是 50-14=36（岁）.不论是

48、几年前还是几年后，这个差是不变的.当父亲的年龄恰好是女儿年龄的 5 倍时，父亲仍比女儿大 36 岁.这 36 岁是父亲比女儿多的 5-1=4（倍）所对应的年龄。解：（50-14）（5-1）=9（岁）20当时女儿 9 岁，14-9=5（年），也就是 5 年前。答：5 年前，父亲年龄是女儿的5 倍.练习1 . 6年前，母亲的年龄是儿子的5倍.6年后母子年龄和是78岁.问：母亲今年多少岁？2. 10年前吴昊的年龄是他儿子年龄的7倍.15年后，吴昊的年龄是他儿子的2倍.现在父子俩人的年龄各是多少岁？21第十一讲 植树问题教学目标： 1、使学生掌握直线上植树问题的三种类型。 2、培养学生观察能力。教学重

49、难点：分析植树问题类型。教学过程：学习例 1：植树节到了，同学们要给一条长100 米的小路的一边栽树，每隔5 米栽一棵，小路的一端栽树，另一端不栽，需要栽多少棵树？思路解析：首先让学生判断是否为上述类型。让后根据段数与棵数相等，段数=总距离棵距，就可求出棵树。1005=20（棵）答：需要栽 20 棵树。学习例 2：一条河堤长 400 米，从头到尾栽了 101 棵柳树，每隔几米栽一棵柳树？思路解析：“从头到尾栽了101 棵柳树”说明是第二种类型（两端都植树），棵树=段数+1，栽了 101 棵树，就有（101-1）=100（段），根据总距离段数=棵距。 400（101-1） =400100 =4（

50、米）答：每隔4米栽一棵柳树。学习例 3：一根木头锯成 4 段要 9 分钟，如果每次锯的时间相同，那么锯成7 段要多少分钟？思路解析：把一根木头锯成4 段要锯 3 次，可求出锯一次要 3 分钟。而锯成 7 段，就是要锯 6次，就需 18 分钟。9（4-1）=3（分钟）3（7-1）=18（分钟）答：锯成 7 段要 18 分钟。练习： 1.同学们排队做操，40 人平均排成 2 队，两人之间间隔 1 米，队伍有多长？ 2.广告公司在高速公路的两个收费站之间竖广告牌（两个收费站不竖），这两个收费站相隔200 千米，如果路的两边每隔 1 千米竖 1 个，一共能竖多少个广告牌？22第十二讲有趣的数谜教学目标

51、：1、 总结理解解数谜的方法，学会结数谜的技巧。2、 培养学生学习奥数的兴趣和自信心。教学过程：一、导入语：数字谜和填算式一样，也是一种锻炼我们思维的体操，他的特点是给出运算式子，但式子中某些数字用字母或汉字代替，要求我们进行恰当的运算和推想，从而确定解出这些数字问题。对于我们学习数学，提高分析问题的能力是非常有益的。二、教学过程： 1、教学例 3： A B 8 B A 9 C求出 A= B= C= 8 8 8学生自己尝试练习。解题思路：灵活运用 差除数被除数888A9C=AB8B A=1;看百位，81110，B0，C2。 2、教学例 4：a b c + a b c 3 2 6请求出 abc。

52、解题思路：从个位入手2c6所以 c3，再求十位，百位，特别注意百位上是数是3，所以十位必须是向百位进了 1。 3、教学例 5：盼 奥 运会求出“奥运会：代表那些数字？ 2 0 0 8解题：盼奥运251会8 4、解数字谜的技巧：（1）数字只有 0、1、29 这十个数字，最高位不是0。（2）退位要留意，要大胆试验。（3）相同的字母表示相同的数字，从个位和高位入手，或从有数字多的入手。23练习： 1、香港香港归庆香港归 1 9 9 7 2、好学习求出好学习学习好好学 3、“未来杯”小学数学竞赛试题：好 未 来 杯 赛好赛 1 9 9 9赛求出：好未来杯赛24第十三讲操作问题教学目标：1、所谓操作问题

53、，实际上是对某个事物按一定要求进行的一种变换，这种变换可以具体执行。例如，对任意一个自然数，是奇数就加1，是偶数就除以 2。这就是一次操作，是可以具体执行的。2、使学生理解操作问题往往是求连续进行这种操作后可能得到的结果。教学过程：例 1对于任意一个自然数 n，当 n 为奇数时，加上 121；当 n 为偶数时，除以 2。这算一次操作。现在对 231 连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现100？为什么？讨论：同学们碰到这种题，可能会“具体操作”一下，得到这个过程还可以继续下去，虽然一直没有得到100，但也不能肯定得不到 100。当然，连续操作下去会发现，数字一旦重复出现后，这一过程就进入循

54、环，这时就可以肯定不会出现100。因为这一过程很长，所以这不是好方法。解：因为 231 和 121 都是 11 的倍数，2 不是 11 的倍数，所以在操作过程中产生的数也应当是11 的倍数。100 不是 11 的倍数，所以不可能出现。由例 1 看出，操作问题不要一味地去“操作”，而要找到解决问题的窍门。例 2 对任意两个不同的自然数，将其中较大的数换成这两数之差，称为一次变换。如对18 和 42 可进行这样的连续变换：18， 42 18， 24 18， 6 12， 6 6， 6。直到两数相同为止。问：对12345 和 54321 进行这样的连续变换，最后得到的两个相同的数是几？分析与解：如果两

55、个数的最大公约数是a，那么这两个数之差与这两个数中的任何一个的最大公约数也是 a。因此在每次变换的过程中，所得两数的最大公约数始终不变，所以最后得到的两个相同的数就是它们的最大公约数。因为12345 和 54321 的最大公约数是 3，所以最后得到的两个相同的数是3。注：这个变换的过程实际上就是求两数最大公约数的辗转相除法。例 3 右图是一个圆盘，中心轴固定在黑板上。开始时，圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着0。然后转动圆盘，每次可以转动90的任意整数倍，圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位置，将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上。问：经过若干次后，黑板上的四个数是否可能都是999？解：不

56、可能。因为每次加上的数之和是 1234=10，所以黑板上的四个数之和永远是10 的整数倍。 9994=3996，不是 10 的倍数，所以黑板上的四个数不可都是999。例 4 在左下图中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1 或减 1，这算作一次操作。经过若干次操作后，左下图变为右下图。问：右下图中A 格中的数字是几？25分析与解：每次操作都是在相邻的两格，我们将相邻的两格染上不同的颜色（见右图）。因为每次操作总是一个黑格与一个白格的数字同时加1 或减 1，所以所有黑格内的数字之和与所有白格内的数字之和的差保持不变。因为原题左图的这个差是13，所以原题右图的这个差也是13。由（A12）-1

57、2=13 解得 A=13。例 5 将 110 十个数随意排成一排。如果相邻两个数中，前面的数大于后面的数，那么就交换它们的位置。如此操作下去，直到前面的数都小于后面的数为止。当110 十个数如下排列时，需交换多少次？8，5，2，6，10，7，9，1，4，3。分析与解：为了不打乱仗，我们按照一定的方法来交换。例如，从最大的数10 开始交换，将 10 交换到它应在的位置后，再依次对9，8，7，实施交换，直至按从小到大排列为止。因为 10 后面有 5 个比它小的数，所以对10 连续交换 5 次，10 到了最右边，而其它各数的前后顺序没有改变；再看 9，9 后面有 3 个比它小的数，需交换3 次，9

58、到了右边第二位，排在 10 前面；再依次对8，7，6，实施这样的交换。10 后面有 5 个比它小的数，我们说10 有 5 个逆序；9 后面有 3 个比它小的数，我们说 9 有 3 个逆序；类似地，8，7，6，5，4，3，2 依次有 7，3，3，4，1，0，1 个逆序。因为每个数要交换的次数就是它的逆序数，所以需交换537334101= 27（次）。例 6 右图是一个 56 的方格盘。先将其中的任意5 个方格染黑。然后按以下规则继续染色：如果某个格至少与两个黑格都有公共边，那么就将这个格染黑。这样操作下去，能否将整个方格盘都染成黑色？分析与解：以一个方格的边长为1，开始时 5 个黑格的总周长不会

59、超过45=20。以后每染一个格，因为这个格至少与两个黑格都有公共边，所以染黑后所有黑格的总周长不会增加。左下图中，A 与 4 个黑格有公共边，染黑后，黑格的总周长将减少4；下中图中，A 与 3 个黑格有公共边，染黑后，黑格的总周长将减少 2；右下图中，A 与 2 个黑格有公共边，染黑后，黑格的总周长不变。也就是说按照这种方法染色，所有黑格的总周长永远不会超过20，而 56 方格盘的周长是 22，所以不能将整个方格盘染成黑色。练习：1.黑板上写着 115 共 15 个数，每次任意擦去两个数，再写上这两个数的和减1。例如，擦掉 5 和11，要写上 15。经过若干次后，黑板上就会只剩下一个数，这个数

60、是几？2.在黑板上任意写一个自然数，然后用与这个自然数互质并且大于1 的最小自然数替换这个数，称为一次操作。问：最多经过多少次操作，黑板上就会出现2？3.口袋里装有 101 张小纸片，上面分别写着1101。每次从袋中任意摸出 5 张小纸片，然后算出这5 张小纸片上各数的和，再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中。经过若干次这样的操作后，袋中还剩下一张纸片，这张纸片上的数是几？26第十四讲算式迷同学们，你玩过电脑游戏“24 点”吗？说起来，它还真有趣呢。任意抽出四张牌，按上面的数，运用加减乘除（也可以用括号）计算得出24。在这个游戏中，我们每个人都能展示不同的创造力，快来试试吧！思路展示：

61、例1：运用各种符号把三个相同的数连起来,使结果等于 0、2、4。 4 4 4 = 0 4 4 4 = 2 4 4 4 = 4（1）这道题的结果为 0，联想到：“两个相同的数之差为 0。”“零乘以任何数积为 0”。“零除以非零数商为零”等结论。用三个 4 凑 0 可以有以下几种情况：（4-4）4=0，（4-4）4=0（2）这三个 4 的计算结果为 2，就要把三个 4 分成两部分，使其结果等于 2。（4+4）4=2（3）这三个 4 的计算结果为 4,就想 1 乘 4 还得 4。把前两个数得 1，即（44）4=4例2：如果用四个 4 进行计算可以得出规定的结果吗？试一试： 4 4 4 4 = 1 4

62、 4 4 4 = 2 4 4 4 4 = 3 4 4 4 4 = 4 4 4 4 4 = 5（1）联想：相同两个数的商为 1；1 乘 1 积为 1 等结论。有 4444=1 4444=1 等。（2）联想：1 加 1 和为 2。有 44+44=2 44（4+4）=2 等。（3）联想：用三个相同数之和除以这个数得 3。有（4+4+4）4=3（4）等号左侧有四个 4,保留一个 4 即为得数。想办法让三个数得 0，有如下办法： 4+（4-4）4=4 4+（4-4）4= 0（5） 题的结果为 5，可以想“4 加 1 得 5”，如果保留一个 4，用后三个 4 凑 1，这办不到。又联想：20 除以 4 商得

63、 5。我们就前三个 4 凑 20。（4+44）4=5例3：填上+、-、（）使等式成立。1 2 3 4 5= 101 2 3 4 5= 101 2 3 4 5= 10（1）如果 5 前面是+号的话，填上适当的运算符号后，1，2，3，4 的运算结果应该是 5。如果 4 前面也是+号的话，前面 1，2，3 的结果应该是 1。答案有：（1+2）3+4+5=10（2）如果 5 前面是“-”号，1，2，3，4 的运算结果应是 15，恰好 1+2+34=15则有答案：1+2+34-5=10（3）如果 5 前面是“”号，填上适当的运算符号后，1，2，3，4 的运算结果应是 2。很明显27练习：1、在里填上+、

64、-、或号使等式成立。321=154321=12、你能填上+、-或、号，使得数一样吗？2 2 2= 22 2 2= 22 2 2= 23、在下面算式中合适的地方填上+、-、和（）使算式成立。 5 5 5 5 5=0 5 5 5 5 5=1 5 5 5 5 5=2 5 5 5 5 5=3 5 5 5 5 5=4 5 5 5 5 5=528第十五讲列表法教学目标：1、使学生明白对于一些计算比较简单，而且多次重复计算的问题，使用列表法，表达简洁，不易出错，如例 1；有些问题，条件不断变化，不便统一列式计算，也应采用列表法。2、如例 2、例 3；还有些问题，无法列式计算，只能采用列表推演，如例4、例 5

65、。总之，使用列表法可以解决许多复杂而有趣的问题。例 1 一个运动队进行翻山训练，往返于一座山两侧山脚下的A，B 两地。从 A 地出发，上山路长 3000 米，每分钟行 75 米；下山每分钟行 100 米，用 42 分钟到达 B 地。如果上、下山的速度不变，那么从 A 地到 B 地，再从 B 地返回 A 地，共需多长时间？分析与解：这是一道很简单的题目，只需利用时间、路程、速度的关系，就可以得到结果。因为从 A 地到 B 地，要先上山再下山，从B 地返回 A 地，又要先上山再下山，中间经过四次变化。为了减少计算错误，可以利用列表法。先将已知的数据填入下表：再根据时间、路程、速度的关系，从上到下，

66、由已知的两个求出另一个，边计算边填表，得到下表：由上表得到往返所需时间为40425630168（分）=2 时 48 分。例 2 有 100 个人，第一位带了 3 元 9 角钱，以后每位都比前一位多带1 角钱。每人把自己的钱全部用来买练习本。练习本有每本8 角与每本 5 角的两种。如果每人尽可能买5 角一本的，那么这 100 人共买了多少本每本 8 角的练习本？分析与解：因为每人带的钱数不同，所以不可能统一列式计算。可以采用列表法，然后从表中发现规律。填表计算时注意，一要尽量多买5 角一本的，二要把钱用完。由于 44 角比 39 角多 5 角，所以可多买 1 本 5 角的，而 8 角 1 本的买

67、的数量相同。类似地，45 角比 40 角多 5 角等等。由此看出，所买8 角一本的本数随钱数增加呈周期规律，一个周期内有五个数：3，0，2，4，1（本）。所以 100 个人共买 8 角一本的（30241）（1005）=200（本）。29例 3 甲、乙二人进行汽车比赛。第一分钟内甲的速度是6.6 米/秒，乙的速度是 2.9 米/秒。以后每分钟内的速度，甲总是前一分钟的2 倍，乙总是前一分钟的3 倍。问：出发后多长时间乙追上甲？分析与解：因为两人的速度都在变化，不好统一列式计算，我们可以列一个表观察一下。由上表看出，乙在出发后3 分多钟追上甲。从 3 分钟后开始计算，乙追上甲还需（2772-226

68、2）（2.933-6.623）51025.5=20（秒）。所以，出发后 3 分 20 秒乙追上甲。例 4 一只大桶装了 10 升水，另外有恰好能装3 升和 7 升水的桶各一只。怎样才能只利用这三只桶把这 10 升水平均分为两份？分析与解：这道“桶分液体”的古题根本无法列式计算，就是找到了正确方法，叙述整个倒水过程也很繁杂不便。我们列表来表示具体倒法，其中箭头表示从箭头尾部的桶中将水倒入箭头指向的桶中。列表使倒水的过程一目了然，既有利于对问题的思考，又简化了文字叙述。在例 4 中，始终按从大桶向 7 升桶倒水，从 7 升桶向 3 升桶倒水，从 3 升桶向大桶倒水的方向操作。如果在倒水的过程中，出

69、现从这桶倒向那桶，又从那桶倒回这桶（这两步不一定挨着），那么这个操作毫无意义，肯定可以简化掉。例 5 甲、乙、丙三只盘子里分别盛着6 个苹果。小明按下面的方法搬动5次：第 1 次，把 1 个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去；第 2 次，把 2 个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去；第 3 次，甲盘不动，把 3 个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去；第 4 次，乙盘不动，把 4 个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去；第 5 次，丙盘不动，把 5 个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去。最后发现，甲、乙、丙三只盘子里依次盛有4，6，8 个苹果。你知道小明是怎样搬动的吗？分析与解：关键在于确定每次搬

70、动是从哪只盘子里搬到哪只盘子里。前两次搬动，每次可以有 6 种不同选择；后三次搬动，因为固定了一只盘子，所以每次只有2 种不同选择。显然，从后向前逆推比较容易。逆推过程见下页表，其中圈起来的数字是题目条件规定不动的，箭头表示从哪只盘子里搬到哪只盘子里。30因为第五次丙盘不动，由搬动后甲盘中只有4 个苹果，它不可能是接受5 个苹果的，所以第五次是从甲盘中搬走 5 个苹果到乙盘。于是得到下表中“第四次”后的情况。第四次乙盘不动，或者从甲盘搬到丙盘，或者从丙盘搬到甲盘。若是从甲盘搬到丙盘，因为搬完后甲盘有 9 个苹果，搬前应有 94=13（个）苹果，可是甲盘初始时有6 个苹果，就是前三次搬动的苹果都

71、给甲盘，也只有6+1+23=12（个）苹果，与 13 个苹果矛盾。所以第四次是从丙盘搬 4 个苹果到甲盘。于是得到下表中“第三次后”的情况。类似地可以得到“第二次后”的情况。最后，为满足“初始状态”各盘都是6 个苹果，可得到第一次、第二次搬动的情况。习题：1.小明骑自行车从 A 地到 B 地去送信，先走了一段上坡路，用了14 分钟，又走了一段3000 米长的平路，最后下坡用了11 分 40 秒。已知小明骑车上坡、走平路、下坡时的速度分别为 2.5 米/秒、4 米/秒、6 米/秒，求小明从 A 地到 B 地，再返回 A 地所用的时间。2.北京、上海、天津、山东、江苏、广东六个足球队进行单循环比赛

72、，即每个队都与其他各队赛一场。请将下面的比赛日程表补全：31第十六讲运筹学初步本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。当然，限于现有的知识水平，我们仅仅是初步探索一下。1.统筹安排问题例 1 星期天妈妈要做好多事情。擦玻璃要20 分钟，收拾厨房要 15 分钟，洗脏衣服的领子、袖口要 10 分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要40 分钟，晾衣服要 10 分钟。妈妈干完所有这些事情最少用多长时间？分析与解：如果按照题目告诉的几件事，一件一件去做，要95 分钟。要想节约时间，

73、就要想想在哪段时间里闲着，能否利用闲着的时间做其它事。最合理的安排是：先洗脏衣服的领子和袖口，接着打开全自动洗衣机洗衣服，在洗衣服的40 分钟内擦玻璃和收拾厨房，最后晾衣服，共需 60 分钟（见下图）。例 1 告诉我们，当有许多事要做时，科学地安排好先后顺序，就能用较少的时间完成较多的事情。2.排队问题例 2 理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要 10，12，15，20 和 24 分钟。怎样安排他们的理发顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少要用多少时间？分析与解：一人理发时，其他人需等待，为使总的等待时间尽量短，应让理发所需时间少的人先理

74、。甲先给需 10 分钟的人理发，然后 15 分钟的，最后 24 分钟的；乙先给需 12 分钟的人理发，然后 20 分钟的。甲给需 10 分钟的人理发时，有 2 人等待，占用三人的时间和为（103）分；然后，甲给需 15 分钟的人理发，有 1 人等待，占用两人的时间和为（152）分；最后，甲给需 24 分钟的人理发，无人等待。甲理发的三个人，共用（10315224）分，乙理发的两个人，共用（12220）分。总的占用时间为（10315224）（12220）=128（分）。按照上面的安排，从第一人开始理发到五个人全部理完，用了 10152449（分）。如果题目中再要求从第一人开始理发到五人全部理完的

75、时间最短，那么做个调整，甲依次给需10，12，20 分钟的人理发，乙依次给需15，24 分钟的人理发，总的占用时间仍是128 分钟，而五人全部理完所用时间为10122042（分）。例 3 车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18，30，17，25，20 分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5 元。现有两名工作效率相同的修理工，怎样安排才能使得修复的时间最短且经济损失最少？分析与解：因为（1830172520）2=55（分），经过组合，一人修需18，17 和20 分钟的三台，另一人修需30 和 25 分钟的两台，修复时间最短，为55 分钟。上面只考虑修复时间，没考虑经济

76、损失，要使经济损失少，就要使总停产时间尽量短，显然应先修理修复时间短的。第一人按需17，18，20 分钟的顺序修理，第 2 人按需 25，30 分钟的顺序修理，经济损失为5（17318220）（25230）=935（元）。323.最短路线问题例 4 右图是一张道路示意图，每段路上的数字表示小明走这段路所需要的时间（单位：分）。小明从 A 到 B 最快要几分钟？分析与解：我们采用分析排除法，将道路图逐步简化。从 A 到 O 有两条路，ACO 用 6 分钟，AFO 用 7 分钟，排除后者，可将FO 抹去，但AF 不能抹去，因为从 A 到 B 还有其它路线经过 AF，简化为左下图。从 A 到 E 还

77、剩两条路，ACGE 用 12 分钟，ACOE 用 10 分钟，排除前者，可将CG，GE 抹去，简化为右上图。从 A 到 D 还剩两条路，ACOD 用 12 分钟，AHD 用 13 分钟，排除后者，可将AH，HD 抹去，简化为左下图。从 A 到 B 还剩两条路，ACOEB 用 17 分钟，ACODB 用 16 分钟，排除前者，可将 OE，EB 抹去，简化为右上图。小明按 ACODB 走最快，用 16 分钟。4.场地设置问题例 5 下图是 A，B，C，D，E 五个村之间的道路示意图，中数字是各村要上学的学生人数，道路上的数表示两村之间的距离（单位：千米）。现在要在五村之中选一个村建立一所小学。为使

78、所有学生到学校的总距离最短，试确定最合理的方案。分析与解：我们采用比较学校设在相邻两村的差别的方法。例如比较 A 和 C，若设在 A村，则在 C 村一侧将集结 20203550=125（人），这些人都要走 AC 这段路；若设在 C村，则只有 40 人走 AC 这段路。对这两种方案，走其余各段路的人数完全相同，所以设在C 村比设在 A 村好。从上面比较 A 和 C 的过程可以看出，场地设置问题不必考虑场地之间的距离，只需比较两个场地集结的人数多少，哪个场地集结的人数越多，就应设在哪。33同理，经比较得到 C 比 B 好，D 比 E 好。最后比较 C 和 D。若设在 C 村，则在 D 村一侧将集结

79、 35 50= 85（人）；若设在 D 村，则在 C 村一侧将集结 402020=80（人）。因为在 D 村集结的人数比 C 村多，所以设在 D 村比 C 村好。经过上面的比较，最合理的方案是设在D 村。不难发现，本题的解法与第27 讲例 2 的解法十分类似。例 6 某天然气站要安装天然气管道通往位于一条环形线上的AG 七个居民区，每两个居民区间的距离如下图所示（单位：千米）。管道有粗细两种规格，粗管可供所有7 个居民区用气，每千米 8000 元，细管只能供 1 个居民区用气，每千米3000 元。粗、细管的转接处必须在居民区中。问：应怎样搭配使用这两种管道，才能使费用最省？分析与解：在长度相同

80、的情况下，每根粗管的费用大于2 根细管的费用，小于 3 根细管的费用，所以安装管道时，只要后面需要供气的居民区多于2 个，这一段就应选用粗管。从天然气站开始，分成顺时针与逆时针两条线路安装，因为每条线路的后面至多有两个居民区由细管通达，共有 7 个居民区，所以至少有3 个居民区由粗管通达。因为长度相同时，2 根或 1 根细管的费用都低于 1 根粗管的费用，所以由粗管通达的几个居民区的距离越短越好，而顺时针与逆时针两条线路未衔接部份的距离越长越好。经过计算比较，得到最佳方案：（1）天然气站经 G，F，E 到 D 安装粗管，D 到 C 安装 2 根细管，C 到 B 安装 1 根细管；（2）天然气站

81、到 A 安装 1 根细管。此时总费用最少，为8000（3+12+8+6）+300025+3000（9+10）=319000（元）。练习：1.早饭前妈妈要干好多的事：烧开水要15 分钟，擦桌椅要 8 分钟，准备暖瓶要 1 分钟，灌开水要 2 分钟，买油条要 10 分钟，煮牛奶要 7 分钟。如果灶具上只有一个火，那么全部做完这些工作最少需要多少时间？怎样安排？2.甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的3 个车床上加工七个零件，各零件加工所需时间分别为 4，5，6，6，8，9，9 分钟，三人同时开始工作。问：加工完七个零件最少需多长时间？3.车间里有 5 台车床同时出现故障。已知第一台至第五台修复的时间依次为15，8，29，7，10 分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5 元。问：（1）如果只有一名修理工，那么怎样安排修理顺序才能使经济损失最少？（2）如果有两名修理工，那么修复时间最少需多少分钟？34