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1、第第3章章 因式分解因式分解3.1 多项式的因式分解21 等于等于 3 乘哪个整数？乘哪个整数？2137x2- -1等于等于x+1乘哪个多项式乘哪个多项式？ 对于整数对于整数21与与3，有整数有整数7使得使得2137，我们把，我们把3叫作叫作21的一个的一个因数因数. 同理，同理，7也是也是21的一个因数的一个因数.对于多项式对于多项式x2- -1与与x+1，有，有x- -1使得使得 ，我们把我们把x+1叫作叫作x2- -1的一个的一个因式因式，同理，同理x- -1也是也是x2- -1的一的一个个因式因式 一般地，对于两个多项一般地，对于两个多项f与与g，如果有多项，如果有多项式式h使得使得f
2、 = gh ，那么我们把，那么我们把g叫作叫作f的一个的一个因因式式，此时，此时，h也是也是 f 的一个的一个因式因式 把把 x2- -1写成写成 的形式，叫做的形式，叫做把把 这个多项式这个多项式 因式分解因式分解 一般地，把一个多项式表示成若干个一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解因式分解可以看出，因式分解与整式乘法其实是两种互逆的变形可以看出，因式分解与整式乘法其实是两种互逆的变形.即即x2- -1( ( x +1)()( x - -1) )因式分解因式分解整式乘法整式乘法为什么要为什么要把一个多把一个多项式因式
3、项式因式分解呢？分解呢？ 万里长城是由砖砌成的万里长城是由砖砌成的.不少不少房子也是用砖砌成的房子也是用砖砌成的. 因此，砖因此，砖是基本建筑块之一是基本建筑块之一. 类似地，在数学中也经常要寻找那些类似地，在数学中也经常要寻找那些“基基本建筑块本建筑块”. 例如例如，在正整数集中，像，在正整数集中，像2，3，5，7，11，13，17，这些大于这些大于1的数，它的因数只有的数，它的因数只有1和和它自身，称这样的正整数为它自身，称这样的正整数为质数质数或或素数素数. 素数就是正整数集中的素数就是正整数集中的“基本建筑块基本建筑块”：每一个大：每一个大于于1的正整数都能表示成若干个素数的的正整数都
4、能表示成若干个素数的乘积的形式乘积的形式.例如例如 12=223， 30=235 有了有了式和式和式，就容易求出式，就容易求出12和和30的的最大公因数最大公因数为为23=6， 进而很容易把分数进而很容易把分数 约分：分子与分母同除以约分：分子与分母同除以6，得得 同样地，在系数为有理数同样地，在系数为有理数( (或系数为实数或系数为实数) )的多项式组成的集合中，也有一些多项式起的多项式组成的集合中，也有一些多项式起着着“基本建筑块基本建筑块”的作用：的作用： 每一个多项式可以表示成若干个这种多项式的每一个多项式可以表示成若干个这种多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁乘积的形式
5、，从而为许多问题的解决架起了桥梁. 例如，以后我们要学习的分式的约分，解一元例如，以后我们要学习的分式的约分，解一元二次方程，解一元二次不等式等，都需要把多项式二次方程，解一元二次不等式等，都需要把多项式因式分解因式分解. 因式分解还可以在许多实际问题中简化计算因式分解还可以在许多实际问题中简化计算. 下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？分解，哪些不是，为什么？（1）（2）解解 （1） 是是. 因为从左边到右边是把多项式因为从左边到右边是把多项式 a 2+2ab+b 2表示成了多项式表示成了多项式a+ +b与与a+ +b的积的形式
6、的积的形式. .（2） 不是不是. 因为因为( (m+3)()(m- -2) )+2不是几个多不是几个多项式乘积的形式项式乘积的形式. .检验下列因式分解是否正确检验下列因式分解是否正确. .（1）（2）解：解： 因为因为 x(x + y)=x2+xy，所以因式分解所以因式分解 x2+ xy = x(x+ y)正确正确.解解 因为因为(a-2)(a-3)=a2 -5a+6， 所以因式分解所以因式分解 a2 -5a+6=(a-2)(a-3)正确正确.（3）分析分析 检验因式分解是否正确，检验因式分解是否正确，只要看等式右边的几个多项式的只要看等式右边的几个多项式的乘积与左边的多项式是否相等乘积与
7、左边的多项式是否相等.解解 因为因为(2m-n)(2m+n)=4m2 -n22m2-n2 ， 所以因式分解所以因式分解2m2-n2=(2m-n)(2m+n)不正确不正确.1. 求求4，6，14 的最大公因数的最大公因数. 最大公因数是最大公因数是2.2. 下列各式由左边到右边的变形，哪些是因下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么式分解，哪些不是，为什么？（1）（2）解解 是是. 把多项式把多项式2x2y+4xy2 表示成了多项式表示成了多项式 2xy与与x+2y 的积的形式的积的形式. 解解 不是不是. 因为是整式乘法的过程而不是几个多项式的因为是整式乘法的过程而不是几个
8、多项式的积的形式积的形式.（3）（4）解解 不是不是.因为从左边到右边是整式乘法的过程而不是因为从左边到右边是整式乘法的过程而不是把多项式表示成几个多项式的积的形式把多项式表示成几个多项式的积的形式.解解 是是. 是把多项式是把多项式4a2-4a+1表示成了多项式表示成了多项式2a-1的平方的平方的形式的形式. 3、下列各式从左边到右边是因式分解的个数有（、下列各式从左边到右边是因式分解的个数有（ ）个）个. x2-x=x(x-1) a(a-b)=a2-ab (a+3)(a-3)=a2-9 a2-2a+1=a(a-2)+1 x2-4x+4=(x-2)2A 1 B 2 C 3 D 44、下列各式从左到右变形正确的是（、下列各式从左到右变形正确的是（ ）.A -a+b=-(a+b) B (x-y)2= -（y-x)2 C (a-b)3=(b-a)3 D (m-1)(n-2)=(1-m)(2-n)BD一般地，对于两个多项一般地，对于两个多项 f f 与与 g g，如果有多项，如果有多项式式 h h 使得使得 f f = = ghgh ，那么我们把，那么我们把 g g 叫作叫作 f f 的一个的一个因式因式，此时，此时，h h 也是也是 f f 的一个的一个因式因式一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解谢谢！
