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1、3.1函数与方程函数与方程31.1方程的根及函数的零点方程的根及函数的零点学习目标学习目标学习目标学习目标1.结结合合二二次次函函数数的的图图象象，判判断断一一元元二二次次方方程程根的存在性及个数根的存在性及个数2了解函数的零点与方程根的联系了解函数的零点与方程根的联系 课堂互动讲练课堂互动讲练知能优化训练知能优化训练31.1课前自主学案课前自主学案课前自主学案课前自主学案温故夯基温故夯基温故夯基温故夯基1函函数数ylogax(a0且且a1)的的图图象象与与x轴轴的的交交点点为为_，方程，方程logax0的根为的根为_.2方程方程x22x30的根为的根为_；函数函数yx22x3与与x轴的交点为
2、轴的交点为_(1,0)x1x11，x23(1,0)，(3,0)知新益能知新益能知新益能知新益能1函数的零点函数的零点对对于于函函数数yf(x)，我我们们把把使使_的的实实数数_叫做函数叫做函数yf(x)的零点的零点2方方程程的的根根、函函数数的的图图象象与与函函数数的的零零点点之之间间的关系的关系方方程程f(x)0_函函数数yf(x)的的图图象象与与_函数函数yf(x)有有_f(x)0x有实数根有实数根x轴有交点轴有交点零点零点3函数零点的判定函数零点的判定如果函数如果函数yf(x)在区在区间间a，b上的上的图图象是象是_不断的一条曲不断的一条曲线线，并且有，并且有_，那么，函，那么，函数数y
3、f(x)在区在区间间(a，b)内内_零点，即存在零点，即存在c (a，b)，使得，使得_，这这个个c也就是方程也就是方程f(x)0的根的根连续连续f(a)f(b)0有有f(c)0问题探究问题探究问题探究问题探究1函数的零点是一个点吗？函数的零点是一个点吗？提提示示：函函数数的的零零点点并并不不是是指指一一个个点点，而而是是一一个个自自变变量量x的的值值，它它使使得得函函数数值值yf(x)0，即即方方程程f(x)0的根的根2在在(a，b)上有零点，一定有上有零点，一定有f(a)f(b)0.课堂互动讲练课堂互动讲练考点突破考点突破考点突破考点突破考点一考点一求函数零点求函数零点根据函数零点的定义可
4、知，函数根据函数零点的定义可知，函数f(x)的零点就的零点就是是f(x)0的根因此判断一个函数是否有零的根因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程点，有几个零点，就是判断方程f(x)0是否是否有实根，有几个实根有实根，有几个实根 下下列列函函数数是是否否存存在在零零点点？若若存存在在，求求出出其其零零点；若不存在，点；若不存在，说说明理由明理由(1)yax2(a0)；(2)y4x24x1(x0)；(3)yln x1.【思路点思路点拨拨】根据函数零点的概念知，函数是根据函数零点的概念知，函数是否有零点关否有零点关键键在于相在于相应应方程是否有方程是否有实实根根例例例例1 1(3)函数
5、函数yln x1 存在零点存在零点令令lnx10lnx1xe.即即e是使是使ln x10成立的成立的x值值，故故xe是此函数的零点是此函数的零点【名名师师点点拨拨】判断函数的零点，即在定判断函数的零点，即在定义义域内域内是否有是否有满满足足f(x0)0的的x0值值存在要注意零点并存在要注意零点并不是点而是点的横坐不是点而是点的横坐标标要正确理解和运用函数零点的性要正确理解和运用函数零点的性质质在判断函数零在判断函数零点所在区点所在区间间中的中的应应用若用若f(x)的的图图象在象在a，b上上连连续续，且，且f(a)f(b)0，则则f(x)在在(a，b)上不一定没有零点上不一定没有零点考点二考点二
6、确定零点的大致区间确定零点的大致区间 (2010年年高高考考天天津津卷卷)函函数数f(x)2x3x的零点所在的一个区的零点所在的一个区间间是是()A(2，1)B(1,0)C(0,1) D(1,2)【思路点思路点拨拨】确定确定单调单调性，并判定性，并判定f(1)f(0)的符号的符号例例例例2 2【解析解析】设设y12x，y23x，当当xR时时，y1与与y2都是增函数都是增函数f(x)2x3x在在R上上为为增函数增函数而而f(2)2260，f(1)2130，f(0)2010，f(1)2350，f(2)2260，f(1)f(0)0，故故函函数数f(x)在在(1,0)上上有有零零点点【答案答案】B【名
7、名师师点点拨拨】说说明函数的明函数的单调单调性，也就性，也就说说明了明了函数零点的唯一性函数零点的唯一性本本类题类题目重在考目重在考查查方程根方程根(或函数零点或函数零点)的分布的分布解此解此类问题类问题可可设设出方程出方程对应对应的函数，画出的函数，画出相相应应的示意的示意图图，然后用函数性，然后用函数性质质加以限制加以限制要注意以下四点：要注意以下四点：(1)判判别别式；式；(2)对对称称轴轴；(3)所所给给区区间间端点的函数端点的函数值值；(4)开口方向开口方向考点三考点三二次函数零点的应用二次函数零点的应用 关于关于x的方程的方程mx22(m3)x2m140有两有两实实根，且一个大于根
8、，且一个大于4，一个小于，一个小于4，求，求m的取的取值值范范围围例例例例3 3【名师点拨】【名师点拨】解答本题易丢掉对解答本题易丢掉对m的讨论，只的讨论，只默认为默认为m0.互互动动探究探究2若上述方程有且只有一个若上述方程有且只有一个实实根，根，求求m的的值值方法感悟方法感悟方法感悟方法感悟方法技巧方法技巧1函函数数F(x)f(x)g(x)的的零零点点就就是是方方程程f(x)g(x)的的实实数数根根，也也就就是是函函数数yf(x)的的图图象象与与yg(x)的的图图象交点的横坐象交点的横坐标标如例如例2.2函数零点的求法：函数零点的求法：(1)代数法：求方程代数法：求方程f(x)0的的实实数
9、根；数根；(2)几何法：几何法：对对于不能用求根公式的方程于不能用求根公式的方程f(x)0，可以将它与函数可以将它与函数yf(x)的的图图象象联联系起来，系起来，图图象与象与x轴轴的交点的横坐的交点的横坐标标即即为为函数的零点如例函数的零点如例1.3解决有关根的分布解决有关根的分布问题应问题应注意以下几点：注意以下几点：(1)首先画出符合首先画出符合题题意的草意的草图图，转转化化为为函数函数问题问题(2)结结合合草草图图考考虑虑四四个个方方面面：与与0的的大大小小；对对称称轴轴与与所所给给端端点点值值的的关关系系；端端点点的的函函数数值值与与零的关系；零的关系；开口方向开口方向(3)写出由写出由题题意得到的不等式意得到的不等式. (4)由得到的不等式去由得到的不等式去验证图验证图象是否符合象是否符合题题意，意，这这类问题类问题充分体充分体现现了函数与方程的思想，也体了函数与方程的思想，也体现现了了方程的根就是函数的零点在写不等式方程的根就是函数的零点在写不等式时时要注意要注意条件的完条件的完备备性性失失误误防范防范1连连续续函函数数yf(x)在在区区间间a，b上上有有f(a)f(b)0只只说说明明在在a，b上上有有零零点点，但但不不一一定定有有唯唯一一零零点点2函数函数yax2bxc，注意，注意a的取的取值值，并不一，并不一定是二次函数定是二次函数
