工程制图基础B第二章工程制图投影理论杨智勇

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1、第二章 工程制图投影理论主讲教师：杨智勇 机械与电子控制工程学院机械与电子控制工程学院主要内容2 2.1 .1 正投影及三视图正投影及三视图2 2.2 .2 点投影点投影2 2. .4 4 平面投影平面投影2 2.3 .3 直线投影直线投影2 2. .5 5 几何要素之间的相对位置几何要素之间的相对位置2 2.1 .1 正投影及三视图正投影及三视图工程图样是根据什么原理绘制出来的呢？ 正投影原理正投影原理机件最简单表达方法是什么呢？ 三视图日常生活中，我们经常见到一种自然现象，在光的照射下，物体在平面上会出现它影子。l l投影法的概念投影法的概念投影法的概念投影法的概念2.1.12.1.1投影

2、的分类及方法投影的分类及方法2 2.1 .1 正投影及三视图正投影及三视图影子影子 投影投影 光源光源 投影中心投影中心光线光线 投影线投影线平面平面 投影面投影面投影中心、投影线、投影面、投影投影中心、投影线、投影面、投影四要素构成了一个投影体系。投影投影是我们在投影面上得到的是我们在投影面上得到的图形，不是一个动作图形，不是一个动作。定义：投影体系中，在投影面上得到投影的方法叫做投影法。定义：投影体系中，在投影面上得到投影的方法叫做投影法。2 2.1 .1 正投影及三视图正投影及三视图中心投影平行投影斜投影正投影中心投影法所有投影线都通过一个投影中心平行投影法投影线相互平行（1）斜投影法（

3、2）正投影法 投影线相互平行，投影线与投影面倾斜。 投影线相互平行，投影线与投影面垂直。l l投影法的种类投影法的种类投影法的种类投影法的种类2024/7/252 2.1 .1 正投影及三视图正投影及三视图l工程上常用的几种投影图工程上常用的几种投影图1.透视图2.轴测图3.多面正投影图4.标高投影按按中心投影法中心投影法原原理绘制的理绘制的透视图透视图按按平行投影法平行投影法原理原理绘制的绘制的轴测图轴测图按正投影法原理绘制的多面正投影图。按按正投影法正投影法原理绘制的原理绘制的标高投影标高投影2 2.1 .1 正投影及三视图正投影及三视图积聚性真实性类似性l l正投影的特性正投影的特性正投

4、影的特性正投影的特性2 2.1 .1 正投影及三视图正投影及三视图正投影正投影 视图视图 三视图三视图 三个概念是什么关系呢？正投影 视图 画图时,用视线代替投影线视图（三个） 三视图 特指三个视图为什么要采用三个视图为什么要采用三个视图 一个视图或两个视图，不能唯一地表达一个物体。 三视图可唯一地表达一个物体。所以要采用三视图来表达物体的形状。 2 2.1 .1 正投影及三视图正投影及三视图三视图的形成三视图的形成正立投影面正立投影面 侧立投影面侧立投影面水平投影面水平投影面正立投影面 正正 面面 V水平投影面 水平面水平面 H侧立投影面 侧侧 面面 W把物体放在三个投影面之间，物体不动，然

5、后分别向三个投影面投影。V不动，H绕OX轴旋转90，W面绕OZ轴旋转90。在一张图纸上得到三个不同方向的投影图。ZXYVWH2 2.1 .1 正投影及三视图正投影及三视图主视图(V)俯视图(H)左视图(W)OXZYHYW主视图：长 高俯视图：长 宽左视图： 宽 高2024/7/252 2.1 .1 正投影及三视图正投影及三视图三视图关系三视图关系主俯视图：主俯视图：主俯视图：主俯视图：长对正长对正长对正长对正主左视图：主左视图：主左视图：主左视图：高平齐高平齐高平齐高平齐俯左视图：俯左视图：俯左视图：俯左视图：宽相等宽相等宽相等宽相等“三等规律”整体和局部都适用。2024/7/252 2. .

6、2 2 点投影点投影 空间点空间点A A；a a 点点A A的水平的水平(H)(H)投影投影; ;a a 点点A A的正面的正面(V)(V)投影投影; ;a a 点点A A的侧面的侧面(W)(W)投影。投影。1.1.1.1.点的空间位置点的空间位置点的空间位置点的空间位置 空间点的位置，空间点的位置，可由直角坐标值来确可由直角坐标值来确定，如定，如A(x,y,zA(x,y,z) )。 2.2.2.2.点的投影特性点的投影特性点的投影特性点的投影特性 点的投影永远是点。点的投影永远是点。 3.3.3.3.点的三面投影点的三面投影点的三面投影点的三面投影 2024/7/252 2. .2 2 点投

7、影点投影WXVAYOWZaa Ya ZaXaaVHYWH面向下旋转90HW面向右旋转90OXZYHaxaza ayayaaV面不动2 2. .2 2 点投影点投影AaAa= =aaaax x= a= a a az z=a=ay y0=0=y yA AA A点到点到V V面的距离面的距离 AaAa = =a a a ax x= a= a a ay y=a=az z0=0=z zA AA A点到点到H H面的距离面的距离 AaAa= =aaaay y= = a a a az z=a=ax x0=0=x xA AA A点到点到W W面的距离面的距离 4.4.4.4.点的投影与点坐标的关系点的投影与点

8、坐标的关系点的投影与点坐标的关系点的投影与点坐标的关系XVYOWZaa Ya ZaXaaHZAYAXAA a a aOXaOX轴轴; ; a a a a OZOZ轴轴; ; a a到到OXOX轴轴的距离的距离= a= a 到到OZOZ轴轴的距离的距离5.5.5.5.点的投影规律点的投影规律点的投影规律点的投影规律2 2. .2 2 点投影点投影例例1:1: 已知已知A A点的坐标值点的坐标值A(12A(12，1010，15)15)，求作，求作A A点的三面投影图点的三面投影图。 1.1.作投影轴作投影轴； 2.量取：量取：Oax=12、Oaz=15、OaYH=OaYW=10,得得ax、az、O

9、aYH、OaYW等点等点 ； 步骤步骤: :aaaOXYWHYZaZ15YWaYHa10aX123.过过ax、az、aYH、aYW等点分等点分别作所在轴的垂线，交点别作所在轴的垂线，交点a、a、a既为所求。既为所求。 2 2. .2 2 点投影点投影6.6.6.6.两点的相对位置两点的相对位置两点的相对位置两点的相对位置 两点的相对位置指两点在空间的两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右上下、前后、左右位置位置关系。关系。x x 坐标大的在左；坐标大的在左； y y 坐标大的在前；坐标大的在前； z z 坐标大的在上。坐标大的在上。判定方法：判定方法：上上上上下下下下后后后后左左左左右右

10、右右前前前前B点在点在A点点的的左、下、前方左、下、前方2024/7/252 2. .2 2 点投影点投影 当空间两点到两个投影面的距离都分别对应相等时，该两点处当空间两点到两个投影面的距离都分别对应相等时，该两点处于同一投射线上，它们在该投射线所垂直的投影面上的投影重合在于同一投射线上，它们在该投射线所垂直的投影面上的投影重合在一起，这两点称为对该投影面的重影点。一起，这两点称为对该投影面的重影点。 重影点需要判断其可见性，将不可见点的投影用括号括重影点需要判断其可见性，将不可见点的投影用括号括起来，以示区别。起来，以示区别。 7. 7. 7. 7. 两点重影两点重影两点重影两点重影( )H

11、面重影面重影2 2. .2 2 点投影点投影点的投影与其坐标之间的对应关系：点的投影与其坐标之间的对应关系： 空间点为空间点为A（X，Y，Z），则其投影为：），则其投影为： a(x,y,0)、a(x，0，z)、a”（0，y，z）点的投影规律点的投影规律 1.点的正面投影与水平投影的连线垂直于点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴，轴， 2.点的正面投影与侧面投影的连线垂直于点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴，轴， 3.点的水平投影到点的水平投影到OX轴距离等于侧面投影到轴距离等于侧面投影到OZ轴的距离。轴的距离。小小 结结2024/7/252 2. .3 3 直线的投影直线的投影 两点

12、确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的投影。就得到直线的投影。直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长 abab= =ABAB 真实性真实性直线垂直于投影面直线垂直于投影面 投影重合为一点投影重合为一点abab=0 =0 积聚性积聚性a（b）BA 直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面 投影比空间线段短投影比空间线段短 ababABAB 类似性类似性1. 1. 1. 1. 直线的投影特性直线的投影特性直线的投影特性直线的投影特性ABababAB2024/7/252 2. .3 3 直线的投影直线的投影（2）投影面平

13、行线）投影面平行线（3）投影面垂直线）投影面垂直线正平线正平线（平行于面）（平行于面）侧平线侧平线（平行于面）（平行于面）水平线水平线（平行于面）（平行于面）正垂线正垂线（垂直于面）（垂直于面）侧垂线侧垂线（垂直于面）（垂直于面）铅垂线铅垂线（垂直于面）（垂直于面）（1）一般位置直线）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线2. 2. 2. 2. 直线在三投影面体系中的投影特性直线在三投影面体系中的投影特性直线在三投影面体系中的投影特性直线在三投影面体系中的投影特性平行于某一投影面，而与其余两投影面倾斜平行于某一投影面，而与其余两投影面倾斜垂直于某一投影面，而与其余两投影面

14、平行垂直于某一投影面，而与其余两投影面平行2 2. .3 3 直线的投影直线的投影投影特征：投影特征：三个投影都缩短了。即三个投影都缩短了。即: :都不反映空间线段的实长，与三个投影面夹角，都不反映空间线段的实长，与三个投影面夹角，且与三根投影轴都倾斜。且与三根投影轴都倾斜。（1 1）一般位置直线）一般位置直线2 2. .3 3 直线的投影直线的投影求一般位置直线的实长求一般位置直线的实长-直角三角形法直角三角形法原理分析：V XZ YO ABB0 为直角三角形为直角三角形B0AB0=abBB0=zb-zaB Aaba b实实长长zb-za结论：结论： 已知线段的已知线段的两个投影，可两个投影

15、，可利用直角三角利用直角三角形法，求出线形法，求出线段的实长及对段的实长及对H 投影面的倾投影面的倾角角。2 2. .3 3 直线的投影直线的投影实长实长、坐标差坐标差、投影长投影长、倾角为、倾角为直角三角形直角三角形的的四要素。四要素。 注意：注意： 直线的坐标差、投影长、倾角是对同一投影面而言。直线的坐标差、投影长、倾角是对同一投影面而言。 Z坐坐标标差差水平水平投影投影TL ( (实长实长) ) Y坐坐标标差差正面正面投影投影TL ( (实长实长) ) X坐坐标标差差侧面侧面投影投影TL ( (实长实长) )2 2. .3 3 直线的投影直线的投影ab aboX实长实长所得直角三角形的斜

16、边即实长所得直角三角形的斜边即实长AB 。AB 与与a b 的夹角为的夹角为 。1.1.以以ab 为一直角边；为一直角边；2.2.取取zb- za 为另一直角边为另一直角边; ;zb-zazb-za解题完毕解题完毕V XZ YO B0B Aababzb-za 例例1 1 求线段求线段AB 的实长及的实长及。2 2. .3 3 直线的投影直线的投影例例2 已知已知EF =30 ，试完成，试完成e f 。f EFzf -zeR30zf-zeO X eef1.1.以以ef 为一直角边；为一直角边；2.2.以以R30 为半径画弧，在另为半径画弧，在另一直角边上截得一直角边上截得zf -ze ; ;3.

17、3.在在f f 投影连线上定投影连线上定f 点点，完成完成 ef 。解题完毕解题完毕2 2. .3 3 直线的投影直线的投影XOABabbaX1a1b1实长实长换面法换面法的概念的概念在在V/H 投影体系中，投影体系中，AB 为一般位置直线。为一般位置直线。 增设新投影面增设新投影面V1，使，使V1H ，且，且直线直线AB ； 在在V1 / H 新新投影体系中，投影体系中，AB 为投影面平行线直线。为投影面平行线直线。 AB 在新在新投影面上的投投影面上的投影反映实长及对影反映实长及对H 面的倾角。面的倾角。建立新投影系：建立新投影系： 这种增设新投影面，用新投影取代原这种增设新投影面，用新投

18、影取代原旧投影求解的方法称为旧投影求解的方法称为换面法换面法。XOABabbaX1b1实长实长 a1解题完毕解题完毕例例1 1 求求AB 线段的实长及线段的实长及。 作图要点：作图要点：aaHVXbba1b1实长实长 X1 abX1都与不变投影面有关都与不变投影面有关 X1 轴平行不变投影，求得线段轴平行不变投影，求得线段对不变投影面的倾角。对不变投影面的倾角。2 2. .3 3 直线的投影直线的投影2 2. .3 3 直线的投影直线的投影例例2 2 将将AB 线段变换为投影面垂直线。线段变换为投影面垂直线。分析：分析：AB 为正平线，则设为正平线，则设H1 面面AB 。OZXYV ABaba

19、bX1H1aaHVXbbX1VH1a1 ( (b1 ) ) 作图要点：作图要点： X1 aba1b1解题完毕解题完毕2 2. .3 3 直线的投影直线的投影1.H面投影反映线段实长，即：ab=AB;2.V、W面投影：abox轴，abOYW轴；3.H面投影与OX、OYH轴的成夹角。水平线的投影特征：水平线的投影特征：（2）投影面平行线）投影面平行线水平线（平行于面）（对正平线、侧平线作分析，可得出类似的投影特征。）（对正平线、侧平线作分析，可得出类似的投影特征。）2 2. .3 3 直线的投影直线的投影b a aba b b aa b ba 1.在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与

20、另两投影面倾角。水平线水平线侧平线侧平线正平线正平线投影特征：投影特征：与与H H面的夹角面的夹角: : 与与V V面的角面的角: : 与与W W面的夹角面的夹角:实长实长实长实长实长实长ba aa b b （2）投影面平行线）投影面平行线2.另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。2 2. .3 3 直线的投影直线的投影1.H面投影积聚成一点；面投影积聚成一点；2.V、W面投影反映实长，即面投影反映实长，即ab=ab=AB；3.V、W面投影：面投影： abox轴、轴、ab oz轴轴 。（对正垂线和侧垂线作分析，可得出类似的投影特征。）铅垂线投影特征铅垂线投影特征: :（3）投影面垂直线）投影

21、面垂直线铅垂线铅垂线（垂直于面）（垂直于面）2 2. .3 3 直线的投影直线的投影铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线2. 另外两个投影面上，投影反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。1. 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。投影特性投影特性: :c (d )cdd c a b a(b)a b e f efe (f )积聚积聚为点为点积聚积聚为点为点积聚积聚为点为点（3）投影面垂直线）投影面垂直线2 2. .3 3 直线的投影直线的投影dCdddCABAB为水平线为水平线CDCD为侧平线为侧平线例1：判断下列直线的空间位置2 2. .3 3 直线的投影直线的投影ababABCababcccc（1

22、）点在直线上，其投影必在直线的同面投影上。3. 3. 3. 3. 单一直线投影的性质单一直线投影的性质单一直线投影的性质单一直线投影的性质（2）直线上的点分线段之比等于其投影之比。ACAC：CB = a cCB = a c： c b = acc b = ac：cbcb2 2. .3 3 直线的投影直线的投影例例1 1 求点求点C ，使，使AC : :CB =1: :4 。cc”ZabXbaOa”b”YWYHc分析分析作图作图2 2. .3 3 直线的投影直线的投影例例2 2 判断点判断点C 是否在是否在AB 直线上直线上。a”b”c”aabbX O YWZ YH cc两种判断方法：两种判断方法

23、：1.从属性从属性-作侧投影作侧投影否否 ac : : cb ac : : cb否否2.定比性定比性-分析比例关系。分析比例关系。单一直线投影及其特性单一直线投影及其特性 一点两线垂直线 一斜两平平行线 三线皆斜为一般单一直线的投影规律单一直线的投影规律 一般位置直线：一般位置直线：三面投影都小于实长；三面投影都倾斜于投影轴，不反映实角。 投影面平行线：投影面平行线：在其平行的投影面上，投影反映实长，且反映两个实际角度；另外两面投影为平行于相应坐标轴的直线段。 投影面垂直线：投影面垂直线：在其垂直的投影面上，投影积聚成一点；另外两面投影为反映实长且垂直于相应坐标轴的直线段。2 2. .3 3

24、直线的投影直线的投影小小 结结两直线的相对位置两直线的相对位置 相交 平行 交叉2 2. .3 3 直线的投影直线的投影5. 5. 5. 5. 两直线的相对位置及其投影特性两直线的相对位置及其投影特性两直线的相对位置及其投影特性两直线的相对位置及其投影特性（1）平行）平行 两直线平行，其同面投影必定平行；反之，若两直线的同面投影都互相平行，则两直线必平行。V XZ Y O a bcdabcdACBDO X abbacddc2024/7/252 2. .3 3 直线的投影直线的投影例1 过点E（e、e）作直线AB。O X eeabba若使若使 EF AB，须须 ef ab ；efab 。ff 分

25、析分析: :作图作图: :解题完毕解题完毕2 2. .3 3 直线的投影直线的投影 两直线相交，其同面投影必定相交，且交点的投影符合点的投影规律；反之亦然。V XZ YB CababOADddcckkKOX abbacddckk（2）相交）相交2 2. .3 3 直线的投影直线的投影V XZ YD ACBcdbabadc4123( (2 ) )13( (4 ) )既不平行也不相交的空间两直线称为交叉。投影图上的交点是重影点。投影图上的交点是重影点。O X abbacddc（2）13（4）4312 不符合投影规律不符合投影规律O （3）交叉）交叉2 2. .3 3 直线的投影直线的投影例例1 1

26、 判断判断AB 、EF 两直线的相对位置。两直线的相对位置。相交相交O X abbafeefkkba分析：分析：判断判断方法：方法：方法一作第三投影（略）方法一作第三投影（略）方法二按定比性。方法二按定比性。k由于由于 ak : :kb = ak : :kb结论：结论：所以所以 AB、 EF 相交相交。解题完毕解题完毕2 2. .3 3 直线的投影直线的投影例例2 2 判断判断AB 、CD 两直线的相对位置。两直线的相对位置。交叉交叉O Xabbacddc分析：分析：判断判断方法：方法：方法一作第三投影（略）方法一作第三投影（略）方法二：方法二： 假定假定AB、CD平行，则平行，则ABCD 共

27、面，共面，AD 和和BC 必相交，必相交，AB、CD 两交叉直线。两交叉直线。结论：结论：平行？平行？ 交叉？交叉？作图：作图：2 2. .3 3 直线的投影直线的投影6. 6. 6. 6. 直角投影定理直角投影定理直角投影定理直角投影定理在直角中：在直角中： 如两直角边同时平行某一投影面，则在该投影面上的如两直角边同时平行某一投影面，则在该投影面上的投影必反映直角关系；投影必反映直角关系； 如有一条直角边平行某一投影面，则在该投影面上的如有一条直角边平行某一投影面，则在该投影面上的投影也反映直角关系投影也反映直角关系-直角投影定理。直角投影定理。2 2. .3 3 直线的投影直线的投影V Z

28、Y O 直角投影定理直角投影定理CAbabccaB已知：已知：AB为水平线，为水平线，BAC 为直角，则为直角，则bac 仍为直角。仍为直角。证明：证明： ABAC， ABAa , , AB平面平面ACca ， ABH面，面， ab AB ab平面平面ACca 有有abac 。abbABabOX直角直角 有有ABac ；bac 仍为直角仍为直角X反之：若反之：若abOX，bac 为直角，则空间为直角，则空间BAC 为直角。为直角。2 2. .3 3 直线的投影直线的投影直角投影定理直角投影定理也适于两交叉直线。也适于两交叉直线。 已知已知CD 与与EF 交叉垂直，交叉垂直，EF 为水平线，则在

29、为水平线，则在H 面上面上cd 与与ef 垂直。垂直。投影图投影图XO efcfc( (e ) ) d dV ZY O effcc (e )EF dDdCMX2 2. .3 3 直线的投影直线的投影例例1 1 已知已知ABV，试过点，试过点E 作直线作直线EK 与与AB 垂直相交。垂直相交。baeebakk分析：分析：AB 为正平线，为正平线，正面投影反映垂直正面投影反映垂直关系。关系。作图过程：作图过程：解题完毕解题完毕2 2. .3 3 直线的投影直线的投影例例2 2 过点过点A 作直线垂直作直线垂直CD 。eef分析：分析： 有无数解。有无数解。能图示出垂直关系的能图示出垂直关系的有两条

30、：一条水平线，有两条：一条水平线，一条正平线。一条正平线。faaddccxo作图：作图：作正平线作正平线AE ，使使ae c d ，aeOX 。作水平线作水平线AF ，使使af cd ，afOX 。解题完毕解题完毕单一直线投影及其特性单一直线投影及其特性 一点两线垂直线 一斜两平平行线 三线皆斜为一般单一直线的投影规律单一直线的投影规律 一般位置直线：一般位置直线：三面投影都小于实长；三面投影都倾斜于投影轴，不反映实角。 投影面平行线：投影面平行线：在其平行的投影面上，投影反映实长，且反映两个实际角度；另外两面投影为平行于相应坐标轴的直线段。 投影面垂直线：投影面垂直线：在其垂直的投影面上，投

31、影积聚成一点；另外两面投影为反映实长且垂直于相应坐标轴的直线段。2 2. .3 3 直线的投影直线的投影小小 结结两直线的相对位置两直线的相对位置 相交 平行 交叉2 2. .4 4 平面的投影平面的投影直线及线外一点直线及线外一点两平行直线两平行直线两相交直线两相交直线平面图形平面图形不共线的三点不共线的三点平面的几何元素表示法?2 2. .4 4 平面的投影平面的投影1. 1. 1. 1. 平面的投影特性平面的投影特性平面的投影特性平面的投影特性平面垂直投影面平面垂直投影面投影积聚成直线投影积聚成直线积聚性积聚性平面倾斜投影面平面倾斜投影面 投影类似原平面投影类似原平面类似性类似性平面平行

32、投影面平面平行投影面 投影就将实形现投影就将实形现 真实性真实性 根据平面与投影面的位置关系，可有平行、垂直和倾根据平面与投影面的位置关系，可有平行、垂直和倾斜三种情况。斜三种情况。2 2. .4 4 平面的投影平面的投影（2）投影面平行面）投影面平行面（3）投影面垂直面）投影面垂直面正平面正平面（平行于面）（平行于面）侧平面侧平面（平行于面）（平行于面）水平面水平面（平行于面）（平行于面）正垂面正垂面（垂直于面）（垂直于面）侧垂面侧垂面（垂直于面）（垂直于面）铅垂面铅垂面（垂直于面）（垂直于面）（1）一般位置平面）一般位置平面与三个投影面都倾斜的平面与三个投影面都倾斜的平面2. 2. 2.

33、2. 平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性平行于某一投影面，而与其余两投影面垂直平行于某一投影面，而与其余两投影面垂直垂直于某一投影面，而与其余两投影面倾斜垂直于某一投影面，而与其余两投影面倾斜2 2. .4 4 平面的投影平面的投影a b c a c b abc（1 1）一般位置平面）一般位置平面三个投影都类似。三个投影都类似。投影特性：投影特性：2 2. .4 4 平面的投影平面的投影例例 包含包含A（a，a）作一般位置平面。作一般位置平面。任作两相交直线决定一平面任作两相交直线决定一平面. .bcbcax

34、oa无数解无数解! !2 2. .4 4 平面的投影平面的投影a b c a b c abc（2 2）投影面平行面）投影面平行面投影特性：投影特性：1.1.在它所平行的投影面上的投影反映实形。在它所平行的投影面上的投影反映实形。2.2.另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。（对正平面和侧平面作分析，可得出类似的投影特性。）（对正平面和侧平面作分析，可得出类似的投影特性。）实形性实形性积聚性积聚性积聚性积聚性2 2. .4 4 平面的投影平面的投影例例1 1 包含点包含点A（a，a）作正平面。作正平面。aaxo 正平面的水

35、平投影为一条正平面的水平投影为一条OX 轴的直线。轴的直线。bcbc2 2. .4 4 平面的投影平面的投影ABCABC是什么位置的是什么位置的平面？平面？abca c b c b a (3)(3)投影面垂直面投影面垂直面铅垂面铅垂面投影特性：投影特性：1.1.在平面所垂直的投影面上的投影积聚成直线。在平面所垂直的投影面上的投影积聚成直线。2.2.该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。3.3.另外两个投影面上的投影有类似性。另外两个投影面上的投影有类似性。为什么？为什么？积聚性积聚性类似性类似性类似性类似性（对正垂面

36、和侧垂面作分析，可得出类似的投影特性。）2 2. .4 4 平面的投影平面的投影例例1 1 包含包含A（a，a）作作=30 的正垂面。的正垂面。aaxo30 两相交直线决定平面两相交直线决定平面bcbcdd2 2. .4 4 平面的投影平面的投影3. 3. 3. 3. 平面内的点和直线平面内的点和直线平面内的点和直线平面内的点和直线（1 1）直线在平面内的几何条件）直线在平面内的几何条件P通过一平面上的两个点；通过一平面上的两个点；通过平面上一点同时又平行该平面上另一直线。通过平面上一点同时又平行该平面上另一直线。平行平行MN2 2. .4 4 平面的投影平面的投影例：判断直线 是否在ABC

37、平面内。122abcXObac1否否3443解题完毕解题完毕平面内一般位置直线平面内一般位置直线2 2. .4 4 平面的投影平面的投影平面内投影面的平行线平面内投影面的平行线V XZYO从属性(属于平面); 投影面平行线的投影特性。DEededA Cc baabcde=DE deoxdea b c ca bOXde投影特性投影特性: :deOX 轴轴B2 2. .4 4 平面的投影平面的投影例：在平面(ABCD )内作直线EF V 面，使距离V面为15 。eff15bbaaXdccOde解题完毕解题完毕2 2. .4 4 平面的投影平面的投影（2 2）点在平面内的几何条件）点在平面内的几何条

38、件P 在平面内定点时，一般要通过包含点在平面内取辅助线在平面内定点时，一般要通过包含点在平面内取辅助线求解。求解。点在平面内的一条直线上。点在平面内的一条直线上。2 2. .4 4 平面的投影平面的投影例1：完成平面四边形ABCD 的水平投影。作图分析：作图分析：平面平面四边形四边形ABCD 的的对角线必相交。对角线必相交。kcXa b c adOd bk作图：作图：解题完毕解题完毕2 2. .4 4 平面的投影平面的投影例2:完成平面多边形的水平投影，并求侧面投影。作图：作图：投影分析：投影分析：带切口的三角形带切口的三角形一般位置平面一般位置平面有关线段平行有关线段平行2 b413cxa

39、c a ob zYHYH142a”c”b”4”1”3”2”解题完毕解题完毕32 2. .5 5 几何要素之间的相对位置几何要素之间的相对位置1. 1. 1. 1. 直线与平面平行直线与平面平行直线与平面平行直线与平面平行P几何条件几何条件 如果平面如果平面P 外的一条直线外的一条直线AB 与平面内的一条直线与平面内的一条直线平行平行, ,那么这条直线那么这条直线AB 和这个平面和这个平面P 平行。平行。AB 反之，如果直线反之，如果直线AB 与平面与平面P 平行，那么在平面内平行，那么在平面内一定有一条直线与该直线一定有一条直线与该直线AB 平行。平行。L LP ； L AB ； AB P 。

40、2 2. .5 5 几何要素之间的相对位置几何要素之间的相对位置例2 判断直线AB 与平面是否平行。只要判断能否在平面内找到一条与只要判断能否在平面内找到一条与AB 直线平行的直直线平行的直线即可，有则平行，否则不平行。线即可，有则平行，否则不平行。abab11作图：作图：2.2.连接连接1d ；1d 与与ab 不平行，不平行，平面平面 与直线与直线AB 不平行。不平行。分析：分析：XO 2323dd解题完毕解题完毕1.1.在平面内取直线在平面内取直线D， 使使1d ab ；2 2. .5 5 几何要素之间的相对位置几何要素之间的相对位置2. 2. 2. 2. 平面与平面平行平面与平面平行平面

41、与平面平行平面与平面平行 如果一平面内的两相交直线与另一平面内的两相交直如果一平面内的两相交直线与另一平面内的两相交直线分别对应平行，则两平面平行。线分别对应平行，则两平面平行。PRL1L2L3L4 L1 L2 ； L3 L4 ； R P 。几何条件几何条件2 2. .5 5 几何要素之间的相对位置几何要素之间的相对位置例：例： 含点含点A A1 1 作平面平行定平面（作平面平行定平面（A A2 2 B B2 2 A A2 2 C C2 2 ）。）。b1c1XOa2b2c2a2b2c2a1a1c1b1 只要只要含含点点A1 作相交直线分别与作相交直线分别与A2B2 和和A2C2 平行即可。平行

42、即可。1.1.作作a1b1 a2 b2 ； a1b1 a 2 b 2 ；作图：作图： 则平面则平面(A1B1A1C1)与与平面平面（A2B2A2C2）平行。平行。分析：分析：2.2.作作a1c1 a2 c2 ； a1c1 a2 c2 ；解题完毕解题完毕2 2. .5 5 几何要素之间的相对位置几何要素之间的相对位置3. 3. 3. 3. 特殊位置平面与直线或平面相交特殊位置平面与直线或平面相交特殊位置平面与直线或平面相交特殊位置平面与直线或平面相交直线和平面、平面和平面若不平行就必相交。直线和平面、平面和平面若不平行就必相交。 基本问题基本问题 性质性质 求共有点的方法求共有点的方法利用积聚性

43、，确定交点的已知投影直接作图；利用积聚性，确定交点的已知投影直接作图；通过辅助平面作图。通过辅助平面作图。1.1.求交点、交线；求交点、交线； 2.2.判别可见性。判别可见性。共有点；共有线。共有点；共有线。求交点求交点求直线和平面的共有点；求直线和平面的共有点；求交线求交线求出两个共有点，然后连线。求出两个共有点，然后连线。2 2. .5 5 几何要素之间的相对位置几何要素之间的相对位置利用积聚性投影作图利用积聚性投影作图ocbacbaxdeedkkBAECD 例例1 1 求直线求直线AB 与平面与平面CDE 的交点。的交点。Kk 作图：作图： 从属性从属性2 2. .5 5 几何要素之间的

44、相对位置几何要素之间的相对位置ocbacbaxdeedkk 可见性判别：可见性判别： 方法方法1 1：1221( )k2 不可见，画细虚不可见，画细虚线；线；kb 可见，线段描粗。可见，线段描粗。 例例1 1 求直线求直线AB 与平面与平面CDE 的交点。的交点。1 1在前在前方法方法2BAECDKk2 2. .5 5 几何要素之间的相对位置几何要素之间的相对位置BACEFDocbacbaxdfeefd 例例3 3 求两平面求两平面ABC 与与DEF 的交线。的交线。 分析：分析： DEF 为铅垂面，交线的为铅垂面，交线的H 投影已知；根据从属性，求交投影已知；根据从属性，求交线的线的V 投影

45、。投影。abckllkKLkl2 2. .5 5 几何要素之间的相对位置几何要素之间的相对位置ocbacbaxdfeefd 判别可见性：判别可见性： 根据空间位置关系判别。根据空间位置关系判别。前，可见前，可见后，不可见后，不可见界界 例例2 2 求求ABC 与与DEF 两平面的交线。两平面的交线。kllk解题完毕解题完毕V 面面投影投影投射方向投射方向BACEFDabcKLkl2 2. .5 5 几何要素之间的相对位置几何要素之间的相对位置4. 4. 4. 4. 一般位置直线与平面相交一般位置直线与平面相交一般位置直线与平面相交一般位置直线与平面相交引：求引：求直线直线DE 与平面与平面AB

46、C 的交点的交点。 辅助平面法辅助平面法cbacbaxodede分析分析KA CBPE(D )2 2. .5 5 几何要素之间的相对位置几何要素之间的相对位置KA CBPE(D )已知平面已知平面辅助平面法作图过程：辅助平面法作图过程：1.1.包含直线作辅助平面；包含直线作辅助平面；2.2.求辅助平面与已知平面的交求辅助平面与已知平面的交线；线；3.3.求交线与已知直线的交点。求交线与已知直线的交点。已知直线已知直线辅助平面辅助平面交点交点辅助平面的辅助平面的位置原则位置原则? ?特殊位置平面特殊位置平面引：求引：求直线直线DE 与与ABC 平面的交点平面的交点。 辅助平面法辅助平面法2 2.

47、 .5 5 几何要素之间的相对位置几何要素之间的相对位置cbacbaxoPV1 2( ) 123 4( ( ) ) 43kk作图过程：作图过程：1.1.包含直线包含直线DE 作正垂面作正垂面P ( (或铅垂面）；或铅垂面）；2.2.求求P 平面与平面与ABC 平面的平面的交线，并确定交点交线，并确定交点K ；3.3.利用重影点判别可见性。利用重影点判别可见性。引：求引：求直线直线DE 与平面与平面ABC 的交点的交点。 辅助平面法辅助平面法直线直线V 投影的可见性投影的可见性直线直线H 投影的可见性投影的可见性解题完毕解题完毕d edeKA CBPE(D )2 2. .5 5 几何要素之间的相

48、对位置几何要素之间的相对位置PVkk4a21axo12433A A分析：分析： 如果直线如果直线AB 与交叉直线与交叉直线和和 均相均相交交，则则ABAB与与I III II构成一平面，而构成一平面，而 与该平面与该平面的交点的交点K 一定在一定在AB上。KB投影作图：投影作图：bb例：包含点例：包含点A 作直线作直线AB 使与两交叉直线使与两交叉直线、 相交相交。解题完毕解题完毕 因此找到因此找到 与平面与平面A I II的交点的交点K ，连接，连接AK的直线即为所求。的直线即为所求。2 2. .5 5 几何要素之间的相对位置几何要素之间的相对位置PVkQVlkl例例1 1 求两求两平面平面

49、ABC 和和DEF 的交线的交线。线面相交法线面相交法分析分析: : 两次两次运用直线与平运用直线与平面相交的方法面相交的方法, ,求求两交两交点点连线即可。连线即可。投影作图投影作图: :xoebacbacfdefd5. 5. 5. 5. 两一般位置平面相交两一般位置平面相交两一般位置平面相交两一般位置平面相交2 2. .5 5 几何要素之间的相对位置几何要素之间的相对位置kkPVQVxoebacbacfdefdll例例1 1 求两求两平面平面ABC 和和DEF 的交线的交线。分析分析: : 两次两次运用直线平面运用直线平面相交的方法相交的方法, ,求求两交点两交点连线即可。连线即可。投影作

50、图投影作图: :判别可见性判别可见性: :V 投影的可见性投影的可见性H 投影的可见性投影的可见性解题完毕解题完毕2 2. .5 5 几何要素之间的相对位置几何要素之间的相对位置例例2 2 求求ABC 和平面和平面( (L1L2 ) )的交线的交线。辅助平面三面共辅助平面三面共点法点法xobacbacL1L2L1L2原理分析原理分析: :K1K2S1S2PQ投影作图投影作图: :K1K2K1K2交线交线解题完毕解题完毕SV1SV22 2. .5 5 几何要素之间的相对位置几何要素之间的相对位置如果一条直线和一平面内的两条相交直线垂直，则直线与该平面垂直。ABDCL直线和平面垂直的条件定理：定理

51、：6. 6. 6. 6. 直线与平面垂直直线与平面垂直直线与平面垂直直线与平面垂直2 2. .5 5 几何要素之间的相对位置几何要素之间的相对位置直线垂直平面的投影直线垂直平面的投影分析分析：直线的正面投影垂直平面内正平线的正面投影。直线的正面投影垂直平面内正平线的正面投影。直线的水平投影垂直平面内水平线的水平投影；直线的水平投影垂直平面内水平线的水平投影；abcABCacbDE dede121取正平线取正平线AE 取水平线取水平线BD bd12 。ae12。 bdox ; ; aeox ; ;XOV2 2. .5 5 几何要素之间的相对位置几何要素之间的相对位置直线垂直平面的投影直线垂直平面

52、的投影作图作图：ab1cbdc212ee dabcABCacbDE dede121XOVcxoa2 2. .5 5 几何要素之间的相对位置几何要素之间的相对位置例1 含点E 作直线垂直ABC，并求垂足。cbaaxcobee分析：分析： 再求再求EF与与ABC 的垂足的垂足K ；先过先过E 求求EF 垂直垂直ABC ；最后判别可见性。最后判别可见性。2 2. .5 5 几何要素之间的相对位置几何要素之间的相对位置例1 含点E 作直线垂直ABC，并求垂足。22113443cbaaxcobeeQHkkff解题过程：解题过程： 4.4.含含EF 作铅垂面作铅垂面QH , ,求垂足求垂足K ; ;1.1

53、.在平面在平面 内取正平线内取正平线C (c2OX ) ; ;2.2.在平面内取水平线在平面内取水平线A (a 1 OX ) ; ;3.3.过过e 作作efa1 ; ; 过过e 作作e f c 2 ; ; 5. 5.判别可见性。判别可见性。则则EF 垂直垂直ABC解题完毕解题完毕2 2. .5 5 几何要素之间的相对位置几何要素之间的相对位置 ABBC，则，则C一定在过一定在过B且与且与AB垂直的平面内。垂直的平面内。例例2 2 已知已知ABABBCBC，完成，完成bcbc 。PABCbbaaxco分析：分析：解题思路：解题思路： 1. 1.过过B 作平面作平面PAB ； 2.2.使使C 点在

54、点在P 面内，则面内，则BC 在在P 面内，面内，ABBC 。2 2. .5 5 几何要素之间的相对位置几何要素之间的相对位置2cbbaaxco2113443解题过程：解题过程： 4.4.由从属性在由从属性在34上定点上定点c，得得bc。1.1.作水平线作水平线B垂直垂直AB ， (b1ab )2.2.作正平线作正平线B垂直垂直AB ， (b2ab )例2 已知ABBC，完成bc 。平面平面P 以相交直线以相交直线( (BB) )表示。表示。解题完毕解题完毕2 2. .5 5 几何要素之间的相对位置几何要素之间的相对位置7. 7. 7. 7. 平面与平面垂直平面与平面垂直平面与平面垂直平面与平

55、面垂直 如果一个平面过另一平面的垂线，这两平面垂直。如果一个平面过另一平面的垂线，这两平面垂直。定理：定理： 反之，如果两平面垂直，则含第一个平面内一点所反之，如果两平面垂直，则含第一个平面内一点所做垂直于第二个平面的直线，必在第一个平面内。做垂直于第二个平面的直线，必在第一个平面内。P P Q 直线在平面直线在平面P 内内 PQQ2 2. .5 5 几何要素之间的相对位置几何要素之间的相对位置例例 含点含点A A 作平面作平面平面平面 。bba1cc分析分析: :2.2.无穷解无穷解。1.1.含含A 作直线垂直已知平面作直线垂直已知平面; ;作图作图: :1.1.在在内取水平线、内取水平线、正平线；正平线；2.2.过过A 作直线作直线AB 垂直该水垂直该水平线、正平线；平线、正平线；3.3.过过A 任作直线任作直线AC 。 相交直线相交直线ABXAC 所决定的平所决定的平面为所求。面为所求。5454O2aX21133解解题题完完毕毕