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1、说明说明: 使偏导数都为使偏导数都为 0 的点称为的点称为(chn wi)驻点驻点 . 例如例如(lr),定理定理(dngl)1(必要条件必要条件)函数函数偏导数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值取得极值 ,取得极值取得极值取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点但驻点不一定是极值点.有驻点有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值但在该点不取极值.且在该点取得极值且在该点取得极值 ,则有则有存在存在故故机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第1页/共22页第一页，共23页。时时, 具有具有(jyu)极值
2、极值定理定理(dngl)2(充分条件充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续的某邻域内具有一阶和二阶连续(linx)偏偏导数导数, 且且令令则则: 1) 当当A0 时取极小值时取极小值.2) 当当3) 当当时时, 没有极值没有极值.时时, 不能确定不能确定 , 需另行讨论需另行讨论.若函数若函数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第2页/共22页第二页，共23页。例例1.1.求函数求函数解解: : 第一步第一步 求驻点求驻点(zh din).(zh din).得驻点得驻点(zh din): (1, 0) , (1, (zh din): (1, 0) , (1, 2) ,
3、(3, 0) , (3, 2) .2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别(pnbi).在点在点(1,0) 处处为极小值为极小值; ;解方程组解方程组的极值的极值. .求二阶偏导数求二阶偏导数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第3页/共22页第三页，共23页。在点在点( 3,0) 处处不是不是(b (b shi)shi)极值极值; ;在点在点( 3,2) 处处为极大值为极大值. .在点在点(1,2) 处处不是不是(b (b shi)shi)极值极值; ;机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第4页/共2
4、2页第四页，共23页。例例2.讨论讨论(toln)函函数数及及是否是否(sh fu)取取得极值得极值.解解: 显然显然(xinrn) (0,0) 都是它都是它们的驻点们的驻点 ,在在(0,0)点邻域内的取值点邻域内的取值, 因此因此 z(0,0) 不是极值不是极值.因此因此为极小值为极小值. .正正负负0在点在点(0,0)并且在并且在 (0,0) 都有都有 可能为可能为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第5页/共22页第五页，共23页。二、最值应用二、最值应用(yngyng)问题问题函数函数(hnsh) f 在闭域上在闭域上连续连续函数函数(hnsh) f 在闭域上可
5、达在闭域上可达到最值到最值 最值可疑点最值可疑点 驻点驻点边界上的最值点边界上的最值点特别特别, 当区域内部最值存在当区域内部最值存在, 且且只有一个只有一个极值点极值点P 时时, 为极小为极小 值值为最小为最小 值值( (大大) )( (大大) )依据依据机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第6页/共22页第六页，共23页。例例3.3.解解: 设水箱设水箱(shuxing)长长,宽分别为宽分别为 x , y m ,则高为则高为则水箱所用则水箱所用(su yn)材料材料的面积为的面积为令令得驻点得驻点(zh din)某厂要用铁板做一个体积为某厂要用铁板做一个体积为2根据
6、实际问题可知最小值在定义域内应存在根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省才能使用料最省?因此可因此可断定此唯一驻点就是最小值点断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为即当长、宽均为高为高为时时, 水箱所用材料最省水箱所用材料最省.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第7页/共22页第七页，共23页。例例4.有一宽为有一宽为24cm的长方形的长方形铁板铁板(tibn),把它折起来做成把它折起来做成解解: 设折起来的边长为设折起来的边长为 x cm,则断面则断面(d
7、un min)面积面积x24一个断面一个断面(dun min)为等腰为等腰梯形的水槽梯形的水槽,倾角为倾角为 ,积最大积最大. 为为问怎样折法才能使断面面问怎样折法才能使断面面机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第8页/共22页第八页，共23页。令令解得解得: :由题意由题意(t y)(t y)知知, ,最大值在定义域最大值在定义域D D 内内达到达到, ,而在域而在域D D 内只有内只有(zhyu)(zhyu)一个一个(y )(y )驻点驻点, ,故此点即为所求故此点即为所求. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第9页/共22页第九页，共2
8、3页。三、条件极值三、条件极值极值极值(j zh)问题问题无条件极值无条件极值:条条 件件 极极 值值 :条件极值的求法条件极值的求法: 方法方法(fngf)1 代入代入法法.求一元函数求一元函数的无条件极值问题的无条件极值问题(wnt)对自变量只有定义域限制对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制还有其它条件限制例如例如 ,转转化化机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第10页/共22页第十页，共23页。方法方法(fngf)2拉格拉格朗日乘数法朗日乘数法.如方法如方法(fngf) 1 所述所述 ,则问题则问题(wnt)等价于一
9、元函等价于一元函数数可确定隐函数可确定隐函数的极值问题的极值问题,极值点必满足极值点必满足设设 记记例如例如,故故 故有故有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第11页/共22页第十一页，共23页。引入辅助引入辅助(fzh)函数函数极值极值(j zh)点必点必满足满足则极值则极值(j zh)点满足点满足:辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日称为拉格朗日( Lagrange )函数函数.利用拉格利用拉格朗日函数求极值的方法称为朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第12页/共22页第十二页，共23页。
10、推广推广(tugung)拉格朗日乘数法可推广拉格朗日乘数法可推广(tugung)到多个自变到多个自变量和多个约束条件的情形量和多个约束条件的情形. 设设解方程组解方程组可得到可得到(d do)条件极值的条件极值的可疑点可疑点 . 例如例如, 求函数求函数下的极值下的极值.在条件在条件机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第13页/共22页第十三页，共23页。例例5.要设计要设计(shj)一个一个容量为容量为则问题则问题(wnt)为求为求x , y ,令令解方程组解方程组解解: 设设 x , y , z 分别分别(fnbi)表示长、宽、表示长、宽、高高,下水箱表面积下水箱表
11、面积最小最小.z 使在条件使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱的长方体开口水箱, 试问试问 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第14页/共22页第十四页，共23页。得唯一得唯一(wi y)驻点驻点由题意可知由题意可知(k zh)合理的设计是合理的设计是存在的存在的,长、宽为高的长、宽为高的 2 倍时，所用倍时，所用(su yn)材料最省材料最省.因此因此 , 当高为当高为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考思考:1) 当水箱封闭时当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何长、宽、高的
12、尺寸如何?提示提示: 利用对称性可知利用对称性可知,2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价欲使造价最省最省, 应如何设拉格朗日函数应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何长、宽、高尺寸如何? 提示提示:长、宽、高尺寸相等长、宽、高尺寸相等 .第15页/共22页第十五页，共23页。内容内容(nirng)小结小结1. 函数函数(hnsh)的极值问的极值问题题第一步第一步 利用利用(lyng)必要条件在定义域内必要条件在定义域内找驻点找驻点.即解方程组即解方程组第二步第二步 利用充分条件利用充分条件 判别驻点是否为极值点判别驻点是否为极值点 .2.
13、函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法简单问题用代入法如对二元函数如对二元函数(2) 一般问题用拉格朗日乘数法一般问题用拉格朗日乘数法机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第16页/共22页第十六页，共23页。设拉格朗日函数设拉格朗日函数(hnsh)如求二元函数如求二元函数(hnsh)下的极值下的极值(j zh),解方程组解方程组第二步第二步 判别判别 比较驻点及边界点上函数值的大小比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值根据问题的实际意义确定最值第一步第一步 找目标函数找目标函数, 确定定义域确定定义域 ( 及约束条件及约束条件)
14、3.函数的最值问题函数的最值问题在条件在条件求驻点求驻点 . 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第17页/共22页第十七页，共23页。已知平面已知平面(pngmin)上两定点上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆试在椭圆(tuyun)圆周圆周(yunzhu)上上求一点求一点 C, 使使ABC 面积面积 S最大最大.解答提示解答提示:设设 C 点坐标为点坐标为 (x , y),思考与练习思考与练习则则 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第18页/共22页第十八页，共23页。设拉格朗日函数设拉格朗日函数(hnsh)解方程
15、组解方程组得驻点得驻点(zh din)对应对应(duyng)面积面积而而比较可知比较可知, 点点 C 与与 E 重合时重合时, 三角形三角形面积最大面积最大.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第19页/共22页第十九页，共23页。备用备用(biyng)题题1.求半径为求半径为R的圆的内接三角形的圆的内接三角形中面积最大者中面积最大者.解解: 设内接三角形各边所对的圆心角为设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则则它们所对应的三个三角形面积它们所对应的三个三角形面积(min j)分分别为别为设拉氏函数设拉氏函数(hnsh)解方程组解方程组, 得得故圆内接
16、正三角形面积最大故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为最大面积为 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第20页/共22页第二十页，共23页。为边的面积为边的面积(min j)最大的最大的四边形四边形 ,试列出其目标试列出其目标(mbio)函数和约束条件函数和约束条件 ?提示提示(tsh): 目标函数目标函数 :约束条件约束条件 :答案答案: :2.求平面上以求平面上以机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第21页/共22页第二十一页，共23页。感谢您的欣赏(xnshng)！第22页/共22页第二十二页，共23页。内容(nirng)总结说明: 使偏导数都为 0 的点称为(chn wi)驻点 .。第1页/共22页。第2页/共22页。第3页/共22页。在(0,0)点邻域内的取值。在点(0,0)。问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省。由题意知,最大值在定义域D 内达到,。可得到条件极值的可疑点 .。水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省。由题意可知合理的设计是存在的,。长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.。长、宽、高尺寸如何。长、宽、高尺寸相等 .。感谢您的欣赏第二十三页，共23页。
