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1、数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group第一章 曲线与曲面第一节 空间形式概述第二节 平面与空间直线的方程第三节 曲面及其方程 第四节 曲线的表示形式25 七月 2024数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 2 日常生活中，日常生活中，“空间空间”是个高是个高频率名词：频率名词：“占据的空间较大占据的空间较大”；“宇宙空间宇宙空间”；“磁盘空间磁盘空间”；事物或人的事物或人的“发展空间发展空间”；“给我一个空间（舞台），还你一给我一个空间（舞台），还你一片精彩片精彩” ； 数学中空间有其特定
2、的涵义。数学中空间有其特定的涵义。 数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 3 现实世界中的万事万物，无一不在一定的空间中现实世界中的万事万物，无一不在一定的空间中运动变化，在运动变化过程中都存在一定的数量关系运动变化，在运动变化过程中都存在一定的数量关系. 数学就是研究现实中数量关系与数学就是研究现实中数量关系与空间空间形式的科学形式的科学. 1619年，笛卡儿为空间安上了坐标架，具体地说年，笛卡儿为空间安上了坐标架，具体地说是引入了坐标系和数轴是引入了坐标系和数轴. 从而使数与形结合起来，诞从而使数与形结合起来，诞生了解析几何学（包括平面
3、解析几何和空间解析几何）生了解析几何学（包括平面解析几何和空间解析几何）. 而后随着坐标系概念和方法体系的逐渐完美，数学而后随着坐标系概念和方法体系的逐渐完美，数学步入快速发展阶段步入快速发展阶段.数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 4第一节 空间形式概述一、几何空间一、几何空间1、一维空间、一维空间2、二维空间、二维空间3、三维空间、三维空间二、高维空间二、高维空间1、四维空间、四维空间2、n维空间维空间数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 51、一维空间：位于一条直线上点的全体。、
4、一维空间：位于一条直线上点的全体。（1）特征与代表：点可以沿一个方向移动）特征与代表：点可以沿一个方向移动.直线（直线（Line）是一维空间）是一维空间的代表的代表;（2）数形结合：一维空间中的点与实数之间形成了一种一一对应关）数形结合：一维空间中的点与实数之间形成了一种一一对应关系系.人门也把一维空间内的点的位置与他对应的是数的大小一致起来，甚至人门也把一维空间内的点的位置与他对应的是数的大小一致起来，甚至把实数与它在一维空间内对应的点不加区别。如实数把实数与它在一维空间内对应的点不加区别。如实数a小于小于b（对应地，（对应地，b大大于于a）可以说成点）可以说成点a位于点位于点b的左边（对应
5、地，点的左边（对应地，点b位于点位于点a的右边）的右边）;（3）度量）度量:一维空间的距离定义为：设一维空间的距离定义为：设M、N是直线上两点，其坐标分是直线上两点，其坐标分别为别为m,n，则两点间的距离为，则两点间的距离为m-n;（4）物理模型：时间的几何模型是一维的直线，一维空间。）物理模型：时间的几何模型是一维的直线，一维空间。一、几何空间一、几何空间数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 62、二维空间：位于一个平面（一直线平动或转动形成）上、二维空间：位于一个平面（一直线平动或转动形成）上点的全体。点的全体。（1）特征与代表：平面（
6、）特征与代表：平面（Plane）是二维空间的代表）是二维空间的代表.可以可以向两个独立的方向发生移动和转动向两个独立的方向发生移动和转动.（2）数形结合：平面直角坐标系；极坐标系；其它坐标系，）数形结合：平面直角坐标系；极坐标系；其它坐标系，本质是二维空间中的点与实数对之间形成的一一对应关系本质是二维空间中的点与实数对之间形成的一一对应关系.（3）度量）度量:两点间距离公式两点间距离公式（4）物理模型：台面、墙面、（假想的）地平面）物理模型：台面、墙面、（假想的）地平面一、几何空间一、几何空间数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 73、三维
7、空间：空间（、三维空间：空间（一个平面沿一直线方向（不在该平面内）一个平面沿一直线方向（不在该平面内）移动或作旋转移动移动或作旋转移动一直线平动或转动形成）点的全体。一直线平动或转动形成）点的全体。（1）特征与代表：可以向三个独立的方向发生移动和转动；）特征与代表：可以向三个独立的方向发生移动和转动；现实世界的物体是其代表现实世界的物体是其代表.（2）数形结合：空间直角坐标系；其它坐标系，本质是三）数形结合：空间直角坐标系；其它坐标系，本质是三维空间中的点与实数对之间形成的一一对应关系维空间中的点与实数对之间形成的一一对应关系.（3）度量）度量:两点间距离公式两点间距离公式（4）物理模型：现实
8、世界的物体；）物理模型：现实世界的物体；一、几何空间一、几何空间数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 8R3.1 空间直角坐标系空间直角坐标系（1）空间直角坐标系中点与数队对应）空间直角坐标系中点与数队对应规则：规则：（2）空间直角坐标系）空间直角坐标系(spatialcoordinatesystem).坐标轴坐标轴右手规则：右手握住右手规则：右手握住z轴，轴，四个手指从正向四个手指从正向x轴转向正向轴转向正向y轴时轴时,大拇大拇指的指向就是指的指向就是z轴的正向；轴的正向； 坐标原点（坐标原点（coordinateorigin）坐标平面（
9、坐标平面（coordinateplane）卦限（卦限（octants）. 人体解剖学：人体解剖学：矢状轴矢状轴(x轴轴),冠状轴冠状轴(y轴轴)和垂直轴和垂直轴(z轴轴)组成了直角坐标系组成了直角坐标系.冠状面冠状面(yoz平平面面)、矢状面、矢状面(xoz平面平面)、水平面、水平面(xoy平面平面)将人体分成八个部分将人体分成八个部分.八个卦限八个卦限数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 9R3.2 认识空间曲面认识空间曲面数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 101.四维空间四维空间
10、 （1）一三维立体图形（或空间）并朝第四维的方向）一三维立体图形（或空间）并朝第四维的方向（即不同于左右、上下、前后的方向）移动（可以（即不同于左右、上下、前后的方向）移动（可以是直线移动或旋转移动），这时我们就形成了一个是直线移动或旋转移动），这时我们就形成了一个被看作是四维的立体图形（如下图）被看作是四维的立体图形（如下图）.二、高维空间二、高维空间数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 11从一个零维物体，即一个点开始，现在将该点向左或向右从一个零维物体，即一个点开始，现在将该点向左或向右移动一个单位，这便形成一条线段，这线段就是一维的
11、物移动一个单位，这便形成一条线段，这线段就是一维的物体体. 现将线段向上或向下移动一个单位，便会形成一个正方现将线段向上或向下移动一个单位，便会形成一个正方形，这个正方形就是二维物体形，这个正方形就是二维物体. 按同样的方式进行，把正方按同样的方式进行，把正方形向里或者向外移动一个单位，便会形成一个立方体，它形向里或者向外移动一个单位，便会形成一个立方体，它就是一个三维物体就是一个三维物体. 下一步要设法并想象移动这个立方体，下一步要设法并想象移动这个立方体，使其朝第四维的方向运动一个单位，以产生一个超立方体，使其朝第四维的方向运动一个单位，以产生一个超立方体，也称作立方镶嵌体（如图）也称作立
12、方镶嵌体（如图）.数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 12（2）数形结合：）数形结合：四空间可以定义为四维数组四空间可以定义为四维数组(a,b,c,d)的集合。也的集合。也可以类似地建立由四个互相垂直的数轴组成的坐标系。可以类似地建立由四个互相垂直的数轴组成的坐标系。（3）度量）度量:四维空间中两点（四维空间中两点（a,b,c,d）和）和 (p,q,r,s)的距离公式为的距离公式为（4）物理模型：时空）物理模型：时空数海拾贝“上下四方曰宇，往古来今曰宙上下四方曰宇，往古来今曰宙” （引自（引自尸子尸子）。宇就是空间，宙就是时间。中）。宇就
13、是空间，宙就是时间。中国的传统思想是把空间和时间联系在一起的。国的传统思想是把空间和时间联系在一起的。这一点也和西方古代把二者看成是两个互相这一点也和西方古代把二者看成是两个互相割裂的概念大不相同。割裂的概念大不相同。 数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 132. n n维空间维空间（2）特征：通常，）特征：通常，n维空间记为维空间记为Rn,对应地，一、二、对应地，一、二、三、四维空间分别记为三、四维空间分别记为R1, R2, R3, R4(1)定义、对应规则：设定义、对应规则：设n为取定的一个自然数，我为取定的一个自然数，我们称有序们称
14、有序n元数组的全体为元数组的全体为n维空间。维空间。 而每个有序而每个有序n元数组称为元数组称为n维空间中的一个点，数称为该点的第维空间中的一个点，数称为该点的第i个坐标个坐标. 显然，有序显然，有序n元数组与元数组与n维空间中的点一一维空间中的点一一对应对应.数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 14钉钉子钉钉子 工程师、物理学家和数学家同时接到一个任务：工程师、物理学家和数学家同时接到一个任务：将一根钉子钉进一堵墙。将一根钉子钉进一堵墙。 工程师造了一件工程师造了一件万能打钉器万能打钉器，即能把任何一种，即能把任何一种可能的钉子打进任何
15、一种可能的墙里的机器。可能的钉子打进任何一种可能的墙里的机器。 物理学家对于榔头、钉子和墙的强度做了一系物理学家对于榔头、钉子和墙的强度做了一系列的测试，进而发展出一项革命性的科技列的测试，进而发展出一项革命性的科技超超低温下超音速打钉技术。低温下超音速打钉技术。 数学家将问题推广到数学家将问题推广到N维空间，考虑一个维空间，考虑一个1 1维带维带扭结的钉子穿透一个扭结的钉子穿透一个N-1维超墙的问题。很多基本维超墙的问题。很多基本定理被证明定理被证明.当然啦，这个题目之深奥使得一个当然啦，这个题目之深奥使得一个简单解的存在性都远非显然。简单解的存在性都远非显然。数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 15（3）度量）度量n维空间中两点维空间中两点M 、N 的距离规定为：的距离规定为：（4）物理模型：）物理模型： 确定飞机的状态需用确定飞机的状态需用6维向量维向量飞机重心在空间的位置参数飞机重心在空间的位置参数机身的水平转角机身的水平转角机身的仰角机身的仰角机翼的转角机翼的转角数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 16Any Questions?
