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1、种群年龄结构的估算种群年龄结构的估算上海交大数学科学学院上海交大数学科学学院数学实验 建立种群年龄结构的数学模型Leslie矩阵 矩阵的特征值和特征向量知识的回顾 Leslie矩阵有关性质的介绍和讨论 利用Matlab 进行矩阵特征值和特征向量 的运算实验目的实验目的 进一步了解矩阵特征值在实际中的应用 一种昆虫每两周产卵一次，六周后死亡，孵化的幼虫2周后成熟平均产卵100个，4周龄的成虫平均平均产卵150个，设虫卵发育为2周龄成虫的概率为0.09，2周龄成虫发育为4周龄成虫的概率为0.2（1）假定开始时，02，24，46周龄昆虫数相同，计算2周，4周，6周，8周后各周龄的昆虫数（2）讨论各周
2、龄昆虫数的变化趋势实际问题实际问题（3）若使用一种除虫剂控制昆虫数，已知药剂将使各周龄该昆虫的成活率减半，问这种除虫剂是否有效？ 这种昆虫在一个地区繁衍，其雌、雄数目之比基本恒定，讨论时可将虫数设为雌虫数 假设开始时三种周龄：C0:0,2),C1:2,4)C2:4,6) 的昆虫数均为一个单位情况假定情况假定设 x0(t),x1(t),x2(t)分别为在t 时刻周龄 C0 ,C1,C2 的昆虫数，以2周为时间单位，那么引进矩阵数学模型数学模型导出关系式莱斯利矩阵莱斯利矩阵显然在时刻 2k 周( k 个时间单位) 2k 周后昆虫周后昆虫数数键入A=0 9 13.5 ; 0.09 0 0; 0 0.
3、2 0;X0=1 1 1;A*X0, A2*X0, A3*X0结果情况 2周后 22.5 0.09 0.2C0C1C2利用利用 Matlab 看一看看一看4周后3.512.0250.018 6周后 18.468 0.3159 0.405 可以用数值计算观察结果(作为练习) 理论分析昆虫数的趋势昆虫数的趋势k越来越大时，X(k)=AkX(0)变化趋势如何？若A有特征值0 ,1,2 ,对应特征向量0,1,2 线性无关，其中0的模严格大于其它特征值的模那么可表示 X(0)=c00+c11+c22 AkX(0)=c00k0+c11k 1+c2 2k2 AkX(0)这意味着k充分大时，昆虫数记(s0,
4、s1, s2 是 0的分量)各周龄昆虫数占昆虫总数之比趋于定值v,d=eig(A)Matlab 实现实现求A的特征值和特征向量有最大模的特征值为 0 1.0234对应的特征向量 0 0.9960 0.0876 0.01710.90490.07960.0156归一化 2) 最终各周龄的昆虫数成稳定的比例随着时间增长1) 昆虫数成几何级数增长 ( 0 1 )(恰好是对应主特征值的特征向量各分量比例数) 结论结论分别所占比例： 90.49%，7.96%，1.56% 经多少时间才能达到稳定的增长和结构比例？ 依然可以采取观察数值计算的结果的方法依然可以采取观察数值计算的结果的方法t tX X0 0X
5、X1 1X X2 2 q q1 1q q2 2q q3 30 01 11 11 13 30.33330.33330.33330.33330.33330.33331 122.500022.50000.09000.09000.20000.200022.790022.79000.98730.98730.00390.00390.00880.00882 23.51003.51002.02502.02500.01800.01805.55305.55300.63210.63210.36470.36470.003520.003523 318.468018.46800.31590.31590.40500.405
6、019.188919.18890.96240.96240.01650.01650.02210.02214 48.31068.31061.66211.66210.06320.063210.035910.03590.82810.82810.16560.16560.00630.00635 515.812015.81200.74800.74800.33240.332416.892416.89240.93600.93600.04430.04430.01970.0197101014.076314.07631.32631.32630.23270.232715.635315.63530.90030.90030
7、.08480.08480.01490.0149151516.304416.30441.42201.42200.28140.281418.007818.00780.90540.90540.07900.07900.01560.0156202018.240718.24071.60561.60560.31330.313320.159720.15970.91480.91480.07960.07960.01550.0155282821.964021.96401.93151.93150.37740.377424.272924.27290.90490.90490.07960.07960.01550.01552
8、92922.479322.47931.97681.97680.38630.386324.842424.84240.90490.90490.07960.07960.01560.0156303023.006023.00602.02312.02319.39549.395425.424525.42450.90490.90490.07960.07960.01560.0156 在在MatlabMatlab程序设定误差，计算到某步停止程序设定误差，计算到某步停止由于昆虫成活率减半引起投影矩阵变化利用Matlab 观察若使用除虫剂除虫剂的效果除虫剂的效果从第2周末到第20周末各周龄组昆虫数变化 1 11.25
9、00 0.8775 2.3085 0.5194 0.4941 1 0.0450 0.5062 0.0395 0.1039 0.0234 1 0.1000 0.0045 0.0506 0.0039 0.01040.1753 0.1158 0.0505 0.0288 0.01370.0222 0.0079 0.0052 0.0023 0.00130.0023 0.0022 0.0008 0.0005 0.0002 除虫剂对成虫组比较有效，但对幼虫C0 组组效果偏慢 昆虫数越来越少 (看看最大的特征值：0.5117)一般模式一般模式某种群个体生存期分为年龄组为Ci:i-1,i),i=1,2, ,n+
10、1；xi (t)为t时刻Ci组个体数,pi 为Ci 组到Ci1组个体成活率,Fi 为Ci 组物种生育幼体至Ci1组的成活数,显然Fi 与pi 均非负,pi 0 (否则无Ci1组)，写为向量形式Leslie 矩阵可得其中回顾昆虫问题的讨论1）A是否有唯一模最大的正特征值0 （严格2）A是否有n个线性无关的特征向量3）0是大于1还是小于1(决定种群的数量趋势)4）其它特征值与0 比值 （决定达到稳定状态的时间）主特征值）相应的特征向量是否有全正的分量几个关键性问题 有一个唯一正单重特征值0 对应0 有分量全正的特征向量 0 0 对每个分量非负的向量 (0 0),存在正常数C:(在某些条件下，如有相
11、邻 Fi-1, Fi 非零，0是严格主特征值)这一性质使得种群结构稳定Leslie 矩阵的性质矩阵的性质蓝鲸的寿命一般为50年，若以两年为年龄段,矩阵过大，因12岁以上存活率相近,故作为一个年龄组(简化). 这样分成7个年龄组：0,2),2,4),4,6),6,8),8,10),10,12),12,50), 其投影矩阵为蓝鲸简化模型简化模型利用利用Matlab 求出A1的特征值和特征向量特征值 1.0986 0.1997+0.5943i 0.1997-0.5943i -0.4636 -0.1852+0.3481i -0.1852-0.3481i 0.1361 严格主特征值严格主特征值 0各年龄
12、组蓝鲸数与结构变化各年龄组蓝鲸数与结构变化且可知：存在7个线性无关的特征向量，因此蓝鲸必定趋于稳定年龄结构对应对应0的特征向量的特征向量 0 0.54690.4331 0.34300.27170.21510.17040.4964 各年龄组分布百分比22.08 %17.49 %13.85 %10.97 % 8.69 % 6.88 %20.04 %某种野牛雌性、雄性种群各分成3个年龄组C0:牛犊；C1:小牛 12岁；C2: 成年牛 2岁以上 牛犊成长为小牛的概率为0.6;小牛长为成年牛的概率为0.75；成年牛再存活一年的概率为0.95 每头母牛有同样生育力，平均每年生育0.42头雌牛犊、0.48头
13、雄牛犊 初始时刻有100头母牛和20头公牛两性模型两性模型假定与问题假定与问题问题问题 年龄结构分布以及达到此分布所需的时间(练习)以及达到此分布所需的时间 2）考虑雌、雄牛的情况下其稳定的年龄分布事实上只要将雌、雄牛的各年龄组放在一起考虑即可1）在只考虑雌性牛情况下，讨论其稳定模型和解决模型和解决设雌、雄牛各年龄组的个体数表达为列向量那么导出即 利用Matlab 依然可得P 特征值和对应特征向量 0.9500 0 0 1.1048 - 0.0774+0.4063i- 0.0774-0.4063i严格主特征值 0.2298 0.1248 0.6044 0.2626 0.1426 0.6907
14、对应主特征值的特征向量11.2 6.129.412.8 6.933.6各年龄组分布百分比 经过多少时间达到稳定分布? PkZ(0) C0逐渐会达到稳定结构方法1 约定迭代相邻两次归一化向量分量的最大差不超过某一值方法2 考虑(1/0)k 的绝对值充分小，使得与理论分布值误差充分小(留作任务)如果野牛的生育率减少至原来的一半，试讨论其数量增加和稳定年龄结构的变化降低生育率的情况此时投影矩阵为 0.9500 0 0 1.0377 -0.0439 + 0.2986i -0.0439 - 0.2986i由Matlab求得主特征值和相应的特征向量0.07160.04140.35370.08180.04730.4042严格主特征值归一化特征向量 野牛总数增长率由10.5% 减至3.8%成年牛的比例由60% 增至75.8%若选择本实验，则必须完成实验任务实验任务任务2 、任务5和6谢谢各位谢谢各位! !
