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1、部分习题解答P25 P25 习题习题1.31.3解解: : （a）、（b）两问参见课件。两问参见课件。（c） 由由(a)知道：知道：自由粒子波函数既是动量本征自由粒子波函数既是动量本征函数也是能量本征函数或能量本征态函数也是能量本征函数或能量本征态( (定态定态) )，而，而 (x)是无穷多动量本征态的叠加，也即无穷多能量是无穷多动量本征态的叠加，也即无穷多能量本征态的叠加，因此本征态的叠加，因此 (x)= (x)代表非定态，也即代表非定态，也即非能量本征态。非能量本征态。另解：另解：常数常数因此因此 (x)= (x) 非能量本征态。非能量本征态。(d) 任意波函数可按自由粒子的平面波函数展任
2、意波函数可按自由粒子的平面波函数展开：开：可以证明展开系数（见附录）可以证明展开系数（见附录）自由粒子波函数自由粒子波函数其中其中当当 (x,t)未知时，未知时，C(p)难以直接求解。但难以直接求解。但C(p)与时间与时间无关，故可以用系统的初态求解：无关，故可以用系统的初态求解：则则利用利用所以所以附录：附录：系数系数证明：证明：（I）右边右边所以所以（I）式可以写成：式可以写成：得证！得证！课件第课件第3 3章章1 1习题习题: :证明证明解答：解答：由转置算符的定义得到由转置算符的定义得到 和和 任意，所以任意，所以P74 P74 习题习题3.33.3解答：解答：利用利用同理有同理有P7
3、5 P75 习题习题3.143.14解：解：设设lz算符算符的本征态为的本征态为 m，相应的本征值相应的本征值m类似地可以证明类似地可以证明P75 P75 习题习题3.163.16解解：显然：显然 态，非态，非lz算符和算符和l2算符算符的本征态的本征态(a) lz的可能测值的可能测值相应本征态相应本征态Y11相应本征态相应本征态Y20相应相应的测量概率：的测量概率：平均值：平均值：(b) l2的可能测值的可能测值相应本征态相应本征态Y11相应本征态相应本征态Y20相应相应的测量概率：的测量概率：平均值：平均值：P95 P95 习题习题4.24.2解解: (a) 对对两个全同的两个全同的Bos
4、s子，体系波函数必须满子，体系波函数必须满足交换对称性。足交换对称性。 当两个粒子处于相同的单态时，体系波函数必定当两个粒子处于相同的单态时，体系波函数必定交换对称：交换对称：可能态数目可能态数目 3 当两个粒子处于不同的单态时，对称化的体系波当两个粒子处于不同的单态时，对称化的体系波函数：函数：可能态数目可能态数目所以，两个全同所以，两个全同Boss子总的可能态数目子总的可能态数目6(b) 对对两个全同的两个全同的Femi子，体系波函数必须满足交换子，体系波函数必须满足交换反对称要求。反对称要求。 对对Femi子不允许两个粒子处于相同的单态，因子不允许两个粒子处于相同的单态，因此此它们只能处
5、于不同的单态，此时反对称化的体系它们只能处于不同的单态，此时反对称化的体系波函数：波函数：可能态数目可能态数目所以，两个全同所以，两个全同Femi子总的可能态数目子总的可能态数目3(b) 对对两个经典的粒子两个经典的粒子(可区分可区分)，其体系波函数无对，其体系波函数无对称性要求，即称性要求，即可能态数目可能态数目P95 P95 习题习题4.54.5解：解：定态定态 就是能量本征态，对应本征值就是能量本征态，对应本征值E。因束。因束缚态是可以归一化的，故不妨设缚态是可以归一化的，故不妨设 已归一化。已归一化。P115 P115 习题习题5.55.5解答解答: 氢原子基态波函数氢原子基态波函数基
6、态能量基态能量经典禁区经典禁区（因为（因为E=T+V，EV0意味着意味着T0，显然是经典理，显然是经典理论不允许的；但量子理论中，粒子可以发生隧道效论不允许的；但量子理论中，粒子可以发生隧道效应，穿越经典禁区）应，穿越经典禁区）基态电子处于经典禁区的概率基态电子处于经典禁区的概率注意：结果中注意：结果中e非指电子电荷，而是指数非指电子电荷，而是指数e。P115 P115 习题习题5.65.6解答解答: (a) 类氢离子中电子的波函数类氢离子中电子的波函数园轨道园轨道（l = n1）下的径向概率分布函数下的径向概率分布函数最概然半径最概然半径 rn 由下列极值条件决定：由下列极值条件决定：(b)径向概率密度径向概率密度对于园轨道对于园轨道(l = n1)利用积分公式利用积分公式得到得到而而对于氢原子对于氢原子“园轨道园轨道”的平均半径的平均半径例如基态例如基态和例题和例题1的结果一致。的结果一致。(c) 涨落涨落与与(b)类似地类似地所以所以可见，可见，n越大，越大， 越小，量子力学的结果和越小，量子力学的结果和Bohr量子化量子化“轨道轨道”的图像越接近。的图像越接近。
