23.2.5-一元二次方程应用题

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1、上页下页结束上页下页结束例1：某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为540米2.(1)(2)上页下页结束(1)解:(1)如图，设道路的宽为x米，则化简得，其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去.图(1)中道路的宽为1米.上页下页结束 则横向的路面面积为 ，分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2。解法一、 如图，设道路的宽为x米，32x 米2纵向的路面面积为 。20x 米2注意：

2、这两个面积的重叠部分是 x2米2所列的方程是不是？图中的道路面积不是米2。(2)上页下页结束横向路面:如图，设路宽为x米，32x米2纵向路面面积为:20x米2草坪矩形的长（横向）为:草坪矩形的宽（纵向:）为：相等关系是：草坪长草坪宽=540米2(20-x)米（32-x)米即化简得：再往下的计算、格式书写与解法1相同。上页下页结束而是从其中减去重叠部分，即应是m2所以正确的方程是：化简得，其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.取x=2时，道路总面积为： =100 (米2)草坪面积= 540（米2）答：所求道路的宽为2米。()32 20x+ x-x2()32 2 20 2 22+ -()3

3、2 20 100 -上页下页结束解法二： 我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）上页下页结束横向路面:如图，设路宽为x米，32x米2纵向路面面积为:20x米2草坪矩形的长（横向）为:草坪矩形的宽（纵向:）为：相等关系是：草坪长草坪宽=540米2(20-x)米（32-x)米即化简得：再往下的计算、格式书写与解法1相同。上页下页结束解法二： 我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路

4、）上页下页结束横向路面:如图，设路宽为x米，32x米2纵向路面面积为:20x米2草坪矩形的长（横向）为:草坪矩形的宽（纵向:）为：相等关系是：草坪长草坪宽=540米2(20-x)米（32-x)米即化简得：再往下的计算、格式书写与解法1相同。上页下页结束练习：1.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为550平方米,问:道路宽为多少米?5xx xx （82x）（52x）8镜框镜框有多宽有多宽? ? 一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的长为

5、长为8m，宽为，宽为5m如果镜框中央长方形图案的面积为如果镜框中央长方形图案的面积为18m2 ，则花边多宽，则花边多宽?解：设镜框的宽为解：设镜框的宽为xm ，则镜框中央长方形图案的长，则镜框中央长方形图案的长为为m, 宽为宽为m,得得 （82x）（52x）m2例例1. 宽为宽为m,得得(8 2x) (5 2x) = 18镜框镜框有多宽有多宽? ? 一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的长为长为8m，宽为，宽为5m如果镜框中央长方形图案的面积为如果镜框中央长方形图案的面积为18m2 ，则镜框多宽，则镜框多宽?解：设镜框的宽为解：设镜框的宽为xm

6、 ，则镜框中央长方形，则镜框中央长方形图案的长为图案的长为m, （8-2x）（5-2x）例例1.即2X2 13 X 110解解得X11， X25.5(不合题意)答:镜框的宽为镜框的宽为1m.审审设设答答解解列列练习练习1：要做一个高是8cm,底面的长比宽多5cm体积是528 的长方体木箱，问底面的长和宽各是多少？解：设宽为_cm，(x+5)8 X(X 5)528X5 X 6602长长X宽宽X高长方体的体积高长方体的体积(X6)(X11)0X16， X211又X0，故X211(舍去)即X65cm审审设设答答解解列列答:底面的长和宽分别是11和6cm.则长为_cm，得X上页下页结束列一元二次方程解

7、应题小小结结：解决例1及练练习习1这类问题的关键是掌握常见几何图形的面积体积公式，并能熟练计算由基本图形构成的组合图形的面积 昆二中小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是a分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？分析：第三次第二次第一次aaX10%a+aX10%=a（1+10%）X10%a(1+10%)+ a(1+10%) X10% =a（1+10%）2a（1+10%）例例2：平阳按“九五”国民经济发展规划要求，2003年的社会总产值要比2001年增长21%，求平均每年增长的百分率（提示：基数为2001年的社会总产值，可视为a）设每年增

8、长率为x，2001年的总产值为a，则2001年a2002年a（1+x)2003年a(1+x) 2增长增长21%aa+21%aa(1+x) 2 =a+21%a分析：分析：a (1+x) 2 =1.21 a (1+x) 2 =1.21 1+x =1.1 x =0.1解解:设每年增长率为设每年增长率为x，2001年的总产值为年的总产值为a，则，则a(1+x) 2 =a+21%a答答:平均每年增长的百分率为平均每年增长的百分率为10% 上页下页结束列一元二次方程解应题练习练习2：某种手表，原来每只售价96元，经过连续2次降价后，现在每只售价54元，平均每次降价的百分率是多少？解：设平均每次降价的百分率

9、是x. 得96 (1x) 2 =54解解得X10.25， X21.75(不合题意)答答:平均每次降价的百分率是为为25% 上页下页结束列一元二次方程解应题练习练习3：放铅笔的V形槽如图，每往上一层可以多放一支铅笔现有190支铅笔，则要放几层 ?解解:要放要放x层层,则每一则每一层放层放(1+x) 支铅笔支铅笔.得得x (1+x) =1902 X X 3800解解得X119， X2 20(不合题意)答:要放要放19层层.2上页下页结束列一元二次方程解应题补充练习：补充练习：1、（98年北京市崇文区中考题）如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的

10、门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米求鸡场的长和宽各多少米？上页下页结束一一 、数字问题、数字问题例例1 已知两个数的差是已知两个数的差是8，积是，积是209，求这两个数，求这两个数. 解：设较小的数为x，则较大的数为(x+8)，根据题意，得x(x8) 209x28x16209+16(x4)2225x415x111, x219当x=11时，x819；当x19时，x811.都符合题意.答：这两个数分别11和19，或19和11. 上页下页结束例例2 三个连续偶数，已知最大数与最小数的平方和比三个连续偶数，已知最大数与最小数的平方和比中间一个数的平方大中间一个数的平方大332，求这三个连

11、续偶数，求这三个连续偶数. 1、偶数个连续偶数（或奇数），一般可设中间两个为(x1)和(x 1).2、奇数个连续偶数（或奇数，自然数），一般可设中间一个为x.如三个连续偶数，可设中间一个偶数为x，则其余两个偶数分别为(x2)和(x+2)又如三个连续自然数，可设中间一个自然数为x，则其余两个自然数分别为(x1)和(x 1).上页下页结束解解：设中间一个偶数为x，则其余两个偶数分别为(x2)和 (x2),根据题意，得(x2)2+(x2)2 x2 332整理，得 x2 324 x18当x18时，x2 16, x2 20；当x= 18时，x2= 20, x2 16.答：这三个连续偶数分别为16、18和

12、20，或20、 18和16. 上页下页结束例例3 一个两位数等于其各位数字之积的一个两位数等于其各位数字之积的3倍，且其十倍，且其十位数字比个位数字小位数字比个位数字小2，求这个两位数，求这个两位数. 上页下页结束解：设这个两位数的十位数字为x，则其个位数字为（x2），根据题意，得10x(x2)3x(x2)整理，得 3x25x20解得 不合题意，舍去；x2, 10x(x2)24.答：这个两位数为24. 上页下页结束（1）十位数字为a，个位数字为b的两位数是10ab;（2）百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c的三 位数是100a10bc.上页下页结束 二、面积问题二、面积问题 例例4 有一块

13、长4米，宽3米的长方形空地，现要在空地中央建一个长方形花坛，四周是等宽的草坪，使花坛面积是草坪面积的两倍，求花坛的长和宽.(精确到0.1米) 上页下页结束解：设四周的等宽草坪的宽为x米，则花坛的长和宽分别为(42x)米和(32x)米，根据题意，得 (42x)(32x)243(42x)(32x)整理，得 2x27x20解得 ， .当x3.19时，42x0, 不合题意，舍去；当x0.31时，42x3.383.4, 32x2.382.4. 符合题意.答：花坛的长约为3.4米，宽约为2.4米.上页下页结束例例5 学校要建一个面积为150平方米的长方形自行车棚，为节约经费，一边利用18米长的教学楼后墙，

14、另三边利用总长为35米的铁围栏围成，求自行车棚的长和宽.上页下页结束解：解：设与教学楼后墙垂直的一条边长为x米，则与教学楼后墙平行的那条边长为(352x)米，根据题意，得 x(352x)150解得 当 时，352x2018不合题意，舍去；当x10时，352x15. 符合题意.答：自行车棚的长和宽分别为15米和10米.上页下页结束例例6 如图，一块长162米，宽64米的矩形耕地，要在这块地上挖4横2纵共6条水渠，如果水渠的宽相等，且要保证余下的可耕地面积为9600平方米，求水渠的宽.(精确到0.1米)上页下页结束三、增长率问题三、增长率问题例例7 某市市政府计划两年后实现市财政净收入翻一番，那么

15、这两年中市财政净收入的平均年增长率应为多少？(精确到0.1%)若记今年市财政净收入为a,市财政净收入的平均年增长率为x，则明年（一年后）市财政净收入为aaxa(1x);后年（两年后）市财政净收入为a(1x) a(1x) xa(1x)2.上页下页结束解：解：设今年某市市财政净收入为1，这两年中市财政净收入的平均年增长率为x，根据题意，得 (1x)22 , 符合题意. 不合题意，舍去.答：这两年中市财政净收入的平均年增长率约为41.4%.上页下页结束例例8某服装店原计划按每套200元的价格销售一批保暖内衣，但上市后销售不佳，为减少库存积压，两次连续降价打折处理，最后价格调整为每套128元.若两次降

16、价折扣率相同,求每次降价率为多少？两次打折标示多少折？（1）若原价为a元，降价率为x，则一次降价后标价为 aax a(1x) 元; 两次降价后标价为a(1x)2元.（2）若原价为a元，打y折，则一次打折后标价为 元; 两次降价后标价为元. 降价率x与打y折的关系为: .上页下页结束解：解：设每次降价率为x, 根据题意，得 200(1x)2128 x110.80.220%,符合题意，此时两次打折标示均为8折； x210.81不合题意，舍去.答：每次降价率均为20%，两次打折标示均为8折.上页下页结束例例9 小明将勤工俭学得到的500元钱按一年定期存入银行，到期后取出50元用来购买学习用品，剩下的

17、450元连同应得税后利息又全部按一年定期存入银行，到期后可得税后本息约461元（利息税为利息的20%），如果这个期间银行存款的年利率保持不变，那么这种存款的年利率大约是多少？（精确到0.01%）若本金为a元，某种存款的年利率x，则一年到期应得税后利息为ax(120%)元,应得税后本息为a1x(120%)元；若没取出再存一年（自动转存），到期应得税后本息为a1x(120%)2元.上页下页结束解：解：设这种存款的年利率为x，根据题意，得 450500 x(120%)1 x (120%)461整理，得 320x2760x110解得,符合题意; 不合题意，舍去.答：这种存款的年利率大约是1.44%.上

18、页下页结束有关面积问题：有关面积问题：常见的图形有下列几种：常见的图形有下列几种：上页下页结束例例1：用以根长：用以根长22厘米的铁丝，能否折成厘米的铁丝，能否折成一个面积是一个面积是30厘米的矩形？能否折成一个厘米的矩形？能否折成一个面积为面积为32厘米的矩形？说明理由。厘米的矩形？说明理由。例例2：在一块长：在一块长80米，宽米，宽60米的运动场米的运动场外围修筑了一条宽度相等的跑道，这外围修筑了一条宽度相等的跑道，这条跑道的面积是条跑道的面积是1500平方米，求这条平方米，求这条跑道的宽度。跑道的宽度。上页下页结束 2. 如图，在长为如图，在长为40米，宽为米，宽为22米的矩米的矩形地面

19、上，修筑两条同样宽的互相垂直形地面上，修筑两条同样宽的互相垂直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积为面积为760平方米，道路的宽应为多少平方米，道路的宽应为多少？40米米22米米上页下页结束例例1:建造一个池底为正方形建造一个池底为正方形,深度为深度为2.5m的长方体无盖蓄水池的长方体无盖蓄水池,建造池壁的单价是建造池壁的单价是120元元/m2,建造池底的单价是建造池底的单价是240元元/m2,总总造价是造价是8640元元,求池底的边长求池底的边长.分析分析:池底的造池底的造价价+池壁的造池壁的造价价=总造价总造价解解:设设池底的边长是池底的边长是xm.根据

20、题意得根据题意得:解方程得解方程得:池底的边长不能为负数池底的边长不能为负数,取取x=4答答:池底的边长是池底的边长是4m.上页下页结束上页下页结束有关有关“动点动点”的运动问题的运动问题”1)1)关键关键 以静代动以静代动 把动的点进行转换把动的点进行转换, ,变为线段的长度变为线段的长度, , 2)2)方法方法 时间变路程时间变路程 求求“动点的运动时间动点的运动时间”可以转化为求可以转化为求“动点动点的运动路程的运动路程”，也是求线段的长度，也是求线段的长度; ;由此由此,学会把动点的问题转化为静点的问题学会把动点的问题转化为静点的问题,是解这类问题的关键是解这类问题的关键.3 3）常找

21、的常找的数量关系数量关系 面积，勾股定理，相似三角形等；面积，勾股定理，相似三角形等；上页下页结束例例1 在矩形在矩形ABCD中中,AB=6cm,BC=12cm,点点P从点从点A开始以开始以1cm/s的速度沿的速度沿AB边向点边向点B移动移动,点点Q从点从点B开始以开始以2cm/s的速度沿的速度沿BC边向点边向点C移动移动,如果如果P、Q分别从分别从A、B同时出同时出发，几秒后发，几秒后 PBQ的面积等于的面积等于8cm2？解：设解：设x秒后秒后 PBQ的面积等于的面积等于8cm2根据题意，得根据题意，得整理，得整理，得解这个方程，得解这个方程，得所以所以2秒或秒或4秒后秒后 PBQ的面的面积

22、等于积等于8cm2上页下页结束例例2：等腰直角：等腰直角 ABC中中,AB=BC=8cm,动点动点P从从A点出发点出发,沿沿AB向向B移动移动,通过点通过点P引平行于引平行于BC,AC的直线与的直线与AC,BC分别分别交于交于R、Q.当当AP等于多少厘米时等于多少厘米时,平行平行四边形四边形PQCR的面积等于的面积等于16cm2?上页下页结束例例2：等腰直角：等腰直角 ABC中中,AB=BC=8cm,动点动点P从从A点出发点出发,沿沿AB向向B移动移动,通过点通过点P引平行于引平行于BC,AC的直线与的直线与AC,BC分别分别交于交于R、Q.当当AP等于多少厘米时等于多少厘米时,平行平行四边形

23、四边形PQCR的面积等于的面积等于16cm2?上页下页结束例例3： ABC中中,AB=3, BAC=45,CD AB,垂垂足为足为D,CD=2,P是是AB上的一动点上的一动点(不与不与A,B重合重合),且且AP=x,过点过点P作直线作直线l与与AB垂直垂直.i)设设 ABC位于直线位于直线l左侧部分的面积为左侧部分的面积为S,写出写出S与与x之间的函数关系式之间的函数关系式;ii)当当x为何值时为何值时,直线直线l平分平分 ABC的面积的面积? 上页下页结束例例4： 在在ABC中中, AC=50cm, CB=40cm, C=90,点点P从点从点A开始沿开始沿AC边向点边向点C以以2cm/s的速

24、度移动的速度移动, 同时同时另一点另一点Q由由C点以点以3cm/s的速度沿着的速度沿着CB边移动边移动,几秒钟后几秒钟后, PCQ的面积等于的面积等于450cm2?QBACP上页下页结束例例2：客轮沿折线：客轮沿折线A-B-C从从A出发经出发经B再到再到C匀速航行匀速航行,货轮从货轮从AC的中点的中点D出发沿某出发沿某一方向匀速直线航行一方向匀速直线航行,将一批物品送达客将一批物品送达客轮轮,两船若同时起航两船若同时起航,并同时到达折线并同时到达折线A-B-C上的某点上的某点E处处,已知已知AB=BC=200海里海里, ABC=90,客轮速度是货轮速度的客轮速度是货轮速度的2倍倍. 上页下页结

25、束i)选择选择:两船相遇之处两船相遇之处E点点( )A.在线段在线段AB上上;B.在线段在线段BC上上;C.可以在线段可以在线段AB上上,也可以在线段也可以在线段BC上上;B上页下页结束ii)求货轮从出发到两船相遇共航行了多求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里少海里?(结果保留根号结果保留根号)解：设货轮从出发到两船相遇共航行了解：设货轮从出发到两船相遇共航行了x海里，过海里，过D作作DF CB，连接，连接DF，则，则DE=x，AB+BE=2x，DF=100，EF=300-2x在在Rt DEF 中，上页下页结束例例5:5:在直角三角形在直角三角形ABCABC中中,AB=BC=12cm,AB=

26、BC=12cm，点，点D D从点从点A A开始以开始以2cm/s2cm/s的速度沿的速度沿ABAB边向点边向点B B移动移动, ,过点过点D D做做DEDE平行于平行于BC,DFBC,DF平行于平行于AC,AC,点点E.FE.F分别在分别在AC,BCAC,BC上上, ,问：问：点点D D出发几秒后四边形出发几秒后四边形DFCEDFCE的面的面积为积为20cm20cm2 2？F上页下页结束今天，我们主要通过分析几个例题，看到列一元二次方程解应用题的一般步骤及注意事项。首先，要适当地假设未知数，这一步非常关键，往往影响后面解方程的计算量；再仔细分析题意，列出方程，解方程，得到方程的解；这时一定要注意检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的解要舍去；最后答题。对于带有单位的应用题，如面积问题，在假设、答题中要带着单位，中间过程不需要单位。