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1、03_03_一维双原子链 声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质03_03 一维双原子链一维双原子链 声学波和光学波声学波和光学波 物理模型：双原子链物理模型：双原子链牛顿方程及解牛顿方程及解格波的波矢取值格波的波矢取值色散关系：声学波和光学波色散关系：声学波和光学波长波极限和短波极限长波极限和短波极限格波的振幅关系格波的振幅关系03_03_一维双原子链 声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质03_03 一维双原子链一维双原子链 声学波和光学波声学波和光学波 1.一维复式格子的情形一维复式格子的情形 一维无限长链牛顿方程及解一维无限长链牛顿方程及解 两种原子两种原子m和和M ( M m)
2、_ 构成一维构成一维复式格子复式格子 M原子位于原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 m原子位于原子位于2n， 2n+2， 2n+4 同种原子间的距离同种原子间的距离2a_晶格常数晶格常数 系统有系统有N个原胞个原胞03_03_一维双原子链 声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质 N个原胞，有个原胞，有2N个独立的方程个独立的方程 （总自由度数）（总自由度数） 两种原子振动两种原子振动振幅振幅A和和B一般不同一般不同 第第2n+1个个M原子的方程原子的方程 第第2n个个m原子的方程原子的方程方程解的形式方程解的形式03_03_一维双原子链 声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质 A、B
3、有非零的解，系数行列式为零有非零的解，系数行列式为零 第第2n+1个个M原子原子 第第2n个个m原子原子方程的解方程的解03_03_一维双原子链 声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质 一维复式晶格中存在一维复式晶格中存在两种独立的格波两种独立的格波03_03_一维双原子链 声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质 与与q之间存在着两之间存在着两 种不同的色散关系种不同的色散关系 一维复式格子存在一维复式格子存在 两支独立的格波两支独立的格波 光学波光学波 声学波声学波与一维单原子链比一比？与一维单原子链比一比？03_03_一维双原子链 声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质相邻相邻原胞原
4、胞相位差相位差 M和和m原子方程原子方程2. 波矢波矢q的取值的取值h为整数为整数q的值范围的值范围q第一布里渊第一布里渊区宽度区宽度周期性边界条件：周期性边界条件：q的取值的取值每个波矢占的线度每个波矢占的线度FBZ允允许的许的q值值的数目的数目晶晶体体中中的的原胞数目原胞数目03_03_一维双原子链 声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质一个一个q对应两个格波频率，即对应两个格波频率，即 总的格波数目为总的格波数目为2N ： 原子的数目原子的数目: 2N 光学波光学波 声学波声学波q的取值数目的取值数目=晶体中的原胞数目晶体中的原胞数目N03_03_一维双原子链 声学波和光学波 晶格振动
5、与晶体的热学性质3. 色散关系色散关系的特点的特点 3.1 短波极限短波极限因为因为 Mm03_03_一维双原子链 声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质 不存在格波不存在格波 频率间隙频率间隙 一维双原子晶格一维双原子晶格 叫做叫做带通滤波器带通滤波器03_03_一维双原子链 声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质3.2 长波极限长波极限 声学波声学波 声学波的色散关系与一维布喇菲格子形式相同声学波的色散关系与一维布喇菲格子形式相同03_03_一维双原子链 声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质 光学波光学波3.2 长波极限长波极限折合质量折合质量03_03_一维双原子链 声学波和光学
6、波 晶格振动与晶体的热学性质 光学波光学波 声学波声学波4 两种格波中两种格波中m和和M原子振动振幅之比原子振动振幅之比03_03_一维双原子链 声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质 m原子静止不动，相邻原子振动的相位相反原子静止不动，相邻原子振动的相位相反4.1 时时m和和M原子振动的振幅原子振动的振幅 声学波声学波03_03_一维双原子链 声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质 光学波光学波 M原子静止不动，相邻原子振动的相位相反原子静止不动，相邻原子振动的相位相反 4.1 时时m和和M原子振动的振幅原子振动的振幅03_03_一维双原子链 声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质 长
7、声学波中相邻原子的振动长声学波中相邻原子的振动 原胞中的两个原子振动的振幅相同，振动方向一致原胞中的两个原子振动的振幅相同，振动方向一致 代表代表原胞质心的振动原胞质心的振动4.2 时时m和和M原子振动的振幅原子振动的振幅03_03_一维双原子链 声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质 长光学波长光学波同种原子同种原子振动相位一致，振动相位一致，相邻原子相邻原子振动相反振动相反 原胞质心保持不变的振动，原胞中原胞质心保持不变的振动，原胞中原子之间相对运动原子之间相对运动 长光学波中相邻原子的振动长光学波中相邻原子的振动03_03_一维双原子链 声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质 两种格
8、波中两种格波中m和和M原子振动振幅之比原子振动振幅之比声学支格波仍描述元胞内原子的同相整体运动声学支格波仍描述元胞内原子的同相整体运动光学支格波仍描述元胞内原子的反相运动。光学支格波仍描述元胞内原子的反相运动。03_03_一维双原子链 声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质5. 长光学波与电磁波的作用长光学波与电磁波的作用 在长波极限下，对于典型的在长波极限下，对于典型的 和和 值值 对应于远红外的光波对应于远红外的光波 远红外光波激发离子晶体远红外光波激发离子晶体 可可引引起起晶晶体体中中长长光光学学波波的的共振吸收共振吸收光波的频率光波的频率 波矢远小于一般格波的波矢，只有波矢远小于一般
9、格波的波矢，只有 的长光学波的长光学波 可以与远红外的光波发生共振吸收可以与远红外的光波发生共振吸收能与光波作用的能与光波作用的长光学波声子称长光学波声子称为为电磁声子电磁声子03_03_一维双原子链 声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质 例题例题 一维复式格子中，如果一维复式格子中，如果计算计算1)光学波频率的最大值光学波频率的最大值 和最小值和最小值 ，声学波频率，声学波频率 2) 的最大值的最大值 ；2) 相应声子的能量相应声子的能量 , 和和 ；3) 在在 下，三种声子数目（下，三种声子数目（平均数平均数）各为多少？）各为多少？4)如果用电磁波激发光学波如果用电磁波激发光学波5)
10、要激发的声子所用的电磁波波长在什么波段？要激发的声子所用的电磁波波长在什么波段？ 03_03_一维双原子链 声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质 1) 声学波的最大频率声学波的最大频率光学波的最大频率光学波的最大频率光学波的最小频率光学波的最小频率03_03_一维双原子链 声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质2）相应声子的能量）相应声子的能量03_03_一维双原子链 声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质3) 某一特定谐振子具有激发能某一特定谐振子具有激发能的几率的几率 归一化条件归一化条件归一化常数归一化常数03_03_一维双原子链 声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质频率为频
11、率为 谐振子的平均能量谐振子的平均能量03_03_一维双原子链 声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质频率为频率为 i谐振子的能量谐振子的能量频率为频率为 i态的平均数声子态的平均数声子频率为频率为 谐振子的平均能量谐振子的平均能量可见，声子数随温度变化。可见，声子数随温度变化。03_03_一维双原子链 声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质 声子数目声子数目03_03_一维双原子链 声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质4）如果用电磁波激发光学波）如果用电磁波激发光学波 要激发要激发 的声子所用的电磁波波长在什么波段？的声子所用的电磁波波长在什么波段？对应电磁波的能量和波长对应电磁波的
12、能量和波长 要激发的声子所用的电磁波波长在近红外线波段要激发的声子所用的电磁波波长在近红外线波段 （Near Infrared）(NIR)03_03_一维双原子链 声学波和光学波 晶格振动与晶体的热学性质作业作业1. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别?2. 温温度度一一定定，一一个个光光学学波波的的声声子子数数目目多多呢呢, 还还是是声声学学波波的的声子数目多声子数目多?3. 对对同同一一个个振振动动模模式式, 温温度度高高时时的的声声子子数数目目多多呢呢, 还还是是温温度低时的声子数目多度低时的声子数目多?4. 高温时高温时, 频率为频率为 的格波的声子数目与温度有何关系的格波的声子数目与温度有何关系?5.考考虑虑一一双双原原子子链链的的晶晶格格振振动动，链链上上最最近近邻邻原原子子间间力力常常数数交交错错的的等等于于c和和10c令令两两种种原原子子质质量量相相同同，且且最最近近邻邻间间距距为为a/2求求在在k=0和和k=/a处处的的(k)并并粗粗略略地地画画出出色色散散关关系系本本题题模模拟拟双双原原子子分分子子晶晶体体，如如H2。（P580，3-3）
