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1、考基联动考基联动考向导析考向导析规范解答规范解答限时规范训练限时规范训练第第 3 讲讲 平面向量的数量积及平面向量应用举例平面向量的数量积及平面向量应用举例 1理解平面向量数量积的含义及其物理意义理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向 量的垂直关系量的垂直关系5会用向量方法解决某些简单的平面几何问题会用向量方法
2、解决某些简单的平面几何问题6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题考基联动考基联动考向导析考向导析规范解答规范解答限时规范训练限时规范训练1两个向量的夹角：已知两个非零向量两个向量的夹角：已知两个非零向量a和和b(如图如图)， 作作 b，则，则AOB叫做向量叫做向量a与与b的夹的夹 角其中两个向量夹角范围是角其中两个向量夹角范围是 特别地，特别地， 时，时，a与与b同向；同向； 时，时，a与与b反向反向. 如果如果a与与b的夹角是的夹角是 ，我们说，我们说a与与b垂直，记作垂直，记作ab.2向量数量积的概念向量数量积的概念 (1)向量的
3、数量积：向量的数量积： (2)向量的投影：向量的投影：|b|cosa，b即即 叫做叫做b在在a的方向上的的方向上的 (3)数量积的几何意义：两向量的数量积等于其中一个向量的长度与另一个向量在数量积的几何意义：两向量的数量积等于其中一个向量的长度与另一个向量在 这个向量方向上的投这个向量方向上的投 影的乘积影的乘积0，0投影投影ab|a|b|cosa，b考基联动考基联动考向导析考向导析规范解答规范解答限时规范训练限时规范训练3向量数量积的性质：设向量数量积的性质：设a、b都是非零向量，都是非零向量，e是单位向量，是单位向量，为为a 与与b(或或e)的夹角则的夹角则 (1)eaae|a|cos .
4、 (2)a b . (3)当当a与与b同向时，同向时，ab|a|b|；当；当a与与b反向时，反向时，ab|a|b|， 特殊的，特殊的，aa|a2|或者或者 (4)cos (0180) (5)|ab|a|b|. (6)ab0考基联动考基联动考向导析考向导析规范解答规范解答限时规范训练限时规范训练4向量数量积的运算律向量数量积的运算律 (1)abba(交换律交换律) (2)ab(ab)a(b)(结合律结合律) (3)(ab)cacbc(分配律分配律) 注意：数量积运算不满足注意：数量积运算不满足(ab)ca(bc)，因为左边表示与，因为左边表示与c共线的向共线的向 量，右边表示与量，右边表示与a共
5、线的向量，而共线的向量，而c与与a不一定共线不一定共线5设向量设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，向量，向量a与与b的夹角为的夹角为， 则则ab 特别地，特别地，a2aaxy. ab ， ab ， x1x2 y1y2x1x2y1y20.x1y2x2y10.考基联动考基联动考向导析考向导析规范解答规范解答限时规范训练限时规范训练6若若A(x1，y1)，B(x2，y2)，a，则，则 (平面内两平面内两 点间的距离公式点间的距离公式)联动思考联动思考想一想：想一想：向量的数量积是一个数量，它的符号是怎样确定的？向量的数量积是一个数量，它的符号是怎样确定的？答案：答案：当当a，b为非零向量时，为
6、非零向量时，ab的符号由夹角的余弦来确定；当的符号由夹角的余弦来确定；当 00；当；当90180时，时，ab0；当；当a与与b至少有至少有 一个为零向量或一个为零向量或90时，时，ab0.考基联动考基联动考向导析考向导析规范解答规范解答限时规范训练限时规范训练联动体验联动体验1 1已知已知a a(2,3)(2,3)，b b( (4,7)4,7)，则，则a a在在b b上的投影为上的投影为 ( () ) 解析：解析：设设a和和b的夹角为的夹角为，|a|cos |a| 答案：答案：C2(2010新新课课标标全全国国卷卷)a，b为为平平面面向向量量，已已知知a(4,3)，2ab(3,18)，则则 a
7、，b夹角的余弦值等于夹角的余弦值等于 () 解析：解析：设设b(x，y)，则有，则有2ab(8x,6y)(3,18)， 解得解得b(5,12)，故，故cosa，b 答案：答案：C考基联动考基联动考向导析考向导析规范解答规范解答限时规范训练限时规范训练3设向量设向量a和和b的长度分别为的长度分别为4和和3，夹角为，夹角为60，则，则|ab|的值为的值为 () 解析：解析：|ab|2a22ab|b|2 a22|a|b|cos 60|b|2 162439 37 |ab| . 答案：答案：C4向向量量m(x5,1)，n(4，x)，mn，则则x等等于于 () A1 B2 C3 D4 解析：解析：由由mn
8、0，得，得4(x5)x0，x4. 答案：答案：D5已知向量已知向量a和向量和向量b的夹角为的夹角为30，|a|2，|b| ，则向量，则向量a和向量和向量b的数量的数量 积积ab_. 答案：答案：3考基联动考基联动考向导析考向导析规范解答规范解答限时规范训练限时规范训练【例例1】 (1)在直角三角形在直角三角形ABC中，中，C90，AB5，AC4，求，求 ； (2)若若a(3，4)，b(2,1)，试求，试求(a2b)(2a3b) 解：解：(1)在在ABC中，中，C90，AB5，AC4，故，故BC3， 且且cos ABC ， 的夹角的夹角ABC， cos ABC53 9. (2)方法一：方法一：a
9、2b(3，4)2(2,1)(1，6)， 2a3b2(3，4)3(2,1)(12，5)， (a2b)(2a3b)(1)12(6)(5)18. 方法二：方法二：(a2b)(2a3b)2a2ab6b2232(4)232 (4)16(2212)18.考向一平面向量的数量积的运算考向一平面向量的数量积的运算考基联动考基联动考向导析考向导析规范解答规范解答限时规范训练限时规范训练反思感悟：善于总结，养成习惯反思感悟：善于总结，养成习惯 平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利 用坐标来计算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选
10、择用坐标来计算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择迁移发散迁移发散1已知已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin ) 若若 1，求，求sin 2的值的值 解：解： (cos 3，sin )， (cos ，sin 3)， cos (cos 3)sin (sin 3)13(cos sin )1. sin cos ，两边平方得，两边平方得sin 2 .考基联动考基联动考向导析考向导析规范解答规范解答限时规范训练限时规范训练考向二利用平面向量的数量积解决垂直问题考向二利用平面向量的数量积解决垂直问题【例例2】 已知向量已知向量a(1,2)，b(2,1)，k，t为正实数，向量为正实数，向
11、量xa (t21)b， ykab，且，且xy，求，求k的最小值的最小值 解：解：a(1,2)，b(2,1)，ab0， t为正实数，为正实数，k 2，当且仅当，当且仅当t1时，时，k2，k的最小值为的最小值为2.考基联动考基联动考向导析考向导析规范解答规范解答限时规范训练限时规范训练反思感悟：反思感悟：善于总结，养成习惯善于总结，养成习惯1两个非零向量互相垂直的充要条件是它们的数量积为零因此，可以将证两向量两个非零向量互相垂直的充要条件是它们的数量积为零因此，可以将证两向量 的垂直问题，转化为证明两个向量的数量积为零的垂直问题，转化为证明两个向量的数量积为零2向量的坐标表示与运算可以大大简化数量
12、积的运算，由于有关长度、角度和垂直向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直 的问题可以利用向量的数量积来解决，因此，我们可以利用向量的坐标研究有关的问题可以利用向量的数量积来解决，因此，我们可以利用向量的坐标研究有关 长度、角度和垂直问题长度、角度和垂直问题考基联动考基联动考向导析考向导析规范解答规范解答限时规范训练限时规范训练迁移发散迁移发散2在直角在直角ABC中，已知中，已知(2,3)，(1，k)，求，求k的值的值 考基联动考基联动考向导析考向导析规范解答规范解答限时规范训练限时规范训练考向三平面向量的夹角与模的问题考向三平面向量的夹角与模的问题考基联动考基联
13、动考向导析考向导析规范解答规范解答限时规范训练限时规范训练考基联动考基联动考向导析考向导析规范解答规范解答限时规范训练限时规范训练反思感悟：善于总结，养成习惯反思感悟：善于总结，养成习惯1求向量的夹角的两种表示方式求向量的夹角的两种表示方式 当当a，b是非坐标形式时，求是非坐标形式时，求a与与b的夹角，需求得的夹角，需求得ab及及|a|，|b|或得出它或得出它 们的关系们的关系 若已知若已知a与与b的坐标，则可直接利用公式的坐标，则可直接利用公式 来求夹角来求夹角2利用数量积求向量的模，可考虑以下方法利用数量积求向量的模，可考虑以下方法 a|a|2a2aa； b|ab|2a22abb2； c若
14、若a(x，y)，则，则|a|考基联动考基联动考向导析考向导析规范解答规范解答限时规范训练限时规范训练考基联动考基联动考向导析考向导析规范解答规范解答限时规范训练限时规范训练考向四平面向量的数量积与三角交汇考向四平面向量的数量积与三角交汇问题问题 【例例4】 (2010青青岛岛二二模模)设设角角A，B，C是是ABC的的三三个个内内角角，已已知知向向量量m(sin Asin C，sin Bsin A)，n(sin Asin C，sin B)，且，且mn. (1)求角求角C的大小；的大小； (2)若向量若向量s(0，1)，t(cos A,2cos2 )，试求，试求|st|的取值范围的取值范围 考基联
15、动考基联动考向导析考向导析规范解答规范解答限时规范训练限时规范训练考基联动考基联动考向导析考向导析规范解答规范解答限时规范训练限时规范训练反思感悟：善于总结，养成习惯反思感悟：善于总结，养成习惯 向量与三角结合是高考考查的重点，常以向量为载体，利用向量的数量积的运向量与三角结合是高考考查的重点，常以向量为载体，利用向量的数量积的运 算，向量的垂直等条件来进行三角的考查，复习时应重视算，向量的垂直等条件来进行三角的考查，复习时应重视考基联动考基联动考向导析考向导析规范解答规范解答限时规范训练限时规范训练考基联动考基联动考向导析考向导析规范解答规范解答限时规范训练限时规范训练课堂总结课堂总结 感悟
16、提升感悟提升1向量数量积向量数量积ab与实数与实数a，b乘积乘积ab不同由不同由ab0，并不能得出，并不能得出a0或或b 0，因为两非零向量夹角为，因为两非零向量夹角为90时，数量积也为时，数量积也为0.2可以用向量的数量积公式解决有关夹角和垂直问题，但要注意两种公式的灵活运可以用向量的数量积公式解决有关夹角和垂直问题，但要注意两种公式的灵活运 用用3利用向量垂直的充要条件研究几何中线与线垂直的问题，常建立适当的坐标系，利用向量垂直的充要条件研究几何中线与线垂直的问题，常建立适当的坐标系， 得到简单的向量坐标表示，减少运算量，实现了平面几何问题转化为向量的运得到简单的向量坐标表示，减少运算量，
17、实现了平面几何问题转化为向量的运 算算4从高考题来看，小题常考查向量的数量积从高考题来看，小题常考查向量的数量积ab|a|b|cos 的灵活运的灵活运 用，常用，常 以平面图形为背景同时考查向量的线性运算，或考查与数量积有关的运算解答以平面图形为背景同时考查向量的线性运算，或考查与数量积有关的运算解答 题常以坐标形式出现，与其他知识有机结合，考查知识综合运用的能力题常以坐标形式出现，与其他知识有机结合，考查知识综合运用的能力考基联动考基联动考向导析考向导析规范解答规范解答限时规范训练限时规范训练问问 题题 症症 结结在数学学在数学学习中，如果学生只局限于死中，如果学生只局限于死记一些一些结论而
18、不注意而不注意强强调使使结论成立成立的条件，往往会的条件，往往会导致致谬误，通，通过高考高考阅卷可以看出并不是所有的考生都能卷可以看出并不是所有的考生都能做到做到这一点一点.案案 例例设两个向量两个向量e1，e2，满足足|e1|2，|e2|1，e1与与e2的的夹角角为，若向量，若向量2te17e2与与e1te2的的夹角角为钝角，求角，求实数数t的取的取值范范围.错因分析错因分析 两个向量所成角的范围是两个向量所成角的范围是0，两个向量所成的角为钝角，两个向量所成的角为钝角，容易忽视所成角容易忽视所成角并不是钝角，并不是钝角，导致所求的结果范围扩大导致所求的结果范围扩大.学学 生生 抽抽 样样纠错笔笔记赏赏 析析 感感 悟悟 解题时考虑问题要全面数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽解题时考虑问题要全面数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是解题成功的关键，如本视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是解题成功的关键，如本题中的题中的的情况，再如当已知两个向量所成的角为锐角时，要注意夹角的情况，再如当已知两个向量所成的角为锐角时，要注意夹角等于零的情况等于零的情况.考基联动考基联动考向导析考向导析规范解答规范解答限时规范训练限时规范训练单击此处进入单击此处进入 限时规范训练限时规范训练
