状态变量法状态变量法共共1讲讲（（总第五十三讲总第五十三讲））基本概念基本概念状态方程状态方程状态方程的建立状态方程的建立 动态电路的分析方法动态电路的分析方法高阶微分方程高阶微分方程富氏变换富氏变换 、、 拉氏变换拉氏变换联立一阶微分方程组联立一阶微分方程组古典控制理论的基础古典控制理论的基础古典法古典法变换法变换法状态变量法状态变量法时域时域频域频域 、、 复频域复频域时域时域现代控制理论基础现代控制理论基础适用于适用于线性系统线性系统 单输入单输出系统单输入单输出系统多输入、多输出系统多输入、多输出系统线性、非线性系统线性、非线性系统 一、一、 状态变量状态变量 X分析系统动态过程的独立变量分析系统动态过程的独立变量 选定系统中一组选定系统中一组最少数目最少数目的变量的变量 X =[=[x1, ,x2, ,…xn]T ，，如果当如果当 t = = t0 时这组变量值时这组变量值X( (t0) )和和 t t0 后的输入后的输入e(t)为已知，为已知，就可以确定就可以确定t0及及t0以后任何时刻系统的响应以后任何时刻系统的响应X(t0)e(t) t t0 称这一组称这一组最少数目最少数目的变量为状态变量。
的变量为状态变量Y(t) t t0 已知已知输出输出: uL , iC , uR , iR 选状态量选状态量 uC ，， iL 解解 由由uL(0)=7ViC(0)= -1.5AiR(0)=1.5AuR(0)=3V例例RuLCe(t)+-uCiLiCuR+-+-+-LiR2 可进一步求得：可进一步求得：返回首页返回首页 二、二、 状态方程状态方程求解状态变量的方程求解状态变量的方程设设 uC , iL 为状态变量为状态变量列微分方程列微分方程RCe(t)+ uCiL+ LiC+uL改写为改写为特点特点( (1) ) 联立一阶微分方程组联立一阶微分方程组( (2) )左端为状态变量的一阶导数左端为状态变量的一阶导数( (3) )右端仅含状态变量和输入量右端仅含状态变量和输入量1. 状态方程状态方程 矩阵形式矩阵形式[x]=[x1 x2 xn]T式中式中一般形式一般形式\n n\n r 2. 输出方程输出方程特点特点 (1)代数方程代数方程 (2)用状态变量和输入量表示输出量用状态变量和输入量表示输出量一般形式一般形式[y]=[C][x]+[D][u]RuLCe(t)+-uCiLiCuR+-+-+-L3、几点注意、几点注意(1) 状态变量和储能元件有联系，状态变量的个数等于状态变量和储能元件有联系，状态变量的个数等于 独立的独立的储能元件个数。
储能元件个数2)一般选择一般选择uC和和 iL为状态变量，也常选为状态变量，也常选 和和 q为状为状 态变量3) 状态变量的选择不唯一状态变量的选择不唯一 令令 x1 =uC , x2 =duC /dt即即则则x1x2例：例：选选uC和和duC /dt为状态变量为状态变量RCe(t)+-uCiL+-L返回首页返回首页 三、状态方程的列写三、状态方程的列写1、、 直观法直观法选选 uC , i1 , i2为状态变量为状态变量R1 - +uSCuCiSiRR2i2L2L1 -+i1含含duC/dt 电容节点列电容节点列KCL含含diL/dt电感回路列电感回路列KVL例例1 例例2L3i3uSR6R5C2C1L4+-i5i6i4+-+- u1 u2选选 u1 , u2 , i3 , i4为状态变量为状态变量消去非状态量消去非状态量 i5 , i6i5= (u2-u1)/R5i6 = i4 -i3代入上式，整理代入上式，整理 2、、 叠加法叠加法(1) 将电源、电容、电感均抽到将电源、电容、电感均抽到 网络外。
网络外2)电容用电压源替代，电感用电电容用电压源替代，电感用电 流源替代流源替代3)用叠加定理求用叠加定理求iC , uL 则则 uS 、、iS 、、uC 、、iL共同作用下的共同作用下的 iC , uL为：为：iC = a11 uC1 +a12 iL + b11 uS+ b12 iS uL = a21 uC1 +a22 iL + b21 uS+ b22 iSuCuSRR+iSiL++ 例例3 设设uC1、、 uC2 、、iL为状态变量为状态变量iSR1R2uSuC1uC2iC1iC2LuLiL (1) uc1=1V 单独作用单独作用 iL=0，，iS =0，，uS=0 , uC2=0 求：求：iC1 ，， iC2 , uL 解解R1R2uC1iC1iC2uLiSR1R2uSuC1uC2iC1iC2LuLiL R1R2uC2iC1iC2uL (2) uC2 =1V单独作用单独作用 iL=0，，iS =0，，uS=0 , uC1=0 求：求：iC1 ，， iC2 , uL iSR1R2uSuC1uC2iC1iC2LuLiL R1R2iC1iC2uLiL(3) iL=1A单独作用单独作用 iS =0，，uS=0 , uC1=0 ，，uC2=0 求：求：iC1 ，， iC2 , uL 。
iSR1R2uSuC1uC2iC1iC2LuLiL iSR1R2uSuC1uC2iC1iC2LuLiL(4) us=1V单独作用单独作用 iS =0，，iL=0 , uC1=0 ，，uC2=0 求：求：iC1 ，， iC2 , uL iC2R1R2iC1uLuS (5) iS =1A单独作用单独作用 uS =0，，iL=0 , uC1=0 ，，uC2=0 求：求：iC1 ，， iC2 , uL R1R2iC1iC2uLiSiSR1R2uSuC1uC2iC1iC2LuLiL uC1 uC2 iL uS iS (6) 整理成标准形式整理成标准形式00返回首页返回首页 二阶电路二阶电路 状态方程状态方程（（总第五十四、五十五讲总第五十四、五十五讲））习题讨论课习题讨论课7 7—— 重点和要求重点和要求: 二阶电路全响应的计算二阶电路全响应的计算 三种状态的判断三种状态的判断 状态方程的列写状态方程的列写 一一、试判断下图电路过渡过程的性质、试判断下图电路过渡过程的性质 ( (过阻尼，欠阻尼，临界阻尼过阻尼，欠阻尼，临界阻尼) )。
a)1V2V5/6H2 4 1/5F4 + + 0.5 1 2 1F1F12 (t)V(b) +2u1+ u1+ 二、二、求电感电流的零状态响应求电感电流的零状态响应iL(t) t>0 (t)1 1/3 0.5F0.5HiL+iCiR 三、三、电路如下图所示已知在某初始条下，当电路如下图所示已知在某初始条下，当uS(t)=50 (t) V时，时，uC(t)=21 16e t + e 4t V，，t 0试求：在原初始试求：在原初始条件下，当条件下，当uS(t)=0时的时的uC(t) (t>0)uSuCLC线性线性无源无源电阻电阻网络网络 1H1 1F2 3i1+ uC1+ iL1V+uC22F1 i1四、四、列写图示列写图示电路矩阵形式的状态方程电路矩阵形式的状态方程其中其中 五、五、列写图示电路的状态方程列写图示电路的状态方程R1R2* ** *L2L1MC2C1uC2uC1iL2iL1iR2iR1uS 。