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1、2.5 冲激响应和阶跃响应冲激响应冲激响应阶跃响应阶跃响应X第第第第 2 2 页页页页概述系统的单位冲激响应系统的单位冲激响应h(t)的性质可以表示系统的性质可以表示系统的稳定性和因果性。的稳定性和因果性。h(t)的变换域表示更是分析的变换域表示更是分析LTI系统的重要手段。系统的重要手段。因此，因此，h(t)是系统分析中非常重要的一个概念，是系统分析中非常重要的一个概念，贯穿于本课程的始终。贯穿于本课程的始终。零状态响应零状态响应= 一部分自由响应一部分自由响应 + 强迫响应强迫响应有一种特定条件下的零状态响应：单位冲激响应有一种特定条件下的零状态响应：单位冲激响应X第第第第 3 3 页页页
2、页一冲激响应一冲激响应1 1定义定义 系统在单位冲激信号系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应，称为作用下产生的零状态响应，称为单单位冲激响应位冲激响应，简称，简称冲激响应冲激响应，一般用，一般用h(t)表示。表示。 说明说明: : 在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 看响应看响应 ， 不同，说明其系统特性不同，不同，说明其系统特性不同， 冲激响应冲激响应可以衡量系统的特性。可以衡量系统的特性。2一阶系统的冲激响应X第第第第 4 4 页页页页响应及其各响应及其各阶导数阶导数(最最高阶为高阶为n次次)1).冲激响应的数学模型冲激响应的
3、数学模型对于线性时不变系统对于线性时不变系统,可以用一可以用一高阶微分方程高阶微分方程表示表示 激励及其各激励及其各阶导数阶导数(最高最高阶为阶为m次次)令令 e(t)=(t) 则则 r(t)=h(t)3 3n n阶系统的冲激响应阶系统的冲激响应X第第第第 5 5 页页页页设特征根为简单根（无重根的单根）设特征根为简单根（无重根的单根） 由于由于(t) 及其导数在及其导数在 t0+ 时都为零，因而方程式右端的自时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。 与与n, m相对大小有关相对大小有关 与
4、特征根有关与特征根有关不包含不包含 及其各阶导数及其各阶导数包含包含包含包含 及其各阶导数及其各阶导数2） h(t) 解的形式解的形式一冲激响应一冲激响应X第第第第 6 6 页页页页二阶跃响应二阶跃响应系统方程的右端包含阶跃函数系统方程的右端包含阶跃函数 ，所以除了齐次解外，还有，所以除了齐次解外，还有特解项特解项。我们也可以根据线性时不变系统特性，利用我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与阶跃响冲激响应与阶跃响应关系应关系求阶跃响应。求阶跃响应。 系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应单位阶跃响应，简称简称阶跃响应。阶跃响应
5、。1定义定义 X第第第第 7 7 页页页页2阶跃响应与冲激响应的关系阶跃响应与冲激响应的关系线性时不变系统满足线性时不变系统满足微、积分微、积分特性特性 阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限 对因果系统：对因果系统：二阶跃响应二阶跃响应X第第第第 8 8 页页页页阶跃响应与冲激响应的关系阶跃响应与冲激响应的关系X第第第第 9 9 页页页页例例2-5-32-5-3（教材例（教材例2-92-9、2-102-10）解：解：系统的微分方程为：系统的微分方程为： 求例求例2-5中系统的电流中系统的电流i(t)对激励对激励e(t)= (t)的的冲激响应冲激响应h(t)和
6、阶跃响应和阶跃响应g(t).X第第第第 1 10 0 页页页页它的齐次解形式为：它的齐次解形式为：求系统的冲激响应求系统的冲激响应h(t)其满足上方程：其满足上方程：X第第第第 1 11 1 页页页页 利用冲激函数匹配法求利用冲激函数匹配法求h(0+)及其导数及其导数h (0+)。由于方程右端自由项由于方程右端自由项 (t)的最高阶导数为的最高阶导数为(t)X第第第第 1 12 2 页页页页X第第第第 1 13 3 页页页页求阶跃响应求阶跃响应方法方法1：由阶跃响应和冲激响应的关系求解：由阶跃响应和冲激响应的关系求解方法方法2：直接解方程求解（见教材）：直接解方程求解（见教材）X第第第第 1
7、14 4 页页页页三齐次解法求冲激响应（补充）左端最高阶微分中含有左端最高阶微分中含有 (t)项项(n-1)阶微分中含有阶微分中含有u(t)项。项。可以由此可以由此定初始条件定初始条件令方程左端系数为令方程左端系数为1，右端只有一项，右端只有一项 (t)时，冲激响应为时，冲激响应为此方法比奇异函数系数平衡法简单。对于高阶系统更此方法比奇异函数系数平衡法简单。对于高阶系统更有优越性。有优越性。X第第第第 1 15 5 页页页页求冲激响应的几种方法方法方法1：冲激函数匹配法求出：冲激函数匹配法求出 跃变值，定系数跃变值，定系数A。方法方法2：奇异函数项相平衡法，定系数：奇异函数项相平衡法，定系数A
8、。 方法方法3: 齐次解法求冲激响应。齐次解法求冲激响应。X第第第第 1 16 6 页页页页总结冲激响应的求解至关重要。冲激响应的求解至关重要。冲激响应的定义冲激响应的定义零状态；零状态；单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励下加同样的激励 ，看响应，看响应 ， 不同，说明其不同，说明其系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。用变换域用变换域( (拉氏变换拉氏变换) )方法求方法求冲激响应和阶跃响应简捷冲激响应和阶跃响应简捷方便，但时域求解方法直观、物理概念明确。方便，但时域求解方法直观、物理概念明确。
