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1、2024/7/25最优化方法1最优化方法授课教师：王艳秋生物数学教研室wangyq161632024/7/25最优化方法2举 例例例1：对边长为a的正方形的正方形铁板，在四个角板，在四个角处剪去相等的正方形剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容如何剪法使水槽的容积最大？最大？解解 设剪去的正方形剪去的正方形边长为x，由，由题意易知，与此相意易知，与此相应的水槽容的水槽容积为要使其最大，那么要使其最大，那么令令得两个得两个驻点：点：因此，每个角剪去因此，每个角剪去边长为的正方形可使所制成的水槽容的正方形可使所制成的水槽容积最大最大 2024/7/25最优化方
2、法3举 例例例2：某单位拟建一排四间的车库，平面位置：某单位拟建一排四间的车库，平面位置如下图由于资金及资料的限制，围墙和隔墙如下图由于资金及资料的限制，围墙和隔墙的总长度不能超越的总长度不能超越40m，为使车库面积最大，为使车库面积最大，应如何选择长、宽尺寸？应如何选择长、宽尺寸？ x2x1图1.12024/7/25最优化方法4举 例解：解： 设四间车库长为设四间车库长为 ，宽为，宽为 .由题意可知面积为由题意可知面积为且且变量量 ， 应满足足 即求即求2024/7/25最优化方法5举 例例例3.混合饲料配合以最低本钱确定满混合饲料配合以最低本钱确定满足动物所需营养的最优混合饲料。设每天足动
3、物所需营养的最优混合饲料。设每天需求混合饲料的批量为需求混合饲料的批量为100磅，这份饲料磅，这份饲料必需含：必需含：至少至少0.8%而不超越而不超越1.2%的钙的钙;至少至少22%的蛋白质的蛋白质;至多至多5%的粗纤维。假定主要配的粗纤维。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。这些配料料包括石灰石、谷物、大豆粉。这些配料的主要营养成分为：的主要营养成分为：2024/7/25最优化方法6配料配料每磅配料中的营养含量每磅配料中的营养含量(%)钙钙蛋白质蛋白质纤维纤维每磅本钱元每磅本钱元石灰石石灰石谷物谷物大豆粉大豆粉0.380 0.00 0.000.001 0.09 0.020.002 0.50
4、 0.08 0.0164 0.0463 0.1250举 例2024/7/25最优化方法7举 例解:设 x1,x2,x3 是消费100磅混合饲料所需的石灰石、谷物、大豆粉的量磅。第第1章章 根本概念根本概念1.1 最优化问题简介最优化问题简介1.2 凸集和凸函数凸集和凸函数1.3 最优性条件最优性条件1.4 最优化方法概述最优化方法概述2024/7/25最优化方法82024/7/25最优化方法9第第1章章 根本概念根本概念1.1 最优化问题简介最优化问题简介一最优化 optimization 的定义 所谓最优化就是在众多可行的方案或方法中找到最好的方案和方法。最优方案就是到达最优目的的方案。最优
5、化方法就是搜索最优方案的方法。 2024/7/25最优化方法10 二二 最最优优化化问题问题的数学模型的数学模型 实实践践问题问题建立模型建立模型分析求解模型分析求解模型检验检验并并评评价价模模 型求得最型求得最优优解解1.1 最优化问题简介重点重点2024/7/25最优化方法111.1 最优化问题简介建立最优化问题数学模型的三要素：建立最优化问题数学模型的三要素： 1决策变量。决策变量是由数学模型的决策变量。决策变量是由数学模型的解确定的未知量。解确定的未知量。 2约束或限制条件。约束或限制条件。 由于现实问题的客观物质条件限制，模型必由于现实问题的客观物质条件限制，模型必需包括把决策变量限
6、制在它们可行值之内的约需包括把决策变量限制在它们可行值之内的约束条件，而这通常是用约束的数学函数方式来束条件，而这通常是用约束的数学函数方式来表示的。表示的。 3目的函数。目的函数。优化问题决策变量的一个数学函数，它用来衡优化问题决策变量的一个数学函数，它用来衡量优化问题的效率，即优化问题追求的目的。量优化问题的效率，即优化问题追求的目的。2024/7/25最优化方法12模型的转换模型的转换1、2、1.1 最优化问题简介2024/7/25最优化方法131.1 最优化问题简介最优化问题的划分根据不同的性质对最优最优化问题的划分根据不同的性质对最优化有不同的划分：化有不同的划分：2024/7/25
7、最优化方法141.1 最优化问题简介2024/7/25最优化方法151.1 最优化问题简介三根本概念三根本概念1.约束最优化约束最优化问题问题1.1.1是最优化问题的普通数学表现方是最优化问题的普通数学表现方式。只需在问题中存在任何约束条件，就称为式。只需在问题中存在任何约束条件，就称为约束最优化问题。约束最优化问题。2024/7/25最优化方法161.1 最优化问题简介1等式约束最优化等式约束最优化2不等式约束最优化不等式约束最优化3混合约束最优化：既有等式约束又有不等式约束的最优化混合约束最优化：既有等式约束又有不等式约束的最优化问题。问题。2024/7/25最优化方法171.1 最优化问
8、题简介2.无约束最优化无约束最优化假设问题中无任何约束条件，那么称为无约束最优化假设问题中无任何约束条件，那么称为无约束最优化问题。其数学模型为问题。其数学模型为3.离散最优化离散最优化 最优化模型中决策变量的取值为离散的最优化问题。最优化模型中决策变量的取值为离散的最优化问题。4.延续最优化延续最优化 最优化模型中决策变量的取值为延续的最优化问题。最优化模型中决策变量的取值为延续的最优化问题。2024/7/25最优化方法181.1 最优化问题简介5.光滑最优化光滑最优化 延续最优化模型中函数为光滑的最优化问题。即模型延续最优化模型中函数为光滑的最优化问题。即模型1.1.1中一切函数都是延续可
9、微的。只需有一个函数非光滑中一切函数都是延续可微的。只需有一个函数非光滑的，那么称为非光滑最优化。的，那么称为非光滑最优化。6.线性规划线性规划2024/7/25最优化方法191.1 最优化问题简介线性规划问题的普通方式为：线性规划问题的普通方式为：2024/7/25最优化方法201.1 最优化问题简介线性规划问题的矩阵表示：线性规划问题的矩阵表示：2024/7/25最优化方法211.1 最优化问题简介7.二次规划问题它为非线性规划问题二次规划问题它为非线性规划问题2024/7/25最优化方法221.1 最优化问题简介8. 非线性最优化非线性最优化 模型模型1.1.1中的函数中有一个关于中的函
10、数中有一个关于x是非线性的，就称为是非线性的，就称为非线性最优化问题。非线性最优化问题。9. 可行点可行点feasible point10.可行域可行域feasible region 一切可行点的全体称为可行域。一切可行点的全体称为可行域。2024/7/25最优化方法231.1 最优化问题简介11、有效约束、有效约束active constraint和无效约束和无效约束inactive constraint2024/7/25最优化方法24例例1.11.1 最优化问题简介2024/7/25最优化方法251.1 最优化问题简介13、有效集、有效集在一个可行点，一切有效约束的全体被称为该可行点在一个
11、可行点，一切有效约束的全体被称为该可行点的有效集，记为的有效集，记为14、可行域的内点、可行域的内点15、可行域的边境、可行域的边境不是内点的可行点称为可行域的边境点不是内点的可行点称为可行域的边境点2024/7/25最优化方法261.1 最优化问题简介15、最优解、严厉最优解、最优解、严厉最优解2024/7/25最优化方法271.1 最优化问题简介16、部分最优解、严厉部分最优解、部分最优解、严厉部分最优解那么称那么称x*为最优化问题为最优化问题1.1.1的部分最优解，的部分最优解，假设不等式严厉成立，那么称为严厉部分最优解。假设不等式严厉成立，那么称为严厉部分最优解。2024/7/25最优
12、化方法281.1 最优化问题简介例例1.2 以下图中的决策变量哪些是部分极小解，哪些是严厉以下图中的决策变量哪些是部分极小解，哪些是严厉部分极小解？部分极小解？2024/7/25最优化方法291.1 最优化问题简介17、凸规划、凸规划假设最优化问题的目的函数是凸的，可行假设最优化问题的目的函数是凸的，可行域是凸集，那么问题的任何最优解不一域是凸集，那么问题的任何最优解不一定独一必是全局最优解，这样的最优化定独一必是全局最优解，这样的最优化问题称为凸规划。问题称为凸规划。2024/7/25最优化方法301.2 凸集和凸函数凸集和凸函数一凸集一凸集1、凸集的定义、凸集的定义2024/7/25最优化方法312、凸集的例子、凸集的例子1.2 凸集和凸函数凸集和凸函数2024/7/25最优化方法323、凸集的性质、凸集的性质1.2 凸集和凸函数凸集和凸函数2024/7/25最优化方法331.2 凸集和凸函数凸集和凸函数2024/7/25最优化方法341.2 凸集和凸函数凸集和凸函数2024/7/25最优化方法35证明：归纳法由凸集的定义知当证明：归纳法由凸集的定义知当m=2显然成立，显然成立，假设当假设当m=k时成立，验证当时成立，验证当m=k+1时成立。时成立。1.2 凸集和凸函数凸集和凸函数2024/7/25最优化方法361.2 凸集和凸函数凸集和凸函数
