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1、第三章第三章稳恒电流稳恒电流第三章第三章稳恒电流稳恒电流在前两章我们学习了静电场及静电场中的在前两章我们学习了静电场及静电场中的导体和电介质，静电场是电现象最简单的导体和电介质，静电场是电现象最简单的情形，即电场强度的大小与方向在空间各情形，即电场强度的大小与方向在空间各点均保持不变。要得到静电场，一种情况点均保持不变。要得到静电场，一种情况是一带电体系中电荷保持相对静止，另一是一带电体系中电荷保持相对静止，另一种情况是本章要学习的稳恒电流的情况。种情况是本章要学习的稳恒电流的情况。存在于导体内部的，大小不随时间发生变存在于导体内部的，大小不随时间发生变化的恒定的电流，就是所谓稳恒电流。化的恒
2、定的电流，就是所谓稳恒电流。主要内容主要内容1. 1. 电流的稳恒条件电流的稳恒条件2. 2. 欧姆定律的微分形式及物理意义欧姆定律的微分形式及物理意义3. 3. 电动势电动势3.1 3.1 电流的稳恒条件和导电规律电流的稳恒条件和导电规律 1.1.电流强度电流强度 电流密度矢量电流密度矢量 2.2.电流的连续方程电流的连续方程 稳恒条件稳恒条件 3.3.欧姆定律欧姆定律 电阻电阻 电阻率电阻率 4.4.电功率电功率 焦耳定律焦耳定律 5.5.金属导电的经典微观解释金属导电的经典微观解释3.1.1 1.1 电流强度电流强度 电流密度矢量电流密度矢量1.产生电流的条件有两个：产生电流的条件有两个
3、：（1）存在可以自由移动的电荷（自由电荷）；）存在可以自由移动的电荷（自由电荷）；（2）存在电场）存在电场2.电流的方向：电流的方向：规规定定正正电电荷荷流流动动的的方方向向为为电电流流的的方方向向。在在岛岛体体中中电电流流的的方方向向总总是是沿沿着着电电场场方方向向，从从高高电电位位处处指指向向低电位处。低电位处。3.3.电流强度电流强度 单单位位时时间间内内通通过过导导体体任任一一横横截截面面的的电电量量叫叫做做电电流流强强度度，用用I I来来描描述述。单单位位：安安培培，简简称称安安，用用A A表表示示。如如果果在在一一段段时时间间t t内内，通通过过导导体体任任一一横横截截面面的的电量
4、是电量是q q，那么电流强度就是，那么电流强度就是 I=I=q/q/t t4.电流密度矢量电流密度矢量 电电流流密密度度是是一一个个矢矢量量用用j j表表示示， 这这矢矢量量在在导导体体中中各各点点的的方方向向代代表表该该点点电电流流的的方方向向，其其数数值值等等于于通通过过该该点点单单位位垂垂直直截截面面的的电电流流强强度度。表表达达式式：j=j=dI/dsdI/ds通通过过导导体体中中任任意意截截面面S的的电电流流强强度度I与与电电流流密密度度矢矢量的关系为：量的关系为：由由此此可可见见，电电流流密密度度j和和电电流流强强度度I的的关关系系，就就是是一一个个矢矢量量场场和和它它的的通通量量
5、的的关关系系。从从电电流流密密度度的的定义可以看出，它的单位是：安培定义可以看出，它的单位是：安培/米米23.1.2 1.2 电流的连续方程电流的连续方程 稳恒条件稳恒条件 1.电流的连续方程电流的连续方程 在在导导体体内内取取任任一一闭闭合合曲曲面面S，则则根根据据电电荷荷守守恒恒定定律律，在在某某段段时时间间内内由由此此面面流流出出的的电电量量等等于于在在这这段段时时间间内内S面面内内包包含含的的电电量量的的减减少少。像像以以前前表表述述高高斯斯定定理理那那样样，在在S面面上上处处处处取取外法线，则在单位时间里由外法线，则在单位时间里由S面流出的电量应等于面流出的电量应等于设设这这段段时时
6、间间dt包包含含在在S面面内内的的电电量量增增量量为为dq，则则在在单单位位时时间间里里S面内的电量减少为面内的电量减少为-dq/dt。二者数值相等，即。二者数值相等，即:上上式式就就是是电电流流连连续续方方程程（积积分分形形式式）。表表示示电电流流线线是是终终止止或或发发出出于于电电荷荷发发生生变变化化的的地地方方。其其含含义义是是如如果果闭闭合合面面S内内正正电电荷荷积积累累起起来来，则则流流入入S面面内内的的电电量量必必大大于于S面面流流出出的的电电量量，也也就就是是说说，进进入入S面面的的电电流流线线多多于于从从S面面出出来来的的电电流流线线，所所多多余余的的电电流流线线便便终终止止于
7、于正正电电荷荷积积累累的的地地方。方。2. 2. 稳恒电流稳恒电流稳稳恒恒电电流流指指电电流流不不随随时时间间变变化化，这这就就要要求求电电荷荷的的分分布布不不随随时时间间变变化化，因因而而电电荷荷产产生生的的电电场场是是稳稳恒恒电电场场，即即静静电电场场。因因此此，在在稳稳恒恒条条件件下下，对对于于任任意意闭闭合合曲曲面面S，面面内内的的电电量量不不随时间变化，即，随时间变化，即，dq/dt=0，由此得，由此得:上上式式叫叫做做电电流流的的稳稳恒恒条条件件，它它表表明明，通通过过S面面一一侧侧流流入入的的电电量量等等于于从从另另一一侧侧流流出出的的电电量量。电电流流线线连连续续地地穿穿过过闭
8、闭合合曲曲面面包包围围的的体体积积。因因此此稳稳恒恒电电流流的的电电流流线线不不可可能能在在任任何何地地方方中中断断，它们永远是闭合曲线。它们永远是闭合曲线。 3.1.33.1.3欧姆定律欧姆定律 电阻电阻 电阻率电阻率 1.欧姆定律欧姆定律电阻和电导电阻和电导加加在在导导体体两两端端的的电电压压不不同同，通通过过导导体体的的电电流流也也不不同同。精精确确的的实实验验表表明明，在在稳稳恒恒条条件件下下，通通过过一一段段导导体体的的电电流流强强度度和和导导体体两端的电压成正比，即：两端的电压成正比，即：这个结论叫做欧姆定律。这个结论叫做欧姆定律。数数学学表表达达式式：I=U/R，或或U=IR。式
9、式中中的的比比例例系系数数由由导导体体的的性性质质决决定定，叫叫做做导导体体的的电电阻阻,R=U/I。电电阻阻的的单单位位伏伏特特/安安培培，这这单单位位叫叫做做欧欧姆姆，写写作作欧欧或或希希腊腊字字母母。电电阻阻的的倒倒数数叫叫做做电电导导，用用G表示，表示，G=1/R,电导的单位是西门子。电导的单位是西门子。2.2.电阻率和电导率电阻率和电导率 导导体体电电阻阻的的大大小小与与导导体体的的材材料料和和几几何何形形状状有有关关。实实验验表表明明，对对于于由由一一定定材材料料制制成成的的横横截截面面均均匀匀的的导导体体，它它的的电电阻阻R R与与长度长度l l成正比，与横截面成正比，与横截面S
10、 S成反比。写成等式，有成反比。写成等式，有 上上式式中中的的比比例例系系数数由由导导体体的的材材料料决决定定，叫叫做做材材料料的的电电阻阻率率。 当当导导线线的的截截面面S S或或电电阻阻率率不不均均匀匀时时，上上式式应应写写成成下下列积分式：列积分式： 由此看出阻率的单位是由此看出阻率的单位是: :欧姆欧姆米，简写为：欧米，简写为：欧米。米。 电电阻阻率率的的倒倒数数叫叫做做电电导导率率，用用表表示示， =1/=1/。电电导导率的单位是西门子率的单位是西门子/ /米。米。3.欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式我我们们知知道道，电电荷荷的的流流动动是是由由电电场场来来推推动动的的，因因此此
11、电电场场j的的分分布布和和电电场场E的的分分布布密密切切相相关关。它它们们的的关关系系可可由由上上述述欧欧姆姆定定律律I=U/R推导出。推导出。设设想想在在导导体体的的电电流流场场内内取取一一小小电电流流管管，设设其其长长度度为为l，垂垂直直截截面面为为S。把把欧欧姆姆定定律律用用于于这这段段电电流流管管，则则有有：l=U/R。式式中中I=jS为为管管内内的的电电流流强强度度。U为为沿沿这这段段电电流流管管的的电电位位降降落落，而而U=El。R=l/S。把把这这些些代代入入上上式式即即得得：j=E。写成矢量形式为：写成矢量形式为：这这个个公公式式叫叫做做欧欧姆姆定定律律的的微微分分形形式式。它
12、它表表明明，与与方方向向一致，数值上成比例。一致，数值上成比例。3.1.4 3.1.4 电功率电功率 焦耳定律焦耳定律 1.1.电功率电功率 若若电电路路两两端端的的电电压压为为U U，则则当当q q单单位位的的电电荷荷通通过过这这段段电电路路时时，电电场场力力所所做做的的功功为为A=A=qUqU。因因为为q=Itq=It，所所以以上上式式可可以以写写成成A=A=UItUIt。电电场场在在单单位位时时间间内内所所做做的的功功，叫做电功率。如果用叫做电功率。如果用P P表示电功率，那么可得表示电功率，那么可得即即电电功功率率等等于于电电路路两两端端的的电电压压和和通通过过电电路路的的电电流流强强
13、度度的乘积。的乘积。 功的单位为焦耳，功率的单位为瓦特功的单位为焦耳，功率的单位为瓦特。2.2.焦耳定律焦耳定律 如果一段电路只包含电阻，而不包含电动机、电解槽等其如果一段电路只包含电阻，而不包含电动机、电解槽等其他转换能量的装置，那么电场所做的功全部转化成热。这时，他转换能量的装置，那么电场所做的功全部转化成热。这时，根据能量转化和守恒定律，则根据能量转化和守恒定律，则Q=A=Q=A=UItUIt，由欧姆定律，由欧姆定律U=IRU=IR或或I=U/R I=U/R ，可以把上式写成，可以把上式写成:Q=I:Q=I2 2 RtRt或或Q=Q=（U U2 2/R/R）t t （1 1）这就是焦耳定
14、律，式中热量这就是焦耳定律，式中热量Q Q的单位为焦耳。的单位为焦耳。 因因为为功功率率P=A/T=Q/tP=A/T=Q/t，由由式式（1 1）可可以以得得出出电电流流通通过过电电阻阻时时发热的功率：发热的功率： P=IP=I2 2 R R 或或P=UP=U2 2/R/R （2 2） 注注意意：式式（2 2）和和式式 P=UI P=UI 是是有有区区别别的的，UIUI是是一一段段电电路路消消耗耗的的全全部部功功率率，而而 （2 2）式式只只是是由由于于电电阻阻发发热热而而消消耗耗的的电电功功率率。当当电电路路中中只只有有电电阻阻元元件件时时，消消耗耗的的电电能能全全部部转转化化成成热热，这这两
15、两种种功功率率是是一一样样的的。但但是是，当当电电路路中中除除了了电电阻阻外外还还有有电电动动机机、电电解解槽槽等等其其它它转转换换能能量量的的装装置置时时，这这两两种种功功率率并并不不相相等等，必必须须分分别别计计算算。3.1.5 3.1.5 金属导电的经典微观解释金属导电的经典微观解释 如果在金属导体中加了电场以后，每个自由电子的轨迹将如果在金属导体中加了电场以后，每个自由电子的轨迹将逆着电场发生逆着电场发生“飘移飘移”。这时可以认为自由电子的总速度是由。这时可以认为自由电子的总速度是由它的热运动速度和因电场产生的附加定向速度两部分组成，前它的热运动速度和因电场产生的附加定向速度两部分组成
16、，前者的矢量平均仍为者的矢量平均仍为0 0，后者的平均叫做漂移速度，下面用，后者的平均叫做漂移速度，下面用 来表示它。正是这种宏观上的飘移运动形成了宏观电流。来表示它。正是这种宏观上的飘移运动形成了宏观电流。 自由电子在电场中获得的加速度为自由电子在电场中获得的加速度为: : 电电子子在在电电场场力力的的作作用用下下从从零零开开始始作作匀匀加加速速运运动动，到到下下次次碰碰撞之前，他获得的定向速度为撞之前，他获得的定向速度为: : 式中式中 为电子在两次碰撞之间的平均自由飞行时间为电子在两次碰撞之间的平均自由飞行时间. . 在在一一个个平平均均自自由由程程内内电电子子的的漂漂移移速速度度等等于
17、于自自由由程程起起点点的的速度和终点的末速度速度和终点的末速度的平均，即的平均，即和和气气体体分分子子运运动动论论中中一一样样，电电子子的的平平均均飞飞行行时时间间（即即平平均均碰碰撞撞速速率率的的倒倒数数）与与其其平平均均自自由由程程和和平平均均热热运运动动速速率率,有如下关系：有如下关系：所以：所以：(1)因因为为e,m,都都与与电电场场强强度度无无关关，故故上上式式说说明明了了自自由由电电子的漂移速度子的漂移速度与与成正比。成正比。 如如图图所所示示，以以S S为为底底， u ut t为为高高作作一一柱柱体体，则则此此柱柱体体内内的的全全部部自自由由电电子子将将在在t t时时间间间间隔隔
18、内内通通过过S S 。因因柱柱体体的的体体积积为为u ut tS S ，故故柱柱体体内内共共有有nunut tS S个个自自由由电电子子。每每个个电电子子带带电电量量的的绝绝对对值值为为e e，所所以以在在t t内内通通过过S S的的电电量量为为q= q= neuneut tS S 从而电流强度和电流密度的数值为从而电流强度和电流密度的数值为 I=I=q/q/t = t = neuneuS S j= j=I/I/S=S=neuneu 与与 方向相反，上式的矢量式为方向相反，上式的矢量式为 =-=-nene (2) (2) Sutj把式（把式（1）代入式（）代入式（2），得），得金金属属中中自自
19、由由电电子子的的数数密密度度n是是常常数数，与与无无关关，因因此此金金属属导导体体内内的的电电流流密密度度与与场场强强成成正正比比，这这就就是是欧欧姆姆定定律律的微分形式。由此可以看出电导率的微分形式。由此可以看出电导率这这样样，我我门门就就用用经经典典的的电电子子理理论论结结实实了了欧欧姆姆定定律律，并并导导出出了电导率与微观量平均值之间的关系式了电导率与微观量平均值之间的关系式。3.2电源及其电动势电源及其电动势 1.非静电力非静电力 2.2.电动势电动势 3.3.电源的路端电压电源的路端电压3.2.13.2.1非静电力非静电力 1.21.2节节分分析析表表明明，稳稳恒恒电电流流线线必必然
20、然是是闭闭合合的的。然然而而进进一一步步分分析析可可知知，仅仅有有静静电电场场不不可可能能实实现现稳稳恒恒电电流流。我我们们知知道道静静电场的一个重要性质是电场的一个重要性质是 即即电电场场力力沿沿闭闭合合回回路路移移动动电电荷荷所所做做的的功功为为0 0。由由于于导导体体存存在在电电阻阻，电电场场力力移移动动电电荷荷所所做做的的功功转转化化为为电电阻阻上上消消耗耗的的焦焦耳耳热热，这这就就不不可可能能使使电电荷荷再再返返回回电电位位能能较较高高的的原原来来的的位位置置，即即电电流流线线不不可可能能是是闭闭和和的的。结结果果引引起起电电荷荷堆堆积积，破破坏坏稳稳恒恒条条件。因此要维持稳恒电流，
21、必须有非静电力。件。因此要维持稳恒电流，必须有非静电力。 提提供供非非静静电电力力的的装装置置称称为为电电源源。用用K K 表表示示作作用用在在单单位位正正电电荷荷上上的的非非静静电电力力。在在电电源源的的外外部部只只有有静静电电场场E E；在在电电源源内内部部，除除了了静静电电场场E E之之外外，还还有有非非静静电电力力K K，K K的的方方向向与与E E的的方方向向相相反反。因因此此，普普遍遍的的欧欧姆姆定定律律的的微微分分形形式式是是:j=:j=(K+E(K+E),),由由此此可可见见，电电流流是是静静电电力力和和非非静静电电力力共共同同作作用的结果。用的结果。电源的原理电源的原理 电电
22、源源有有两两个个电电极极，电电位位高高的的叫叫做做正正极极，电电位位低低的的叫叫做做负负极极。非非静静电电力力由由负负极极指指向向正正极极。当当电电源源的的两两极极被被导导体体从从外外面面连连通通后后，在在静静电电力力的的推推动动下下形形成成由由正正极极到到负负极极的的电电流流。在在电电源源内内部部，非非静静电电力力的的作作用用使使电电流流从从内内部部由由负负极极回回到到正正极，使电荷的流动形成闭合的循环。极，使电荷的流动形成闭合的循环。3.2.2 3.2.2 电动势电动势 一一个个电电源源的的电电动动势势定定义义为为把把单单位位正正电电荷荷从从负负极极通通过过电电源源内内部部移移到到正正极极
23、时时，非非静静电电力力所所做做的的功功。用用公式来表示，则有公式来表示，则有 一一个个电电源源的的电电动动势势具具有有一一定定的的数数值值，它它与与外外电电路路的的性性质质以以及及是是否否接接通通没没关关系系，它它反反映映电电源源中中非非静静电电力力作作功功的的本本领领，是是表表征征电电源源本本身身的的特特征征量量。电电动动势是标量。单位是伏特。势是标量。单位是伏特。 3.2.3 3.2.3 电源的路端电压电源的路端电压路端电压是静电场力把单位正电荷从正极移到负极所做的路端电压是静电场力把单位正电荷从正极移到负极所做的功，即功，即: : 这里积分路径是任意的。我们选择积分路径通过电源内部。这里
24、积分路径是任意的。我们选择积分路径通过电源内部。根据式根据式: : 代入前式，得代入前式，得: : 总结起来，电源的路端电压公式为总结起来，电源的路端电压公式为: : 放电：放电： U=U+-U-= U=U+-U-= - -IrIr （1 1） 充电：充电： U=U+-U-= U=U+-U-= + +IrIr （2 2） IrIr称为电源内阻上的电位降。称为电源内阻上的电位降。（1 1）式表明放电时路端电压小于电动势；）式表明放电时路端电压小于电动势；（2 2）式表明充电时路端电压大于电动势。）式表明充电时路端电压大于电动势。电动势与路端电压之差等于内阻电位降。当电动势与路端电压之差等于内阻电
25、位降。当I=0I=0时，内阻时，内阻电位降为电位降为0 0，则，则U=U=如果电源内阻如果电源内阻r=0r=0，则无论电流有无或电流沿什么方向，则无论电流有无或电流沿什么方向，端电压端电压U U总等于总等于，即电压是恒定的。这样的电源叫做理，即电压是恒定的。这样的电源叫做理想电压源想电压源3.3简单电路和复杂电路 1.简单电路 2.复杂电路3.3.1 3.3.1 简单电路简单电路简简单单的的直直流流电电路路包包括括串串联联电电路路、并并联联电电路路，以以及及平平衡衡的的桥桥路路和和补补偿偿电电路路。实实际际常常见见的的直直流流电电路路相相当当大大一一部部分分可可以以归归结为这类简单电路或它们的
26、组合。结为这类简单电路或它们的组合。1.1.串联电路串联电路把把多多个个电电阻阻一一个个接接一一个个地地串串联联起起来来，使使电电流流只只有有一一条条通通路路，这这样样的的连连接接方方式式叫叫做做串串联联。串串联联电电路路的的基基本本特特点点是是通通过过各各电阻元件的电流强度电阻元件的电流强度I I相同相同 2. 2. 并联电路并联电路把把多多个个电电路路并并排排地地接接起起来来，使使电电路路有有两两个个公公共共联联接接点点和和多多条条通通路路，这这样样的的联联接接方方式式叫叫做做并并联联。并并联联的的基基本本特特点点是是各各电阻两端有相同的电压电阻两端有相同的电压 复杂电路的定义复杂电路的定义 一个复杂电路是多个电源和多个电阻的复杂联接。一个复杂电路是多个电源和多个电阻的复杂联接。1.1.支路支路通常把电源和电阻串联而构成的通路叫支路，在支路中电流通常把电源和电阻串联而构成的通路叫支路，在支路中电流强度处处相等。强度处处相等。2.2.节点节点三条或更多条支路的联接点叫做节点或分支点。三条或更多条支路的联接点叫做节点或分支点。3.3.回路回路几条支路构成的闭合通路叫回路。几条支路构成的闭合通路叫回路。复杂电路中，各支路的联接形成多个节点和多个回路复杂电路中，各支路的联接形成多个节点和多个回路3.3.23.3.2复杂电路复杂电路
