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1、第二十七章第二十七章 反比例函数反比例函数第第3 3课时课时 反比例函数图像与反比例函数图像与 性质的常见题型性质的常见题型习题课习题课名师点金名师点金 反比例函数反比例函数图像的位置及增减性由像的位置及增减性由k的符号决定，的符号决定，|k|决定决定图像上一点向两坐像上一点向两坐标轴所所作垂作垂线与两坐与两坐标轴围成的矩形面成的矩形面积，中考，中考时常将反比例函数常将反比例函数图像和性像和性质与其他函数、与其他函数、几何几何图像像综合在一起合在一起进行考行考查，是中考，是中考压轴题中一个重要的命中一个重要的命题方向方向1题型利用反比例函数解与图形旋转相关的问题利用反比例函数解与图形旋转相关的
2、问题1.如如图，ABC的的顶点坐点坐标为A(2，3)，B(3，1)，C(1，2)，以坐，以坐标原点原点O为旋旋转中心，中心，顺时针旋旋转90，得到，得到ABC，点，点B，C分分别是点是点B，C的的对应点求：点求： (1)过点点B的反比例函数的表达式；的反比例函数的表达式； (2)线段段CC的的长(1)由由题易得点易得点B的的对应点点B的坐的坐标为(1，3)， 设过点点B的反比例函数表达式的反比例函数表达式为 k313. 过点点B的反比例函数表达式的反比例函数表达式为解：解：(2)连接接OC，OC. 点点C的坐的坐标为(1，2)， OC ABC以坐以坐标原点原点O为旋旋转中心，中心，顺时针旋旋
3、转90，得到，得到ABC，点，点C是点是点C的的对应点，点， OCOC5，COC90. CC2利用反比例函数解与图形的轴对称相关的问题利用反比例函数解与图形的轴对称相关的问题题型2.如如图，一次函数，一次函数yxb的的图像与反比例函数像与反比例函数y (k为常数，常数，k0)的的图像交于点像交于点A(1，4)和点和点 B(a，1) (1)求反比例函数的表达式求反比例函数的表达式 和和a，b的的值； (2)若若A，O两点关于直两点关于直线l对 称，称，请连接接AO，并求出直，并求出直线l与与线段段AO的交的交 点坐点坐标(1)点点A(1，4)在反比例函数在反比例函数 (为常数，常数， k0)的的
4、图像上，像上， k144. 反比例函数的表达式反比例函数的表达式为 把点把点A(1，4)，B(a，1)的坐的坐标分分别代入代入yxb， 得得 解得解得解：解：(2)如如图，设线段段AO与直与直线l相交于点相交于点M. A，O两点关于直两点关于直线l对称，称， 点点M为线段段OA的中点的中点 点点A(1，4)，O(0，0)， 点点M的坐的坐标为 即直即直线l与与线段段AO的交点坐的交点坐标为3利用反比例函数解与图形的中心对称相关的问题利用反比例函数解与图形的中心对称相关的问题题型3如如图，直，直线y x 与与x，y轴分分别交于点交于点A， B，与反比例函数，与反比例函数y (k0)的的图像交于点
5、像交于点C，D， 过点点A作作x轴的垂的垂线交交该反比例函数反比例函数图像于点像于点E. (1)求点求点A的坐的坐标 (2)若若AEAC. 求求k的的值 试判断点判断点E与点与点D是否关是否关 于原点于原点O成中心成中心对称，称， 并并说明理由明理由(1)当当y0时，得，得0 x ，解得，解得x3. 点点A的坐的坐标为(3，0)解：解：(2)如如图，过点点C作作CFx轴于点于点F. 设AEACt，易知点，易知点E的坐的坐标是是(3，t)， 在在RtAOB中，中， 易知易知OB ，OA3， AB AB2OB. OAB30. CAF30.CF t.点点C的坐的坐标是是又又点点C与点与点E均在反比例
6、函数均在反比例函数 (k0)的的图像上，像上， 解得解得t10(舍去舍去)，t22 .k3t6 .点点E与点与点D关于原点关于原点O成中心成中心对称理由如下：称理由如下： 设点点D的坐的坐标是是 则 解得解得x16(舍去舍去)，x23. 点点D的坐的坐标是是(3，2 ) 又又点点E的坐的坐标为(3，2 )， 点点E与点与点D关于原点关于原点O成中心成中心对称称4利用反比例函数解与图形的平移相关的问题利用反比例函数解与图形的平移相关的问题4如如图，反比例函数，反比例函数y 与一次函数与一次函数yaxb的的图 像交于点像交于点A(2，2)， B ( ，n). (1)求求这两个函数表达式；两个函数表
7、达式； (2)将一次函数将一次函数yaxb的的图像沿像沿y 轴向下平移向下平移m个个单位位长度，使平度，使平 移后的移后的图像与反比例函数像与反比例函数y 的的图像有且只有一个交点，像有且只有一个交点， 求求m的的值题型解：解：(1)A(2，2)在反比例函数在反比例函数y 的的图像上，像上， k4. 反比例函数的表达式反比例函数的表达式为y 又又点点B 在反比例函数在反比例函数y 的的图像上，像上， n4，解得，解得n8， 即点即点B的坐的坐标为由由A(2，2)，B 在一次函数在一次函数yaxb的的 图像上，像上， 得得 解得解得(2)由由(1)得，一次函数的表达式得，一次函数的表达式为y4x
8、10. 将直将直线y4x10向下平移向下平移m个个单位位长度得直度得直 线对应的函数表达式的函数表达式为y4x10m， 直直线y4x10m与双曲与双曲线y 有且只有且只 有一个交点，有一个交点， 令令 4x10m ，得，得4x2(m10)x40， (m10)2640， 解得解得m2或或m18.5利用反比例函数解与最值相关的问题利用反比例函数解与最值相关的问题5如如图，已知点，已知点A(1，a)是反比例函数是反比例函数y 的的图像像 上一点，直上一点，直线y x 与反比例函数与反比例函数y 的的图像在第四象限的交点像在第四象限的交点为点点B. (1)求直求直线AB对应的函数表达式；的函数表达式；
9、 (2)动点点P(x，0)在在x轴的正半的正半轴上上 运运动，当，当线段段PA与与线段段PB的的 长度之差达到最大度之差达到最大时，求点，求点P 的坐的坐标题型解：解：(1)将将A(1，a)的坐的坐标代入代入y 中，得中，得a3， A(1，3) B点是直点是直线y x 与反比例函数与反比例函数 y 的的图像在第四象限的交点，像在第四象限的交点，由由点点B的坐的坐标为(3，1) 设直直线AB对应的函数表达式的函数表达式为ykxb， yx4.(2)当当P点点为直直线AB与与x轴的交点的交点时，线段段PA与与线 段段PB的的长度之差最大度之差最大 直直线AB对应的函数表达式的函数表达式为yx4， 点
10、点P的坐的坐标为(4，0)6利用反比例函数解与最值相关的问题利用反比例函数解与最值相关的问题6. 如如图，在平面直角坐，在平面直角坐标系中，直系中，直线y2x与反比与反比 例函数例函数y 在第一象限内的在第一象限内的图像交于点像交于点A(m， 2)将直将直线y2x向下平移后与反比例函数在第向下平移后与反比例函数在第 一象限内的一象限内的图像交于点像交于点P， 且且POA的面的面积为2. 求：求：(1)k的的值； (2)平移后的直平移后的直线对应的函的函 数表达式数表达式题型解：解：(1)点点A(m，2)在直在直线y2x上，上， 22m. m1. 点点A的坐的坐标为A(1，2) 又点又点A(1，
11、2)在反比例函数在反比例函数y 的的图像上，像上， k2.(2)如如图，设平移后的直平移后的直线与与y轴交于点交于点B，连接接AB，则 SOABSOAP2. 过点点A作作y轴的垂的垂线AC，垂足，垂足为点点C， 则AC1. OBAC2. OB4. 平移后的直平移后的直线对应的函的函 数表达式数表达式为y2x4.7题型利用反比例函数解与一次函数、三角形面积综合的问题利用反比例函数解与一次函数、三角形面积综合的问题7.如如图，平行四，平行四边形形ABCD的两个的两个顶点点A，C在反比例函数在反比例函数 (k0)图象上，点象上，点B，D在在x轴上，且上，且B，D两点关两点关 于原点于原点对称，称，A
12、D交交y轴于于P点点 (1)已知点已知点A的坐的坐标是是(2，3)， 求求k的的值及及C点的坐点的坐标； (2)若若APO的面的面积为2，求，求 点点D到直到直线AC的距离的距离解：解：(1)点点A的坐的坐标是是(2，3)，且点，且点A在反比例函数在反比例函数 (k0)图象上，象上， k6， 又易知点又易知点C与点与点A关于原点关于原点O对称，称， C点的坐点的坐标为(2，3) (2)APO的面的面积为2，点，点A的坐的坐标是是(2，3)， 2 ，解得，解得OP2， 点点P的坐的坐标为(0，2)设过点点P(0，2)，点，点A(2，3)的直的直线对应的函数的函数表达式表达式为yaxb， 解得解得 即直即直线PA对应函数的解析式函数的解析式为y x2. 将将y0代入代入y x2，得，得x4，D点的坐点的坐标为(4，0)OD4，A(2，3)，C(2，3)，AC 设点点D到到AC的距离的距离为m，SACDSODASODC， 解得解得m ，即点，即点D到直到直线AC的距离是的距离是
