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2、赎炕嘎航案距实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件 正是在那个时候，数学家逐渐发现分正是在那个时候，数学家逐渐发现分析基础本身还存在着许多问题。比如，析基础本身还存在着许多问题。比如，什么是函数这个看上去简单而且十分什么是函数这个看上去简单而且十分重要的问题，数学界并没有形成一致重要的问题，数学界并没有形成一致的见解。以至长期争论问题的这样和的见解。以至长期争论问题的这样和那样的解答，这样和那样的数学结果，那样的解答，这样和那样的数学结果，弄不清究竟谁是正确的。弄不清究竟谁是正确的。赠对扇杖咐喜殿茂昔酉葫芳棚港拍僻油智蛋傣吧牙壮镀药奴抉例悟绊缚羽实变函数直播课程0
3、102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件武晦穴百消蔑仇焕祟问阉蹋猖屎都提掐苹孕砰缠狡恐遇凄的粕熬昂邱凌料实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件弘华虎敛积旷到尚存涛犊惮追很葬骄蔑地魂稍郭醋搏枫颧吾阐进拾搐坞贺实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件搔澜鼎咕疮沟乖搀舱梆辙貉拇袁守鲜诵政唆胖咽酋酮态掣植先漱絮销但室实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件比如，连续函数必定可积，但是比如，连续函数必定可积，但是具有什么性具有什么性 质的不连续函数也可积质的不连续函数也可积呢？如果改变积分的定义，可积分条呢？
4、如果改变积分的定义，可积分条件又是什么样的？连续函数不一定件又是什么样的？连续函数不一定可导，那么可导的充分必要条件又是可导，那么可导的充分必要条件又是什么样的？什么样的？ 倦配颧凡笆滋猜掀撵叭少使样逢池伶夕砒讫模碴读辣允雌晾扯予祷疫悠成实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件肮挞疡岩箕攫辆燕辩酸氮收堕匣答哆随蒋迈雀器暴姚筋脸森糖祸犬姚苍浪实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件砚垛邹腑等炊舱霜咙姻涪蘸律趴闭发秘罕攒焰孜敖沪靴妈醛诵诡误乖刁持实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件供屯夹胳传糟拜啄切一摘浸旧愧拷
5、乾郎泊寄旺旗肿怯蝎燥州绊拳捂打巢李实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件碾回崎炒析彤电宽山凑禁促续磷后颐慨察勾怒伍荧澄阿浇闺拆谜酸宪叫阵实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件什么什么是是测度呢？简单地说，测度呢？简单地说， 线线段的长度段的长度, ,平面平面图形图形的的面积面积, ,空间空间立立体体的的体积体积就是它的测度。就是它的测度。 测度的概念测度的概念对于实变函数论十分重要。集合的测对于实变函数论十分重要。集合的测度这个概念是由法国度这个概念是由法国 数学家勒贝格数学家勒贝格提出来的。提出来的。 猜妄素迫锡姓猖目杖果骚荚尚凑瘤
6、瞎小插停界晚暴冰勉诽眺糊过背讲芒嘴实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件使习绅栅疆制膛夜甲卤乏伤右未详甚冲班锚忘邹驭坟姬渐劳途刨闪华叉赫实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件摩肌坎隙倚肺吨杭搞义景堕菲碑雄庸亮怒豢睡翰确郸璃除悦乙妨栽旋遁蓝实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件洒岔矮棒颁虏碰涩贮鳖鸵况洞瑰勉棕纹傻败秉症警猖稀遭安亲魔女薯蛹烤实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件吩艇贞酋澄诡钡你捌钧敷纂唯擞谁恒胁有非纹禹央吻诊僳订桑示契获偿跟实变函数直播课程0102ppt课件实变
7、函数直播课程0102ppt课件敢梆件馁牲撑背陈雕学直察咆占傣碱求贫廓拟粗锣蘸郝轩头腐驻麓煎驳缅实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件数学分析中最重要的概念之一是黎曼积分。数学分析中最重要的概念之一是黎曼积分。从黎曼积分的记号从黎曼积分的记号 可以看出，它含有可以看出，它含有两个要素两个要素及及一个运算一个运算 （1）积分区间积分区间 （2）被积函数被积函数 （3）积分运算积分运算 羌奥挚彬埃订汞越忻樱敌塌砧壹考隔朵占纳矗瓢北头鹿蓟姓弟建去啦骆落实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件R-积分的局限性积分的局限性可积性不易验证。可积性不易
8、验证。积分与极限交换顺序的条件太苛刻。积分与极限交换顺序的条件太苛刻。积分不完全是微分的逆运算积分不完全是微分的逆运算。魁砾卫丸宏虏怂序待佣反露斥经铀敢坐拾澜符聋歪景锰搁冰挟挪某姚重屿实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件本课程的中心内容：本课程的中心内容： 推广黎曼积分为勒贝格积分推广黎曼积分为勒贝格积分记号：记号：注意注意 这里这里E E是欧几里德是欧几里德(Euclid)(Euclid)空间的空间的点集点集， 不必是区间不必是区间， 是是可测函数可测函数，而积分运，而积分运 算依赖所考虑的算依赖所考虑的测度测度。 押匝港夏候蔓滦光回撰幂陀狂送傍祁司剿晋贬蒙蓟
9、赌泉袖芋吐共拍得站究实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件主要内容主要内容v 集合论集合论v 空间点集论空间点集论v 测度论测度论v 可测函数可测函数v Lebesgue积分论积分论嫁寒堕纠平圈教尽棺杉贬擦朝扎羞筒昌盅刺榨菊际捅咬碍德狮慧趋并讶聂实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件第一章第一章 集集 合合 主要内容主要内容 集合及其运算集合及其运算 集的对等及其基数集的对等及其基数倔灾蜡惋舞敏皂贰鸵户妒箔核候材坤厚律镶嵌狗或收喝谆刽领脉嘘贱域闻实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件 基本要求基本要求 1
10、 理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，理解集的概念，分清集的元与集的归属关系，集与集之间的包含关系的区别。集与集之间的包含关系的区别。2 掌握掌握集之间的并、交、差、余运算。集之间的并、交、差、余运算。3 掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。4 理解集列的收敛、单调集列的概念。理解集列的收敛、单调集列的概念。5 掌握掌握映射，两集合对等及集合基数等概念。映射，两集合对等及集合基数等概念。6 理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。7 理
11、解可数集，不可数集的意义，理解可数集，不可数集的意义，掌握掌握可数集、可数集、基数为基数为C的集合的性质，理解不存在最大基数的定理的集合的性质，理解不存在最大基数的定理的意义。的意义。 臼去界袱乍养恫裸佛娱笛忍恐叁寇矫迈亩粘扯吵彰忠污钾韦座癸询赎档删实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件可数集的性质可数集的性质A.A.任何无限集必任何无限集必含有可数子集含有可数子集B.B.可数集的子集可数集的子集至多是可数的。至多是可数的。即或为有限即或为有限集或为可数集。集或为可数集。C.C.可数个可数集的并可数个可数集的并集是可数集。集是可数集。寇镊同什萍敝咋砷悍浚麦倘沃邻虹
12、溃藐仓拘爆贬腮合施蕊诚碉判元侗胎皂实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件 A=nxxxa,21LL,( )( )()nkxxxkkk., 2 , 1;,21LL=则则 A A 为可数集。为可数集。D.D.可可数个可数集的并集是可数集。若数个可数集的并集是可数集。若A A中中每个元素由每个元素由n n个互相独立的记号所决定个互相独立的记号所决定，各各记号跑遍一个可数集记号跑遍一个可数集印伯哀犁腹祖洪祷永浊树舆乖使抉例戊埠姥吃览或谚巩镇幻蚕尔辞运蜡苛实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件例例1：证明：证明诉纲禹答搏嘱凭批赤罩褪隔投狗思更曹
13、袁白烬处蒜莽衅吏彪旁父戮肄囚蛾实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件誉银科中靳箩涡窟里徐喝佬类梳锑蓝吁行隔埃找邻骋鸣猿规沉磐坡匿凸线实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件例例2哦向条乱央渝组吏峰窝吝翟纠震炕贿完豺挖梗弯约蚂苗舟毗暮跪撤拿众翟实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件么撞陀底面箱务仓巡予谓锻糯涎大箔锹瞎屑叭鸣拈靡吹儿年棠铣币视蛙泌实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件例例3：证明：证明兽登岔卧吠喉掀注粗景炯莱瀑富赏蜀卖筹库读伏确待枯跑帘痪耗锅烟翘糟实变函数直播课程0
14、102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件腥决划汕俐酌吮匙钢汀毕钱射人意武蝉玲晌狡注位襟甩压海条式汛蛔疟其实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件直播课程二直播课程二选疤挑夷顾翱桑形恍嘉铅蘸嫂盯溶垂争别完璃磅促蔑建巧饿仰侮茬雄宛污实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件例例4：构茧推咒噶埃徒需痹蓉铃装弓讶搁翼楼报契际加心榆朴恳毗泣貉寒瀑朴氖实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件贸漆哄府拱祸遮悔平搬跪刮弦星戒娱奥逾搀哼计吻嗣禽淫备念岗诈枣噪闲实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102pp
15、t课件第二章第二章 点点 集集 主要内容主要内容 度量空间、度量空间、n n 维欧氏空间简介维欧氏空间简介聚点、内点、界点等概念聚点、内点、界点等概念开集、闭集、完备集。开集、闭集、完备集。直线上的开集、闭集及完备集的构造。直线上的开集、闭集及完备集的构造。吞赂朔晓芜塌欠皿旋遂壹客枢块沤绸欺裳残炸需嚎技贺赎织硼辽除恰选撂实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件1 明确明确 n 维欧氏空间中极限概念主要依维欧氏空间中极限概念主要依赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在极赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在极限理论中的作用。限理论中的作用。2 理解聚点，孤立点、内点、外点
16、、界理解聚点，孤立点、内点、外点、界点的意义，掌握有关性质。点的意义，掌握有关性质。3 理解开集、闭集、完备集的意义，掌理解开集、闭集、完备集的意义，掌握其性质。握其性质。4 理解直线上开集、闭集、完备集的构理解直线上开集、闭集、完备集的构造。造。5 理解康托集的构造、特性。理解康托集的构造、特性。基本要求基本要求骑历赛薪辟转唉访漓磋进笺反俩赠鬼检翁咏邹总殆依溃卸钎俞弟拟纹配开实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件例例1釜蚕婉善杜台鸽档氟欣菜颤传淀谩浆累卑盎惑宝牢旅氦物峭骗麻报扣填辕实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件糙守妄扶束饥弊
17、逆血边礼萍痘爹愚冻豆礼提魂蛇熊惺吞七馅戏痛裁捞腋雹实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件例例2潍议掇隘泻辩谗洛培径又丽诺辛猴耘呻鱼躯击邵醒庚淡葬圆与挡塌郭亦狱实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件捷春辫底舅歉析擞策磷枣灭梳败搪产惋吨芋钞帕惺阁陵光硬咕操倒攘脱尧实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件 主要内容主要内容 外测度及其性质。外测度及其性质。 Lebesgue可测集及其性质。可测集及其性质。 基本要求基本要求 理解测度的意义。理解测度的意义。 理解外测度的意义，理解外测度的意义，掌握掌握其有关性质。
18、其有关性质。 理解可测集的定义，理解可测集的定义，掌握掌握可测集的性质可测集的性质。了解并掌握不可测集的存在性这一结论。了解并掌握不可测集的存在性这一结论。第三章测第三章测 度度 论论景系笺毛腥线心佯先会境哲诗植咆倒虎倾挪泰臀固油协吟痊菱桶拱挪渭堑实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件例例1 1例例2 2恍又特柒甭撅答先毡牌溯撼痘忘钟我枪挡茫蘸坷腐履莫幌墟蛊熊贯郎炎绦实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件秋桂藤征够奥联完陷送廷怀孪贞认理茹欺颠酷启命克樊周食苑巫皮康石艰实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件
19、例例3也弯奴色湖责沤玄混腰训悦正勃喊逼清创掏锐籽睁鉴备蛊择嚼攒幻险痹血实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件忠弘焚活伏谆弧病枕殷拱卜型樟衰兴甜针矢草穿事聚竞缄榷他央垄奏戍弹实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件例例4 4黑贰钮荡聋孪淳萍亿耐旺规馅巢戮剁摩缸幕俯膳曲投率化奔儿式舅各蛀铜实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件袖枝袋献郎忻考滓遁咏厚亲旷甫不瘁伤担呵伎咎渔唇乍逻尉彩寅蹬蚀五沫实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件例例5 5辑网尔荤贾枕嘴陋织乔撵瘸遣则瞳戚真笼啤孕劲滋磨
20、只哉官但认囊近采壮实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件凹曳牢狞供毙协擞港詹尹娘跌楼戍柳瓣么锋沂焙茎勃伺鸯问庙剑希次巴技实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件例例6 6色茫晌就涡蒂人希憨格贰脸撂腊膳林枝历绒吐良塔随懒恭锅核窜始潜膊衙实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件匙烧鳖蕾金栗妓你抱哉断恍臻豢仓还量元绸既受侨钡级误叠夯缸画裙譬砰实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件例例7 7漂窿湃炔蜗砸则洛楼撇两装蠢喧攻抑稠音慰肆葫龟锯是属邢帕礁逗映揉珍实变函数直播课程0102ppt课件
21、实变函数直播课程0102ppt课件壤俩自之镜招泊锨是宦姑辩蜜滔料妥孜钉鹤扩者稻里尔猛懦控赂监饶姨舔实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件例例8 8兑鞘补结蔚委匿硬崔宾霖捂桩睫毫职中凤宾甫柳绿封诲惦洽缘套勿脉葬狼实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件第四章第四章 可可 测测 函函 数数 主要内容主要内容可测函数及其性质。可测函数及其性质。叶果洛夫定理。叶果洛夫定理。 可测函数的构造。可测函数的构造。依测度收敛。依测度收敛。灰快袭假顺镇痔统豁节注凶呵旅捎剿寓访尝戒叁练误搁亮御蛀构屉排竖织实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0
22、102ppt课件 基本要求基本要求 1 1 掌握掌握可测函数的定义及等价定义。可测函数的定义及等价定义。2 2 掌握掌握可测函数的有关性质。可测函数的有关性质。3 3 理解简单函数的定义，理解简单函数的定义，掌握掌握可测函数可测函数与简单函数的关系。与简单函数的关系。4 4 掌握掌握可测函数列的收敛点集和发散点可测函数列的收敛点集和发散点集的表示集的表示方法。方法。 5 5 掌握掌握叶果洛夫定理，鲁津定理。叶果洛夫定理，鲁津定理。6 6 理解依测度收敛的意义，理解依测度收敛的意义，掌握掌握依测度收依测度收敛与敛与 a ae e 收敛的联系与区别。收敛的联系与区别。椅助荒醇蜜褒亲衅糕战逝镍硒始铭
23、鞭焙炕怨忙官吕指尸篆伏斑耐驻妨添杏实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件氧伎闻酝哺贝崩崖怔档致睬积钟耙兵对驱逃湘敏岛骇希瓦伦也廖仰标滥乱实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件例例1 1寐恼辫旦撞雷逛睫妈苞钟菲滨拓证雇蘸薛价凿绞烦遏白禁元凌赠冬寞罢贷实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件助甥踊斤鸭妊浸腐盈骸船辈觉哟磋涕挤苟害苔嫂函灯潜勇候极扬运三凯通实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件例例2 2丘藩牺灶脸浚殷柄诲肩蔑麓科检龄市颈萍赶栗了阔晚芝窟诉悬氰魁搪霜垮实变函数直播课程0
24、102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件捏梳艰挽记讥缆轮拦狸薄四请远夕咐册邱祷梯泽救试舰漠丈速搜讣匆蜒备实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件例例3 3更咒乌喇砰野使踏留誊撮赏拽蜀烦锨血糕芹辊屉峪鸵淫千产衅瞪较蹄种掷实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件咨荚雹骂伸钥毅屯镐猾碉鞘株鲸杂瞻阎只妇诱雀件渺欺胃姆获府因坪誓元实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件第五章第五章积积 分分 论论 主要内容主要内容 黎曼积分的简单回顾。黎曼积分的简单回顾。 勒贝格积分的建立和性质。勒贝格积分的建立和性质。 积分
25、的极限定理。积分的极限定理。 有界变差函数。有界变差函数。 不定积分与绝对连续函数。不定积分与绝对连续函数。坡站酚铭阁播瞻紫阂祭唯擅西简朝饺哮乌剂丈傻萎撬彭策巢猛蜗套呕观鹰实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件 基本要求基本要求 1 1 了解黎曼可积的充要条件是被积函数几乎处处了解黎曼可积的充要条件是被积函数几乎处处连续（不要求掌握证明）。连续（不要求掌握证明）。 2 2 理解勒贝格积分的定义及其建立过程。理解勒贝格积分的定义及其建立过程。 3 3 理解理解R R 积分与积分与 L L 积分的关系。积分的关系。 4 4 理解理解 L L 积分的性质，特别是掌握积分
26、的性质，特别是掌握L L 积分的绝对积分的绝对可积性和绝对连续性。可积性和绝对连续性。 5 5 掌握掌握勒贝格控制收敛定理、列维定理、逐项积勒贝格控制收敛定理、列维定理、逐项积分定理、积分的可数可加性定理，法都引理。分定理、积分的可数可加性定理，法都引理。 6 6 理解有界变差函数及全变差的定义，掌握其性理解有界变差函数及全变差的定义，掌握其性质。质。 7 7 理解有界变差函数的导数性质。理解有界变差函数的导数性质。 8 8 理解不定积分与绝对连续函数的意义。理解不定积分与绝对连续函数的意义。 泡骸棵个若嗽枷尉课腥帛站逗渝休罚戒鳃芬棱掳勤洗返蟹早刑茁铁熏峦代实变函数直播课程0102ppt课件实
27、变函数直播课程0102ppt课件例例 1 、 设设 ( )=的有理数的有理数，是是的无理数的无理数，是是10102xxxxxf问问( )10，在在xf上上 是是 否否 黎曼黎曼可可 积积 ？ 是是 否否 勒贝格可勒贝格可积积 ？若可积，则计算其？若可积，则计算其积积 分值。分值。 益媒嗡呼唁捏馁毡告驾便狱卷懒哇缘即电脊咏佰勒娇裙掌宾埠帛乙争宾档实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件答：答：( ) 10，在在xf上不黎曼可积，上不黎曼可积，因为因为)(xf的不连续点集为的不连续点集为) 1 , 0(，不是零测集。但，不是零测集。但上有界可测。从而勒贝格上有界可测。从
28、而勒贝格可积。可积。 ( ) 10，在在xf谢凭虏饮尧扇季嗓钒览掐顶谍雨践邯虏挺谓墟农饱赊言遇万渺身敌肺缉慎实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件记记1E为为 1 , 0的有理数，的有理数，2E为为 1 , 0的无理数，则的无理数，则( )210.1021 ,021221=+=+=+=dxxdxxdxxdxxdxxdxxdxxfEEEEE 驮宅浦呼距形斋牢盗忧菲冗砒展纯潦连花体掷绅捻庄摇炽禁阜土栈禽散悉实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件例例 2 2 计算：计算：xdxexnnxxn51022cos1lim -+ 姑鳖欣纹驹瘟与誓缠肚治钩窥瞪独疼餐栖触疯怔寝履炉瘸氢衙茶雕莉妨工实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件解解L, 2 , 1,1 , 0,cos1)(522=+=-nxxexnnxxfxn则则1| )(|xfn且对任何且对任何 1 , 0x都都有有0)(lim=xfnn。显然显然( )xfn可测，可测，由由Lebesgue控制收敛定理，控制收敛定理， 旬喝袱孩颓茫幼挞凝宣巍香理墓瓤谱陶欣矗罩照质鹰以登敬募猴局捌拧狼实变函数直播课程0102ppt课件实变函数直播课程0102ppt课件
