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1、2.4等比数列理解教材新知把握热点考向应用创新演练第二章数列第一课时等比数列考点一考点二考点三知识点一知识点二知识点三 考察下面几个数列：考察下面几个数列： (1)4，4,4，4， (2)关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题，关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题，由于每一个格子里的麦粒都是前一个格子里的麦粒数的由于每一个格子里的麦粒都是前一个格子里的麦粒数的2倍，且共有倍，且共有64个格子，各个格子里的麦粒数依次是个格子，各个格子里的麦粒数依次是1,2,22,23，263， (3)某人年初投资某人年初投资10 000元，如果年收益率是元，如果年收益率是5%，那，那么按照复利，么按照复利
2、，5年内各年末的本利和依次为年内各年末的本利和依次为10 0001.05,10 0001.052，10 0001.055， 问题：以上数列有何共同特征？问题：以上数列有何共同特征？ 提示：提示：每一个数列从第每一个数列从第2项起，每一项与它前一项的项起，每一项与它前一项的比值都等于同一个常数比值都等于同一个常数定义定义表达式表达式 一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第 项起，项起，每一项与它的前一项的比等于每一项与它的前一项的比等于 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的数叫做等比数列的 ，通常用字母，通常用字母q表示表示(q ) q
3、(q为常数，为常数，q0)同一个常数同一个常数公比公比02问题：若在问题：若在a与与b之间插入一个数之间插入一个数G，使，使a，G，b成等比成等比数列，则数列，则G与与a，b有何关系？有何关系？ 等比数列等比数列 问题：若数列问题：若数列an为等比数列，公比为为等比数列，公比为q，则：，则：a2a1q，a3a2qa1q2，a4a3qa1q3，a5a4qa1q4，由此你可以得出什么结论呢？，由此你可以得出什么结论呢？ 提示：提示：ana1qn1. 等比数列等比数列an的首项为的首项为a1，公比为，公比为q(q0)，则通项，则通项公式为：公式为：an .a1qn1 1对等比数列定义的理解对等比数列
4、定义的理解 (1)公比公比q0，这是必然的，也就是说，不存在公比，这是必然的，也就是说，不存在公比q0的等比数列，还可以理解为在等比数列中，不存在的等比数列，还可以理解为在等比数列中，不存在数值为数值为0的项的项 (2)每一项与它的前一项的比是同一个常数，是具有每一项与它的前一项的比是同一个常数，是具有任意性的，但须注意是从任意性的，但须注意是从“第第2项项”起起 (3)每一项与它的前一项的比是同一个常数，强调的每一项与它的前一项的比是同一个常数，强调的是是“同一个同一个” (4)对于公比对于公比q，要注意它是每一项与它前一项的比，要注意它是每一项与它前一项的比，次序不能颠倒次序不能颠倒 (5
5、)各项不为零的常数数列，既是等差数列，又是等各项不为零的常数数列，既是等差数列，又是等比数列比数列 2对等比中项的理解对等比中项的理解 (1)G是是a与与b的等比中项，则的等比中项，则a与与b的符号相同，符号的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项相反的两个实数不存在等比中项G，即等比中项有两个，且互为相反数，即等比中项有两个，且互为相反数 (2)当当G2ab时，时，G不一定是不一定是a与与b的等比中项例如的等比中项例如0250，但，但0,0,5不是等比数列不是等比数列 3等比数列的通项公式等比数列的通项公式 (1)已知首项已知首项a1和公比和公比q，可以确定一个等比数列，可以确定一个等比
6、数列 (2)在公式在公式ana1qn1中，有中，有an，a1，q，n四个量，四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量已知其中任意三个量，可以求得第四个量第一课时等第一课时等 比比 数数 列列 例例1设数列设数列an满足满足a11，an2an130(n2)，试判断数列试判断数列an1是否是等比数列，并指出该数列的首项是否是等比数列，并指出该数列的首项 思路点拨思路点拨首先分清该数列的通项是什么，然后根据首先分清该数列的通项是什么，然后根据等比数列的定义进行判断等比数列的定义进行判断1在数列在数列an中，中，a12，且对任意自然数，且对任意自然数n,3an1an0，则，则an_.2本例题条件中
7、本例题条件中“an2an130(n2)”改为改为“an12an1”，其他条件不变，试判断数列，其他条件不变，试判断数列an1是是否为等比数列否为等比数列例例2在等比数列在等比数列an中，中，(1)a42，a78，求，求an；(2)a2a518，a3a69，an1，求，求n.思路点拨思路点拨解答本题可将条件转化为关于基本元素解答本题可将条件转化为关于基本元素a1与与q的方程组，求出的方程组，求出a1和和q，再表示其他量，再表示其他量 一点通一点通等比数列基本量的求法等比数列基本量的求法 a1和和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来
8、，法一是常规解法，先求其他量便可求出来，法一是常规解法，先求a1，q，再求，再求an，法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求，法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a1和和q，这，这也是常见的方法也是常见的方法3若等比数列的前三项分别为若等比数列的前三项分别为5，15,45，则第，则第5项项是是 ()A405 B405C135 D135解析：解析：a5a1q4，而，而a15，q3，a5405.答案：答案：A答案：答案：C 例例3(12分分)某工厂某工厂2011年年1月的生产总值为月的生产总值为a万元，万元，计划从计划从2011年年2月起，每月生产总值比上一个月增长月起，每月生产总值比上一个
9、月增长m%，那么到那么到2012年年8月底该厂的生产总值为多少万元？月底该厂的生产总值为多少万元？ 思路点拨思路点拨依题意，该厂自依题意，该厂自2011年年1月起，每月的生月起，每月的生产总值依次构成一个等比数列，求出该数列的通项公式，产总值依次构成一个等比数列，求出该数列的通项公式，利用通项公式得解利用通项公式得解 一点通一点通数列实际应用题常与现实生活和生产实际数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：心，常用的方法有： 构造等差、等比数列的模型，然后构造等差、等比数列的模型，然
10、后用数列的通项公式或求和公式解；用数列的通项公式或求和公式解； 通过归纳得到结论，通过归纳得到结论，再用数列知识求解再用数列知识求解6一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB，然后每，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的原来的2倍，那么开机后倍，那么开机后_分钟，该病毒占据分钟，该病毒占据内存内存64 MB(1 MB210 KB)解析：解析：由题意可得每由题意可得每3分钟病毒占的内存容量构成分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列，令病毒占据一个等比数列，令病毒占据64 MB时自身复制了时自身复制了n
11、次，即次，即22n64210216，解得，解得n15，从而复制的，从而复制的时间为时间为15345分钟分钟答案：答案：457从盛满从盛满a(a1)升纯酒精的容器里倒了升纯酒精的容器里倒了1升然后添满水摇升然后添满水摇匀，再倒出匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第下去，问：第n次操作后溶液的浓度是多少？当次操作后溶液的浓度是多少？当a2时，时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%? 2等比数列的通项公式等比数列的通项公式 除了公式除了公式ana1qn1外，公式外，公式anamqnm也可以称也可以称为通项公式，要根据题目的特点灵活选用公式，使问题为通项公式，要根据题目的特点灵活选用公式，使问题的解答快捷、准确的解答快捷、准确
